2019联考数学真题
2019年经济类联考数学答案及解析
2019年入学经济类专业学位联考综合能力真题21. 设函数()x y y =由参数方程,e ,d e 220t t u y u x ==⎰则=x y d d （ ）. （A ）2t （B ）22t （C ）1 （D ）2【答案】C 【解析】参数方程的求导1d d d d d d ==t x t yx y 22. 设函数()x f ，()x g 在区间[]b a ,上均可导，且函数值、导数值均恒负（其中b a ＜），若()()()()0''＜x g x f x g x f -，则()b a x ,∈时，不等式（ ）成立.（A ）()()()()a g a f x g x f ＞ （B ）()()()()b g b f x g x f ＜ （C ）()()()()a g a f x g x f ＞ （D ）()()()()b g b f x g x f ＞【答案】C【解析】导数的应用，()()()()()()()().00''>⇒=<⇒=x G x g x f x G x F x g x f x F ； 23.()=--→11tan lim 321x x x （ ）. （A ）21 （B ）31 （C ）32 （D ）43 【答案】C【解析】等价无穷小替换求极值.24. 已知xxe 是()xf 的一个原函数，则()=⎰x x f x d 102（ ）. (A)1 (B)2e - (C)e 2- (D)e 2+【答案】C【解析】先求出()x f ，再带入定积分中求解.25. 函数,333xy y x z -+=则（ ）.(A)点()1,1是函数的极大值点 (B)点()1,1是函数的极小值点(C)点()0,0是函数的极大值点 (D)点()0,0是函数的极小值点【解析】先求出驻点，然后利用二元函数极值的充分条件判断.26.已知抛物线422+-=x x y 在点M 处的切线与x 轴的交角成45，则点M 的坐标为（ ）.(A)()4,2 (B)()3,1 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛413,23 (D)()4,0 【答案】C【解析】导数的几何意义，求出该点的导数值.27. 随机变量X 呈正态分布(),6,32N {},2.043=<<X P 则{}=≥2X P （ ）.（A ）0.2 （B ）0.3 （C ） 0.7 （D ）0.8【答案】C【解析】正态分布关于3=x 对称，{}5.03=<X P .28.()41=A P ，()31=A B P ，()21=B A P ，则()=⋃B A P （ ）. （A ）1 （B ）12 （C ）13（D ）14 【答案】C 【解析】利用概率的乘法公式求出()B P ，再利用加法公式求出()B A P ⋃.29.求4阶行列式 1040211206002412D --=--，则第四行各元素代数余子式之和，即41424344A A A A +++=（ ）.（A ）-18 （B ）-9 （C ）-6 （D ）-3【答案】A【解析】利用代数余子式的定义，所求结果为将元行列式最后一行元素全部替换成1得到的新行列式.30. 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5110141322455323211k A ，且秩3)(=A r ，则常数=k （ ）. （A ）2 （B ）2- （C ）1 （D ）1-【解析】利用矩阵秩的定义得出矩阵A 的任意一个包含常数k 的四阶子式的行列式为0.31. 已知极限011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求常数a 和b . 【答案】1,1-==b a【解析】“∞-∞”型，先通分，再求解常数.32. 求函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且1)2(,e )()(==f x f x f '，求)2('''f .【答案】32)2(e f ='''【解析】复合函数的求导法则()()[]()()()x g x g f x g f '''⋅=. 33.求不定积分2x . 【答案】C x x x +++=21232523452原积分 【解析】遇到根号式，常利用换元法求积分.34.求定积分10x ⎰.【答案】 232e =原积分 【解析】与33题类似，遇到根号式，常利用换元法求积分.35. 已知()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)4f =，求极限020()()d lim x x f t x t t x →-⎰.【答案】2【解析】“∞/∞”洛必达法则求极值，同时结合变限积分求导公式.36. 设(), ln y x z +=证明. 21=∂∂⋅+∂∂⋅y z y x z x 【解析】多元函数求偏导同时结合了复合函数求偏导公式.37. 某足球彩票售价1元.中奖率为0.1，如果中奖可得8元.小王购买了若干张足球彩票，如果他中奖2张，则恰好不赚也不赔，求小王收益的期望值.【答案】12.8【解析】先求出小王购买的彩票数，再求出每一次盈利的期望，最后利用数学期望的性质求出收益的期望值.求：(1)X 的数学期望EX ;(2)概率{}.01≠<X X P【答案】16/37=EX ;{}.8/2501=≠<X X P【解析】利用概率的归一性求出k . 39. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，三阶矩阵B 满足E AB A =-2，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵B .【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000120B 【解析】12--=⇒=-A A B E AB A . 40. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321kx x x x kx x x x kx 有非零解，求k 的所有可能取值.【答案】2-1或=k【解析】有非零解可知系数矩阵的行列式等于0.。
2019年管理类联考数学真题
2019年管理类联考数学真题一、问题求解（本大题共5小题，每小题3分，共45分）下列每题给出5个选项中，只有一个是符合要求的，请在答题卡上讲所选择的的字母涂黑。
1、某车间计划10天完成一项任务，工作3天后因故停工2天。
若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（）【答案】C解析：男观众：3+4+5=12女观众：3+4+6=13；男：女=12:134、设实数a,b 满足ab =6,|a+b|+|a-b|=6,则a 2+b 2=()A.10B.11C.12D.13E.14【答案】DA.B.C.D.E.棵树苗；如果每隔2米种一颗，那么恰好种满正方形的3条边，则这批树苗有（）棵A.54B.60C.70D.82E.94【答案】D解析：设正方形边长为m，则有1321043+⋅=+⋅mm ，解得54=m ；则树苗共有：82104354=+⋅，故选D.7、在分别标记1、2、3、4、5、6的6张卡片，甲抽取1张，乙从余下的卡片中再抽取2张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）A.11/60 B.13/60 C.43/60 D.47/60 E.49/60【答案】D解析：总数：602516=C C ，不符合条件的：甲取3，乙取12；甲取4，乙取12,13；甲取5，乙取12,13,14,23；甲取6，乙取12,13,14,15,23,24,；6047601360=-=p【答案】E解析：正方体表面积最大，则说明正方体上面四个顶点都在圆上，如图作辅助线，设正方体棱长为m。
则勾股定理方程：222322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m ，可得62=m ，则正方体表面积为3662=m ，故选B。
10、在三角形ABC 中，AB=4,AC=6，BC=8，D 为BC 的中点，则AD =A.B.C.3D.22E.【答案】B解析：如图，作辅助线AE⊥BC 于E，故选B。
ABCED设BE=m,则CE=8-m勾股定理列方程：2222)8(6-4m m --=，得m=BE=411，则4153)411(422=-=AE ,45=DE ，勾股定理：AD=1011、某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需6天，工时费共2.4万元。
2019届第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)数学(文)试题(解析版)
2019届第一次全国大联考（新课标Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求解A,再根据并集的定义进行求解即可．【详解】∵,,∴.故选A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键．2．设为虚数单位，复数，若，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】结合正余弦函数的值域，利用复数的几何意义即可得出．【详解】由，得，又实部，故复数在复平面内所对应的点在第二象限，故选B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，涉及正余弦函数的值域问题，属于基础题．3．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，若沿点，连线折成如图所示的多面体，使平面，则该多面体的正视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图及条件可证，可得AB，由此可求正视图的面积.【详解】由题意，得，，由平面，得，所以，∴所求多面体的的正视图的面积为．故选A.【点睛】本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题. 4．函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断f（x）的奇偶性，利用奇偶性及f（x）的特殊函数值排除选项，即可得出答案．【详解】∵，∴，故函数为奇函数，排除B；又且时，函数无零点，排除A、D，故选C．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.【详解】由图知输出的结果．故选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将向量的垂直关系用数量积表示，化简可得结果.【详解】由，得，即，所以，所以向量，的夹角大小为，故选C.【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了向量的垂直关系的转化及夹角公式，属于基础题.7．若，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式及二倍角公式将原式化为，再将其变形为齐次分式型，利用同角基本关系式可得，代入所求式子中即可求解.【详解】由，得，即，所以，即，解得或，故．故选B.【点睛】本题考查了三角函数中的诱导公式、二倍角公式，考查了同角基本关系式的应用，关键是熟练运用公式解决问题.8．设双曲线：的离心率为，其渐近线与圆：相切，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线C的渐近线与圆相切，利用d＝r，得到m与e的关系式，再结合椭圆中a、b、c的关系，建立方程解出即可．【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线为，又渐近线与圆：相切，故，又，∴，解得，故选B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．9．在中，角的对边分别为，若的面积为，则( )A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【解析】利用三角形的面积公式得到利用正弦定理将其边化角，结合两角和的正弦公式及同角基本关系可得结果.【详解】由题意，知的面积，得，再由正弦定理得，因为，所以，即，所以,两边同时除以,得.故选D.【点睛】本题考查了三角形面积公式及正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式及同角基本关系式，运用了弦化切的方法，属于中档题.10．已知函数（），若，为其图象上两相邻的对称中心，且函数的最大值为3，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由两点坐标确定周期，可得，由五点法确定，由最值确定A、B可得解析式，将x=代入求值即可.【详解】∵，为函数图象上两相邻的对称中心，∴，（其中为函数的最小正周期），则，解得，所以，，即，，又，所以.因为函数的最大值为3，所以，故，所以．故选B.【点睛】本题考查了由三角函数的性质确定解析式，涉及正弦型函数的图像特征，属于基础题. 11．已知抛物线：，若直线：被抛物线截得的弦长为17，则与抛物线相切且平行于直线的直线方程为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于直线过抛物线的焦点，所以根据抛物线定义求弦长，解得，再根据直线与抛物线相切得判别式为零求结果.【详解】设抛物线的焦点为，则，可得直线过焦点，设直线交抛物线于点，由抛物线定义可知，联立直线与抛物线的方程，消去得，所以，则，解得，则抛物线的方程为.设与抛物线相切且平行于直线的直线方程为，联立方程，消去得，则，解得，故所求直线方程为.故选B. 【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出．12．若函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得函数的图象与函数图象上存在关于原点对称的点，且的最小值为，则实数( )A．B．2 C．3 D．【答案】A【解析】先根据函数的图像变换规则及对称性求得相应的函数解析式，然后将题目转化为方程有解，分离a，构造函数，利用导数分析函数的单调性及最值，可得a的范围.【详解】∵函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，∴所得图象的对应函数解析式为即.因为曲线关于原点对称的曲线为，所以当曲线与曲线有交点时，满足题意，故方程有解，即有解，令（），可知直线与的图象有交点.又，令，可得，（舍去），故当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，故，所以的最小值为，又的最小值为，∴，解得，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数图像交点的问题，考查了函数的性质及图像变换的应用，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．【答案】【解析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，易知，故，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为______．【答案】【解析】先找到对立事件，利用圆锥侧面积公式结合几何概型的概率计算公式计算比值，再用1减去比值即可得到所求.【详解】易得圆锥的母线长为，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过时，蚂蚁应爬行在底面半径为，母线长为的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型问题，考查了圆锥表面积公式，关键是确定几何概型的测度，属于基础题.15．已知函数，，且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，若、均为正数，则的最小值为_____．【答案】【解析】先由导数值求得斜率，建立m、n的关系式，再构造均值不等式求解，求得最值,【详解】由题意，得，得，又，得.由已知可得，即，故，当且仅当，即时取等号，故填．【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题16．在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为______．【答案】【解析】先确定三角形ACD外心，再根据平面，确定外接球球心在过且平行于直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果.【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体中，，，，故平面，将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，易得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心.设外接球的半径为R，连接、，可得,在中，，故外接球的表面积，故答案为.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．三、解答题17．已知数列满足，其中为数列的前项和，若，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小．【答案】(1) (2)【解析】（1）先由题意求得t，得到的表达式，可求得a n；（2）由（1）得b n，结合对数的运算性质进行求和，并进行比较.【详解】（1）由，，可得，又，解得，故，即，当时，，∴，当时，符合上式，故数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∴，易知，所以，故．【点睛】本题考查数列中由求数列通项及数列求和的问题，考查了对数的求和及对数的运算性质的应用，属于中档题.18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）过点C作,连接，根据已知条件可证平面，则，可求，利用数据可得，又由已知可得，则平面，可得面面垂直.（2）利用等体积转化求解点到平面的距离．【详解】（1）过点C作,为垂足，连接，由已知得，，易得，且，，又平面，∴平面，∴，故，可知在中，，∴，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）连接,由，可得，又，可得平面，即平面，故为三棱锥的高，∴.由（1），知，，，，故.设点到平面的距离为，则，又，，，∴，即点到平面的距离为．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了空间线线、线面的位置关系，考查了利用等体积转化求点到面的距离，属于中档题.19．2018年3月，国家癌症中心发布了中国最新癌症数据，下表统计了我国男、女性癌症发病率前5类的数据：我国癌症发病率（单位：发病人数/10万）TOP5（1）记男、女性癌症前5类发病率的平均值分别为，计算并比较与的大小；（2）定义高于本性别前5类发病率平均值的癌种为高发病率癌种，在男、女性前5类癌种中每个癌种各取1人，在所选取的10人中随机抽取2人，求2人都是高发病率癌种患者的概率．【答案】（1），．．（2）【解析】（1）直接由平均数公式计算即可.（2）用列举法列出所有基本事件，找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式计算概率.【详解】（1）由统计表可得，．从而可知．（2）由定义，知男性中肺癌为高发率癌种，记抽取的男性肺癌患者为，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，记抽取的女性乳腺癌患者为，女性肺癌患者为，抽取的其余7人分别为，则从10人中随机抽取2人，所有的可能事件为：，共45种结果，其中2人都是高发病率癌种患者的有：，共3种结果，故2人都是高发病率癌种患者的概率为．【点睛】本题考查数据的平均数求解以及古典概型概率公式，考查了计算能力与分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）取点，过点作轴垂线，则直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由焦距及△AF1B的周长为4．可得a，b2，即可得出椭圆方程．（2）由题意可设l：，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B纵坐标的和与积，再由已知综合运算求得x，可得结论．【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，由椭圆的定义知,的周长为，∴，故，∴椭圆的方程为.（2）显然过点的直线不与轴重合，可设直线的方程为，且，，联立方程，消去得，∴根据根与系数的关系，得，，联立直线与直线的方程，得，解得，将，代入，得，与无关，故直线与直线的交点恒在一条定直线上，且定直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．21．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．（参考数据：）【答案】（1）（2）【解析】（1）求出函数的导数，利用，求解a，利用导函数的符号，进行检验．（2）将恒成立，转化为，构造函数g（x），利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围．【详解】（1）由题意，知函数的定义域为，且，由已知得，∴，解得．即,当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，满足在处取得极值，所以a=-1.（2）由，得，，∴，令，，则只需满足即可，又，令，，则.当时，恒成立，∴在区间上单调递减，∴，即，∴存在，使得，当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又∵，，∴当时，，∴．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查构造法的应用，考查了分析问题的能力，属于难题．22．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为（），若曲线C上至少有3个点到直线的距离为1，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系消参数得普通方程，再根据,,得极坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得圆心到直线的距离不大于1，再根据点到直线距离公式列不等式，解得结果.【详解】（1）由得，所以，即，由,,,得曲线的极坐标方程为（2）（法一）由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，此时圆心到直线的距离不大于1，设直线的直角坐标方程为，即，其中，∴圆心到直线的距离为，解得，即，∵，∴．（法二）由题意及（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，直线与圆相交于原点，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，直线与圆相交的弦长不小于，将代入曲线的极坐标方程，得，即，又，∴，故，即的取值范围是．【点睛】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围.23．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据范围去掉绝对值，再根据一次函数性质列条件，解不等式组得结果.【详解】（1）∵，∴，即，或解得，故实数的取值范围为.（2）由，得，∵，可得，，∴，即为，化简得，∵时，恒成立，∴，解得．故实数的取值范围为.【点睛】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。
2019联考数学真题
2019年1月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，上将所选项的字母涂黑。
只有一个选项符合试题要求。
请在答题卡．．．1.某车间计划10天完成一项任务，工作了3天后因故停工2天，若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（）.（A）20%（B）30%（C）40%（D）50%（E）60%(a>0)在(0，+∞)内的最小值为f(x0)=12，则x0=（）.2.设函数f(x)=2x+ax2（A）5（B）4（C）3（D）2（E）13.某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男士观众人数之比为（）.（A）3:4（B）5:6（C）12:13（D）13:12（E）4:34.设实数a，b满足ab=6，|a+b|+|a−b|=6，则a2+b2=（）. （A）10（B）11（C）12（D）13（E）145.设圆C与圆(x−5)2+y2=2关于y=2x对称，则圆C的方程为（）. （A）(x−3)2+(y−4)2=2（B）(x+4)2+(y−3)2=2（C）(x−3)2+(y+4)2=2（D）(x+3)2+(y+4)2=2（E）(x+3)2+(y−4)2=26.将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔3米种一棵，那么剩下10棵树苗；如果每隔2米种一棵，那么恰好种满正方形的3条边，则这批树苗有（）棵.（A）54（B）60（C）70（D）82（E）947.在分别标记1，2，3，4，5，6的6张卡片上，甲抽取1张，乙从余下的卡片中再抽取2张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）.（A）1160（B）1360（C）4360（D）4760（E）49608.10名同学的语文和数学成绩如表：语文和数学成绩的均值分别是E1和E2，标准差分别为σ1和σ2，则（）.（A）E1>E2，σ1>σ2（B）E1>E2，σ1<σ2（C）E1>E2，σ1=σ2 （D）E1<E2，σ1>σ2（E）E1<E2，σ1<σ29.如图，正方体位于半径为3的球内，且一面位于球的大圆上，则正方体表面积最大为（）.（A）12（B）18（C）24（D）30（E）3610.在三角形ABC中，AB=4，AC=6，BC=8，D为BC的中点，则AD=（）.（A）√11（B）√10（C）3（D）2√2（E）√711.某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需6天完成，工时费共2.4万元. 若甲公司单独做4天后由乙公司接着做9天完成，工时费共计2.35万元. 若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（）万元.（A）2.25（B）2.35（C）2.4（D）2.45（E）2.512.如图，六边形ABCDEF是平面与棱长为2的正方形所截得到的，若A，B，D，E分别为相应棱的中点，则六边形ABCDEF的面积为（）.（B）√3（C）2√3（D）3√3（E）4√3（A）√3213.货车行驶72km用时1小时，速度V与行驶时间t的关系如图所示，则V0=（）.（A）72（B）80（C）90（D）85（E）10014.某中学的5个学科各推荐2名教师作为支援候选人，若从中选出来自不同学科的2人参加支援工作，则不同的选派方式有（）种.（A）20（B）24（C）30（D）40（E）4515.设数列{a n}满足a1=0，a n+1−2a n=1，则a100=（）.（A）299−1（B）299（C）299+1（D）2100−1（E）2100+1二、条件充分性判断：解题说明：本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(数学)文及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 （A ）1,1- （B ）2.2- （C ）1 （D ）1-（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （A ）21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 （5）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （6）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（7）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（A ）1- （B ）1 （C ）5 （D ）5-（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （9）10<<<<a y x ，则有（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a （10）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （11）设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围（A ）)21,0( （B ）)22,21( （C ）)2,22( （D ）),2(+∞ （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
【全国卷Ⅲ】2019年普通高等学校全国统一考试理数试题(Word版,含答案)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2019年全国高中数学联合竞赛A卷试题(含答案)
一、填空题：本大题共 8小題，每小题8分，满分64分。
1•已知正实数a满足a a=（9a）8a,则log a（3a）的值为__________2•若实数集合｛1，2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则X的值为一、（本题满分40分）如图，在锐角厶 ABC中，M是BC边的中点。
点 P在厶ABC内，使得AP 平分∠ BAC直线MP与厶ABR A ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E证明：若DE=MP贝U BC=2BP—、（本题满分40分）设整数aι,a2…,a20i9,满足 1= aι ≤ a2≤ …≤ a20i9=99 记 f=（a^+a^+ …+a20192）-（a1a3+a2a4+a3a5+…+a2017a2019）.求f的最小值f0∙并确定使f=f0成立的数组佝,a2,∙∙∙ ,a2019）的个数三、（本題满分50分）设m为整数，≥2.整数数列a1,a2,…满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数n,均有a n+2=a∏+1-ma∏.证明：若存在整效r,s（r>s≥ 2）使得a r=a s,=a1,则r-s≥.四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面。
某些点之间连有线段，记 E为这些线段构成的集合。
试求最小的正整数n,满足条件：若 E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷》参考答案及评分标准1.评阅试雜时.请依据本评分标准•填空屋只设*分和O分两档，其他各般的评闽.请严格按照本即分标准的评分档次給分P不得堆加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步•正甌在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分.解答题中第9小AU分为一个档次■第Kh H小题$分为一个档次，不得増加其他中间档次.一、填空题；本大题共8小込每小题8分.满分64分.I.己知正实数“满足= __________ 则IOM3①的們为・W： Ih 条件l3S59^ —.故5α = >fi)a ∙ a = a tfl•所W IogJ 3d)=—・2.___________________ 若实数集合}I.2J.Λ∣的处大兀索勺用小元索Z密⅛于该集合的所付元盘之和，则T的值为___ ・解：1K⅛χ>0.则凰大•凰小元衣Z羌不超过max{3∕∙而所有元董之和大:Inax{3,x∣.不符合条件.故*V0■即N为最小元索.3-x=6÷x.解3.____________________________________ 平而"J坐折系4 ；足唯位向氐向越満足二；=2・叫可≤平皿对任童实血成立.则Pl的取值范用足 -答案：∣√5.2√5∣.M：不妨JQe = (U))-由Fa e= 2.耐设Cf=(2.$) •姻对任意实数f∙仃这笞价T4+?<5|J|.解得μ∣∈[U4]> 即√∈[U6].于是Pl = √4+7 ∈ [√5.2金]•4.R为椭関I、的长轴顶点，F,F为】5勺两个焦点.I^I = 4. ∣.4Γ∣ = 2÷√3, P为1•上■点•满处∣PE∣∙∣M∣ = 2・则△/"：/的曲枳为___________________ .答案，I.解：不妨设平面I•询坐标系屮「的标准方程为4+4=∣(Λ>A>0).(T Λ*根据条件ft∣2fl =∣.IΛ∣≡i 4. a±Ja z—Λ2⅛ ∣JΛ∣ = 2÷>A. ∏IS∣Λ = 2.ft = I ,H. ∣f∕∣=2√α∙-A2=2j3.由椭阴定义知IM|十IMl =加=4 •结仟|P£|・∖PF∖ "紂|?£f 十IPFI l= (∣∕1f∣+∣PFO i-2∣ff∣∙∣PΓ∣ = l2 = ∣^ .所以厶EPF为Il«1.进而E Vt F = 1∙∣∕^∣∙∣PΛ∙∣= I.5.的.2.3.…』)中碗机选岀一个数S崔-L-2-3∙∙∙∙.-10中勃机选岀一个豺∙Uh "心；整除的槪率为_________________ ・**∙ Ioo eM：数组(""JHilO j = IOO忡導悅帑的选法・考虑真中便a2÷∕>½ 3廉除的迭法数N•若“帔3協除.则b也被3整除・此时“上各冇3种选法•这祥的(Gb)冇护=9组.若口平被 3 醱除∙K∙∣√≡l(m□d3).从iΛjft≡ Km(Xl3).此时αU 7 选法./>有4种选法•这样(Kj(tf,Λ)^7x4≡28fa.37因此* = 9十28=≡37∙ F是所求概率为二.1006.对任盘闭(XfIiH・fl] M l /<示函数」∙ = Mir在/上的Q大(t'[.若IE数α满足Λ∕lυ βl= 2Λ∕lιf jβl・则“ W l fft 为__ .VJkt 或F jr•6 12M：假如OVd∙≤专・则曲Il:效園数图像性质得OVMlM = SinmSMχa∣∙与条件不符.因此«>y・此时MMd=丨，故M b.纽=!，F是存在菲负烙数R・使紂2Λπ÷-s<α<2(∕ <2AΛ⅛-π•①6 6且①中两处"≤ w至少有一处取到零号.”*=0时•得“=丄J T或加=匕注・经检脸・a=^π.-π均満足糸件・6 6 6 12-1U >1 时.fllT∙2A∙7Γ-t-^r<2∣2jt7r + ~r∣ ・故不存在満足①的“.综上.“的值为丄兀或匕帀・6 127.如图.正方体ABC D-EFCH一个截而纾过顶点A9C及投EF上一点K∙ O IE方体分成体枳比为3:1的两都分，则黑的值为_________________________ ・Ar答第√3.脈记料为蔽面所6：Tm.延—不交•「点尸•则P在α上•故直线CPα与他BMF的交练设CP与甩?交于点J割四边形AKLC为裁面•因平而.4 眈平IT TT而K"∙ H AK9 Bl∖ CL点尸∙^ABC-KI-L 7^0.不舫设正方体梭长为l ∙则正方体休枳为l ∙讎合条件^^ABC-KFLtfJ 休积y=}∙4 r紗—烷=鈴唱=倉臓到Ps分别足棱钳Γ - IfiC 1I 稜推P-KFL 的高•『址化简得3∕, = l ∙故Λ=ψ•从而^Γ=⅛ = 7=√3.√3 A? PK hR 将6个救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成个8位效睛位不 为0人则产生的不同的8位数的个数为 ______________________________________ •答案：498.解：将2,0∙ L9. 20, 19¾ιv f G （4＜为（）的捋列的全体记为儿 ⅛＞liM≡5x5∙=6CO 〈这里及以下.M 表示有限集X β⅛元索个数〉・V2的肓一项是0∙ HJ 的后一项建9的排列的全体记为5： A 屮2的后 一顼是0∙但I 的后一项不是9的It 列的全体记为r ： A 中I 的后一项是9∙但2 的后一项不是0的排列的全体记为D •⅛to∣β∣ = 4?. ∣β∣÷（c∣=5!. ∣Λ∣+∣D∣ =4×4!＞ β∏∣B∣= 24, ∣C∣ = 96t ∣D∣= 72 ・由P 中排列产生的毎个8{⅛βl,恰对应〃中的2x2=4个禅列（这样的排列 中.20可与-IO M 互换.!9可I J M L9 H 互换）•类似地.由「或D 中推列产 生的每个8位数•恰对应（7或。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷江苏卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8= 0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________. 12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABAC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分） 15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值；（2）若sinAa =cosB2b，求sin(B+π2)的值．16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a +y2b=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
2019年高三数学阶段性检测联考试题 理(含解析)
2019年高三阶段性检测联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，则=故选D2. 命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定为，故选D3. 设，为正实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】=所以当时，m-n<0,所以，当时，，为正实数，也有成立，故“”是“”成立的充要条件故选C4. 命题“若，则或”的逆否命题及其真假性为（）A. “若或，则”，真命题B. “若且，则”，真命题C. “若且，则”，假命题D. “若或，则”，假命题【答案】B【解析】命题“若，则或”为真命题，故它的逆否命题为真命题排除C，D；逆否命题为：“若且，则”，排除C，故选B5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当，当时取等号，所以命题是假命题；是真命题；，，当时不等式成立，所以命题是真命题；是假命题；对于A：为真命题，故A对；对于B：为假命题，故B错；对于C：为假命题，故C错；对于D：为假命题,故D错；故选A6. 已知函数若非零实数满足，则的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】得所以的值为或故选D7. 由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知封闭图形的面积为故选A8. 已知函数是可导函数，则原命题“是函数的极值点，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】由极值的定义可知原命题为真，则其逆否命题也为真，其逆命题为“若可导函数满足，则是函数的极值点”，是假命题，如：满足但0显然不是的极值点，所以否命题也为假命题，故选C9. 已知函数（）在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设在内不存在单调递减区间，而又不存在常函数情况，所以在内递增，即有时不等式恒成立，即时，恒成立，解得，所以函数在内存在单调递减区间，实数的取值范围是故选C10. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，所以是周期函数，周期为4，于是,所以故选D11. 八世纪中国著名数学家、天文学家张遂（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法—二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张遂晚了上千年）：函数在，，（）处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．请根据上述二次插值算法，求函数在区间上的近似二次函数，则下列最合适的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由于在上关于对称，且二次函数图像关于对称轴对称，所以可取，则，于是故选A12. 已知，，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】设因为所以在上递增，在递减，所以，同理可得又注意到所以的图像始终在图像的上方，故时，的大小关系不确定，即A，B不正确.设则易知在上单调递增，又注意到，所以的图像始终在图像的下方，故时，故C正确；故选C点睛：本题主要考查函数单调性的应用，根据A,B选项给出等式的特征构造新函数，根据C,D选项给出的式子特征构造出新函数是解决本题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．【答案】【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为：，乙可以选择的手工纪念品的集合为，丙可以选择的手工纪念品的集合为丁可以选择的手工纪念品的集合为，这四个集合的交集中只有元素F故答案为F14. 已知函数（其中为自然对数的底数），若，则的值等于__________．【答案】2【解析】因为所以，而所以=e+2,解得m=2故答案为215. 设是方程的解，且（），则__________．【答案】99..................故答案为9916. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数在区间上有三个零点，即方程在区间故答案为点睛：本题考查了函数的零点问题，利用函数与方程的思想转化为两个函数图像的交点，注意分析直线与曲线的位置关系，相切是边界.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．试题解析：（1）当时，，所以，所以．（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．当时，，即；当时，得即．综上，．18. 已知函数．（1）用单调性定义证明：在上是减函数；（2）求的值域．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）任取，则，即可以判号证明单调性；（2）注意到，所以是上的偶函数．由（1）知在上是增函数，所以，又易知趋于无穷大，趋于无穷大，即得的值域试题解析：（1）证明：任取，则，因为，所以，，，所以，所以，故在上是减函数．（2）解：注意到，所以是上的偶函数．由（1）知在上是增函数，所以，又易知趋于无穷大，趋于无穷大，所以函数的值域为．19. 已知命题：关于的不等式；命题：不等式组（1）当时，若“”为假，“”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)先求出若“”为假，“”为真，所以，一真一假．分真假，假真两种情况进行讨论即得解（2）是的必要不充分条件，所以解得a的范围.试题解析：由，得，．由解得即，所以．（1）当时，，因为“”为假，“”为真，所以，一真一假．当真假时，，，此时实数的取值范围是；当假真时，，，此时无解．综上，实数的取值范围是．（2）因为是的必要不充分条件，所以所以，故实数的取值范围为．20. 已知，其中．（1）若，，求在处的切线；（2）若，当时，对任意的都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当，时，，所以，因为，所以，即，即可得切线方程（2）当时，，因为时，，整理得，令，对进行求导研究单调性即得最小值，即可求n的范围.试题解析：（1）当，时，，所以，因为，所以，即，故切线方程是，整理得．（2）当时，，因为时，，整理得，令，因为，当时，，即在时是减函数；当时，，即在上是增函数，所以．故．21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设，则，于是由题意可得．又易知，所以可得的解析式，写成分段函数的形式（2）不等式对于任意恒成立，即为不等式，整理得．设，则，所以可等价转化为对于任意恒成立．设，其对称轴方程为，讨论轴与2的大小，研究在上的最小值即得a的范围。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案(全国1卷解析版)
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高三第三次全国大联考(江苏卷)数学试题(解析版)
2019届高三第三次全国大联考（江苏卷）数学试题一、填空题1．若复数，其中是虚数单位，则______________.【答案】【解析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【详解】，则．故答案为.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2．已知集合，，那么=______________.【答案】【解析】先化简集合A,再根据交集的运算求解即可．【详解】由题意可知，，又，故．故答案为.【点睛】本题考查列举法,描述法及交集的定义，考查简单二次函数的值域，是基础题．3．在学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.【答案】2.1【解析】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列，由中位数的定义即可求解【详解】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列为，故这5位学生立定跳远成绩的中位数为2.1米，【点睛】本题考查中位数的定义，考查基本概念，是基础题4．运行下面的程序框图，如果输入，则输出的的值为______________.【答案】【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【详解】第1次循环，;第2次循环，;第3次循环，,输出．故答案为13.【点睛】本题考查程序框图，执行框图认真计算找到循环规律是关键，是基础题5．不等式的解集为______________.（用区间形式表示）【答案】【解析】由对数函数的单调性去掉对数符号得x的不等式求解即可【详解】原不等式等价于，解得，【点睛】本题考查对数函数的性质，解二次不等式，考查计算能力，注意定义域，是易错题6．已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到线段，则的概率为______________.【答案】【解析】列举在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到15条线段，由古典概型求解即可【详解】由已知得，，，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到以下15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A 5A6，其中满足的有以下6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A 3A5，A4A6，根据古典概型的计算公式得，的概率为．故答案为.【点睛】本题考查古典概型，考查线段长度及正六边形的简单性质，是基础题7．现有橡皮泥制作成的圆柱和圆锥各一个，已知它们的底面半径都为r，高都为2，现在把它们重新捏成一个实心球体，其半径也为r（不计捏合过程中的损耗），则这个实心球体的表面积为______________.【答案】【解析】先求圆柱和圆锥的体积之和，利用球与其等体积即可求解【详解】由已知得圆柱和圆锥的体积之和为，把它们重新捏成一个半径也为r的实心球体的体积为，所以，所以，故这个实心球体的表面积为．故答案为.【点睛】本题考查柱，锥，球的表面积和体积公式，熟记体积公式准确计算是关键，是基础题8．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】由题得利用基本不等式求解即可【详解】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为. 故答案为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查计算能力，是基础题，注意等号成立9．已知双曲线的方程为(a＞0，b＞0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆弧被双曲线四等分，则双曲线离心率的平方为______________.【答案】【解析】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，由结合点在双曲线上求得a，c的关系式求解即可【详解】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，则（其中为双曲线的半焦距），所以，由，整理得，即，解得或，又 所以双曲线的离心率的平方为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与双曲线的交点，考查计算能力，是基础题10．已知曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，直线1l 与曲线Γ交于),,(11y x M 22(,)N x y 两点，点3344(,),(,)P x y Q x y 在曲线Γ上，若1234,,,x x x x 均不相等，且MP NQ k k =-，则MN NP PQ QM k k k k +++=______________. 【答案】0 【解析】先求曲线Γ的方程，再求MN 及NP,NQ ，PQ,QM,MP 的斜率，由MP NQ k k =-得12340y y y y +++=，进而得QM NP k k =-，同理得MN PQ k k =-则可求 【详解】因为曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，所以曲线Γ上的点到(2,0)的距离与到直线2x =-的距离相等，故曲线2:8y x Γ=，则21212221122181188MN y y y y k x x y y y y --===-+-，同理可得238NP k y y =+，348PQ k y y =+，418QM k y y =+，138MP k y y =+，248NQ k y y =+，由于MP NQ k k =-，则132488y y y y =-++，可得12340y y y y +++=，由此可得412388y y y y =-++，即QM NP k k =-，同理有123488y y y y =-++，即MN PQ k k =-，故0MN NP PQ QM k k k k +++=，故答案为0. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率及抛物线的应用，考查计算能力，是中档题11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数在上的值域为______________.【答案】【解析】化简整理得g(x)进而得f （x ）的解析式，利用三角函数图像和性质求值域即可 【详解】 依题意，，则，当时，，，则，故答案为.【点睛】本题考查二倍角公式，三角平移变换，三角函数的值域，熟记公式，准确化简是关键，是中档题12．如图，0,||2,||2OA OB OA OB ⋅===，点C 是线段AB 上的一个动点，D 为OB 的中点，则DC OC ⋅的最小值为______________.【答案】12【解析】选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-得1=[()][(1)]2DC OC OA OB OA OB λλλλ⋅+-⋅+-，利用数量积运算结合二次函数求最值即可选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-，其中10≤≤λ，因为D 为OB 的中点，所以2OBOD =，所以1()2DC DO OC OA OB λλ=+=+-，所以21=[()][(1)]6622DC OC OA OB OA OB λλλλλλ⋅+-⋅+-=-+=2116()22λ-+，因为10≤≤λ，所以当1=2λ时，DC OC ⋅取得最小值，为12，故答案为12．【点睛】本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题 13．在锐角三角形中，内角，，的对边分别是，，，且满足，则的取值范围为______________.【答案】【解析】由二倍角公式结合正弦定理得，求得，利用锐角三角形得，利用三角函数性质求范围即可【详解】 由题中条件可得，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，所以，在锐角三角形中，由，得，所以，所以．故答案为．本题考查正弦定理，三角函数恒等变换化简，三角函数的图像及性质应用，考查计算能力，是中档题，注意锐角三角形的应用是易错点14．若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】化简，讨论a的取值，转化为函数与直线有3个不同的交点，求h（x）的最值列a的不等式求解即可【详解】令，若，显然不合题意；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以.综上所述，，故答案为.【点睛】本题考查分段函数的图像及性质，考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题二、解答题15．如图，在三棱锥ABC P -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 分别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC Ë平面AMN ，∴BC ∥平面AMN . （2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC .∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC .【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16．在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题17．某型号汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时间t (单位：秒)的关系为32510(0)s t k t t t =-⋅++>，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k 的取值范围． 【答案】（1）应紧急避让；（2）61[8,]4. 【解析】（1）求汽车的瞬时速度215161v s't t ==-+，由'0s =，得115t =，计算s 即可判断；（2）汽车的瞬时速度为v s'=，得 21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，分离k 求导求最值即可 【详解】（1）当8=k 时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为215161v s't t ==-+， 令'0s =，解得1t =（舍）或115t =， 当115t =时，106752210>=s ， 故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为v s'=，所以21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 故问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，即21511215t k t t t+==+在[1,2]t ∈内有解，记1()15f t t t =+，21()15f 't t =-，[1,2]t ∈∵，∴21()150f 't t=->，∴()f t 单调递增，∴()f t 在区间]2,1[上的取值范围为61[16,]2， ∴611622k ≤≤，即6184k ≤≤， 故k 的取值范围为61[8,]4.【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题18．已知椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，点是椭圆上的一点，轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点作直线交椭圆于两个不同的点,,若点是椭圆上一点,三角形是以为顶角的等腰三角形，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由离心率为，得，设方程为，由距离和最小转化为，，三点共线，得T 坐标，代入方程求c 即可求方程；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，进而得，设直线的方程为.同理得，由得k 值则直线方程可求 【详解】（1）设椭圆的焦距为，∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆C的方程为，设椭圆C的下顶点为，∵轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点，∴，，三点共线，∴，故，又为椭圆C上的一点，∴，解得，故，所以椭圆的标准方程为．（2）设过原点且与直线垂直的直线为，∵三角形是以为顶角的等腰三角形，∴点为直线与椭圆的交点.当直线的斜率不存在时，点为椭圆的左顶点或右顶点，此时，,,，∴直线的斜率存在，设直线的方程为，当时，点为椭圆的上顶点或下顶点，此时,,，故，故可得直线的方程为.设，由消去得，，根据根与系数的关系得，∴，故，同理由得,∵,∴，解得，故直线的斜率为或．所以直线l的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系及弦长公式，考查转化化归能力，准确计算是关键，是中档题19．设函数，其中为自然对数的底数.（1）求的极小值；（2）当时，求证：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）判断其正负确定单调性得极小值；（2），构造函数，求导求其最小值大于1即可【详解】（1）易知函数的定义域为，令得所以当时，，当时，，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为；（2），令，则，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查函数极值，函数的最值，构造函数，准确计算是关键，是基础题20．设数列的前项积为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“R数列”．（1）若数列的前n项积()，证明:是“R数列”；（2）设是等比数列,其首项,公比为．若是“R数列”,求的值；（3）证明：对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得（）成立．【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）详见解析.【解析】（1）由，求，，满足即可证明；（2）由，得，进而，讨论①当时和②当，分别求得q；（3）设，令，得，再利用定义证明，为“R”数列．【详解】（1）因为数列的前n项积，所以，当时，，所以,对任意正整数，令，满足，所以是“R数列”；（2）因为是等比数列,其首项,公比为，所以，所以，因为是“R数列”，所以对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，即，①当时，得，且．②当（显然）时，得，且．所以公比或；（3）对任意的等比数列，设公比为，则，令，则，下面证明：为“R”数列．因为所以，取正整数，得，所以为“R”数列，同理可以证明为“R”数列．所以对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得()成立．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列求和，利用新定义证明有关命题，熟练运用定义是关键，是中档题21．已知矩阵，若矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．【答案】【解析】由题列a,b,c,d的方程组求解即可得【详解】因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为，所以，得，①因为矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，所以，得②①②联立，解得，所以．【点睛】本题考查矩阵的有关计算，考查特征向量及特征向量，熟记公式准确计算是关键，是基础题22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（θ为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与曲线相交于不同的两点A,B，且，求的值．【答案】【解析】化曲线C为普通方程，直线l为参数方程，联立利用t的几何意义求解即可【详解】因为，所以直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，过点，所以直线的参数方程为（为参数），即（为参数）．曲线的参数方程（θ为参数）化为普通方程为，将代入曲线的方程，整理得，，设点，对应的参数分别为，则，所以．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义，准确计算是关键，是基础题 23．函数．若关于x 的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】【解析】化简，求得f （x ）的最小值，转化求解t 即可 【详解】 易得，由-5＜-4x+3＜5，得，因为关于x 的不等式有解，所以，即，解得或．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的化简与最值，考查不等式有解问题，准确转化是关键，是基础题24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，H 是线段1DD 上的动点，若G 为正方形11B BCC 的中心． （1）当113DH DD =时，求1B H 与DG 所成角的余弦值； （2）当1DH D H =时，求直线DG 与平面11AC H 所成角的正弦值.【答案】（16；（2）16.【解析】（1）建立空间直角坐标系，设1B H 与DG 所成的角为α，求向量1,B H DG ，利用异面直线所成角公式求解即可；（2）求平面11AC H 的一个法向量11(,,1)22n =--及11(,1,)22DG =，由线面角公式求解即可； 【详解】以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图所示）．（1）由已知得，1(1,1,1)B ，1(0,0,)3H ，11(,1,)22G ，所以12(1,1,)3B H =---，11(,1,)22DG =，设1B H 与DG 所成的角为α，所以1111|1|||cos ||||B H DG B H DG α---⋅=== （2）由已知得，11(1,0,1),(0,0,)2A H ，1(0,1,1)C ，11(,1,)22G ， 所以11(,1,)22DG =，11(1,0,)2A H =--，.B 设平面11AC H 的法向量是(,,)n a b c =，则1110,0n A H n AC ⋅=⋅=，所以0,20,c a a b ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩取1c =，得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则11(,,1)22n =--为平面11AC H 的一个法向量. 设直线DG 与平面11AC H 所成的角为β， 所以1||||1sin 6||||3DG n DG n β-⋅===． 故直线DG 与平面11AC H 所成的角的正弦值为16. 【点睛】 本题考查空间角的向量求法，熟记公式，熟练计算是关键，是基础题25．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中白球的个数；（2）用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值，求随机变量的概率分布列及数学期望E ．【答案】（1）3；（2）x 的概率分布列为：.【解析】试题分析：（1）这属于古典概型问题，从7个球中任取两个，共有种取法，而如果其中有个白球，则任取两个白球的取法为，由题意有，解之得；（2）首先要知道随机变量的所有可能取值，由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球，甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x 可能的取值是0,2,4.，再利用公式计算可得分布列和期望.试题解析：（1）设袋中原有n个白球，由题意,知，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；(2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球。
天津市2019届高三3月九校联考数学(理)试卷+Word版含解析
九校联考高三数学(理)学科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合均为全集的子集，且,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,因为，所以中必有元素，【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.【此处有视频，请去附件查看】2.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A.3 B. C. 10 D.【答案】C【解析】分析】根据循环结构特征，先判断i为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出S的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得S的值【详解】由程序框图可知：第一次循环：i=1为奇数，，第二次循环：i=2为偶数，，第三次循环，i=3为奇数，，第四次循环，i=4为偶数，，此时不满足，退出循环，输出，结束，故选C。
【点睛】本题考查循环结构的程序框图，按照要求逐步计算即可，属基础题。
4.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为直线在平面内，直线在平面内，且，若，根据面面垂直的性质定理，一定有；反之，当，若时，不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、面面垂直的判定与性质.5.设函数，则函数是( )A. 奇函数，其图象关于点对称B. 奇函数，其图象关于直线对称C. 偶函数，其图象关于点对称D. 偶函数，其图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】化简三角函数式可得，据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可.【详解】由题意可得：.故函数为偶函数，且当时，，其图像不关于点对称，且当时，，其图像关于直线对称.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知函数的定义域是，当,时，若，，，则有的值( )A. 恒等于零B. 恒小于零C. 恒大于零D. 可能小于零，也可能大于零【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数为奇函数，利用导函数的解析式可得：在时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，结合函数的奇偶性和函数的单调性确定的符号即可.【详解】函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，又由，在时恒成立，故时，函数为增函数，进而可得时，函数为增函数，若，则，则，，，从而：，，，据此可得：，即的值恒大于零.故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的左顶点为（－a，0），抛物线的焦点为（，0），于是＋a＝4而抛物线的准线为l:x＝－，由l与渐近线的交点为（－2，－1），可知＝2，于是a＝2，又双曲线的渐近线为y＝±x，点（－2，－1）在渐近线上，得，故b＝1于是c＝，故焦距为2c＝2考点：双曲线与抛物线的标准方程及其性质【此处有视频，请去附件查看】8.设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，据此可得：，据此可得函数与在内有个交点，结合函数图像可得实数的取值范围.【详解】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示：由图可得：.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（将答案填在答题纸上）9.设复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部是_______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得：，据此结合复数的运算法则计算确定z的虚部即可.【详解】由题意可得：，即,，则复数的虚部是1.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.10.若的展开式中的系数为，则实数____________.【解析】【分析】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，据此结合题意求解a的值即可. 【详解】由题意结合二项式通项公式可得：，令可得，则展开式中的系数为：，故.故答案为：．【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．11.在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则_______.【答案】2【解析】【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点，将代入圆的方程可得：，据此可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长可得：.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题.12.已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥外接球的体积为_______．【答案】【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可.【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为，则：，则，外接球的体积：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13.已知，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，结合和均值不等式可得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由，且，可得：，结合可得：，当且仅当，即时等号成立.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14.在直角三角形中，，，，若，动点满足，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算可得，据此结合三角函数的性质确定的最小值即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，据此可得：，，，则：，，其中，当时，取到最小值.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角的对边分别为，若，角，且.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理结合合分比的性质可得，然后结合余弦定理求解的值即可.(2)由题意可得，利用余弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】(1)由正弦定理结合合分比的性质有：，则，由余弦定理有：，即，则：，据此可得：.(2)，，，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16. 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.【答案】（1）（2）【解析】解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(x＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，所以所求的分布列为(2)设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800,2100，相对的概率分别为，，，所以E(Y)＝3500×＋2800×＋2100×＝2280(元)．所以此员工工资的期望为2280元．【此处有视频，请去附件查看】17.在多面体中，四边形是正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可；(2)在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面F AG的法向量和平面EAD的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点.【详解】(1)∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，正方形中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE.(2)由（1）知平面ABCD⊥平面AED.在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则设平面F AG的一个法向量，则，，即，令可得：，易知平面EAD的一个法向量，由已如得.化简可得：，即.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且).(1)求数列的通项公式及的值；(2)设.求证：当时，.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得，据此可得的通项公式，进一步列方程组可得的值和的通项公式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知，裂项求和，将原问题转化为证明，然后分类讨论和证明题中的结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得，即，解得，故数列的通项公式为..(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：，则，，，，当n=1时，；当n>1时，.故题中的结论成立.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知椭圆的离心率为，椭圆的左焦点为，椭圆上任意点到的最远距离是，过直线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.(1)求椭圆的方程；(2)求证：、、三点共线；(3)求面积的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明即可证得题中的结论. (Ⅲ)由题意可得的面积，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可.【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：，故椭圆的离心率为：.(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的椭圆方程可得：，故，设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程：可得：.直线与椭圆相交，则：，解得：或.设，，则：,故：将代入上式可得：，故三点共线；(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结论可得：的面积.当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；(3)若有两个极值点，求证：.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可得恒成立，构造函数，令,由导函数的解析式可知在递增,在递减, 据此计算可得实数a的取值范围.(Ⅱ)由在处取得极值可得.原问题等价于求解在区间内解的个数，结合导函数的解析式研究函数的单调性和函数在特殊点处的函数值即可确定切线的条数.而事实情况下检验时函数不存在极值点，所以不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，易知,结合函数的解析式和零点的性质即可证得题中的不等式.【详解】(Ⅰ)由已知,恒成立令,则,,令,解得:,令,解得:,故在递增,在递减,，由恒成立可得.即当在上单调递减时,的取值范围是.(Ⅱ)在处取得极值，则，可得.令，即.设，则.故在上单调递增，在上单调递减，注意到，，则方程在内只有一个实数根，即当时，只有一条斜率为且与函数图像相切的直线.但事实上，若，则，，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，故函数在区间上恒成立，函数在区间上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数，也不存在满足题意的切线.(Ⅲ)若函数有两个极值点,不妨设，由(Ⅰ)可知,且：①,②,由①-②得:,即,由①+②得:,.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年1月全国硕士研究生入学统一考试
管理类专业学位联考数学试题
一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，
上将所选项的字母涂黑。
只有一个选项符合试题要求。
请在答题卡
．．．
1.某车间计划10天完成一项任务，工作了3天后因故停工2天，若要按原计划完成任务，则工作效率
需要提高（）.
（A）20%（B）30%（C）40%（D）50%（E）60%
(a>0)在(0，+∞)内的最小值为f(x0)=12，则x0=（）.
2.设函数f(x)=2x+a
x2
（A）5（B）4（C）3（D）2（E）1
3.某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男士观众人数之比为（）.
（A）3:4（B）5:6（C）12:13（D）13:12（E）4:3
4.设实数a，b满足ab=6，|a+b|+|a−b|=6，则a2+b2=（）.
（A）10（B）11（C）12（D）13（E）14
5.设圆C与圆(x−5)2+y2=2关于y=2x对称，则圆C的方程为（）.（A）(x−3)2+(y−4)2=2（B）(x+4)2+(y−3)2=2
（C）(x−3)2+(y+4)2=2（D）(x+3)2+(y+4)2=2
（E）(x+3)2+(y−4)2=2
6.将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔3米种一棵，那么剩下10棵树苗；如果
每隔2米种一棵，那么恰好种满正方形的3条边，则这批树苗有（）棵.
（A）54（B）60（C）70（D）82（E）94
7.在分别标记1，2，3，4，5，6的6张卡片上，甲抽取1张，乙从余下的卡片中再抽取2张，乙的卡
片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）.
（A）11
60（B）13
60
（C）43
60
（D）47
60
（E）49
60
8.10名同学的语文和数学成绩如表：
语文和数学成绩的均值分别是E1和E2，标准差分别为σ1和σ2，则（）.
（A）E1>E2，σ1>σ2（B）E1>E2，σ1<σ2（C）E1>E2，σ1=σ2（D）E1<E2，σ1>σ2（E）E1<E2，σ1<σ2
9.如图，正方体位于半径为3的球内，且一面位于球的大圆上，则正方体表面积最大为（）.
（A）12（B）18（C）24（D）30（E）36
10.在三角形ABC中，AB=4，AC=6，BC=8，D为BC的中点，则AD=（）.
（A）√11（B）√10（C）3（D）2√2（E）√7
11.某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需6天完成，工时费共2.4万元.若甲公司单独做4天后由
乙公司接着做9天完成，工时费共计2.35万元.若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（）万元.
（A）2.25（B）2.35（C）2.4（D）2.45（E）2.5
12.如图，六边形ABCDEF是平面与棱长为2的正方形所截得到的，若A，B，D，E分别为相应棱的中
点，则六边形ABCDEF的面积为（）.
（B）√3（C）2√3（D）3√3（E）4√3（A）√3
2
13.货车行驶72km用时1小时，速度V与行驶时间t的关系如图所示，则V0=（）.
（A）72（B）80（C）90（D）85（E）100
14.某中学的5个学科各推荐2名教师作为支援候选人，若从中选出
来自不同学科的2人参加支援工作，
则不同的选派方式有（）种.
（A）20（B）24（C）30（D）40（E）45
15.设数列{a n}满足a1=0，a n+1−2a n=1，则a100=（）.
（A）299−1（B）299（C）299+1（D）2100−1（E）2100+1
二、条件充分性判断：
解题说明：
本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。
阅读条件（1）和（2）后选择：A：条件（1）充分，但条件（2）不充分。
B：条件（2）充分，但条件（1）不充分。
C：条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。
D：条件（1）充分，条件（2）也充分。
E：条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
16.甲、乙、丙三人各自拥有不超过10本图书，甲丙购入2本图书后，他们拥有的图书数量构成等比数列，
则能确定甲拥有图书的数量.
（1）已知乙拥有的图书数量.
（2）已知丙拥有的图书数量.
.
17.有甲乙两袋奖券，获奖率分别为p和q，某人从两袋中各随机抽取1张奖券，则此人获奖的概率不小于3
4（1）已知p+q=1.
（2）已知pq=1
.
4
18.直线y=kx与圆x2+y2−4x+3=0有两个交点.
（1）−√3
<k<0.
3
（2）0<k<√2
.
2
19.能确定小明年龄.
（1）小明年龄是完全平方数.
（2）20年后小明年龄是完全平方数.
20.关于x的方程x2+ax+b=0有实根.
（1）a+b=0.
（2）a−b=0.
21.如图，已知正方形ABCD面积，O为BC上一点，P为AO的中点，Q为DO上一点，则能确定三角形PQD的
面积.
（1）O为BC的三等分点.
（2）Q为DO的三等分点.
22.设n为正整数，则能确定n除以5的余数.
（1）已知n除以2的余数.
（2）已知n除以3的余数.
23.某校理学院五个系每年录取人数如下表：
今年与去年相比，物理系平均分没有变，则理学院录取平均分升高了.
（1）数学系录取平均分升高了3分，生物系录取平均分降低了2分.（2）化学系录取平均分升高了1分，地理系录取平均分降低了4分.
24.设数列{a n}的前n项和为S n，则{a n}为等差数列.
（1）S n=n2+2n，n=1，2，3.
（2）S n=n2+2n+1，n=1，2，3.
25.设三角区域D由直线x+8y−56=0，x−6y+42=0与kx−y+8−6k=0(k<0)围成，则对任意
的(x，y)，lg(x2+y2)≤2.
（1）k∈(−∞，−1].
（2）k∈[−1，−1
).
8
一、问题求解
1—5：CBCDE6—10：DDBEB11—15：EDCDA
二、条件充分性判断16—20：CDACD21—25：BECAA。