指数运算和指数函数

第五讲 指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质
（1）当n 为奇数时，有a a
n
n
= （2）当n 为偶数时，有⎩
⎨
⎧<-≥==)0(,)
0(,a a a a a a
n n
（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念
(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n
n
(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=
-N p a a
a
p
p
(4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=
n N n m a a a
n
m
n
m
且
(5)负分数指数幂 n
m
n
m a
a 1
=
-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且
(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质
(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=
4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。

1．函数21
)2()5(-
-+-=x x y
（ ）
A ．}2,5|{≠≠x x x
B ．}2|{>x x
C ．}5|{>x x
D ．}552|{><<x x x 或 2．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于
（ ）
A ．
25
1+
B ．
2
5
1+
-
C ．
2
5
1± D ．
2
15±
3．函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-0
,0
,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围
（ ）
A ．)1,1(-
B ． ),1(+∞-
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或 4．函数2
2
)
21
(++-=x x y 得单调递增区间是
（ ）
A ．]2
1
,1[-
B ．]1,(--∞
C ．),2[+∞
D ．]2,2
1
[
5．已知2
)(x
x e
e x
f --=
，则下列正确的是 （ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数 二、填空题
6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .
8．已知－1<a <0，则三个数331
,,3a a a
由小到大的顺序是 . 三、解答题
9．（12分）求函数y x
x =--1
51
1的定义域.
10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x
x
在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.
11．（12分）（1）已知m x f x
+-=
1
32)(是奇函数，求常数m 的值；
（2）画出函数|13|-=x
y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无
解？有一解？有两解？
12．已知函数f(x)＝
1
1+-x x
a a (a>0且a ≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
参考答案（6）
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．3
2
a ； 14．a
a a 33
31
<< ；
三、
15． 解：要使函数有意义必须：
x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪
⎩⎪
⇒≠≠⎧⎨⎩10
1
010
∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,
16． 解：r
r
r
r
r c b c a c b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=+，其中10,10<<
<<c
b c
a .
当r ＞1时，1
=+<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛c b c a c b c a r
r
，所以a r
+b r
＜c r
；
当r ＜1时，1
=+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c
b c a c b c a r
r
，所以a r +b r ＞c r . 17．解： )1(122>-+=a a a
y x x
， 换元为)1(
122
a t a
t t y <<-+=，对称轴为1-=t .
当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去)
18．解： （1）常数m =1
（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x
y 的图象无
交点,即方程无解;
当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|
13|-=x
y 的图象有唯一
的交点，所以方程有一解;
当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x
y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。

19．解： （1）设210t t <≤，
因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=--
--t v
r t v
r
e
e
r
p g ， 则r
p g =
)0(；
（2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v
r t v
r e
e
r
p g ----
=2
11
2])0([t t v
r
t v
r
t v
r
e e
e
r
p g +-⋅
-
因为0)0(<-
r
p g ，210t t <<，)()(21t g t g <. 污染越来越严重.
20．解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)设x 1＜x 2，
则1
11
1)()(2
21
121+--
+-=
-x x x x a
a a
a x f x f 。

=
)
1)(1()
1)(1()1)(1(2
1
2
1
2
1
++-+-+-x x x x x x a
a
a
a
a
a
∵a ＞1，x 1＜x 2，∴a 1
x ＜a
2
x . 又∵a 1
x +1＞0，a 2
x +1＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.。