线面角和面面角两个典型例题
培优增分 第6讲 几何法求线面角、二面角和距离
A．4 C．3
B．2 3 D．2 2
17
D 由题可得 AB＝8，因为 AP＝BP， 所以 S△ABP＝12×8×4＝16， 因为 PC⊥平面 ABP，且 PC＝4， 所以 VC -ABP＝13×16×4＝634， 因为 AP＝BP＝4 2， 所以 AC＝BC＝4 3，
限时规范训练
18
所以 S△ABC＝12×8× 48－16＝16 2. 设点 P 到平面 ABC 的距离为 d， 则 VP -ABC＝13×16 2d＝634，解得 d＝2 2.
5＝ 5
5，即 A1C 与平面 ABCD
所成角的正切值为 5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
27
限时规范训练
3．把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 D -AC -B，
则三棱锥 D -ABC 的外接球的球心到平面 BCD 的距离为( A )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
31
由 PA⊥底面 ABCD 易知 PA⊥AD， 所以 PD＝ 12＋12＝ 2， 易知 DO＝12DB＝12 12＋12＝ 22， 所以 sin∠DPO＝DPDO＝12， 即直线 PD 与平面 PAC 所成角的正弦值为12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
BC 的中点，l 为平面 O1AC 与平面 O1OD 的交线，则交线 l 与平面 O1BC 所 成角的大小为( B )
A．π2
B．π3
C．π6
D．π4
4
限时规范训练
B 因为O，D分别是AB，BC的中点，所以OD∥AC，
又OD⊂平面O1OD，AC⊄平面O1OD， 所以AC∥平面O1OD， AC⊂平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l， 所以AC∥l，OD∥AC，所以OD∥l，
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
最小角定理
最小角定理由线面成角与二面角的定义,易得下列不等式,即最小角定理：线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值那么如何证明这个最小角定理呢?有人说这很显然啊,请问真的显然吗?这个知识点背后的原理弄清了吗?线面角是直线与平面内的直线所成角的最小值1.已知点O 为平面α上一点,过O 的斜线OQ 在平面α上的射影为OP ,OP '为平面α上的任一直线,证明：∠QOP ≤QOP '证明：如图,过点P 作PP '⊥OP ',垂足为点P ',连接QP '.因为QP ⊥面α,则QP ⊥OP '.又PP '⊥OP ',则OP '⊥面QPP ',故而OP '⊥QP '.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=∠⇒OQ OP QOP OP OP POP OQ OP QOP ''cos ''cos cos 线面角≤线线角线面角≤面面角二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值为了方便,我们将问题转化一下,如图所示：设二面角M -AB -N 的度数为∠CBO ,在平面M 上有一条射线AC ,它和平面N 所成角为∠CAO ,证明：∠CBO ≥∠CAO .证明：设CO ⊥面ABN ,则CO ⊥AO ,CO ⊥BO .又∠CBO 是二面角M -AB -N 的平面角,则CB ⊥AB ,OB ⊥AB .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=∠⇒CA COCAO CA CB CAB CB CO CBO sin sin sin 二面角M -AB -N 的平面角为∠CBO ≥∠CAO ；所以,得证.例题讲解例题1：如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练,已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）,若AB =15cm ,AC =25cm ,∠BCM =30°,则tanθ的最大值是______.例题2：例题3：如图，已知三棱锥ABC D -,记二面角D AB C --的平面角是θ，则直线DA 与平面ABC 所成角是1θ，直线DA 与BC 所成角是2θ，则()A例题4：(2017.3嘉兴模考)如图，已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，点E 满足EC DE 3=，点P 在棱AC 上运动，设EP 与平面BCD 所成角为θ，则θsin 的最大值为__322________.例题5：例题6：设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（B ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<.,C βαγα<<D ．,αβγβ<<例题9：.如图，棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是__23(2+_________.例题10：如图正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成的角θ不可能是(D )A .0B .6πC .3πD .2π（11题图）（10题图）例题11：(2017.4金华十校二模)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是线段CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π/3,则点P 的轨迹为(B)A .圆的一部分B .椭圆的一部分C .抛物线的一部分D .双曲线的一部分例题11：正四面体P -ABC 中,D 为AB 的中点,E 为直线AC 上一点,则平面PDE 与平面PBC所成二面角的正弦值的最小值为____32___.例题12：(2017温州模拟)如图,在三棱柱A -BCD 中,平面ABC ⊥平面BCD ,△BAC 与△BCD 均为等腰三角形,且∠BAC =∠BCD =90°,BC =2.点P 是线段AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q ,使得异面直线PQ 与AC 成30°的角,则线段PA 的取值范围是_______]36,0(__.例题13：（2015四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为____25_____．。
空间三大角(向量法)
空间三大角一、线线角1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．56C ．55D ．223.（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））如图，四边形ABCD 为菱形，ⅠABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE Ⅰ平面ABCD ，DF Ⅰ平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⅠEC ． （1）证明：平面AEC Ⅰ平面AFC ；（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．二、线面角1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.2. （2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．3.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））如图，四棱锥P−ABCD 中，PAⅠ底面ABCD ，ADⅠBC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （Ⅰ）证明MNⅠ平面PAB;（Ⅰ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.三、二面角1（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．2.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．3.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，ⅠBAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MNⅠ平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．4.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEⅠEC1.（1）证明：BEⅠ平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.5. （2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．6.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB Ⅰ平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.7.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，四面体ABCD 中，ⅠABC 是正三角形，ⅠACD 是直角三角形，ⅠABD =ⅠCBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD Ⅰ平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.8.（2016年全国普通高等学校招生统一考试）试题）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒.（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.9.（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5,4AE CF EF ==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=.（1）证明：D H '⊥平面ABCD ；（2）求二面角B D A C '--的正弦值.答 案一、线线角1【答案】D如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD Ⅰ1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角， 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 2.【答案】C 【详解】：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,13),3)D A B D ,所以11(1,0,3),(1,13)AD DB =-=, 因为11111115cos ,25AD DB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 5 3.【解析】：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EGⅠAC ，通过计算可证EGⅠFG ，根据线面垂直判定定理可知EGⅠ平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFCⅠ平面AEC ；（Ⅰ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由ⅠABC=120°，可得3由BEⅠ平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又ⅠAEⅠEC ，3，EGⅠAC ，在RtⅠEBG 中，可得2，故DF=22.在RtⅠFDG 中，可得6 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，2，2可得32，Ⅰ222EG FG EF +=，ⅠEGⅠFG ， ⅠAC∩FG=G ，ⅠEGⅠ平面AFC ，ⅠEG ⊂面AEC ，Ⅰ平面AFCⅠ平面AEC.（Ⅰ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz ，由（Ⅰ）可得A （030），E （1,0, 2，F （－1,02，C （030），ⅠAE =（1，3，2），CF =（-1，-3，22）.…10分 故3cos ,3AE CFAE CF AE CF ⋅==-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为33. 二、线面角1.【分析】（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，又PFEF F =，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）作PH EF ⊥，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -. 由（1）可得，DE PE ⊥.又2DP =，1DE =，所以3PE =.又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥.可得33,22PH EH ==.则()33330,0,0,0,0,,1,,0,1,,,2222H P D DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30,0,2HP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则334sin 43HP DP HP DPθ⋅===⋅. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 2.【分析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =． 连结OB ．因为22AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥== 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 可取2(3(4),3,)n a a a =--所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a -〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉= ． 所以22223|4|3223(4)3a a a a -=-++ ．解得4a =-(舍去)，43a = ．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ． 又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉=． 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34． 3.【详解】（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接，由为中点知，. 又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅰ）取的中点，连结.由得，从而，且 . 以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知， ，，，， (0,2,4)PM =-， 5(,1,2)2PN =-，5(,1,2)2AN =.设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即 240,520,2y z x y z -=+-= 可取(0,2,1)n =.于是85cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==. 三、二面角1【分析】（1）PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如上图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a ==； （2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则22AM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，2,0,02BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--，由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3314cos ,1472m n m n m n⋅<>===⨯⋅，所以，270sin ,1cos ,14m n m n <>=-<>=，因此，二面角A PM B --的正弦值为7014. 2.【分析】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 3【分析】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线 1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O ⋂=，11111A C B D O ⋂= 由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：()3,0,0A，()0,1,2M ，()13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,,022F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ∴⊥平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭132033022n MA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =，则1y =，1z =- ()3,1,1n ∴=-315cos ,515DF n DF n DF n⋅∴===⋅ 10sin ,5DF n ∴=∴二面角1A MA N --的正弦值为：1054.【分析】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2b B C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==， 设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为11222m n m n ⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --的正弦值为2131()22-=. 5.【分析】解：（1）由题设知,平面CMD Ⅰ平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⅠCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC Ⅰ平面CMD ,故BC ⅠDM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⅠCM . 又 BC CM =C ,所以DM Ⅰ平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD Ⅰ平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz . 当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量, 因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==，25sin ,5n DA =，所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255. 6.【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⅠAP ，CD ⅠPD ．由于AB//CD ，故AB ⅠPD ，从而AB Ⅰ平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB Ⅰ平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -. 由（1）及已知可得2,0,02A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22,1,22PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，22,0,22PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取()0,1,2n =--. 设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 7.【解析】：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⅠAC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=. 所以平面ACD Ⅰ平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得310,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,1,,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取31,,13⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取()0,1,3=-m .则7cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.8.【分析】（Ⅰ）因为四边形ABEF 为正方形，所以AF FE ⊥， 又AF DF ⊥，DF FE F ⋂=，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ． （Ⅰ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ， 因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF平面EFDCEF ，DG ⊂平面EFDC ，故DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GD 的方向为z 轴正向， 建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒， 设()20DF a a =>，则3DG a =，FG a =，所以(),4,0A a a ，()3,4,0B a a -，()3,0,0E a -，()0,0,3D a ． 由已知，//AB EF ，而AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， 所以//AB 平面EFDC ，又平面ABCD 平面EFDC DC =，AB ⊂平面ABCD ，故//AB CD ，所以//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，同理CEF ∠为二面角C BE F --的平面角， 所以60CEF ∠=︒，从而可得()2,0,3C a a -．所以(),0,3EC a a =，()0,4,0EB a =，()3,4,3AC a a a =--，()4,0,0AB a =-． 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则00n EC n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3040ax az ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，则0,3y z ==-，可取()3,0,3n =-．设m 是平面ABCD 的法向量，则00m AC m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，同理可取()0,3,4m =，则43219cos ,192319n m n m n m⋅〈〉==-=-⨯．因为二面角E BC A --的平面角为钝角，故二面角E BC A --的余弦值为21919-．9.【详解】：(1)由已知得AC BD ⊥，AD CD =,又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC ⅠEF ，因此 EF HD ⊥，从而EF ⅠD H '.由56AB AC ==，得224DO BO AB AO ==-=.由AC ⅠEF 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =,3D H DH '==. 于是222223110D H OH D O +=+='=',故D H OH '⊥.又D H EF '⊥,而OH EF H =,所以D H'⊥平面ABCD .如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,6,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，()3,4,0AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量， 则0{m AB m AD '⋅=⋅=，即11111340{330x y x y z -=++=，可取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面ACD '的法向量， 则0{n AC n AD '⋅=⋅=，即222260{330x x y z =++=，可取()0,3,1n =-于是1475cos ,255010m n m n m n ⋅-===-⨯， 设二面角的大小为θ，295sin 25θ=.因此二面角B D A C '--的正弦值是29525.。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
复习讲义—线面角与面面角(含答案)
诚西郊市崇武区沿街学校高二数学〔下〕复习讲义〔1〕线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
假设垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的间隔。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或者者作出它的平面角(要证明)。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
假设二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．断定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：假设两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD ．(2)设正方体的棱长为a ，连AD1，AD1交A1D 于E ，连结ME ，在△D1AC1中，ME∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME⊥平面A1BD ．连结BE ，那么∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，1322AC ME==， 22262BE a a ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2tan 2ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点挪动的间隔等于AC 时停顿，并记为点P ． 〔1〕求证：面ABP⊥面ABC ；〔2〕求二面角C-BP-A 的余弦值． 证明〔1〕 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD ⊂面ABP ， 由面面垂直的断定定理知，面ABP⊥面ABC ． 〔2〕解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ． ∵△BCP 为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角． 又由〔1〕知，面ABP⊥面ABC ，DC⊥AB，AB ＝面ABP∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP ．∴DC⊥DE．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，那么32CE =，12DE =，132cos 332DE CED CE ∠===． 例3．如下列图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．(1)求证：1BE EB =；(2)假设111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A 1EC⊥面AC 1，∴EG⊥侧面AC 1．取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC 1，∴BF⊥侧面AC 1，得BF∥EG．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ∵BE∥侧面AC 1，∴BE∥FG，四边形BEGF 是，BE ＝FG ．∴BE∥AA 1，∴FG∥AA 1，△AA 1C∽△FGC． 解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ． ∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即DA 1⊥A 1C 1． ∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°． 说明：假设改用面积射影定理，那么还有另外的解法．三、作业： 1．平面的一条斜线a 与平面成角，直线b，且a,b 异面，那么a 与b 所成的角为〔A 〕A ．有最小值，有最大值2π B ．无最小值，有最大值2π。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
高二数学(下)复习讲义(1)线面角与面面角
高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD ．(2)求BM 与平面A1BD 成的角的正切值．解： (1)连AC ，∵C1C ⊥平面ABCD ， ∴C1C ⊥BD ．又AC ⊥BD ， ∴AC1⊥BD ．同理AC1⊥A1B∵A1B ∩BD=B ．∴AC1⊥平面A1BD ．(2)设正方体的棱长为a ，连AD1，AD1交A1D 于E ，连结ME ，在△D1AC1中，ME ∥AC1， ∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME ⊥平面A1BD ．连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，12AC ME a ==，6BE a ==，∴tan ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，则2CE =，12DE =，1cos DE CED CE ∠===．例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． (1)求证：1BE EB =； (2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是，BE ＝FG ．∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为（A ）A ．有最小值θ，有最大值2πB ．无最小值，有最大值2π。
线线角-线面角-二面角的一些题目
B 1D 1A DC 1BCA 1線線角與線面角習題一、復習目標1.理解異面直線所成角の概念,並掌握求異面直線所成角の常用方法．2.理解直線與平面所成角の概念，並掌握求線面角常用方法．3.掌握求角の計算題步驟是“一作、二證、三計算”,思想方法是將空間圖形轉化為平面圖形即“降維”の思想方法. 二、課前預習1.在空間四邊形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分別為AB 、CD の中點且EF=3，AD 、BC 所成の角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 與底面所成の角分別為60ο和45ο，則異面直線B 1C 和C 1D 所成角の余弦值為 ( )(A).46 (B).36 (C).62 (D).633.平面α與直線a 所成の角為3π,則直線a 與平面α內所有直線所成の角の取值範圍是 ．4.如圖,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,則PA 與BD 所成の角の度數為(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是貼於桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB 邊與桌面所成角の正弦值 是 ． 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD 所在平面與正方形ABEF 所在平面成60ο角,求異面直線AD 與BF 所成角の余弦值. 備課說明:1.求異面直線所成の角常作出所成角の平面圖形.作法有: ①平移法:在異面直線の一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平行線 或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉の幾何體,其目の在於容 易發現兩條異面直線の關係.2.解立幾計算題要先作出所求の角,並要 有嚴格の推理論證過程,還要有合理の步驟.例2.如圖在正方體AC 1中, (1) 求BC 1與平面ACC 1A 1所成の角; (2) 求A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.備課說明:求直線與平面所成角の關鍵是找直線在此平面上の射影,為此必須在這條直線上找一點作平面の垂線. 作垂線の方法常採用:①利用平面垂直の性質找平面の垂線.②點の射影在面內の特殊位置.A CB AD C 1D 1A 1B 1CB D A BPC D A C BF E例3. 已知直三棱住ABC-A 1B 1C 1,AB=AC, F 為棱BB 1上一點,BF ∶FB 1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 為BC の中點,E 為線段AD 上不同於A 、D の任意一點,證明：EF ⊥FC 1; (2)試問:若AB=a 2,線上段AD 上のE 點能否使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角,為什麼?證明你の結論. 備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、回饋練習1設集合A 、B 、C 分別表示異面直線所成の角、平面の斜線與平面所成の角、直線與平面所成の角の取值範圍,則 (A)A=B=C (B)A=B ⊂C (C)A ⊂B ⊂C (D) B ⊂A ⊂C.2兩條直線a ,b 與平面α所成の角相等,則直線a ,b の位置關係是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設棱長為1の正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分別為AA 1和BB 1の中點，則直線CM 和D 1N 所成角の正弦值為 . 4已知a 、b 是一對異面直線，且a 、b 成60o 角，則在過空間任意點P の所有直線中，與a 、b 均成60o角の直線有 條.5異面直線a 、b 互相垂直，c 與a 成30o 角，則c 與b 所成角の範圍是 .6∠ACB=90ο在平面α內,PC 與CA 、CB 所成の角∠PCA=∠PCB=60o ,則PC 與平面α所成の角為 .7設線段AB=a ,AB 在平面α內,CA ⊥α,BD 與α成30ο角,BD ⊥AB,C 、D 在α同側,CA=BD=b .求: (1)CD の長;(2)CD 與平面α所成角正弦值.A 1CB A B 1DC 1E F課前預習 1. 60ο2.A3. [3π,2π] 4.C 5.46 典型例題例1解:∵CB ∥AD∴∠CBF 為異面直線AD 與BF 所成の角.連接CF 、CE 設正方形ABCD の邊長為α,則BF=a 2∵CB ⊥AB, EB ⊥AB ∴∠CEB 為平面ABCD 與平面ABEF 所成の角 ∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC=a 2 ∴cos ∠CBF=42例2解:(1)設所求の角為α,先證BD ⊥平面ACC 1A 1,則sin α=sin ∠OC 1B=1BC OB =21.故α=30o .(2)△A 1BC 1是正三角形,且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱錐B 1-A 1BC 1是正三棱錐.過B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1,連A 1H, ∠B 1A 1H 是直線A 1B 1與平面A 1C 1B 所成の角.設A 1B 1=a 則A 1B =a 2得A 1H =a 36.故cos ∠B 1A 1H=111B A H A =36.所求角為36arccos例3解:(1)連接OF ,容易證明AD ⊥面BB 1C 1C, DF 是EF 在面B 1C 1CB の射影,且DF ⊥FC 1, ∴FC 1⊥EF.(2) ∵AD ⊥面BB 1C 1C , ∠EFD 是EF 與平面BB 1C 1C 所成の角.在△EDF 中,若∠EFD=60ο,則ED =DF ·tan 60ο=3·5=a 15,∵AB=BC=AC=2a ,∴AD=a 3.∵a 15>a 3.∴E 在DA の延長線上,而不線上段AD 上;故線段AD 上のE 點不可能使EF 與平面BB 1C 1C 成60ο角.回饋練習1. D2. D3.954 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο7.解:(1)作DD ＇⊥α於D ＇,連接AD ＇,BD ＇.CA ⊥α,∴CA ∥DD ＇.四邊形CAD ＇D 是直角梯形,∠CAD ＇=∠D D ＇A =90ο,AB α⊂,AB ⊥DD ＇.又AB ⊥BD,∴AB ⊥平面BDD ＇,BD ＇⊂平面BDD ＇.∴AB ⊥BD ＇.∵∠DBD ＇是BD 與α所成の角,∴∠DBD ＇=30ο,BD =b ,DD ＇=2b ,BD ＇=23b .在△ABD ＇中,AB=a ,BD ＇=23b ,∠ABD ＇=90ο,∴AD ＇=22＇BD AB +=4322b a +.在CAD ＇D 中，CD=222'2')(b a D D AC AD +=-+.(2)作D ＇C ＇∥DC 交CA 於C ＇,∠C ＇D ＇A 是CD 與α所成の角,sin ∠C ＇D ＇A=22'2''ba bD C AC +=.線面角與面面角練習一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成の角就是斜線與它在平面內の射影の夾角。
如何找出线面夹角和面面夹角
线面角在哪里？【例题1】如图，已知EA ⊥平面ABC ，FC ⊥平面ABC ，△ABC 是正三角形，D 是的中点，且1AB AE ==，2CF =（Ⅰ） 求证：AD ⊥平面BCF（Ⅱ）求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值能否通过观察找到线面夹角。
通常来说，要过斜线上一点做面的垂线。
那么，问题来了，点往面上做垂线，垂足如何确定？先看下面的题目，思考一下：在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA OB OC ==,M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是__________________(用反三角函数表示)【分析】一方面，设OA=OB=OC=1，可以通过等体积法只关注点O 到面ABC 的距离：11113322A OBC OBC V OA S OA OC OB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 111!332A OBC O ABC ABC V V d S OA CM AM --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 就可以得到点O 到面ABC 的距离。
一方面，做出垂面——CB 垂直于OM ，CB 垂直于OA ，因此CB 垂直于面AOM ，所以，面ACB 垂直于面AOM 。
也就说，面AOM 是面ACB 的垂面。
A FEDC B O M C BA根据定理两个面垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个面。
因此只需在三角形AOM 中，过点O 做交线AM 的垂线即可。
那么问题又来了——刚才的例题1咋整？过点E 找到面ADF 中的垂面，然后在垂面中过点E 做垂面与面ADF 交线的垂线，即可。
是否有垂面？面DAF 与面AFC 互相垂直！（怎么证？有没滴办法塞？）面面夹角在哪里？【例题2】在60°角的二面角的棱上有两个点A 、B 、AC 、BD 分别是这个二面角的两个面内，且都垂直于AB ，若AB=5,AC=3,BD=8，则CD=__________?问题1：什么是二面角？A FE DCB M CB 垂足N A B D C二面角要用“二面角的平面角”来度量。
线面角、二面角练习(含答案)
.(10分 ) 如 图 , 在 四 楂 锥 P 一 4BC 丁 中 , 底 面 4BC是D矩 形 ,M7 是 P4 的 中 点 ,PD 平 _ 面 4L BCD,
心 的 M L DN, 即 异 面 直 线 4M 与 DN 所 成 角 大 小 为 90., 故 选 D.
2. ( AP4D 为 直 角 三 角 形 , 且 P4 = 4D, …LP4D 二 90., 即 P4 L 4D, 四 边 形 4B8为C正 D方 形 , - DA L BA, N PANBA= 4, P4 c 面 P4B,PB C 面 P4B,
A. 307
B. 45°
二 、 解 答 题 ( 共 14 小 题 , 每 小 题 10 分 , 共 140分 )
C. 60°
D. 90°
2.(分1) 0如 图 , 平面 P4D L 平 面 4BCD,4B为 C正D方 形 ,AP 是 4 直 角D 三 角 形 , 且 P4 = 4D 二 2, E
、 友 、G 分 别 是 线 段 P4、PD、CD 的 中 点 。
(D) 证 明 , PB平 |面 4BC ) 设 二 面 角 D - 4F - C 为 60“,=4P 1,4一Dv, 求 三 棒 锥 丁 一 4CD 的 体 积 .
三 、 填 空 题 ( 共 1 小 题 ,每小 题 5 分 , 共 5 分 )
16.(5 分 ) 已 知 长 方 体 A4BCD 一 4 BCLD 中 ,4B 万 2,4D = AA; 三 1, 则的 线 BDu 与 平 面
几何法求线面角、二面角及探索性问题-高考数学复习课件
3
1
由[例2]可知， PM ＝ ， MB ＝ ， S △ PAB ＝
3
2
2
2
3
1
又∵ PB ＝ 2 ＋2 ＝
＋
＝
3
2
S △ PAB ＝
2×
2 7
7
2×
2
3
1
2 7
＝ PB ·AE ，∴ AE ＝
，
6
2
7
−1
∴ cos
3
.
6
21
，
6
2 2 − 2
∠ BAC ＝90°，点 M ， N 分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证： MN ∥平面AA'C'C；
证明：如图，取 A ' B '的中点 E ，连接 ME ， NE .
因为 M ， N ， E 分别为A'B，B'C'和A'B'的中点，
所以 NE ∥A'C'， ME ∥AA'.
又A'C'⊂平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C， NE ⊄平面
如图所示，在正四棱锥 P － ABCD 中，取 AB 的中点为 H ，底面正方形的
中心为 O ，连接 OH ， PH .
因为 PH ⊥ AB ， OH ⊥ AB ，所以∠ PHO 为侧面与底面所成的角.
因为 PO 为高，所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥ OH ，
所以在Rt△ POH 中，又 OH ＝ ， PO ＝ a ，
∠ AEC ＝
线面角、面面角
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面 叫做二面角的面。
半
半
l 平
面
平 面
棱l
二面角的画法与记法
2、二面角的记法： 面1－棱－面2
l （1）、以直线 为棱，以
为半平面, 的二面角记为：
l
l
（2）、以直线AB 为棱，以
为半平, 面的二面角记为：
AB
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ， P1 B=1，PE
3
O
C
2
2
在Rt△POE中， OE ，2P2 O
1 2
∴ tan PEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
线段MN长6，M到平面β的距离是1，N到平面β的
距离是4，求MN与平面β所成角的余弦值。
16
基础练 习
二面角
1、如图，AB是圆的直径，PA垂直 P
圆所在的平面，C是圆上任一点，则二
面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A
B
2、已知P为二面角
内一点，且P到两个半 平面的距离都等于P到 棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？
60º
ι
β B
O
p
α A
的，并一且个方二向面角相的同平，面角那多么大这，两就说个这角
l
B
个二相（面等3角）。是平多面少角度是的直二角面的角二。面角叫做直
O
B
二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定为
（0,π）。
A
二面角的计算：
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M
O
B
A D
C
H
连DM，MN，DN，SC DN ，
连OM，则面DMN//面SAB，SM 面DMN，
又DM MN， MO DN，有DN SO ，
故SOM为面DMN与SDC所成二面角的平面角，
也是面SAB与面SDC所成二面角的大小。
1 SM 2 在RtSMO中， MOS t an 2 , MO 2 2 2
那么面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为
2 。 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
,
G
N
F
E
S
解法二：如图，将题所给几何体装入正方体，
分别取M，N为SE及GF中点
BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 D
C
O
y
B
解法二：
（1）
x A
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO，又因为∠ABC=450，故△AOB为等腰直 角三角形，AO⊥BO。 以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz.
BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 D 解法一： （1）
C
O
B
A
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面ABCD。 因为SA=SB，所以AO=BO，又因为∠ABC=450，， 故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线 定理得SA⊥BC。
2、掌握求线面角、面面角入手的关键和思路。
A
得SO 1, SD 11. 1 1 2 ABS的面积S1 AB SA ( AB) 2 2 2 2 1 连接DB， 得△DAB的面积 S 2 AB AD sin 135 0 2. 2
设D到平面SAB的距离为h 由VD-SAB
VS-ABD， 1 h S1 1 SO S 2 . 得
n SD 0 令n ( x, y, z)为面SCD 的法向量。 n SC 0
x y z 0
1 yz 0 2 取n (1,2,1), 2 6 , 令面SAB与面SCD 所成二面角大小为 ， cos | cos BC n | 3 6
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
A
B
E D 解法一： AB、CD共面， AD 1 BC，故 AB，CD相交，设其交点为 E 因
2
C
E CD，CD 面SCD ， E 面SCD ，同理E SAB，
连 那么E在面SCD、面SAB的交线上， SE ，侧面SCD 面SAB SE ，
那么面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为
2 。 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
,
S
N
A
B
解法三：
M
C
分别取BC及SB的中点M，N，连AM，MN， AN，则有MN//SC，MA//CD，故面AMN// 面SDC。 那么问题就转化为求面SAB问题与面AMN 所成二面角，棱为AN。
D
不找棱、不找角直接计算可以吗？
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。 提示1、如上图所示两个面，面SAB及面SDC所成二面角，若为
S
2
,
A
B
D
S ASB S SDC 其中面SDC在面SAB上射影为SAB，解三角形可求得 1 1 1 SC 6 S ABS SA AB SSDC SC CD 2 ( ) 2 2 2 2 2 4
3 3
h 2 22 设SD 与平面SAB所成角为，则ห้องสมุดไป่ตู้in . 解得h 2 , SD 11 11 22 arcsin 所以，直线SD与平面SAB所成的角为 11
例1、 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 z SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S
）
2 A, 2
1 B, 3
C,
D,
6 3
ABC - A1B1C1中，D、E分别为侧棱 1 , CC1上的点， BB 3、在底面边长为 a的正三棱柱
且EC=BC=2BD，则截面ADE与底面ABC所成的角为（
B
）
A、 30
0
B、 0 45
C、 0 60
D、 0 75
小结：
1、通过学习，熟练掌握应用定义法、向量法求线面角、 面面角的技巧和方法；
由题AE=AB=SA，SA⊥面ABCD，故SE⊥SB，面SEB⊥面EBC。
EB BC, CB 面SEB，SB 是SC 在面SEB内射影，
SE SC。
BSC 就是面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角。
在RtSBC中， BSC tan BC 1 2 , SB 2 2
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 解（2）、 SA (
C
O
B
n ( x, y, z)为面SAB的法向量。 令
2x z 0 2y z 0
2,0,1), SB (0, 2,1),
D
y
x
A
取n ( 2 , 2 ,2).
令SD 与面SAB所成角为。
D（ 2， 2 2， DS - 2， 2， 0）， （ 2 1 ）。 4 22 sin | cos SD n | . 2 2 11 11
所以，直线SD与平面SAB所成的角为 arcsin
22 11
S
1 例2、如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， SA⊥面ABCD, SA AB BC 1, AD ,
tan 2 . 2
练习:
选择题： 1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线BE 与PA所成角的余弦值等于（ D ）
A,
1 2
B,
2 2
2 C, 3
D,
3 3
2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（
C
3 3
C
,则应有cos
1 6 那么cos 2 3 6 4
2 即 tan 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。 提示2、使用向量法求解。 建立如图所示坐标
例1、
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。
C
O
B
D
解（2）：
由（1）知SA⊥BC，依题设 AD//BC，故SA⊥AD， AD BC 2 2, SA 3. AO 2 由
zS
B
D
2
,
x
C
A
1 S (0,0,1), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0, ,0) 2 1 BC (0,1,0), SC (1,1,1), SD (0, ,1), 2
y
BC AB, SA 面ABCD， BC SA
BC 面SAB。BC为面SAB的法向量。
A( 2,0,0), B(0, 2,0),C(0, 2,0), S (0,0,1).
SA ( 2,0,1),CB (0,2 2,0), SA CB 0,
所以SA⊥BC。
例1、 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， z S BC 2 2, SA SB 3.
二、线面角、面面角
教学目标：
1、回忆线面角、面面角定义； 2、会用定义法、向量法求线面角、面面角； 3、会灵活应用两种角解决实际问题。
教学重难点：
1、用定义法、向量法求线面角、面面角； 2、会灵活应用两种角解决实际问题。
典型例题剖析
例1、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S