线面角和面面角两个典型例题

二、线面角、面面角
教学目标：
1、回忆线面角、面面角定义； 2、会用定义法、向量法求线面角、面面角； 3、会灵活应用两种角解决实际问题。
教学重难点：
1、用定义法、向量法求线面角、面面角； 2、会灵活应用两种角解决实际问题。
典型例题剖析
例1、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S
2、掌握求线面角、面面角入手的关键和思路。
C
,则应有cos
1 6 那么cos 2 3 6 4
2 即 tan 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。 提示2、使用向量法求解。 建立如图所示坐标
D
不找棱、不找角直接计算可以吗？
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。 提示1、如上图所示两个面，面SAB及面SDC所成二面角，若为
S
2
,
A
B
D
S ASB S SDC 其中面SDC在面SAB上射影为SAB，解三角形可求得 1 1 1 SC 6 S ABS SA AB SSDC SC CD 2 ( ) 2 2 2 2 2 4
zS
B
D
2
,
x
C
A
1 S (0,0,1), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0, ,0) 2 1 BC (0,1,0), SC (1,1,1), SD (0, ,1), 2
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BC AB, SA 面ABCD， BC SA
BC 面SAB。BC为面SAB的法向量。
tan 2 . 2
练习:
选择题： 1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线BE 与PA所成角的余弦值等于（ D ）
A,
1 2
B,
2 2
2 C, 3
D,
3 3
2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（
C
3 3
3 3
h 2 22 设SD 与平面SAB所成角为，则sin . 解得h 2 , SD 11 11 22 arcsin 所以，直线SD与平面SAB所成的角为 11
例1、 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 z SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 解（2）、 SA (
C
O
B
n ( x, y, z)为面SAB的法向量。 令
2x z 0 2y z 0
2,0,1), SB (0, 2,1),
D
y
x
A
取n ( 2 , 2 ,2).
令SD 与面SAB所成角为。
例1、
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， S BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。
C
O
B
D
解（2）：
由（1）知SA⊥BC，依题设 AD//BC，故SA⊥AD， AD BC 2 2, SA 3. AO 2 由
BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC； （2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 D
C
O
y
B
解法二：
（1）
x A
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO，又因为∠ABC=450，故△AOB为等腰直 角三角形，AO⊥BO。 以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz.
由题AE=AB=SA，SA⊥面ABCD，故SE⊥SB，面SEB⊥面EBC。
EB BC, CB 面SEB，SB 是SC 在面SEB内射影，
SE SC。
BSC 就是面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角。
在RtSBC中， BSC tan BC 1 2 , SB 2 2
那么面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为
2 。 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
,
G
N

F
E
S
解法二：如图，将题所给几何体装入正方体，
分别取M，N为SE及GF中点
A
得SO 1, SD 11. 1 1 2 ABS的面积S1 AB SA ( AB) 2 2 2 2 1 连接DB， 得△DAB的面积 S 2 AB AD sin 135 0 2. 2
设D到平面SAB的距离为h 由VD-SAB
VS-ABD， 1 h S1 1 SO S 2 . 得
D（ 2， 2 2， DS - 2， 2， 0）， （ 2 1 ）。 4 22 sin | cos SD n | . 2 2 11 11
所以，直线SD与平面SAB所成的角为 arcsin
22 11
S
1 例2、如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， SA⊥面ABCD, SA AB BC 1, AD ,
A( 2,0,0), B(0, 2,0),C(0, 2,0), S (0,0,1).
SA ( 2,0,1),CB (0,2 2,0), SA CB 0,
所以SA⊥BC。
例1、 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧 面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=450，AB=2， z S BC 2 2, SA SB 3.
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
A
B
E D 解法一： AB、CD共面， AD 1 BC，故 AB，CD相交，设其交点为 E 因
2
C
E CD，CD 面SCD ， E 面SCD ，同理E SAB，
连 那么E在面SCD、面SAB的交线上， SE ，侧面SCD 面SAB SE ，
BC 2 2, SA SB 3.
（1）证明SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 D 解法一： （1）
C
O
B
A
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面ABCD。 因为SA=SB，所以AO=BO，又因为∠ABC=450，， 故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线 定理得SA⊥BC。
n SD 0 令n ( x, y, z)为面SCD 的法向量。 n SC 0
x y z 0
1 yz 0 2 取n (1,2,1), 2 6 , 令面SAB与面SCD 所成二面角大小为 ， cos | cos BC n | 3 6
那么面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为
2 。 2
例2、 如图几何体中，ABCD是直角梯形∠ABC=90°， 1
SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD
求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。
2
,
S
N
A
B
解法三：
M
C
分别取BC及SB的中点M，N，连AM，MN， AN，则有MN//SC，MA//CD，故面AMN// 面SDC。 那么问题就转化为求面SAB问题与面AMN 所成二面角，棱为AN。
）
2 A, 2
1 B, 3
C,
D,
6 3
ABC - A1B1C1中，D、E分别为侧棱 1 , CC1上的点， BB 3、在底面边长为 a的正三棱柱
且EC=BC=2BD，则截面ADE与底面ABC所成的角为（
B
）
A、 30
0
B、 0 45
C、 0 60
D、 0 75
小结：
1、通过学习，熟练掌握应用定义法、向量法求线面角、 面面角的技巧和方法；
M
O
B
A D
C
H
连DM，MN，DN，SC DN ，
连OM，则面DMN//面SAB，SM 面DMN，
又DM MN， MO DN，有DN SO ，
故SOM为面DMN与SDC所成二面角的平面角，
也是面SAB与面SDC所成二面角的大小。
1 SM 2 在RtSMO中， MOS t an 2 , MO 2 2 2