2016年上海市长宁区高三数学一模卷【附答案】

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上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷及答案

上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3．（4分）已知，则=．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣4．（4分）=．【解答】解：==，∴=，故答案为：．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+log a x，∴2=1+log a4，即a=4．故答案为：4．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=18．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{a n}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=﹣1+．【解答】解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1•a n，∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a1=1，∴a n≠0∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=2，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，T n=﹣1+，当n为奇数时，T n=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n=﹣1+，故答案为：﹣1+．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S=AB×BC=3×3=9，正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得，=（4n+1）S n+16n2﹣8n﹣3，∵，∴（4n﹣3）S n+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为b n=4b1+8n ﹣11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴b n=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，由4k n﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，k n=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，而当n≥2时，k n﹣k n﹣1即k n=k n﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ；（2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ．所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10．在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152．如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==．由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-．所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -．定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=．如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5．所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -．由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ．所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ．由43x BE =，得BE ＝34x ．由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--．当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3．综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3．由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)．将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--．（2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+．当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ．解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)．当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ．解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==．（1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点．因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ．所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ．由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ．因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ．因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ．所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -．（3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-．因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =．如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =．因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)．（2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4．根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --．点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4．作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --．由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==．所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值；（2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=．又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==．又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=．（2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2．当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ．所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ．（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1．由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ．由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=．所以122OC=．解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4．图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)．所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ．解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ．（2）如图3，作EH ⊥BC 于H ．在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ．所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ．因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△．所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5．定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)．在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ．由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=．又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3．（3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-．由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-．整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ．所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-．由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-．整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值；（2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ．所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13．（3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值；（2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=．又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ．定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△，所以2364EGFEF x S EB +=⨯△．由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ：如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=．于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ．又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值；（2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+．所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=．（1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ．因此2AH CAx PD CP===．所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ．又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -．定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3．由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)．代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))．由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+．解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°．当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似：如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5．（2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ．因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°．当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2．所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==．设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值；（2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上．所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ．因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ，所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3．所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34．图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ，所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ．如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-．所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ．所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）．此时BF ＝3，HF ＝1．作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =．在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)．将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+．（2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称．因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-．（3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ．如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ．所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+．作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++．整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ．所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ．解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+．顶点D 的坐标为8(1,)3．（2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++．作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ．由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

2016年上海市高三数学一模长宁及答案

上海市长宁区2016届高三一模数学试卷2015.12.21一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 不等式|3|5x -<的解集是； 2. 方程9320xx+-=的解是；3. 若复数z 满足210z z -+=，则||z = ；4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61420a a +=，则19S = ；5. 若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是； 6. 若函数()f x 是定义域在R 上对偶函数，在(,0]-∞上是单调递减的，且(1)0f =，则使()0f x <的x 的取值范围是；7. 设函数()y f x =的反函数是1()y f x -=，且函数()y f x =过点(2,1)P -，则1(1)f --=；8. 设常数0a >，24(ax+展开式中3x 的系数为32，则2l i m()nx a a a →∞+++= ；9. 某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有种；（以数字作答）10. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，11()3n n b b a -=-，其中a 、b 是实常数，若lim 3n x a →∞=，1lim 4n x b →∞=-，且a 、b 、c 成等差数列，则c 的值是；11. 已知函数2()21f x x x =++，如果使()f x kx ≤对任意实数(1,]x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k = ；12. 在△ABC 中，点M 满足0MA MB MC ++=，若0AB AC m A M ++=，则实数m 的值为；13. 设命题:p 函数21()lg()16f x ax x a =-+的值域为R ；命题:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，若命题p 和q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是；14. 定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)a b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 1x x θ++0<为对偶不等式，且(0,)θπ∈，则θ= ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 15. 已知集合{0,}P a =，{1,2}Q =，若PQ =∅，则a 等于（）A. 1B. 2C. 1或2D. 316. 已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k 等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9 17. 设点2(,1)2t P t+(0)t <是角α终边上一点，当||OP 最小时，cos α的值是（）A. B. C. D. 18. 关于函数()af x x x=-(0)a >，有下列四个命题：①()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增；④方程|()|f x a =总有四个不同的解；其中正确的是（）A . ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④三. 解答题（本大题共5题，共12+14+15+15+18=74分） 19. 关于x 的不等式201x a x+<的解集为(1,)b -；（1）求实数a 、b 的值；（2）若1z a bi =+，2cos sin z i αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值；20. 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，2AB AC ==，1AA =，E 、F 分别是1CC 、BC 的中点，求：（1）异面直线EF 和1A B 所成的角；（2）直三棱柱111ABC A B C -的体积；21. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a b =，(cos ,cos )n A B =，(22,2sin )2B Cp A +=，若m ∥n ，||3p =；（1）求角A 、B 、C 的值；（2）若[0,]2x π∈，求函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的最大值与最小值；22. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ；若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ；（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上的m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2xf x =，求实数m 的取值范围；23. 已知点111(,)P a b 、222(,)P a b 、…、(,)n n n P a b *()n N ∈都在函数1()2xy =的图像上；（1）若数列{}n a 是等差数列，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设n a n =*()n N ∈，过点n P 、1n P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n c ，试求最小的实数t ，使n c t ≤对一切正整数n 恒成立；（3）对（2）中的数列{}n a ，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入13k -个3，得到一个新的数列{}n d ，设n S 是数列{}n d 的前n 项和，试探究2016是否是数列{}n S 中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明；参考答案一. 填空题1. (2,8)-2. 0x =3. 14. 1905. 2425- 6. (1,1)- 7. 2 8. 1 9. 36 10. 14 11. 36512. 3- 13. (,0)(2,)-∞+∞ 14.23π二. 选择题15. D ； 16. B ； 17. D ； 18. C ；三. 解答题19.（1）1a =-，2b =；（2）12-； 20.（1）6π；（2）； 21.（1）3A B C π===；（2）max ()1f x =，min 1()2f x =；22.（1）1a <；（2）2m ≥； 23.（1）略；（2）min 98t =；（3）不是；。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考数学(理)试卷(WORD版,含解析)--含答案

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________．10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．12．已知各项均为正数的数列}{n a23n n =+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ，函数xax x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“0sin =α”是“1cos =α”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则 ||c r的最大值是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（）．（A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15( 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．A B CA 1B 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点，直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点．（1）若AB PA =，求k 的值；（2）求证：BFO AFP ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分）所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分）（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分）故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分）因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k 。

上海市长宁区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)

长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷 .12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为（结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集：（1）|23|5x -<；（2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值；（2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值；（3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分（2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ，所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=，即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ，所以 B A 22= 或 π=+B A 22，即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分（2）由()2()3g x g π≤，得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增，所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ，由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤，由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分其它做法，对应给分。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2016届高三4月(四区)联考数学(理)试卷扫描版含解析

2016年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥ {}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =-.故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为1i 1z z -=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a -=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C 3(1)32lim 42(1)(1)2(1)22n n n n n n n n n n n n n n n→++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以sin 2θ=tan θ=22tan tan21tan θθθ==-7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-，故答案为(,2][0,2]-∞-.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】24y x = 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将1,15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2(1)2(1)1-+-=，解得t =-将t =2-①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos )4y θθθ=+=+≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1). 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5 【试题分析】1(2)nx x +的展开式中第m 项为的系数11C 2m n m m n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5. 11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】65+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以BD =DO =,所以PO,22PAD S ==△, 122PDB S =△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故E ξ==第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】226n n +2+3n n =…①4=，当2n ≥时，2(1)+3(1)n n =--…②，①-②22n =+，所以2(22)n a n =+,116a =也适合此式，所以2(22)n a n =+，2(22)4(1)11n a n n n n +==+++，所以数列{}1n a n +是首项为182a =，公差为4的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+… (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +. 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】6+【试题分析】如图，设000(,)a M x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a a MN a x x =--3|2a -≤3=(2a -，当且仅当002a a x x =，即0[1,2]x 时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(12a -≤，6a +≤所以a的最大值为6+为6+第14题图 cna2 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥且||||1a b ==，那么||2a b +=，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅=，即||2c o s c α=，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像.【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.第18题图 cna3 三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），(0,2,0)CB =是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n = ，则有 10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n ， …………………………………………10分设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅， …………………11分由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. （2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分（2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=，所以，3=ac ， …………………………11分又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x xa -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ，所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分因为PA AB =，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k . …………………………………………9分所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以1211||||322ABF PBF PAF S S S PF x x ∆∆=-=⋅-=⋅△ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k故21818163163ABF t S t t t ===++△4=当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

年长宁区高考模拟数学试卷（答案）

高三数学参考答案：一、（理）1、),1(]2,(+∞⋃--∞； 2、5； 3、（1，1）； 4、43； 5、11； 6、215； 7、169； 8、1； 9、4)1(22=+-y x ；10、①③；11、22)(,12)(2221-+=++-=x x x f x x x f ；（答案不唯一）。

12、),2(,0)1(221100N n n a C a C a C a C n nn n n n n ∈≥=-+++-（文）1、),1(]2,(+∞⋃--∞； 2、5； 3、（1，1）； 4、15； 5、3； 6、215； 7、169； 8、1； 9、4)1(22=+-y x ；10、①②③④；11、①③； 12、22)(,12)(2221-+=++-=x x x f x x x f ；（答案不唯一）。

二、（理）CBCA （文）CCBA17．a ·b =cos2α+sin α (2sin α —1)=2cos 2α一1+2sin 2α一sin α=1—sin α 5分由52·=b a ，得53sin =α 7分),,2(ππα∈ ∴541cos sin 2-=--=αα 9分 ∴ 10275322)54(22sin 22cos 22)4cos(-=⨯---⨯=-=+ααπα 12分 18．（1）连接11C A ，由条件得1111D C B A 为正方形，因此1111C A D B ⊥，又⊥1AA 平面1111D C B A ，所以111D B AA ⊥，因此⊥11D B 平面11C AA ，所以111D B AC ⊥。

4分同理可证：E B AC 11⊥。

6分所以⊥1AC 平面EB 1D 1. 7分（本题可直接用三垂线定理证明，也可以用建立空间直角坐标系证明，请对照给分）（2）（理）取B 1D 1中点O ，连C 1O ，EO. 显然11111,D B EO D B O C ⊥⊥，因此OE C 1∠为二面角E —B 1D 1—C 1的平面角. 9分可求.2221tan ,90,21,22111111===∠∴︒=∠==O C E C OE C O EC E C O C 又 12分（若用建立空间直角坐标系，利用向量计算二面角，请对照给分）（文）E D C B E D B C V V 111111--=，8分由,2,1,11111==⊥B B C B BC E BB BC B EC 1111∆≈∆，可求出211=EC ， 10分又1111D EC C B 平面⊥，所以12112112131311111111=⋅⋅⋅⋅=⋅=∆-C B S V E D C E D C B 。

上海市长宁区、嘉定区高三数学一模试卷 Word版含解析

2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y ＞0时，f （y ）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f （y ）min =3；当y ＜0时，f （y ）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y ）max =﹣3，f （y ）min 不存在；综上所述，f （y ）min =3．所以，asinx +1﹣sin 2x ≤3，即asinx ﹣sin 2x ≤2恒成立．①若sinx ＞0，a ≤sinx +恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t +（0＜t ≤1），则a ≤g （t ）min ．由于g′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t +在区间（0，1]上单调递减，因此，g （t ）min =g （1）=3，所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx +恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ；综合①②③，﹣3≤a ≤3．故选：D ．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．解得，∴．（II）由．又．由．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n﹣a n是一个定值；+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证﹣a n为定值．明a n+2（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．2017年4月18日。

2016上海长宁区高三调研有答案(数学)

长宁区第一学期高三数学检测试题姓名：_________班级：________ 得分：________一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．1、已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是．2、若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是．3、（理）函数x a y π2sin =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

（文）函数x a y π2cos =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

4、若71(2)x x-的二项展开式中的第5项的系数是（用数字表示）。

5、已知α为第三象限的角，53cos -=α,则)4tan(απ+= .6、不等式093114212≥-x x 的解集为_______________。

7、给出下面4个命题:(1)x y tan =在第一象限是增函数；(2)奇函数的图象一定过原点； (3)f -1(x)是f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点必在直线y=x 上； (4)"a>b>1"是"log a b<2"的充分但不必要条件.其中正确的命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ．9、无穷等比数列{}n a 中，公比为q ，且所有项的和为231a 的范围是_________10、设函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 .11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是．12、（理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .（文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若0120=∠A ，且4AC AB ⋅=- 则ABC ∆的面积等于 .13、（理）已知函数f (x )=x 2＋2︱x ︱－15，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[－15,0]，则满足条件的整数对),(b a 有对．（文）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数),0(,sin 2sin )(π∈+=x xx x f 的“下确界”为____。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考数学(理)试卷含解析

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科) 2016。

04。

（满分150分，考试时间120分钟)考生注意：1．本试卷共4页,23道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分． 1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ,},034{2R ∈≥+-=x x x x B ,则A B =_________．2．已知i 为虚数单位,复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x ax f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算:=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内,直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周,所得几何体的体积为___________．6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________．7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时,42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________． 10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m项的系数为mb ,若432b b=,则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积,则其数学期望=ξE _________． 12．已知各项均为正数的数列}{na满足23n a n n +=+（*N ∈n ），则12231na a a n +++=+___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分,答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ,函数x a x x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ,设M 是函数)(x f 图像上任意一点,过M 作垂直于x 轴的直线l ,且l 与线段AB 交于点N ,若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题(本大题共有4题,满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ )．(A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ;(B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C)直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π;（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α,则1l ∥2l .17．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值是（ )．(A ）1 （B ）2 (C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ,3x ,4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===,其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（ )．（A))96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15(三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分,第2小题满分7分．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1)求证：⊥BC 平面11A ACC ；(2）求二面角11C CD B --的大小(结果用反三角函数值表示)．20．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f (0>ω，R ∈x ）,且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式； (2）在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ,且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．ABC A 1 B 1C 1 D定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．(1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数x xa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点,直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点,与y 轴交于P 点．（1)若AB PA =，求k 的值; （2)求证：BFO AFP ∠=∠;(3)求△ABF 面积的最大值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足:对任意*N ∈n ,都有n a ，n b ,1+n a 成等差数列，nb ，1+n a ,1+n b 成等比数列，且101=a，152=a ．(1)求证：数列{}nb 是等差数列；(2)求数列}{na ，}{nb 的通项公式；（3）设12111nnSa a a =+++，如果对任意*N ∈n ，不等式nn na b aS-<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．23 5．32π6．37．]2,0[]2,( --∞ 8．x y42=9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n622+13．{48，51，54，57，60｝ 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1)因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥,（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ,所以BC CC ⊥1，………………………………………（4分）所以,⊥BC 平面11A ACC ．……………………………………………………（5分）(2）以C 为原点，直线CA ，CB ,1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ,)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)2,0,0(1C ,)2,2,0(1B ,)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ,设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =,则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ,2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分)设CB 与n的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以,二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．(1)16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ，………………（3分)又π=T ,所以，2=ω, ………………………………………………（5分）所以,162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ．…………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ,所以,6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B (Z ∈k )，因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分)又4=+c a ，所以,1022=+c a ,所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以,7=a ． …………………………………（8分）21．(1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………(2分) 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分)(2)因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ,所以,34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ), ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144(]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）,………………………（5分）令t tt h --=24)(,则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数,所以2141)(max -=⎪⎭⎫⎝⎛=g t h ；(6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………(8分）22。