2019中级经济师人力资源管理专业知识与实务试题共41页PPT资料

2.1.2 换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
例10 求 (1x12)ex1xdx.
解

x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1)ex1x C.
x
例11
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx 1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
因此该定理的意义就在于把
f(u)d uF (u)C中的 u 换成另一个
x的可微函数 (x) 后，式子仍成立
——又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。
②由定理可见，虽然 f[(x)](x)dx
是一整体记号，但可把 dx视为自变量微分
(x ) d x d(x )——凑微分
coxt 1 C. sin x
或
1c1oxsdx2c1o2sxdx

tanx 2

C
2
例13 求 si2nxco5x s d.x
解 si2nxco5x s d xsi2x n c4 o xs (d sx i)n s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in (s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
1 1x2(1 1x)2C.
例5
1 dx(a0)
a2x2
解
1 dx
1 dx
1 d(x)
a2x2
a 1x2
arcsixnC
a
1


x a
2
a
a
例6 求
a2
1
x2dx.
解

a2
1
x2dx

11
a

1

x a
11
sixn 1co xd(ssx i n co x)s
lnx ( c sx o i ) n C s
acoxsbsin xdx (A2B20) AcoxsBsin x
A acco ox xss bBssiin xn xdx M ( A cx o B A s c sx i x ) o n N B s ( A s c x ix n o B s sx i ) d nx
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
1six n1si5n xC. 2 10
例15 求cscxdx.
解（一）
cscxdx

1 sinx
dx

1 2sinxcosx
dx
22


1 tan2xcos2x2
d
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
证 设 (t)为f[(t) ](t)的原函数,
令F(x) [(x)]
则 F(x)d dtf[(t) ](t) 1 ,
dt dx
(t )
f[(t)]f(x).
说 明 F ( x ) 为 f ( x ) 的 原 函 数 ,
2x


1 tanx
2
d
Hale Waihona Puke Baidu
tanx 2

ln tan x C lncsxccoxtC.
2
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
cscxdx

1 sinx
dx

sinx
sin2
dx x
1c1o2x sd(cox)s u cx os
11u2 du1211u11udu
f(x )d x F (x ) C [(x) ]C,

f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
第二类积分换元公式
例19 求
1 dx(a0). x2a2
解
令
xatat nd xase 2tc dtt
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
例2
求

3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (32x),
例8
求
x2
1 dx. 8x25
解

x2
81x25dx(x41)2
dx 9

1 32


x
3
1 42


1dx13

1
x42
3

1dx34
1arcx ta 4nC.
3
3
例9
求
1 1 exdx.
解

1
1 e
x dx
11exexexdx
例16 设 f(s2ixn )co 2x,s求 f (x).
解 令 usi2nxco 2x s1u ,
f(u)1u,
f(u)1uduu12u2 C,
f(x)x1x2C. 2
例17 scionxxscsoinxxsdx
解（一） 分子分母同乘以 co x sixn
一、第一类换元法（凑微分法）
问题
cos2xdx
1sin2xC, 2
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
[1si2nxC]co2x s 说明结果正确
2
将上例的解法一般化：
作业：P78 [2.2] (2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35)
二、第二类换元法 问题 x5 1x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
——换元法积分公式
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法）
注 ① 定理说明：若已知 f(u)d uF (u)C
则 f[(x )] (x ) d F x [(x ) ] C
1si3x n 2 si5x n 1si7x n C . 357
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例14 求 co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
lncsxccox tClncsxccoxtC
类似地可推出 se xc d ln s xe x c ta x n C .
sexcdxc1oxsdxsinx1()d(x2)

2
ln[x c)s c co ( x t)( ]C
2
2
lnsexctaxnC
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f(x)dx
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同
步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量
例1 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
例12 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx
s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
1 212 1ln xd(12ln x)
u 1 2 lx n

1 2

1 du u
1lnuC1ln12lnxC.
2
2
例4
求
x (1 x)3dx.
解

x (1 x)3dx


(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
scionxxscsoinxxsdx 1cosi2snx2xdx
1 2 se 2 xc (2 d x ) 1 2 c s2 i2 o x x n d ( s 2 x )
1[lsn e2xc ta2x nln co 2x]sC 2
1ln1sin2xC 2
lncoxssixnC
a22d1axax2 2a1dax rctaaxnC.

例7
1 a2 x2dx
解
a2
1
x2dx
(ax)1(ax)dx
21a[a 1xa 1x]dx
1[l|a n x|ln |ax|]C 2a
1ln|ax|C 2a ax
注意：拆项是常用的技巧
1ln1u C 1ln1cosx C.
2 1u
2 1cosx
解（三）cscxdx cscx(csx cc x sc ccoxo tx)tdx
cc s2x csx c ccsxoc xctoxdt x cs x 1 cco xd(tcxsc co x)t
M a A 2 A b B 2B ,Na A 2 B b B 2A
A acco ox xss bBssiin xn xdx
M N xln A co x B ssixn C
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要 熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公 式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的 微分因子。
32x 232x

3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx

1 2

一般地
例3 求
u1dfu(a11x2lnb)uddx Cx.a1 [12lfn(u 3)d2u ]xuax Cb.
x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
d [( F x ) ] f [( x ) ( ] x ) dx
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
[ f(u )d]u u (x)
解（二） 分子分母和差化积
scionxxscsoinxxsdx


cosxcos( x)
cos(

x)
2 dx cosx
2
sin( x )


cos(
x

4

dx )
ln|coxs()|C
4
4
解（三） 分子恰为分母的导数
scionxxscsoinxxsdx (ssiixn xn ccooxxss)dx
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果）
定理2 设 x (t)是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ，
并且(t)0，又 设 f[(t) ](t)具 有 原 函 数 ，
则有换元公式

f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)