等差数列的讲义

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等差数列及其前n项和讲义

等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d 2n 2＋)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) 题组二：教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三：易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．三、典型例题题型一：等差数列基本量的运算1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97思维升华：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二：等差数列的判定与证明典例已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究：本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．思维升华：等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．题型三：等差数列性质的应用命题点1：等差数列项的性质典例已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2：等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________. 思维升华：等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．四、反馈练习1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．254．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－105．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．66．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 0337．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.16．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________．。

等差数列及其前n项和讲义

等差数列及其前n项和讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列及其前n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的．．．．．．．．．．．．．．．差等于同一个常数．．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

利用：“1+n a －n a ＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。

注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ：d ＝1+n a －n a ＝n a －1-n a (n ≥2)；（4）当d ＝0时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。

（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是n a ＝．1a ＋．(n ．．－．1)．．d ，或者通项公式的变形：n a ＝．m a ＋．(n ．．－．m)．．d 。

（三）、等差中项：（1）由三个数．．．．a ，．A ．，．b ．组成的等差数列，．．．．．．．．A ．叫做．．a 和．b ．的等差中项．．．．．，．则．2A ．．＝．a ＋．b ．；．（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2n a ＝1-n a ＋1+n a 。

（3）特别地：在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B ＝600。

例1：已知数列{n a }为等差数列3a ＝54，7a ＝－74，则15a ＝____________。

【基本量法】【解析】－314.变式练习1：若等差数列{n a }的公差d ≠0，且1a ，2a 是关于x 的方程x 2－3a x ＋4a ＝0的两根，求数列{n a }的通项公式。

第30讲等差数列的概念及性质(讲义练习)(解析版)

第30讲等差数列的概念及性质知识点概要1．等差数列的概念一般地，如果数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d ，即a n ＋1－a n ＝d 恒成立，则称{a n }为等差数列，其中d 称为等差数列的公差．拓展：等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式及其推广若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .该式可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d (其中n ，m ∈N ＋)．思考：等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 是什么函数模型？ [答案] d ≠0时，一次函数；d ＝0时，常数函数． 3．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列； (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 4．等差中项如果x ，A ，y 是等差数列，那么称A 为x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？ [答案] 是． 5．等差数列的性质{a n }是公差为d 的等差数列，若正整数s ，t ，p ，q 满足s ＋t ＝p ＋q ，则a s ＋a t ＝a p ＋a q . ①特别地，当p ＋q ＝2s (p ，q ，s ∈N ＋)时，a p ＋a q ＝2a s .②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….思考2：在等差数列{a n }中，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)成立吗？2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n >k >0)是否成立？[答案] 令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋1，q ＝n －1，可知2a n ＝a n ＋1＋a n －1成立；令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋k ，q ＝n －k ，可知2a n ＝a n ＋k ＋a n －k 也成立．拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)若{a n }是公差为d 的等差数列，则①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N ＋)是公差为2d 的等差数列．(3)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．(4){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列； d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．精选同步练习一、填空题1．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____. 【答案】-21 【分析】设这三个数为a d -，a ，a d +，依题意得到方程组，解得,a b ，即可得到这三个数，从而得解；【解析】解：设这三个数为a d -，a ，a d +，则2229()()59a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩，，解得34a d =⎧⎨=⎩或34a d =⎧⎨=-⎩∴这三个数为1-，3，7或7，3，1-. ∴它们的积为21-故答案为：21-2．在等差数列{}n a 中，1018a =，3078a =，则25a =______．【答案】63 【分析】应用等差数列的性质：()m na a d m n m n-=≠-以及通项公式，即得解由等差数列的性质，可知公差301078183301020a a d --===-，所以()251025101815363a a d =+-=+⨯=．故答案为：633．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________. 【答案】18 【分析】由题意，a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )转化为二次函数的最大值，即得解【解析】设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18. 故答案为：184．已知b 是a ，c 的等差中项，且a b c >>，若()lg 1a +，()lg 1b -，()lg 1c -成等差数列，15a b c ++=，则a 的值为______．【答案】7 【分析】根据等差中项的性质列出方程组，解方程组即可求出结果. 【解析】由题意，知()()()22lg 1lg 1lg 115b a cb ac a b c a b c=+⎧⎪-=++-⎪⎨++=⎪⎪>>⎩，解得753a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：7.5．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________. 【答案】2n n +## 【分析】由题中数表知，第n 行中的项满足a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，由等差数列的通项公式即得解由题中数表知，第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n . 故答案为：n 2＋n6．在等差数列5-，132-，2-，12-，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{}n a ，则新数列的通项公式为n a =________．【答案】32344n -【分析】根据首项和第三项构造方程求得新等差数列的公差d ，利用等差数列通项公式可得结果. 【解析】设{}n a 的公差为d ，则()732522d =---=，解得：34d =，{}n a ∴是以5-为首项，34为公差的等差数列，()332351444n a n n ∴=-+-=-. 故答案为：32344n -.7．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝22nn a a +(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【答案】2n【分析】根据题意可判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求出通项公式.【解析】 ∵a n ＋1＝22n n a a +，a 1＝2，∴a n ≠0，∴11n a +＝1n a ＋12，即11n a +－1n a ＝12，又a 1＝2，则11a ＝12， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列．∴1n a ＝11a ＋(n －1)×12＝2n ，∴a n ＝2n.故答案为：2n.8．已知数列{}n a 为等差数列，公差()0d d ≠，且满足344651222024a a a a a a d ++=，则6511a a -=___________. 【答案】1506- 【分析】利用等差数列的基本量法化简得出56506a a d =，进而可求得6511a a -的值. 【解析】()()()()34465124444442228a a a a a a a d a a a d a d a d ++=-+++++()()()22224444445641284324242024a a d d a a d d a d a d a a d =++=++=++==，所以，56506a a d =，因此，566556111506506a a d a a a a d ---===-. 故答案为：1506-. 9．已知数列{}n a 中，135a =，()()111n n na n a n n +=+++，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】225n a n n =-【分析】将()()111n n na n a n n +=+++两边同时除以()1n n +，进而化为111n na a n n+-=+，然后结合等差数列的定义得到答案. 【解析】由题意，可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+．又135a =，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1315a =为首项，为1公差的等差数列，∴()32155n a n n n =+-=-，∴225n a n n =-．故答案为：225n a n n =-.10．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()*12211++=+∈n n n n N a a a ，则该数列的通项为__________．【答案】1n a n= 【分析】由题设知1{}na 是等差数列，根据等差数列通项公式有1n n a ，即可写出{}n a 的通项.【解析】 ∵()*12211++=+∈n n n n N a a a ， ∴数列1{}n a 是等差数列，又21111a a -=且111a ，∴11(1)n n n a =+-=，故1n a n=．故答案为：1n a n=. 11．已知数列{}n a 满足12123371,2,3,,N n n n na a a a a a n a *++++====∈，下列说法正确的是________． ①49a =；②N ,n n a ∀*∈都是整数； ③21221,,k k k a a a -+成等差数列；④21N ,N ,n n n k n a a ka ∃∀**++∈∈+=．【答案】②③ 【分析】根据12123371,2,3,,N n n n n a a a a a a n a *++++====∈，直接求得4a ，由递推公式1237n n n na a a a ++++=得()()22413n n n n n n a a a a a a +++++++=，令21n n n n a a b a +++=，则有2n n b b +=，从而的出数列{}n b 的通项，从而可判断②③④的对错. 【解析】解：2341713a a a a ⋅+==，故①错误；因为1237n n n na a a a ++++=，即3127n n n n a a a a +++-= 则41237n n n n a a a a ++++=-，两式相减得：()()32124n n n n n n a a a a a a ++++++=+，所以()()22413n n n n n n a a a a a a +++++++=，令21n n n n a a b a +++=，则有2n n b b +=，又13122a a b a +==，24235a a b a +==，所以2,21,5,2,n n k k N b n k k N ++=-∈⎧=⎨=∈⎩，所以21n n n n a b a a ++=⋅-，又因1231,2,3a a a ===均为整数，所以N ,n n a ∀*∈都是整数，故②正确；当n 为奇数时，则1n +为偶数，2n +为奇数， 212n n n a a a +++=，即212n n n a a a +++=，即212122k k k a a a -++=，所以21221,,k k k a a a -+成等差数列，故③正确；因为2,21,5,2,n n k k N b n k k N ++=-∈⎧=⎨=∈⎩，所以当n 为奇数时，212n n n a a a +++=，所以当n 为偶数时，215n n n a a a +++=，故④错误. 故答案为：②③.12．有一列向量{}{}{}1112222:(,),:(,),,:(,)n n n n n a a x y a a x y a a x y ===，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}na ，满足13(20,13),(18,15)a a =-=-，那么这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n =_______【答案】4或5 【分析】由题意结合等差向量列的定义首先确定向量{}n a 的坐标表示，然后求解向量的模即可确定最小的向量的序号. 【解析】由题意可得：()()()3118,1520,132,2a a -=---=，则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：()1,1，结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：()201121n x n n =-+-⨯=-，()131112n y n n =+-⨯=+，即：()21,12n a n n =-+，这列向量{}n a 的模：(n a n =考查二次函数()2218585f x x x =-+，当18942x ==时，二次函数有最小值，则这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n =4或5. 故答案为：4或5．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、单选题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，且15919a a a ++=，则3711a a a ++=（） A ．21 B ．25C ．31D ．35【答案】C 【分析】由题意可得出37111596d a a a a a a ++=+++，即可求得结果. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2d =，则()37111591592226196231a a a a d a d a d a a a d ++=+++++=+++=+⨯=，故选：C.14．在等差数列{}n a 中，已知113a =，45163a a +=，33k a =，则k =（）A ．50B ．49C ．48D ．47【答案】A 【分析】求出等差数列{}n a 的公差d 的值，利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得k 的值. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45121627733a a a d d +=+=+=，解得23d =，所以，()()121121133333k k k a a k d --=+-=+==，解得50k =. 故选：A.15．已知数列{}n a ，32a =，71a =，若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则11a =（）A ．12B ．23C ．1D ．2【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得11a 的值. 【解析】由于数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则7311211111a a a =++++，所以，117312121211111213a a a =-=-=+++++，解得1112=a .故选：A.16．已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--【答案】B 【分析】依题意，对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，即611n a a ≥，利用数列{}n a 的单调性可得670,0a a <>，即可求解.【解析】由已知111n n n na b a a +==+，对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，即61111n a a +≥+，即611n a a ≥，又数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1n a a n ∴=+-，且{}n a 是单调递增数列，当n →+∞时，10na →， 670,0a a ∴<>，即5060a a +<⎧⎨+>⎩，解得65a -<<-.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得到670,0a a <>.17．数列{}n a 中，115a =，()*1332+=-∈n n a a n N ，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（） A ．2122,a a B ．2223,a aC ．2324,a aD ．2425,a a【答案】C 【分析】由数列中项的递推关系可得4723n n a -=，由相邻两项积为负有(452)(472)09n n --<，即可得n 的值，进而确定符合条件的相邻两项. 【解析】123n n a a +-=-，则247215(1)33-⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭n na n ．要使10n n a a +<，即(452)(472)09n n --<，可得454722n <<，*n N ∈，∴n =23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是23a 和24a ，故选：C18．已知各项均大于1的数列{}n a 满足()1 2.71828a e e =≈，{}n a 中任意相邻两项具有差为2的关系.记n a 的所有可能值构成的集合为n A ，n A 中所有元素之和为n S ，*N n ∈，下列四个结论：①2A 为单元素集； ②6312S e =+； ③2212n n S S n --=；④若将23n A +中所有元素按照从小到大的顺序排列得到数列{}n b ，则{}n b 是等差数列. 其中所有正确结论的编号为（） A ．①② B ．①③C ．①③④D ．②③④【答案】C 【分析】由各项均大于1且{}n a 中任意相邻两项具有差为2的关系，分别列举出数列{}n a 的前几项，并由n a 的所有可能值构成的集合为n A ，n A 中所有元素之和为n S ，*N n ∈分别检验得出答案．【解析】由题意12345678121481046810,2,,,4,6,,,24622e e e e e e e e a e a e a a a e a e a a e e e e e e e e ++⎧⎧++⎧⎧⎪⎪++++⎧⎧⎪⎪⎪⎪==+===+=+==⎨⎨⎨⎨⎨⎨+++⎩⎩⎪⎪⎪⎪+⎩⎩⎪⎪+⎩⎩①2a 的所有可能值构成的集合为{}22A e =+为单元素集，正确；②6A 中所有元素之和为61062318e e e e S =+++++=+，错误；③由归纳关系，2n S 和21n S -都有n 个数，且从小到大排列对应相减均为2，故2212n n S S n --=，正确；④23n A +为23n a +可能值构成的集合，从小到大排列为以e 为首项，公差为4的等差数列，正确；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查归纳推理，考查数列的应用，解决本题的关键点是归纳出数列的前几项，并得到2n S 和21n S -都有n 个数，且从小到大排列对应相减均为2，以及每项的可能值构成的集合，从小到大排列为公差为4的等差数列，结合题目得出选项，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题19．已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.（1）求{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .【答案】（1）a n ＝5n －25(n ∈N ＋)；（2）10n －30(n ∈N ＋).【分析】（1）结合等差数列的通项公式的公式求出首项和公差，进而求出结果；（2）结合（1）的结果，将2n －1代入即可求出结果.【解析】（1）设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得1155295a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴1205a d =-⎧⎨=⎩， ∴a n ＝5n －25(n ∈N ＋)．（2）由（1）知，a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，∴b n ＝10n －30(n ∈N ＋)．20．已知等差数列{}n a 中，112220,86a a ==.（1）求数列{}n a 的公差d 和1a ；（2）满足10150n a <<的共有几项.【答案】（1）1406a d =-⎧⎨=⎩；（2）23. 【分析】（1）用基本量1a ，d 表示题设条件，联立即得解；（2）写出{}n a 通项公式646n a n =-，解不等式，结合n 为整数，即得解.【解析】（1）设首项为1a ，公差为d ，由已知得111020,2186.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解方程组，得140,6.a d =-⎧⎨=⎩ （2）由（1）知140,6.a d =-⎧⎨=⎩1(1)40(1)6646n a a n d n n ∴=+-=-+-⋅=-由10150n a <<，又646n a n =-，10646150n ∴<-<.解不等式，得289833n <<，取整数共有23项.21．已知f (x )＝22x x +，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，试说明数列{1n x }是等差数列，并求x 95的值．【答案】说明见解析，x 95＝150. 【分析】首先利用递推关系，变形求得1n x －11n x -＝12(n ≥2)，根据数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求通项公式，即可求得95x .【解析】因为当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)，所以x n ＝1122n n x x --+(n ≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n ≥2)，得1122n n n n x x x x ---＝1(n ≥2)，即1n x －11n x -＝12(n ≥2)．又11x ＝3，所以数列{1nx }是以3为首项，12为公差的等差数列，所以1n x ＝3＋(n －1)×12＝52n +，所以x n ＝25n +，所以x 95＝2955+＝150.22．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请你根据提供的信息回答问题．（1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；（2）到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．【答案】（1）第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只；（2）缩小了，理由见解析.【分析】从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，由图易得通项公式,n n a b ，从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .（1）计算2c 即得；（2）计算6c 与1c 比较可得．【解析】由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .（1）由a 1＝1，a 6＝2，得1111,52,a a d =⎧⎨+=⎩∴111,0.2,a d =⎧⎨=⎩得a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得11230,510,b b d =⎧⎨+=⎩∴1230,4,b d =⎧⎨=-⎩得b 2＝26. ∴c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．（2）∵c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． 23．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝22n n a a +. （1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？说明理由．（2）求a n .【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）a n ＝2n.【分析】（1）由已知得11n a +－1n a ＝12，根据等差数列的定义可得证；（2）根据等差数列的通项公式可求得答案.【解析】解：（1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝22n n a a +，∴11n a +＝22n na a +＝12＋1n a ，∴11n a +－1n a ＝12，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为11a ＝12，公差为d ＝12的等差数列．（2）由（1）可知，1n a ＝11a ＋(n －1)d ＝2n ，∴a n ＝2n. 24．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝112n n a a ++(n ∈N *)．（1）求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）a n ＝1n n +. 【分析】（1）由已知求得a n ＋1＝12na -，然后由等差数列的定义作差可证；（2）利用（1）的结论先求出11n a -，然后可得结论. 【解析】（1）证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝112n n a a ++，所以a n ＋1＝12n a -，所以111n a +-－11n a -＝1112n a --－11n a -＝211n n a a ---＝－1. 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为111a -＝－2，公差为－1的等差数列．（2）由（1）知11n a -＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)，所以a n －1＝－11n +，即a n ＝1n n +. 25．已知数列{a n }满足a 1a 2…a n ＝1-a n ．（1）求证数列{11n a -}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设T n ＝a 1a 2……a n ，b n ＝a n 2T n 2，证明：b 1+b 2+…+b n ＜25．【答案】（1）证明见解析，a n ＝1n n +；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题设得112n na a +=-，进而构造11n a -与111n a +-的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求a 1，即可得a n ；（2）由（1）求得T n 与b n ，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．【解析】（1）∵a 1a 2…a n ＝1-a n ①，则a 1a 2…a n +1＝1-a n +1②， ∴两式相除得：1111n n n a a a ++-=-，整理得112n n a a +=-， ∴1111122n n n n a a a a +--=-=--，则12111111n n n n a a a a +-==----， ∴111111n n a a +-=---，又n ＝1时有a 1＝1-a 1，解得：112a =， ∴1121a =--， ∴数列{11n a -}是以2-为首项，1-为公差的等差数列， ∴12(1)11n n n a =---=---，即1n n a n =+. （2）由（1）得：T n ＝a 1a 2...a n ＝121 (2311)n n n ⨯⨯⨯=++， ∴b n ＝2222221111()()()1351121(2)(2)()()22n n n n n n n n n n n ⨯==<<=+++++++++1135()()22n n -++， ∴b 1+b 2+...+b n ＜222222222 (577923255255)n n n -+-++-=-<+++，得证． 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，N n *∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0(N )n n a a n *≥∈，求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，()N n n b n λ*=∈，求λ的取值范围，使得对任意m ，*N n ∈，0n a ≠，且1,66mn a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）65n a n =-；（2）证明见解析；（3）1(,0)4-.【分析】（1）由题知{}n a 是等差数列，即求；（2）由题得{}2n n a b -为常数列，可证；（3）由()N n n b n λ*=∈可得2nn a λλ=+，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值为2220a λλ=+<，最小值为13a λ=，结合条件即得.【解析】（1）因为112()n n n n a a b b ++-=-，35n b n =+，所以112()2(3835)6n n n n a a b b n n ++-=-=+--=，所以{}n a 是等差数列，首项为11a =，公差为6， ∴65n a n =-.（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项.（3）因为n n b λ=，所以()112n nn n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()11222223n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2n λλ=+.当1n =时，13a λ=，符合上式.所以2nn a λλ=+.因为130a λ=<，且对任意*N n ∈，11(,6)6na a ∈，故0n a <，特别地2220a λλ=+<，于是1(,0)2λ∈-，此时对任意*N n ∈，0n a ≠，当102λ-<<时，222||n n a λλλ=+>，21212||n n a λλλ--=-+<，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值为2220a λλ=+<，最小值为13a λ=，∴m n a a 的最大值及最小值分别是12321a a λ=+及21213a a λ+=，由21136λ+>及3621λ<+，解得104，综上所述，λ的取值范围是1(,0)4-.。

《等差数列的概念》课件

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等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方法。而等差数列可以用来表示数据的组距和分组范围。例如，将一组数据分成若干组，每组的组距相等，就可以用等差数列来表示各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析

等差数列课件ppt课件

等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中，首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差，n 是项数。这个公式可以帮助我们快速计算出等差数列中的任意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？

2022届高考数学一轮复习讲义__62_等差数列及其前n项和

2022届高考数学一轮复习讲义__62_等差数列及其前n项和一轮复习讲义要点梳理忆一忆知识要点1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项a+b如果A=2,那么A叫做a与b的等差中项.d表示.要点梳理忆一忆知识要点4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(n,m∈N 某).(2)若{an}为等差数列，且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N某),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,m∈N某)是公差为md 的等差数列.要点梳理忆一忆知识要点5.等差数列的前n项和公式na1+an设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或2nn-1Sn=na1+2d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系dd2Sn=n+a1-2n.2数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn,(A、B为常数).7.等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.要点梳理[难点正本疑点清源]1.等差数列的判定忆一忆知识要点(1)定义法：an-an-1=d(n≥2);(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(3)S2n-1=(2n-1)an.n(4)若n为偶数，则S偶-S奇=d.2若n为奇数，则S奇-S 偶=a中(中间项).等差数列的判定或证明31例1已知数列{an}中，a1=,an=2-(n≥2,n∈N某),数5an-11列{bn}满足bn=(n∈N某).an-1(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.(1)可利用定义证明bn-bn-1(n≥2)为常数来证明数列{bn}是等差数列.(2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点解决数列的最大项和最小项的问题.1(1)证明∵an=2-(n≥2,n∈N),bn=.an-1an-111∴n≥2时，bn-bn-1=-an-1an-1-111=-1an-1-12-a-1某n-1an-11=-=1.an-1-1an-1-115又b1==-.2a1-15∴数列{bn}是以-为首项，1为公差的等差数列.2712(2)解由(1)知，bn=n-,则an=1+b=1+,22n-7n2设函数f(某)=1+,2某-777易知f(某)在区间-∞,2和2,+∞内为减函数.∴当n=3时，an取得最小值-1;当n=4时，an取得最大值3.探究提高证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an+1-an=d;(2)等差中项法：2an+1=an+an+2.变式训练1Sn-1已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(n≥2),a12Sn-1+1=2.1(1)求证：S是等差数列；n(2)求an的表达式.Sn-1(1)证明方法一由Sn=,2Sn-1+112Sn-1+11得S==+2,Sn-1Sn-1n11∴S-=2,Sn-1n2为公差的等差数列.111∴S是以即为首项，以S12n方法二2Sn-1+1111∵当n≥2时，S-=-Sn-1Sn-1Sn-1n2Sn-1==2,Sn-1111∴S是以即为首项，以2为公差的等差数列.S12n113(2)解由(1)知S=+(n-1)某2=2n-,22n1∴Sn=,32n-211∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-372n-2n-22-2=;372n-2n-22当n=1时，a1=2不适合an,2-2故an=372n-2n-22n=1n≥2.等差数列的基本量的计算例2设a1,d为实数，首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.(1)由S5S6+15=0与S5=5可构建关于a1,d的方程组.(2)由S5S6+15=0可化为关于a1的一元二次方程，因为{an}存在，所以关于a1的一元二次方程有解.-15解(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8.S55a1+10d=5,所以a1+5d=-8.解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)方法一∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2即2a1+9da1+10d2+1=0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-22或d≥22.方法二∵S5S6+15=0,∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,2即2a1+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-22或d≥22.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练2(2022·福建)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)某(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,n[1+3-2n]所以Sn==2n-n2.2由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N某,故k=7.等差数列的前n项和及综合应用例3(1)在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.(1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解方法一∵a1=20,S10=S15,10某915某145∴10某20+d=15某20+d,∴d=-.2235565∴an=20+(n-1)某-3=-n+.33∴a13=0,即当n≤12时，an>0,n≥14时，an<0,∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13=S12=12某2012某115+某-3=130.25方法二同方法一求得d=-.3nn-152523125521255-=-n+n-+∴Sn=20n+·n=-.22666243∵n∈N某,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.方法三5同方法一得d=-.3又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12=S13=130.(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,∴an+1-an=4=d,又a1=4某1-25=-21.所以数列{an}是以-21为首项，以4为公差的递增的等差数列.①an=4n-25<0,令②an+1=4n+1-25≥0,11由①得n<6;由②得n≥5,所以n=6.44即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为-4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|=a7=4某7-24=3.设{|an|}的前n项和为Tn,则21n+nn-1某-4n≤62Tn=n-6n-766+3n-6+某4n≥722-2n+23nn≤6,=22n-23n+132n≥7.。

(完整word版)等差数列-简单难度-讲义

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈．二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。

等差数列的公式的推导：累加法3。

等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++．推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。

若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。

如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公差为2n d ． 2。

高考数学(理)总复习讲义：等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0，所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1，所以{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一通项法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

2等差数列 - 中等 - 讲义

等差数列知识讲解一、等差数列1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2.通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-,(*,*,)n N m N m n ∈∈≤*(,,)n ma a d n m N n m n m-⇒=∈≠-3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+,(*)n N ∈; 4.等差数列{}n a 的性质（其中公差为d ）：1）()m n a a m n d =+-，m na a d m n-=-,(*,*)n N m N ∈∈; 2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）； 3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等差数列，公差为md ,(*,*)n N m N ∈∈；4）等差数列的n 项和也构成一个等差数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等差数列，公差为2n d ,(*)n N ∈； 5）{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，则21(21)n n S n a -=-；{}n b 为等差数列，n S '为前n 项和，21(21)n n S n b -'=-；有2121n n n n a Sb S --='．6）等差中项：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x y A +=．7）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．8）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ． 9）若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即2,(,n S An Bn A B=+是常数，220);A B +≠ 10）若数列{}n a 的前n 项和2(,n S An Bn C A B =++是常数，0)C ≠，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；11）若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；12）若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++； 13）在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列；14）有关等差数列{}n a 的前n 项和为nS 的最值问题：何时存在最大值和最小值：若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值若10,0a d <>，则前n 项和为nS 存在最小值如何求最值：方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值；方法二：利用等差数列前n 项和nS 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和nS 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：①若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；②若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；③若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；15）用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”5.判断一个数列为等差数列的方法1）定义法：1n n a a d --=（常数）{}n n N n a +∈≥⇔（,2）为等差数列． 2）等差中项法：(){}112,n n n n a a a n N n a -++=+∈≥⇔2为等差数列． 3）通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；4）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和2,(,n S An Bn A B=+是常数，220);A B +≠⇔数列{}n a 是等差数列；经典例题一．选择题（共16小题）1．（2018•安徽模拟）已知等差数列{a n}中，a2=﹣1，前5项和S5=﹣15，则数列{a n}的公差为（）A．﹣3 B．C．﹣2 D．﹣12．（2018•道里区校级一模）在等差数列{a n}中，若a3+a11=18，S3=﹣3，那么a5等于（）A．4 B．5C．9 D．183．（2018•衡阳一模）在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120，则a2+a14的值为（）A．.6 B．，12C．.24 D．.484．（2018•城中区校级模拟）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为，则=（）A．B．C．D．5．（2018春•南关区校级期末）在等差数列{a n}中，a2，a10是方程2x2﹣x﹣7=0的两根，则a6等于（）A．B．C．﹣D．﹣6．（2018•渭南一模）在等差数列{a n}中，a1=1，a2+a6=10，则a7=（）A．9 B．10C．11 D．127．（2018•江西模拟）若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（）A．1 B．0或C．D．log238．（2018•大庆二模）已知等差数列{a n}中，a4=9，S4=24，则a7=（）A．3 B．7C．13 D．159．（2018•茂名一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）C．45 D．9010．（2018•莆田二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＞0，S14＜0，则S n取最大值时n的值为（）A．6 B．7C．8 D．1311．（2018•朝阳一模）已知数列{a n}的通项公式a n=26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n最大，则n的值为（）A．12 B．13C．12或13 D．1412．（2018•宣城二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S8=36，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．13．（2018•齐齐哈尔一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S4=14．则{a n}的公差为（）C．2 D．﹣214．（2018•广州二模）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若a=a，S7=﹣21，则a10=（）A．8 B．9C．10 D．1215．（2017秋•沈阳期末）数列{a n}满足（n∈N+），数列{b n}满足，且b1+b2+…+b9=45，则b4b6（）A．最大值为100 B．最大值为25C．为定值24 D．最大值为5016．（2018•平度市校级模拟）等差数列{a n}的前项和为S n，已知a m+1+a m﹣1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．5 B．6C．8 D．10二．填空题（共4小题）17．（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．18．（2018•资阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=9，a5=1，则使得S n＞0成立的最大的自然数n为．19．（2018•大荔县模拟）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意自然数n都由，则的值为.20．（2017•江西模拟）我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是．三．解答题（共4小题）21．（2018春•海安县校级月考）设S n为数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，都有S n=（an+b）（a1+a n）+c（a，b，c为常数）．（1）当a=0，b=，c=﹣2时，求S n；（2）当a=，b=0，c=0时．求证：数列{a n}是等差数列．22．（2017•重庆模拟）已知数列{a n}中，a10=17，其前n项和S n满足S n=n2+cn+2．（1）求实数c的值；（2）求数列{a n}的通项公式．23．（2017春•大武口区校级期末）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．（1）已知a1=2，S3=12，求S10（2）已知d=2，a n=11，S n=35，求a1和n．24．（2017春•集宁区校级期末）在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．。

等差数列-简单难度-讲义

等差数列知识讲解一、等差数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈．二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，．2.等差数列的公式的推导：累加法3.等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+；该性质推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈,m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++．推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2.若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3.如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列；{}0n d a <⇔是递减数列； {}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导：倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得： 11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公差为2n d ．2.{}n a 为等差数列 ①当项数为奇数时，由1212n n a a a -+=得，()2121(21)()212n n n n n a a S n a ---+==-， ②当项数为偶数时，由121n n n a a a a ++=+得， 1()n n n S n a a +=+.3.通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠ 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当0d =时，1n S na =，1n a a =）4.{}n a 为等差数列，()20n S An Bn A =+≠，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列 5.等差数列{}n a 的公差为d ，S S 奇偶，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有21n + 项，则1S n S n+=奇偶；如果数列有2n 项，则S S nd -=偶奇.6.若10a >，0d <，此时二次函数开口向下，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，此时二次函数开口向上，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．七、等差数列的前n 项和公式与二次函数1.区别和联系2.观察可得：由()20n S An Bn A =+≠和211==()222n S na d n a n ++-得1,22d d A B a ==-； 3.特殊性：当*2B n N A =-∈，n S 达到最大或最小．而当*2B n N A =-∉时，n 取与2BA-最近的正整数即可．4.由二次函数的性质可得：当0d >时，n S 有最小值，：当0d <时，n S 有最大值．典型例题一．选择题（共12小题）1．（2018•太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和S n，若a2+a3+a10=9，则S9=（）A．27 B．18 C．9 D．3【解答】解：设公差为d，则3a1+12d=9，∴a1+4d=a5=3∴S9=9a5=27，故选：A．2．（2018•渭南二模）等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．D．6【解答】解：因为S15=15a1+d=15（a1+7d）=15a8=90，所以a8=6故选：D．3．（2018•吴忠模拟）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（2018•祁阳县二模）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．5．（2018•蚌埠一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．6．（2017•重庆模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A．16 B．20 C．24 D．26【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，∴，解得a1=8，d=2，a10=8+9×2=26．故选：D．7．（2017•湘潭三模）《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．8．（2017•大连模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．9．（2017•尖山区校级四模）等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．10．（2017•宝清县校级一模）若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n取得最大值时，n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或15【解答】解：∵数列{a n}中，a n=43﹣3n，故该数列为递减数列，公差为﹣3，且a1=40，∴S n=是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故S n取得最大值时，n=14．故选：B．11．（2017•于都县模拟）等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．12．（2017•宁德三模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．二．填空题（共3小题）13．（2016•南通模拟）等差数列{a n}中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．【解答】解：由11a5=5a8，得6a1 +9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故a n =﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．14．（2016•长宁区一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6+a14=20，则S19=190．【解答】解：根据等差数列性质a6+a14=a1+a19=20，∴S19==190．故答案为：190．15．（2014秋•苏州期末）已知等差数列{a n}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为2．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，设公差为d．由题意可得2a1+8d=10，5a1+=5，解方程组求得d=2，故答案为2．。

第2节等差数列--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节等差数列课标解读考向预测1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n 项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.必备知识——强基础1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第012项起，每一项与它的前一项的差都等于02同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母03d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝04a ＋b ．提醒：在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{a n }成等差数列⇔a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝05a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝06na 1＋n （n －1）2d ．3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋07(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，则①等间距抽取a p ，a p ＋t ，a p ＋2t ，…，a p ＋(n －1)t ，…为等差数列，公差为td ；②等长度截取S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列，公差为m 2d ；③算术平均值S 11，S 22，S 33，…为等差数列，公差为d2.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }(其中p ，q 为常数)也是等差数列．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 与T n ，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的前n 项和S n 是项数为n 的二次函数．()(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.()(4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝()A ．10B ．20C ．25D ．30答案C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.故选C.(2)(北师大版选择性必修第二册2.2练习3(2)改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a6＝2且S5＝30，则S8＝() A．31B．32 C．33D．34答案B解析解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝8×（6＋2）2＝32.故选B.解法二：设等差数列{a n}的公差为d，1＋5d＝2，a1＋5×42d＝30，1＝263，＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.故选B.(3)(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．答案2解析由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．答案820解析设第n排的座位数为a n(n∈N*)，数列{a n}为等差数列，其公差d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.(5)已知数列{a n}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．答案12解析a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.考点探究——提素养考点一等差数列基本量的运算例1(1)已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝5，S n＝64，则n＝() A．6B．7C．8D．9答案C解析公差d＝a3－a12＝5－12＝2，又S n＝64，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝()A．6B．10C．12D．20答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.(3)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝()A．13B．14C．15D．16答案C解析设等差数列{a n}的公差为d，因为S4＝24，S9＝99，所以a1＋4×32d＝24，a1＋9×82d＝99，即a1＋3d＝12，1＋4d＝11，1＝3，＝2，所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故选C.【通性通法】等差数列基本量运算的思想方法方程思想等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可通过方程组达到“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解等价转化思想运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程【巩固迁移】1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{a n}中，a3＋a7＝a8＝16，则{a n}的公差d ＝()A．83B．3C ．103D ．4答案A解析因为a 3＋a 7＝a 8＝2a 5＝16，所以a 8－a 5＝3d ＝8，则d ＝83.故选A.2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 7－a 11＝4，则S 5＝()A ．15B ．20C ．25D ．30答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则2(a 1＋6d )－(a 1＋10d )＝a 1＋2d ＝4，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5×4＝20.故选B.考点二等差数列的性质及其应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质例2(1)(2024·九省联考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 7＝6，a 12＝17，则S 16＝()A ．120B ．140C ．160D ．180答案C解析因为a 3＋a 7＝2a 5＝6，所以a 5＝3，所以a 5＋a 12＝3＋17＝20，所以S 16＝（a 1＋a 16）×162＝8(a 5＋a 12)＝160.故选C.(2)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9＝3(a 3＋a 5＋a m )，则m ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6答案C解析因为S 9＝9a 5，所以9a 5＝3(a 3＋a 5＋a m )，所以a 3＋a 5＋a m ＝3a 5，即a 3＋a m ＝2a 5，所以m ＝7.故选C.【通性通法】等差数列项的性质的关注点关注点一项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n＝a p ＋a q关注点二等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质关注点三项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2相结合【巩固迁移】3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n 的等差数列{a n }的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n ＝()A ．48B ．36C ．30D ．26答案B解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝10，a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝110，两式相加得6(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝20，又n （a 1＋a n ）2＝360，所以n ＝36.故选B.4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各项为定值的是()A ．a 7B ．a 8C ．S 13D ．S 15答案AC解析由题意知a 2＋a 8＋a 11＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＋a 1＋10d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7是定值，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7，是定值．故选AC.考向2等差数列前n 项和的性质例3(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15＝()A ．35B ．42C ．49D ．63答案B解析解法一：由题意知，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，∴S 15－21＋7＝28，∴S 15＝42.故选B.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2S 1010＝S 55＋S1515，∴S 15＝42.故选B.(2)已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A ．28B ．29C ．30D ．31答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项，则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.【通性通法】熟练掌握等差数列前n 项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．【巩固迁移】5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S20202020－S 20142014＝6，则S 2023＝________．答案8092解析，设其公差为d ，则S 20202020－S 20142014＝6d ＝6，所以d ＝1，所以S 20232023＝S 11＋2022d ＝－2018＋2022＝4，所以S 2023＝8092.6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n .若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝________；若S n T n ＝2n －13n ＋1，则a 5b 4＝________．答案11191722解析若a n b n ＝2n －13n ＋1，则S 11T 11＝11a 611b 6＝2×6－13×6＋1＝1119.若S n T n ＝2n －13n ＋1＝2n 2－n 3n 2＋n，则可设S n ＝(2n 2－n )k ，T n ＝(3n 2＋n )k ，所以a 5＝S 5－S 4＝45k －28k ＝17k ，b 4＝T 4－T 3＝52k －30k ＝22k ，所以a 5b 4＝1722.考向3等差数列前n 项和的最值问题例4在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解解法一(函数法)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，S n ＝20n ＋n （n －1）2·＝－56n 2＋1256n ＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法二(邻项变号法——利用单调性)：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53，a n ＝20＋(n －＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.解法三：(邻项变号法——利用性质)：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝a 13－a 113－1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×130.【通性通法】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法【巩固迁移】7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和是S n ，已知S 14>0，S 15<0，则下列说法正确的是()A ．a 1>0，d <0B ．a 7＋a 8>0C ．S 6与S 7均为S n 的最大值D ．a 8<0答案ABD解析因为S 14>0，S 15<0，所以S 14＝14×（a 1＋a 14）2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 7＋a 8)>0，即a 7＋a 8>0，因为S 15＝15×（a 1＋a 15）2＝15a 8<0，所以a 8<0，所以a 7>0，所以等差数列{a n }的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a 1>0，d <0，S 7为S n 的最大值．故选ABD.8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝35，a 2＋a 3＋a 4＝39，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案7解析解法一：设数列{a n }的公差为d ，a 1＋d ＝35，2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3（a 1＋2d ）＝39，解1＝19，＝－3，则S n ＝19n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋412n ＋168124.又n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 取得最大值．解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝39，∴a 3＝13，∴2a 3－S 2＝(a 3－a 2)＋(a 3－a 1)＝3d ＝－9，解得d ＝－3，则a n ＝a 3＋(n －3)d ＝22－3n ，－3n ≥0，－3（n ＋1）≤0，解得193≤n ≤223，又n ∈N *，∴n ＝7，即数列{a n }的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当S n 取得最大值时，n ＝7.考点三等差数列的判定与证明例5(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选择条件①③⇒②.已知数列{a n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.因为S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1，所以S n＝n a1(a1>0)，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)．所以数列{S n}是等差数列．选择条件①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，数列{S n}是等差数列，设数列{a n}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，因为数列{S n}是等差数列，所以S1＋S3＝2S2，即a1＋3a1＋3d＝22a1＋d，化简整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.选择条件②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，设数列{S n}的公差为d，所以S2－S1＝d，即4a1－a1＝d.所以a1＝d2，S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2.所以a n＝S n－S n－1＝2d2n－d2(n≥2)．又a1＝d2也适合该通项公式，所以a n＝2d2n－d2(n∈N*)．a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列．【通性通法】等差数列的判定与证明的常用方法判定方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1通项公式法对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数)前n项和公式法对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数)证明方法定义法对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数等差中项法对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1【巩固迁移】9．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)设{a n}的公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列．由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列．故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列．课时作业一、单项选择题1．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A ．7B ．5C ．3D ．1答案D解析∵{a n }，{b n }为等差数列，∴{2a n －3b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝2a n ＋1－3b n＋1－2a n ＋3b n ＝2(a n ＋1－a n )－3(b n ＋1－b n )＝2d 1－3d 2＝1.故选D.2．(2024·辽宁六校期初考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝20，则S 15＝()A ．150B ．120C ．75D ．60答案D解析由等差数列的性质可知a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝20，所以a 8＝4，S 15＝15（a 1＋a 15）2＝2a 8×152＝15a 8＝60.故选D.3．(2023·陕西宝鸡模拟)已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝()A ．3n －2B ．3n －1C ．3n ＋1D ．3n ＋2答案B解析由题意，n ∈N *，在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设公差为d ，前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，∴－a 1＋a 2＋…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)，即a n ＝3n －1(n ∈N *)．故选B.4．(2023·重庆一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．18B ．19C ．13D ．310答案D解析解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题设，S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，可得a 1＝52d ，所以S8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝310.故选D.解法二：由题意知S 8＝3S 4，又S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，且S 8－S 4＝2S 4，故S 12－S 8＝3S 4，故S 12＝6S 4，S 16－S 12＝4S 4，得S 16＝10S 4，所以S 8S 16＝310.故选D.5．数列{a n }和{b n }是两个等差数列，其中ak b k (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝()A ．64B ．128C ．256D ．512答案B解析由已知条件可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝a 5b 1a 1＝96×192288＝64，因此b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选B.6．(2024·漳州检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，记b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2且b n ＋1－b n ＝2，则S 31＝()A ．171B ．278C ．351D ．395答案C解析由b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝a n ＋3－a n ＝2，得a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，所以S 31＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(a 2＋a 5＋…＋a 29)＋(a 3＋a 6＋…＋a 30)＝1×11＋11×10×22＋2×10＋10×9×22＋3×10＋10×9×22＝351.故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n }()A ．有最大项和最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项和最小项答案B解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1，∴a 5＝－9＋4d ＝－1，则d ＝2.∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11.令a n ＝2n －11≤0，得n ≤5.5.∴当n ≤5时，a n <0；当n ≥6时，a n ≥1>0.∵T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，∴T 1＝－9，T 2＝63，T 3＝－315，T 4＝945，T 5＝－945.当n ≥6时，a n ≥1，∴T n <0，且T n ＋1<T n <0.∴数列{T n }有最大项T 4，无最小项．故选B.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，均有S 6≤S n 成立，则a 17a 9的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．113答案D解析由题意知，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，必有a 1<0，公差d >0，当a 6＝0时，有S 5＝S 6，S 5，S 6是等差数列{a n }的前n 项和中的最小值，此时a 6＝a 1＋5d ＝0，即a 1＝－5d ，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝11d 3d ＝113.当a 6<0，a 7≥0，此时a 6＝a 1＋5d <0，a 7＝a 1＋6d ≥0，即－6≤a 1d <－5，则a 17a 9＝a 1＋16d a 1＋8d ＝a 1d ＋16a 1d ＋8＝1＋8a 1d ＋8，又－6≤a 1d <－5，所以2≤a1d ＋8<3，即13<1a 1d ＋8≤12，则83<8a 1d ＋8≤4，所以113<1＋8a 1d ＋8≤5，所以a 17a 9的最小值为113.故选D.二、多项选择题9．(2024·湖南长郡中学月考)已知数列{a n }的通项公式a n3n ＋b ，1≤n ≤8，2n －3，n ≥9，b ∈Z ，则下列说法正确的是()A ．当{a n }递减时，b 的最小值为3B ．当{a n }递减时，b 的最小值为4C ．当b ＝20时，{a n }的前n 项和的最大值为57D ．当b{|a n |}为递增数列答案BCD解析a 8＝－3×8＋b ＞a 9＝－2×9－3⇒b ＞3，∵b ∈Z ，∴b 的最小值为4，∴A 错误，B 正确；当b ＝20时，数列{a n }的前6项为正，第7项开始往后为负，∴前6项和最大，S 6＝6×（17＋2）2＝57，∴C 正确；当n ≥9时，a n ＜0，|a n |＝2n ＋3，数列{|a n |}递增，当1≤n ≤8时，易知数列{a n }递减，当b，a 1＞0，a 2＜0，且数列{|a n |}1|<|a 2|，8|<|a 9|，∴数列{|a n |}递增，∴D 正确．故选BCD.10．(2023·河北邯郸模拟)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则下列说法正确的是()A ．若a 1＝a 5，则a 1＝a 2＝…＝a nB ．若a 5>a 3，则S 1<S 2<…<S nC．若a3＝2，则a21＋a25≥8D．若a4＝8，a8＝4，则S12＝66答案ACD解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝a5，所以a1＝a1＋4d，所以d＝0，则a1＝a2＝…＝a n，故A正确；因为a5>a3，所以a1＋4d>a1＋2d，所以d>0，{a n}为递增数列，但S1<S2<…<S n 不一定成立，如a1＝－2，a2＝－1，a3＝0，S1＝－2，S2＝－3，S3＝－3，故B不正确；因为a21＋a25≥＝2a23＝8，当且仅当a1＝a5＝2时取等号，故C正确；4＝a1＋3d＝8，8＝a1＋7d＝4，＝－1，1＝11，则a12＝a4＋8d＝8－8＝0，得S12＝a1＋a122×12＝66，故D正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·上海奉贤统考一模)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝15，a4＝1，则a12＝________．答案14解析∵{a n}为等差数列，∴设首项为a1，公差为d，又a7＋a9＝15，a4＝1，a1＋14d＝15，1＋3d＝1 1＝－318，＝138，∴a12＝a1＋11d＝－318＋11×138＝14.12．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…，数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故其前n项和S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.13．(2024·浙江余姚中学质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为________．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13（a1＋a13）2＝13a7<0，S12＝12（a1＋a12）2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.14．(2023·昆明诊断)已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝4，a n ＋2－a n ＝(－1)n ＋3，则数列{a n }的前10项和为________．答案90解析由题意，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝－1＋3＝2，所以数列{a 2n －1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a 2n －1＝2＋2(n －1)＝2n ；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝1＋3＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4＋4(n －1)＝4n .设数列{a n }的前10项和为S 10，则S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 10)＝5×（2＋10）2＋5×（4＋20）2＝90.四、解答题15．(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．解(1)证明：因为2S nn＋n ＝2a n ＋1，即2S n ＋n 2＝2na n ＋n ，①当n ≥2时，2S n －1＋(n －1)2＝2(n －1)a n －1＋(n －1)，②①－②得，2S n ＋n 2－2S n －1－(n －1)2＝2na n ＋n －2(n －1)a n －1－(n －1)，即2a n ＋2n －1＝2na n －2(n －1)a n －1＋1，即2(n －1)a n －2(n －1)a n －1＝2(n －1)，所以a n －a n －1＝1，n ≥2且n ∈N *，所以{a n }是以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a 4＝a 1＋3，a 7＝a 1＋6，a 9＝a 1＋8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12，所以a n ＝n －13，所以S n ＝－12n ＋n （n －1）2＝12n 2－252n －6258，所以，当n ＝12或n ＝13时，(S n )min ＝－78.16．(2023·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝11，S 10＝40.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解(1)设等差数列的公差为d ，2＝a 1＋d ＝11，10＝10a 1＋10×92d ＝40，1＋d ＝11，a 1＋9d ＝8，1＝13，＝－2，所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .(2)因为S n ＝n （13＋15－2n ）2＝14n －n 2，令a n ＝15－2n >0，解得n <152，且n ∈N *，当n ≤7时，则a n >0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝14n －n 2；当n ≥8时，则a n <0，可得T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋…＋a n )＝S 7－(S n －S 7)＝2S 7－S n ＝2×(14×7－72)－(14n －n 2)＝n 2－14n ＋98.综上所述，T n n －n 2，n ≤7，2－14n ＋98，n ≥8.17．(2023·江西九所重点中学高三下第二次联考)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，且函数f (x )在[2，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2018)，则{a n }的前2023项和是()A ．8092B ．4046C ．2023D ．0答案B解析因为函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (4－x )，于是函数y ＝f (x )的图象关于直线x＝2对称，数列{a n }是公差不为0的等差数列，则数列{a n }是单调数列，又函数f (x )在[2，＋∞)上单调，由f (a 6)＝f (a 2018)得a 6＋a 2018＝4，所以{a n }的前2023项和是a 1＋a 20232×2023＝a 6＋a 20182×2023＝4046.故选B.18．(2023·海口诊断)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6与a 8互为相反数，S n 为{|a n |}的前n 项和，T n ＝nS n ，则T n 的最小值是________．答案6解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 6＋a 8＝0，a 2＝－5，a 1＋12d ＝0，1＋d ＝－5，1＝－6，＝1，∴a n＝－6＋(n－1)×1＝n－7.由a n≥0得n≥7，由a n≤0得1≤n≤7，∴当1≤n≤7时，S n＝－(a1＋a2＋…＋a n)＝－n（－6＋n－7）2＝－n（n－13）2；当n≥8时，S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a n)＝2S7＋(a1＋a2＋…＋a n)＝42＋n（n－13）2，∴当1≤n≤7时，T n＝nS n＝－n2（n－13）2.对于函数y＝－x3－13x22，y′＝－3x2－26x2，当1≤x≤7时，y′＞0，∴y＝－x3－13x22在[1，7]上单调递增，∴当1≤n≤7时，T1＝6为最小值；当n≥8时，T n＝nS n＝42n＋n2（n－13）2，对于函数y＝42x＋x3－13x22，y′＝42＋3x2－26x2，当x≥8时，y′＞0，∴函数y＝42x＋x3－13x22在[8，＋∞)上单调递增，∴当n＝8时，T8＝176为最小值．综上所述，T n的最小值是6.19．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d，且d>1.令b n＝n2＋na n，记S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，又T3＝b1＋b2＋b3＝2d＋62d＋123d＝9d，∴S3＋T3＝6d＋9d＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝12(舍去)，∴a n＝a1＋(n－1)d＝3n.(2)∵{b n}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即12a2＝2a1＋12a3，∴＝6da2a3＝6d（a1＋d）（a1＋2d）＝1a1，即a21－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴a n>0，又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a 50－99b 50＝99，即a 50－b 50＝1，∴a 50－2550a 50＝1，即a 250－a 50－2550＝0，解得a 50＝51或a 50＝－50(舍去)．当a 1＝2d 时，a 50＝a 1＋49d ＝51d ＝51，解得d ＝1，与d >1矛盾，无解；当a 1＝d 时，a 50＝a 1＋49d ＝50d ＝51，解得d ＝5150.综上，d ＝5150.。

等差数列ppt课件

等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础概念，对于理解数列、函数等其他数学概念有着重要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数学运算中有着广泛的应用，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项和为40，前8项和为64，求这个等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$，前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

等差数列讲义

等差数列知识要点：1.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，第一项为首项，最后一项为末项；从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差为公差，数列中数的个数称为项数。

2.等差数列相关公式。

末项=首项+公差×（项数-1）首项=末项-公差×（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）项数=（末项-首项）÷公差+1和=中间数×项数和=（首项+末项）×项数÷2[ 例1] 判断下面的数列是不是等差数列，如果是等差数列请说出公差、首项、末项、项数分别是多少。

（1）5、10、15、20、25、30；（2） 88、80、72、64、56、48、40、32；（3） 8、8、8、8、8、8；（4）1、2、1、2、1、2、1、2.解析：每相邻两个数的差都相等，这样的数列叫做等差数列。

这个相等的差叫该数列的公差，我们把数列的第一项叫首项，最后一项叫末项，数列中所有数的个数叫项数。

（1）这是一个递增的数列，依次增加5，也就是相邻两个数的差为5，是等差数列。

公差为5，首项：5，末项：30，项数：6。

（2）这是一个递减的数列，依次减少8，也就是相邻两个数的差为8，是等差数列。

公差8，首项：88，末项：32，项数：8。

（3）这个数列相邻两个数的差为0是等差数列。

公差8，首项：8，末项：8，项数：6。

（4）这个数列不是等差数列。

因为第二项减第一项差为1，可第三项减第二项不够减，所以每相邻两个数的差不相等，不是等差数列。

以第一个等差数列为例子，5、10、15、20、25、30。

问：第3项比第1项相差几个公差？（）第4项比第1项相差几个公差？（）第5项比第2项相差几个公差？（）第10项比第2项相差几个公差？（）小结：等差数列中，第几项与第几项相差几个公差，我们只需要把项数的编号减一减即可。

[ 例2] 1＋2＋3＋…＋99+100＝？解析：这串加数1，2，3，…，99，100是等差数列，首项是1，末项是100，共有100个数，项数是100。

湘教版数学高二湘教版必修4讲义 9.2等差数列(二)

9.2 等差数列(二)1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，如果已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 一次的函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)(3){a n }n 为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列.要点一等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．解 (1)方法一根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二根据等差数列性质 a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.规律方法解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪演练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________．答案(1)15(2)18解析(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.要点二等差数列的设法与求解例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.规律方法利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．跟踪演练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三由递推关系式构造等差数列求通项例3 已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由． (1)证明当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，得n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力．跟踪演练3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式． (1)证明 (a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1，故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n . 要点四等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由．解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2⇒a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4⇒b 2＝26.所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只； (2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．(3)∵a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6)， ∴c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34) ＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6)．∵对称轴为n ＝94，所以当n ＝2时，c n 最大．所以第2年的规模最大．规律方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20，(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220. 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 ∵a 1＋a 9＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．35B ．－35C ．23D ．－23 答案 A解析由a 8－a 4＝4d ＝12，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( ) A ．新数列不是等差数列 B ．新数列是公差为d 的等差数列 C ．新数列是公差为2d 的等差数列 D ．新数列是公差为3d 的等差数列答案 C解析 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， ∴数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______．答案 4,6,8解析设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d >0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8.1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．一、基础达标1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12B ．8C ．6D ．4 答案 B解析由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82. 3．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列；其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因d >0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d >0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析方法一依题意2a 1＋9d ＝10，所以3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝20. 方法二 3a 5＋a 7＝a 5＋a 6＋a 4＋a 7＝a 3＋a 8＋a 3＋a 8＝20.6．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值．解方法一设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝km ＋b ＝n ，a n ＝kn ＋b ＝m ，得k ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝k (m ＋n )＋b ＝0. 二、能力提升8．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5 ＝5a 5＝450，∴a 5＝90.∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.9．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.10．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 答案 15解析 a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝22， ∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.11．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . (1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由．(2)求a n . 解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，高中数学-打印版校对打印版 ∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1， ∴{a n }是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n 2.12．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三、探究与创新13．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． (2)求a n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下； ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2， ∴a n ＝2n.。

高中数学讲义：等差数列性质

等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。

比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。

例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。

等差数列讲义(教师版)

2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、通项公式【学习目标】1.理解等差数列的定义(重点)；2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).【要点整合】1. 等差数列的概念2. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 23. 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.练习1：数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列答案 A题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列.解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.练习2：若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项.答案 3题型三等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？（3）等差数列2,5,8,...,107共有项解 (1)设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·（a 1＋d ）·（a 1＋2d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.∴－34是数列{a n }的第10项.练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.(1)a 3＝5，a 7＝13；(2)前三项为：a ，2a －1，3－a .答案 (1) a n ＝2n －1. (2) a n ＝14n ＋1. 题型四等差数列的判定例4若a n ＝7n ＋2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列. 解证明 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n＝(n ＋3)lg 7－(n ＋2)lg 7＝lg 7.练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式. 解证明由于a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝2a n ＋2n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴a n 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴a n ＝n ·2n .2.2.2 等差数列的性质【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；2.能运用等差数列的性质解决有关问题.【要点整合】1.等差数列与一次函数（1）等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.（2）公差d 与斜率等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.2.等差数列的性质（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有【典例讲练】题型一等差数列与一次函数的关系例1 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p .它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列.由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ，所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .练习1 若数列{a n }满足a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________.答案 23解析由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23＝－23n ＋473.令a n ＝0，解得n ＝472＝23.5，∵d ＝－23，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23.题型二等差数列性质的应用例2 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式.解因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2.又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.练习2 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于() A.0 B.3 C.8 D.11答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式.解方法一因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，所以(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，即(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .方法二设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 4＋a 7＝15，得a 1＋a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，即a 1＋3d ＝5，①由a 2a 4a 6＝45，得(a 1＋d )(a 1＋3d )(a 1＋5d )＝45，将①代入上式，得(5－2d )×5×(5＋2d )＝45，即(5－2d )(5＋2d )＝9，②解得a 1＝－1，d ＝2或a 1＝11，d ＝－2，即a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3或a n ＝11－2(n －1)＝－2n ＋13.练习3 已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A.10B.－10C.15D.－15解析法一设等差数列{a n }的公差为d ，则30＝(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋18d ，即a 1＋6d ＝10.而a 3－2a 5＝(a 1＋2d )－2(a 1＋4d )＝－a 1－6d ＝－10.法二由等差数列的性质知30＝a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，则a 7＝10.而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10.例4 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ），又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.练习4 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解法一设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.这三个数为4，6，8.法二设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18， ①（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？。

第25讲等差数列的概念公式与性质讲义-高三艺考数学一轮复习

第25讲：等差数列的概念公式与性质【课型】复习课【教学目标】1.理解并掌握等差数列的概念、公式与性质【预习清单】【基础知识梳理】一．等差数列的定义：1.文字语言：一般地，一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示.2.符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．二．等差数列的通项公式与前n 项和公式 1.通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．2.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．三．等差数列的性质：已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． 1.通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．2.若m ＋n ＝p+q=2r(m ,n,p,q,r ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r ．3.数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．4.等差中项：若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫作a ，b 的等差中项,且A=2b a +．四．常用结论1．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.3．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n．【引导清单】考向一：等差数列基本量的计算例1： (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 6＝23，S 5＝35，则{a n }的公差为(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝ (3)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝23，5a 1＋5×42d ＝35，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝3.(2)设等差数列{a n}的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14，可得⎩⎨⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14.(3)通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.考向二：等差数列性质的应用例2：(1) 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13m ＝8，则m ＝________．（2）等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是＝________ （3）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．【解析】(1) 由等差数列性质，知a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴ a 8＝8.∴ m ＝8.（2）∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×42＝26(3) 由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴ 2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴ a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45. 【训练清单】【变式训练1】(1)已知等差数列{a n }，其中a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为________．(2))设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．（3）若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．【解析】(1)在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，所以d ＝23，又a n＝13＋23(n －1)＝33，解得n ＝50.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝－1，∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.（3）因为数列{a n }是等差数列，且a 2＝3a 1，所以公差d ＝a 2－a 1＝2a 1，故S 10S 5＝10a 1＋45d 5a 1＋10d ＝4. 【变式训练2】（1）在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 45＝________. (2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝.________【解析】（1）a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 45＝a 25＋20d ＝66＋66＝132.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 【巩固清单】1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝【解析】法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝【解析】在等差数列{a n }中，S 3＝3（a 1＋a 3）2＝3（a 1＋6）2＝12，解得a 1＝2，又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2. 3．a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项为【解析】a ＋b2＝13＋2＋13－22＝（3－2）＋（3＋2）2＝ 3.4．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为【解析】∵S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列，即各项为1，3，5，7，9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝95．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝【解析】由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92.6．已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.7．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7=【解析】a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132（a 1＋a 13）132（b 1＋b 13）＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.8．在等差数列{a n }中，a 1＝－2023，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S2023的值等于【解析】由题意知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以20232023S ＝S 11＋(2023－1)×1＝－2023＋2022＝－1. 所以S 2023＝－2023. 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【解】(1)设{a n }的公差为d ，由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0，由a 3＝4得a 1＋2d ＝4，于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前10项和S 10. 【解】(1)证明：由a n ＝2n －11，可得a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－11－2n ＋11＝2(n ∈N *)，因此数列{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝2n －11，所以|a n |＝⎩⎨⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n >5，因此，S 10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.。

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一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d 表示。

2、等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 推广：-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+
3、等差数列通项公式
若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．
推广：d m n a a m n )(-+=，从而m
n a a d m n --=。

4、等差数列的前n 项和公式等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112
n n n S na d -=+． 5、等差数列的通项公式与前n 项的和的关系
11,1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 二、等差数列的性质
1、等差数列的增减性
若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

2、通项的关系
当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，
特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法：
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；
练习
一、选择题
1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
2、已知等差数列{}n a 的公差12d =
，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135
D ．160． 3、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S
A ．390
B ．195
C ．180
D ．120
4、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）
A.54S S <
B.54S S =
C. 56S S <
D. 56S S =
二．填空题
1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .
2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .
3、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=
三．解答题
1、在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；
②1212,,
,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.
3、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.。

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