边界元与有限元
电动力学中的电场分布模拟
电动力学中的电场分布模拟在电动力学中，电场是一个非常重要的概念，用来描述电荷之间的相互作用。
电场的分布对于理解电磁现象以及解决各种工程问题都具有重要的意义。
为了更好地研究和理解电场分布，科学家们发展了各种电场分布的模拟方法。
本文将介绍几种常见的电场分布模拟方法及其应用。
一、有限元法（Finite Element Method，FEM）有限元法是一种常见的数值计算方法，用于求解偏微分方程和变分问题。
在电场分布模拟中，有限元法可以通过将电场区域划分为有限数量的小元素，然后利用这些小元素的基本信息来近似求解电场分布。
有限元法可以应用于各种复杂的电场问题，并且具有较高的计算精度。
二、有限差分法（Finite Difference Method，FDM）有限差分法是一种基于差分运算的数值计算方法，用于求解偏微分方程。
在电场分布模拟中，有限差分法可以将电场区域划分为离散的网格点，然后利用网格点间的差分运算来逼近求解电场分布。
有限差分法适用于各种简单的电场问题，并且计算速度较快。
三、边界元法（Boundary Element Method，BEM）边界元法是一种基于边界积分方程的数值计算方法，用于求解偏微分方程的边界值问题。
在电场分布模拟中，边界元法可以通过将电场区域划分为有限数量的边界元素，然后利用边界元素上的边界条件来求解电场分布。
边界元法适用于具有无穷远边界条件或者具有局部边界条件的电场问题。
四、有限积分法（Finite Integration Technique，FIT）有限积分法是一种基于积分形式的数值计算方法，用于求解偏微分方程的边界值问题。
在电场分布模拟中，有限积分法可以通过在电场区域中离散采样然后应用积分近似来求解电场分布。
有限积分法可以应用于各种电场问题，并且具有适应性强、计算速度快的特点。
五、快速多极子方法（Fast Multipole Method，FMM）快速多极子方法是一种高效的数值计算方法，用于求解大规模的边界值问题。
基于有限元和边界元的轮胎振动声辐射仿真计算
功率级随频率的变化规律． 静载增大 ， 轮胎刚度增 大， 导致其 固有频率增 大 ， 对应峰值频 率往 右移． 进一步可以发现静载增大 ， 对高频的影响也要大于 低频 ， 主要影响胎侧的振动 ， 使其辐射噪声增大 ， 总 声 功 率级 由 １６ ８ ｄ ３ ．５ Ｂ增 大到 １３２ ｄ ． ４ ．８ Ｂ
一
３ 影响因素 分析
图 ９给 出 了不 同充 气 压 力下 轮 胎 噪声 辐 射 声
功率级随频率的变化规律． 胎压减小 ， 轮胎刚度减
小 ， 致 其 固有 频 率 减 小 ， 应 峰值 频 率往 左 移 ． 导 对 进一 步可 以发 现 胎 压 减 小 ， 高 频 的影 响 大 于 低 对 频， 主要影 响胎 侧 的振 动 ， 其 辐射 噪声 增大 ， 使 总声 功率 级 由 １６ ８ｄ ３ ．５ Ｂ增 大到 １８７ ｄ ． ３ ．３ Ｂ 图１ ０给 出 了不 同垂 向静 载 下轮胎 噪声 辐射 声
ｐ ｒ ．Ａ ｔｓ ｔｏ ｓｄ ｓ ｎ ｄａ ｄ ｕ ｅ ｏｔｓ ｅｃ ｎ ｕ ｔｄｅｅ ｔ ｍａ ｎ ｔ ｔｒ ｒｎ ｅｏ ｅＡＣ ｍｏｏ ａｔ ｓ ｅｔ ｍｅｈ ｄｗａ ｅｉ ｅ ｎ ｓｄ ｔ ｅｔ ｈ ｏ ｄ ｃｅ ｌｃｒ ｇ ｔ ｏ ｇ ｅｉ ｉ ｅｆ ｅ ｃ ｆ ｔｒｉ ｃ ｎ ｅ 声辐射 仿 真 计算 等 基
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度增 大 ， 导致 其 固有 频 率 增 大 ， 应 峰 值 频 率 往 右 对
移 ．进 一 步 可 以发 现 ， 侧 材 料 变 硬 ， 声 辐 射影 胎 对
振 动声 辐射 ； 压和 静载 对振 动声 辐射 中的中高频 胎
率时轮胎表面各节点的振动分布情况． 可以发现 ， 在轮胎接地位置受到径向激励时 ， 轮胎胎面首先振动．随着频率升高 ， 胎面的振动开 始传递到胎侧．图 ７ 为某轿车轮胎在 ０２ Ｐ 胎压 ．Ｍ ａ 下振动试验结果 ， Ｊ激振源位于轮胎接地中心．可
06有限体积法、有限元法、边界元法.ppt [修复的]
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设
t t
t
0 TP dt fTP 1 f TP dt
f 0,1 权系数
则
a PTP a E fTE 1 f
0 aP
1 f a E
a fT 1 f a T
0 TE W W 0 P
W
1 f
q wds
j j 1 j
n
引入记号
w n ds j H ij w ds c i n j
j i j i
Gij
j
wds
则
H u G q
ij j ij j 1 j 1
n
n
j
或写成矩阵形式
a.常数单元（1节点）
取单元中点为节点,则
u const q const
b.线性单元（2节点） 取单元两端点为节点,则
j 1 1 j1
2 j 1 1 j2 2 u j u1j1 u 2j 2
q j q1j1 q 2j 2
令
Ke Kw aE , aW x E x w a P a E aW , b S x
则
a PTP a E TE aW TW b d
或
aPTP
a
nbT
b d
足标nb表示相邻节点.
d 或d 标准形式
将分成j 1,2,..., n个直线段称为单元。 u 设待求函数u及导数q 的逼近函数为 n
u q x y
j j
ji ui
j j j
高压电子学中的场强计算方法研究
高压电子学中的场强计算方法研究在高压电子学中，电场强度是一个非常重要的物理量。
电场强度是指单位电荷所受的电力作用力，通常用V/m表示。
在高压电子学中，电场强度常常可以达到数百千伏/m或以上，因此如何准确地计算电场强度是一个非常重要的问题。
在计算电场强度时，需要考虑电荷分布和空间几何形状等因素。
为了准确计算电场强度，必须建立合理的数学模型，并采用适当的计算方法。
本文将介绍几种常用的计算方法，并探讨它们的优缺点。
1. 有限元法有限元法是一种基于数值计算的方法，常用于求解物理问题中的场问题。
在计算电场强度时，可以将空间划分为有限的小区域，并在每个小区域内建立适当的数学模型。
通过求解每个小区域内的电场分布，最终可以得到整个空间的电场强度分布。
有限元法的优点在于可以处理比较复杂的几何形状，并且可以非常精确地计算电场强度分布。
不过，有限元法的缺点在于计算量较大，需要较高的计算能力和时间。
2. 边界元法边界元法是一种利用解析解求解物理问题中的边界问题的数学方法。
在计算电场强度时，可以将空间分为两个区域：内部区域和外部区域。
内部区域的电场强度由电荷分布和自由电流决定，而外部区域的电场强度由内部区域的电场强度所导致。
边界元法的优点在于计算量较小，通常可以得到比较精确的结果。
不过，边界元法的应用范围较窄，只适用于几何形状比较简单的情况。
3. 高斯定律高斯定律是一种基于电场分布和电荷分布之间关系的物理定理。
根据高斯定律，电场强度与电荷分布之间存在一种数量关系，即电通量密度与电荷密度之间成正比。
因此，在计算电场强度分布时，可以利用高斯定律得到电荷分布与电场强度分布之间的关系。
高斯定律的优点在于简单易懂，适用于各种不同的场问题。
不过，高斯定律的局限在于仅适用于对称分布的情况。
4. 有限差分法有限差分法是一种利用差分近似和数值方法求解物理问题的方法。
在计算电场强度时，可以将空间离散化为一个由离散点组成的网格，并在每个离散点处利用适当的差分公式进行计算。
基于有限元和边界元的噪声分析
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2005-12-18
2005-12-18
振动论坛-声学基础理论-[转帖]基于有限元和边界元的噪声分析
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发动机边界元模型 如图所示是发动机外声场的在某频率上的声压响应云纹图。
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2005-12-18
振动论坛-声学基础理论-[转帖]基于有限元和边界元的噪声分析
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发动机外声场声压响应云纹图 图所示是发动机外声场分别在 X 方向 Y 方向和 Z 方向上的声强云纹图。图所示法线方向上的云纹图。
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排气系统的声学模型
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2005-12-18
振动论坛-声学基础理论-[转帖]基于有限元和边界元的噪声分析
尾矿库渗流稳定分析中常用的数值模拟技术
尾矿库渗流稳定分析中常用的数值模拟技术尾矿库是矿山开采过程中产生的一种固体废弃物储存设施，渗流稳定性分析是确保尾矿库安全运营的重要环节之一。
为了准确评估尾矿库的渗流稳定性，常常使用数值模拟技术来模拟和分析尾矿库的水流和土体应力情况。
本文将介绍尾矿库渗流稳定分析中常用的数值模拟技术。
1. 有限元方法（Finite Element Method，FEM）有限元方法是一种广泛应用于工程领域的数值模拟技术。
在尾矿库渗流稳定性分析中，可以使用有限元方法对尾矿库的地下水流动进行模拟。
首先，将尾矿库的区域划分为多个小单元，然后建立相应的数学模型，考虑边界条件和水流影响因素。
通过求解数学模型，可以得到尾矿库各个单元的水力头和水流速度，并进一步评估渗流稳定性。
2. 边界元方法（Boundary Element Method，BEM）边界元方法是一种基于边界的数值模拟技术，相比于有限元方法，边界元方法更加适用于尾矿库边界影响较大的情况。
在尾矿库渗流稳定性分析中，可以使用边界元方法来模拟尾矿库周围的水流。
通过将尾矿库的边界划分为多个小区域，建立相应的边界元模型，可以获得尾矿库边界上的水压力值和渗流通量。
通过分析这些参数，可以评估尾矿库的渗流稳定性。
3. 计算流体动力学方法（Computational Fluid Dynamics，CFD）计算流体动力学方法是一种数值模拟技术，主要用于分析和解决流体流动问题。
在尾矿库渗流稳定性分析中，可以使用计算流体动力学方法来模拟尾矿库内部的水流情况。
通过建立尾矿库的三维模型，考虑流动的层流或湍流特性，可以得到尾矿库内部的流速和压力分布。
进而，可以进一步评估尾矿库渗流稳定性。
4. 耦合模型方法尾矿库渗流稳定性分析涉及多个物理场的相互作用，常常需要采用耦合模型方法。
耦合模型方法将尾矿库渗流和围岩变形等问题相互联系，综合考虑多个物理过程。
例如，可以将有限元方法和边界元方法耦合使用，同时模拟尾矿库的水流和土体应力变形。
无界问题自然边界元与有限元的迭代耦合
摘
要： 根据 区域 分解算 法 的 思想 ， 究 了 自然边界 元 与有 限元 耦 合法 的 Ｄ— 迭 代 原理 ， 编 研 Ｎ 并
写 了耦 合法计 算 程序 ， 求解 了带方 孔 的无界平 面弹 性 问题 。算 ￣ ｔ 算结 果 表 明 ： ，ｔ ｌ 当计算 半 径 Ｒ 取 为孔 洞尺 寸的 １ ２倍 ， ． 耦合 法 网格划 分时 取 １ ４个 节点即 可较好 的 逼近 收敛 值 ， ４ 而相 同收 敛
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｂａｓ ｄ ｏｎ ｔ ｅ ａ ｇｏ ｉｈ ｏｆｄｏ ａｎ ｄｅ ｏ ｅ ｈ ｌ ｒｔ ｍ ｍ ｉ ｃ ｍｐｏ ｉｉ ｎ，Ｄ— ｉｅ ａ ｉｅ ｐ ｉ ｉ ｅ ｏｆｎ ｔ ａ ｏｕ ａ ｙ ｓｔｏ Ｎ ｔ ｒ ｔｖ ｒｎｃｐｌ ａ ｕｒ ｌｂ ｎｄ ｒ ｅ ｅ ｅ ｔ ａ ｄ ｆｎｉｅ ｅ ｅ ｎ ｏｕ ｉ ｇ ｍｅ ｈｏ ｓ ｓ ｕ ｉ ｄ．Ａｎｄ ｔ ｎ ａ ｐｒ ｒ ｍ ｏ ｈｅ ｃ ｕｐ ｉ ｅ ｈｏ ｌｍ ｎ ｎ ｉ ｔ ｌ ｍｅ ｔ ｃ ｐｌｎ ｔ ｄ ｗａ ｔ ｄ ｅ ｈｅ ｏｇ ａ ｆ ｒ ｔ ｏ ｌｎｇ ｍ ｔ ｄ ｗａ ｏ ｄ ｔ ｏ ｖ ｎ ｉ ｆｎ ｔ ｌ ｎｅ ｅａ ｔｃ ｐｒ ｂｌｍ ｔ ｑ ｒ ｌ ｎｓｄ ． Ｔｈｅ ｃ ｌｕｌ ｔｏｎ ｒ ｓ ｔ ｆ ｓ ｃ ｄｅ Ｏ ｓ ｌ ｅ ａ ｎ ｉ ｉｅ ｐ ａ ｌ ｓ ｉ ｏ ｅ ｗｉｈ ａ ｓ ｕａ ｅ ｈｏ ｅ ｉ ｉ ｅ ａｃ ａ ｉ ｅ ｕｌｓ ｏ ａ ｃ ｃ ｅ ｅ ｅ ａ ｐ ｅ ｓ ｏｗ ｈａ ｈ ｏｕ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｗｉｈ ４ ｄｅ ａ ｏｎ ｒ ｎ ｅ ｔ ｘ ｃ ｏｌ ｔｏ ｏｎ ｒ ｔ ｘ ｍ ｌ ｈ ｔ ｔ ｔ ｅ ｃ ｐｌｎ ｔ ｏ ｔ １ ４ ｎｏ ｓ ｃ ｎ ｃ ｖｅ ｇｅ ｃ ｏ ｅ ａ ｔ ｓ ｕ ｉ ｎｓ
有限元 边界元
简介Finite Element
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发 展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在 连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中 应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛 的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续 性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可 归纳如下：
有限元法与边界元法的比较
有限元法的概念
有限元法（FEA，Finite Element Analysis） 的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再 求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小 的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较 简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足 条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。 这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题 被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难 以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且 能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程 分析手段。
有限元法与边界元法的应用
1、边界元方法使问题的维数降低一维，例如：三维问题变为二维问题，二维变 成一维问题。使得解题的自由度下降。 2、边界元相对于有限元来说，在相同离散精度的条件下，边界元解的精度要高 于有限元 3、边界元方法在有些情况下，可以较容易地处理有限元方法很难处理的问题， 例如，无限域问题，断裂问题等。 4、在问题的规模(自由度)不大的情况下，边界元的解题速度高于有限元方法。 但是，由于边界元方法形成的线性方程组的系数矩阵是满阵，所以在处理大 规模问题时遇到了困难，解题的规模受到限制。适合于处理中小规模问题。 5、边界元适合于处理位势问题、弹性问题，而在处理弹塑性问题或大的有限变 形问题时，由于需要对物体进行体积离散，此时，边界元降维的优点消失。 所以会在处理这一类问题时遇到一些困难。 6、边界元相对于有限元来说，其软件的商业化程度远不如有限元。所以，其处 理问题时，一般是针对某一问题专门编制程序进行计算。其前、后处理的工 作量较大。 7、边界元方法解题需要求出问题的基本解，基本解的推导一般比较复杂。通过 许多学者的努力对于一些问题，基本解已经被推导出来，但是，对于某些问 题，问题的基本解很难求出。 二者的耦合起来解决问题还是有人做的，尤其 是模拟半无限空间体时一般用有限元对分析域内部进行求解，而在边界上采 用边界元，这在二维、三维波动问题数值模拟中还是较为常用的，利用有限 元适合于解决大规模问题和边界元适合于解决无限域问题和解的精度高的特 点，来更好地解决实际问题！对于有些问题，用两者耦合的方法是比较好的
有限元和边界元方法
√
泊松方程的有限元方法(5/11) 泊松方程的有限元方法(5/11)
e0 e1+1 建立顶点和结点的( − ) 建立顶点和结点的(V−n)对应关系 ① 单元编号： 单元编号：有一条边在 Γ2 上且 e1 q≠0 的单元编号为 1, 2, …, e1，其 ≠ , ② ③ 余的单元编号为 余的单元编号为 e1+1, e1+2, …, e0 Γ2 顶点编号： 顶点编号：用 V(e, i) 表示，逆时针方向，2和 3在 Γ2 上 ( , ) 表示，逆时针方向， 结点编号： 结点编号：内部和 Γ2 上的结点编号为 1, 2, …, n1，Γ1 , 上的结点编号为 n1+1, n1+2, …, n0 , 建立顶点和结点的对应关系： ( , ) 建立顶点和结点的对应关系：V(e, i) = n 集成泛函和建立方程 泛函的离散化 K 为总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵 (z i j) 合成 为总体刚度矩阵， Rf 由单元矩阵 (r f j) 合成，Rq 由单元矩阵 (r q j) 合成 合成， J(u) 被离散化为二次多元函数 J(u1, u2, …, un0) ( ) ( , 0 Γ1
√
波动方程的有限元方法(1/1) 波动方程的有限元方法(1/1)
二维波动方程 二维波动方程 2
∂u ∂u 2 = D∇ u + f ( x, y ), u t =0 = u0 ( x, y ), = R ( x, y ), u Γ = 0 2 ∂t ∂t t =0 离散化 ∂ 2u ∫∫D ∂t 2 φi dσ + ∫∫D D∇u ⋅ ∇φi dσ = ∫∫D f φi dσ u ( x, y, t ) = ∑ α i (t )φi ( x, y ), φi 为基函数, φi ( x j , y j ) = δ ij 关于 αi(t) 的常微分方程组 ) d 2α M 2 + Kα = f dt M ij = ∫∫ φiφ j dσ , K ij = D ∫∫ ∇φi ⋅ ∇φ j dσ , f i = ∫∫ f φi dσ
自然边界元与有限元求解平面弹性问题的耦合法.
自然边界元与有限元求解平面弹性问题的耦合法臧彤,赵慧明,杨敏(中国矿业大学力学与建筑工程学院,江苏徐州 221008摘要:为了更充分地利用有限元与自然边界元各自的优点,并尽量减少由于方法的局限性造成的在计算量及计算精度上的不足。
本文引入了有限元与自然边界元耦合的方法,在文中简单介绍了自然边界元法及其与有限元的耦合的原理,通过设置含有重叠区域的圆形人工边界,实现自然边界元法与有限元法的耦合,并把该方法应用到无界区域上的实际算例中,从计算结果的比较中可以看出自然边界元与有限元耦合算法的收敛速度更快,充分体现了耦合法在解决无界区域问题上的优越性。
关键词:自然边界元法;有限元法;无界区域;耦合法;D-N迭代中图分类号:TB112A coupling method of natural boundary element and finiteelement for the planar elastic problemZang Tong, Zhao Huiming, Yang Min(School of Mechanices and Civil Engineering, China University of Mining and Technology,JiangSu XuZhou 221008Abstract: In order to make better use of finite element and boundary element’s the merits, and to minimize the deficiencies in calculating the amount and accuracy on the deficiencies caused by method limitations, this article introduced the natural boundary element method and its coupling with the finite element process, and described simplythe natural boundary element method and its coupling with the finite element process in the text. This paper gave a briefing on the natural boundary element iterative realization of D-N by setting a circular artificial boundary containing the overlap region, and applied the method to the real unbounded example. By the comparing of results from the different calculation methods, the precision and algorithm converges of results by using coupling method were more good. The analysis fully reflected the superiority of coupling method to solve unbounded regional problems. Keywords:NBEM; FEM; unbounded regional; direct coupling method; D-N iteration0引言自然边界元法与有限元法自创立以来,在众多领域都取得了瞩目的成就。
三维波动方程的解法
三维波动方程的解法随着科技的发展，数字化软件的使用越来越广泛，计算机模拟已经成为了许多领域中不可或缺的重要工具，如气象预报、油气勘探、地震预测等。
在这些领域中，三维波动方程的解法是一项至关重要的任务，本文将介绍一些常见的解法。
一、有限差分法有限差分法是一个经典的数值解法，其基本思路是对微分方程进行离散化处理，然后求解离散化方程组。
在三维波动方程中，有限差分法的思路是将连续的空间进行网格化，将时间轴分成若干个时间步长。
这样，在每个时间步长内，将每个空间点一一计算，从而得到下一个时间步长的解。
有限差分法的优点是简单易懂，方便实现，但是它的精度可能会受到差分步长的影响，因此需要注意选择适当的差分步长。
二、有限元方法有限元方法是一类广泛应用于各个领域的数值分析方法，它的基本思路是将求解区域分割成若干小单元，然后通过求解每个小单元内的问题，从而得到整个求解区域的解。
在三维波动方程中，有限元方法可以将求解区域分割成若干四面体单元或者六面体单元。
通过计算每个单元的刚度矩阵和质量矩阵，可以得到离散化的三维波动方程。
然后通过求解离散化方程组，就可以得到整个求解区域的解。
有限元方法的优点是可以适应复杂的求解区域，精度高、收敛速度快。
当然，它的复杂度也比有限差分法高一些，需要更多的计算资源。
三、边界元法边界元法是一种利用边界条件而不是体系方程求解问题的方法，它的基本思路是将求解区域的边界分解成若干离散的小元素，然后通过求解每个小元素之间的关系，从而得到整个求解区域内部的解。
在三维波动方程中，边界元法可以将求解区域的边界分解成若干小面单元，然后通过求解相邻面积之间的关系，从而得到三维波动方程的解。
边界元法的优点是可以减少求解区域的离散化，大大降低了计算量。
然而，边界元法需要求解每个小元素之间的关系，该关系矩阵中存在一个对角主元，会导致矩阵的条件数很大，因此需要特殊的算法来求解。
结语：三维波动方程的解法有许多种，但是每种方法都有自己的优缺点。
有限元、边界元、无网格法的比较
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：1、网格划分有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。
单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。
节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。
几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。
(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代图1 网格-节点示意图2、形函数的产生：有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。
有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。
形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。
3、边界条件有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。
，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
4、系统离散方案有限元法是建立在虚功原理上的。
若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。
有限元与边界元
有限元与边界元(下)(总82页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二部分 边界单元法第一章 边界元法数学基础狄拉克δ函数在物理现象中我们用到的质点，点电荷等物理概念。
如质点，为质量集中的点，其体积趋于零，故它的密度（质量/体积）趋与无穷大，但它的密度的体积分（总质量）却是个常数，所以可以任意选择该常数为1。
于是得一个单位质点；在电学中的点电荷也有相似的特征，即其体积趋于零，故它的电荷密度g （电量/体积）趋于无穷大，但它的电荷密度的体积分也是一个常数，也取为1。
于是得到一个单位点电荷。
为了描述这一类抽象概念。
在数学上引入了一个δ函数，定义δ函数如下：设)(z y x 、、ρρ=及)(00000z y x 、、ρρ=是区域Ω内的任意两点，0ρ是一个固定点。
如果⎩⎨⎧≠=∞=-00,0,)(ρρρρρρδ （）⎰Ω⎩⎨⎧Ω∉Ω∈=Ω-000,0,1)(M M d ρρδ 则称)(0ρρδ-为δ函数。
可以把)()()()(0000z z y y x x ---=-δδδρρδ视为质点或点电荷的位置坐标，那么δ函数)(0ρρδ-反映了上述物理现象。
对于二维、三维δ函数可以写成下列形式：二维)()()(000y y x x --=-δδρρδ 三维)()()()(0000z z y y x x ---=-δδδρρδ由上述定义式（）和可推出今后我们要用到的几个重要性质。
1、当p 在Ω域的边界Γ上，且P 处的边界光滑时，则21)(⎰Ω=Ωd p δ 证明：对于二维情况，域Ω为一平面，如图设P 位于域Ω的边界上，我们以P 为圆心，在Ω内作一半径无限小的半圆ε（因P 外边界光滑，故Ω内，ε是半圆）。
由（）式，)(p δ在ε以外都为0，故⎰⎰Ω=ΩΩεδδd p d p )()( 由式，因为ε为半圆，故21)(⎰=Ωεδd p2、设函数u 在P 点处连续，当P 在域Ω内时，则⎰Ω=Ω)()(p u d p u δ式中u(p)为P 处的函数值。
基于有限元和边界元的噪声分析
基于有限元和边界元的噪声分析有限元和边界元是两种常用的数值分析方法，可用于进行噪声分析。
这两种方法在噪声分析中的应用非常广泛，可以对噪声产生的原因和传播路径进行详细的研究。
在有限元和边界元中，噪声问题通常被建模为声学波动问题，其中声场的传播和散射被描述为弹性波动方程或亥姆霍兹方程。
这些方程可以用于计算声场的传播和散射路径，并分析噪声的产生和传播机制。
有限元方法是一种广泛应用于结构力学和声学问题求解的数值方法。
它将一个连续域的问题离散化为一个有限数量的元素，并通过求解元素的局部方程来得到整个问题的近似解。
在噪声分析中，有限元方法可以用于计算噪声源在结构中产生的振动场，并进一步用于计算振动场在空气中产生的声场。
通过在结构上放置传感器，还可以用有限元方法进行噪声源的识别和定位。
边界元方法是一种将问题边界作为主要求解域的数值方法。
在边界元方法中，问题的边界被分割为一系列小的面元，然后使用边界元方程来求解问题。
在噪声分析中，边界元方法可以用于计算声源在结构表面产生的辐射声场，并进一步用于计算声场的传播路径和辐射效果。
通过在结构表面放置传感器，还可以用边界元方法进行声源的识别和定位。
无论是有限元方法还是边界元方法，真实问题的准确建模是非常重要的。
在噪声分析中，需要考虑到声源的特征和位置、结构的几何形状和材料特性、周围环境的声学特性等方面的信息。
同时，还需要合理选择网格大小和离散化方案，以保证计算结果的准确性和可靠性。
此外，有限元和边界元方法还可以与其他数值方法相结合，例如模态分析、频域分析等。
这些方法可以进一步扩展噪声分析的应用范围，并提供更加全面的结果。
总结起来，基于有限元和边界元的噪声分析方法在建筑、机械、航空航天等领域有广泛的应用。
它们可以用于分析噪声源的产生和传播路径，评估噪声对结构和环境的影响，并为噪声控制和优化提供技术支持。
随着计算机技术的不断发展，有限元和边界元方法在噪声分析中的应用将得到更加广泛和深入的发展。
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
结构优化设计的数值模拟方法
结构优化设计的数值模拟方法随着工业化的发展，各种机器和设备越来越普及，也出现了越来越多的问题。
其中之一是工程结构设计问题。
结构设计是一个非常复杂的过程，需要大量的试验和分析。
为了解决这个问题，我们可以使用数值模拟方法来进行优化设计。
本文将介绍结构优化设计的数值模拟方法。
一、FEM和BEM有很多数值模拟方法可以用来进行结构优化设计。
其中最常用的两种方法是有限元法（FEM）和边界元法（BEM）。
有限元法是一种数值分析方法，用于解决连续介质的一般问题。
有限元法把一个连续体分成一些小部分（称为有限元），然后通过对这些部分进行数学建模，来得出连续体的行为和响应。
该方法用于模拟固体、流体和热传导等物理过程。
边界元法是另一种数值模拟方法，用于求解偏微分方程。
边界元法把问题的解写成边界上的积分形式，然后通过求解这些积分来得到问题的解。
该方法通常用于计算电磁场、声波和弹性问题等。
二、优化算法在应用有限元法或边界元法进行结构优化设计之前，需要选择一种优化算法。
以下是常用的几种优化算法：1. 梯度下降算法梯度下降算法是最常用的优化算法之一，它通过计算函数的梯度（导数）来找到函数的最小值。
该算法可以用于求解非线性问题，并且在需要优化的变量较少的情况下非常有效。
2. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。
该算法不需要求解函数的梯度，并且可以用于求解复杂的非线性问题。
但是，遗传算法通常需要更多的计算时间来获得最优解。
3. 粒子群算法粒子群算法（PSO）是一种优化算法，模拟群体的行为，每个个体通过与其它个体交互，来达到最小化目标函数值的目的。
该算法也可以用于非线性问题，并且比遗传算法计算时间少。
这些算法在应用时可以根据具体的问题来选择。
三、结构优化设计流程结构优化设计的流程包括以下几个步骤：1. 设计变量选择结构设计中的设计变量是指在设计中可以被改变的变量。
这些变量包括材料的选择、结构的几何参数、载荷等。
在进行结构优化设计时，要选择适当的设计变量。
第九章_有限元法-边界积分方法_270802905
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
3
是位于其镜像位置的 − J z 在自由空间中产生的场。 因为镜像场等效于源场被无限 导电面反射而形成的场，因此将它记为 E zref 。剩下的第三项表示由于开口扰动而 产生的场。因此，式(9-11)可简写为 ∂ (2 ) j ˆ )dx' (9-12) (k0 ρ − x' x E z (ρ ) = E zinc (ρ ) + E zref (ρ ) + ∫ E z ( x') H 0 2 Γa ∂y 为了导出口径场 E z 和它的法向导数之间的关系，取上式对 y 的偏微分，得 到 ∂E z (ρ ) ∂E zinc (ρ ) ∂E zref (ρ ) j ∂2 (2 ) ˆ )dx' (9-13) + ∫ E z ( x ') 2 H 0 (k0 ρ − x' x + = Γ ∂y 2 a ∂y ∂y ∂y (2 ) ˆ 处满足齐次亥姆霍兹方程，当 y f 0 时，式(9-13)可写为 因为 H 0 在 ρ ≠ x' x
Ωs
(
)[
]
(
)
其中 Ω s 表示具有电流 J z 的源区域。引用第二格林定理，上式可写为
⎡ ∂Ge ρ , ρ ' ⎤ ' ∂E z (ρ ) − E z (ρ ) Ge ρ , ρ ⎥ ∫∫Ω∞ E z (ρ ) ∇ Ge ρ , ρ + k Ge ρ , ρ dΩ + ∫Γ∞ ⎢ ∂n ∂n ⎣ ⎦
第九章 有限元-边界积分方法
在电磁学中，尤其是在电磁散射和辐射领域中，许多问题都涉及到开放的无 限区域。它们的数值分析通常使用积分方程和有限元方法进行。在前面的章节中 已经看到，有限元法有一个相对简单的共识，对模拟复杂的结构具有吸引力。更 为重要的是，它产生稀疏的带状矩阵，而该矩阵可以高效率地存储和求解。 假设所有源和物体均在自由空间中，并位于距坐标系原点有限的距离内，那 么电场和磁场应该满足
机械结构的模态分析与优化方法研究
机械结构的模态分析与优化方法研究引言：机械结构的模态分析与优化方法是工程领域中重要的研究课题之一。
通过对机械结构的模态分析，可以了解结构的固有频率、振型及其对外界激励的响应情况，为设计、制造和使用提供重要依据。
而模态优化是指在满足结构强度和刚度的前提下，选择合理的材料、几何形状和结构参数，以实现结构自然频率的要求。
本文将介绍机械结构的模态分析与优化方法，并讨论其在工程实践中的应用。
一、模态分析方法1. 有限元法有限元法是一种常用的模态分析方法，通过将结构划分为有限个单元，并在每个单元内建立适当的数学模型，最终求解结构的固有频率和振型。
该方法可以考虑复杂的结构形状和材料特性，广泛应用于工程实践中。
2. 边界元法边界元法是一种基于势能原理和边界条件的计算方法。
通过建立结构的边界条件和振动方程，可以求解结构的固有频率和振型。
与有限元法相比，边界元法具有计算效率高、计算量小等优点，适用于小挠度、大边界问题的模态分析。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性代数方程组的数值方法，可以用于求解结构的固有频率和振型。
此方法通过迭代的方式逼近非线性方程组的解，具有收敛速度快、精度高等特点，适用于复杂的非线性系统。
二、模态优化方法1. 参数化建模参数化建模是模态优化的基础。
通过对机械结构进行合理的参数化处理，将结构几何形状和结构参数与优化目标关联起来，为后续的优化计算提供基础。
2. 目标函数设定模态优化的目标是满足结构固有频率要求的情况下，选择最合适的材料、几何形状和结构参数。
因此，在模态优化中，需要明确优化目标并将其转化为具体的数学表达式，以便进行优化计算。
3. 优化算法选择模态优化中常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
这些算法可以在设计空间中进行搜索，找到满足优化目标的最优解。
根据具体问题的特点，选择合适的优化算法对模态优化进行计算。
三、应用案例1. 汽车底盘结构的模态分析与优化通过对汽车底盘结构进行模态分析，可以了解其固有频率和振型分布情况。
有限元、边界元、有限差分法的区别
有限元法、边界元法、有限差分法的区别和各自的优点请问：有限元法、边界元法、有限差分法等方法有哪些区别和各自的优点？尤其是在声学方面。
谢谢！网格的跑分上不同,差分要求模型规则,有限元可以是任意不规则模型,FEM: irregular grid-> easy to describe complex shape, hard in mesh generationFDM: regular mesh -> easy in grid generation, hard to describe complex shape=> less accurate than FEMBEM: irregular mesh in boundary -> mesh generation much easier than that of FEM. need much less computation resource than the above two. BUT need basic solution (Green function) at the boundary.对于这个基础问题一定要搞清楚，不然有限元就无从谈起。
有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足,但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太多的模型,计算速度慢边界元法的优点是域内二维问题化成了边界一维问题来处理,自动满足透射边界,但是构造G函数非常麻烦有限差分法适合大尺度(如地震波),方法简单,计算速度快,但是边界处理太麻烦.:) :( :D :'([quote]原帖由[i]jonewore[/i] 于2007-10-1 20:31 发表[url=/forum/redirect.php?goto=findpost&pid=1152036&ptid=7785 04][img]/forum/images/common/back.gif[/img][/url]有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足,但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太多的模型,计算速度慢边界元法的优点是域内二维问题化成了边界一维问题来处理,自动满足透射边界,但是构造 ... [/quote]你说自动满足透射边界是什么意思？是说边界的反射波可以完全吸收吗(不用再使用人工边界？)？能不能详细说一下呢。
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边界元与有限元边界元法boundary element method定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科)边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
简介边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的基础边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到的离散算式。
Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法求解了位势问题；Rizzo[3]于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；Cruse[4]于1969年将此法推广到三维弹性力学问题。
1978年，Brebbia用加权余量法推导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以Kelvin解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
在方法与应用方面，现在，边界元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。
在软件应用方面，边界元法应用软件已由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展。
我国约在1978年开始进行边界元法的研究，目前，我国的学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，并且发展了相应的计算软件，有些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果。
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
简介在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N 个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。
对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
其基本思路和解题步骤(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。
区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。
有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。
对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
有限元有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
简介Finite Element有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。
离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。
所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
2）单元特性分析A、选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。
这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。
通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。
这种函数称为位移模式或位移函数。
B、分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。
此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
C、计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。
但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。
因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
3）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程（1-1）式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。