人教A版高中数学选修1-1学案 2.1.2椭圆及其简单几何性质(1)

§2.1.2 椭圆及其简单几何性质（一）

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；

2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．

一、课前准备

（预习教材P37~ P40找出疑惑之处）

复习1：椭圆

22

1

1612

x y

+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．

复习2：方程

22

1

5

x y

m

+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．

二、新课导学※学习探究

问题1：椭圆的标准方程

22

22

1

x y

a b

+=(0)

a b

>>，它有哪些几何性质呢？

图形：

范围：x：y：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：刻画椭圆程度．

椭圆的焦距与长轴长的比c

a

称为离心率，记

c

e

a

=，且01

e

<<．

试试：椭圆

22

1

169

y x

+=的几何性质呢？

图形：

范围：x：y：

对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；

离心率：

c

e

a

== ．

反思：b

a

或

c

b

的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

※典型例题

例1 求椭圆22

1625400

x y

+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是22

981

x y

+=呢？

小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；

②注意焦点所在坐标轴．

例2 点(,)

M x y与定点(4,0)

F的距离和它到直线

25

:

4

l x=的距离的比是常数

4

5

，求点M的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．

※动手试试

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，6

a=，

1

3

e=；

⑵焦点在y轴上，3

c=，

3

5

e=；

⑶经过点(3,0)

P-，(0,2)

Q-；

⑷长轴长等到于20，离心率等于3

5

．

三、总结提升

※学习小结

1 ．椭圆的几何性质：

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2 ．理解椭圆的离心率．

※知识拓展

（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球

与地面的接触点是椭圆的焦点．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值是（ ）．

A ．3

B ．3或253

C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．

A ．34

B ．23

C ．12

D ．14

3．，离心率23e =

的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．

A ．3

B ．6

C ．12

D ．24 4．已知点P 是椭圆22

154

x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．

1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴22

936x y +=与22

11612x y += ； ⑵22

936x y +=与22

1610x y += ．

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴经过点(P ，Q；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)

P；

⑶焦距是8，离心率等于0.8．