最优化理论与算法完整版课件
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最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
最优化理论与算法课件 (5)
A
A
A , b b, x , x 0, c任取如 c 0
若有多项式时间的LP算法，能够判断问题 *
不可行，则不等式组Ax b无解；或者得到其最优
解或判定问题无界，则得到不等式组Ax b的一个
解，显然就以多项式时间解决了问题Ax b。
定理：存在求解LP问题的多项式时间算法的充要条件
椭球法
第一个可以在多項式时间內解决一般线性规划问
题的解法。
min cx (P) s.t. Ax b
x 0
max bT w
(D)
s.t.
AT w c
w0
根据(P) 与(D) 的对偶关系, 我们可将两者的最优解以
一组最优性条件联结起来:
Ax b, x 0
走路径最短。
• 解：设xij=1若商人行走的路线中包含从城市i到j的路径，否则xij
=0。
min
i j
d ij xij
n
s.t.
xij 1, i 1,2,, n
j 1
x n i1 ij
1,
j
1,2,, n
xij | S | 1, 2 | S | n 1 S {1,, n}
等式组有解 x*, w*，则x *是LP问题的最优解，w*是其对
偶问题的最优解；若该联立不等式组无解，考虑不等式组
Ax b , x 0
若它有解，则LP问题无界；否则LP问题不可行。
只要能有效的解决最优性条件的线性不等式, 就能夠同时的解决一个线性规划问题(P) 以及它的 对偶问题(D)。椭球法正是一种专门解决线性不等 式的方法。
界K，则有
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2,L , m
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2020/4/8
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2020/4/8
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
2020/4/8
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
Printice-Hall
徐光辉、刘彦佩、程侃
科学出版社，1999
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
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15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法课件 (4)
广义消去法
令S 和Z 分别为n m和n n m 矩阵，满足 AS I , AZ 0 且 S : Z 为可逆矩阵，则有x Sb是方程 Ax b的一个可行解，设d 为Ax 0的解，则 方程Ax b的通解为 x Sb d .
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
取 令
ˆk } k min{1, x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) .
如果
k
a x
p
bp a x a d
p p (k )
p
(k )
1,
(k )
则在点x ( k 1)，有
( k 1)
a (x
p
kd
( k 1)
(k )
) bp
若x是任一可行解，则有Ax b, 在该点目标 函数的梯度为： f ( x) Hx c
x x Qf ( x) Rf ( x)
min x 2 x x 2 x1 x2 x3 s.t. x1 x2 x3 4
1 5 3 4 4 2 , S 1 11 5 3 4 2
最优解为： x1 T 21 43 3 x x2 ， ， 11 22 22 x3
直接消去法
1 T T min f ( x) x Hx c x 2 s.t. Ax b
2 2 0 0 1 1 解：H 2 4 0 , c 0 , A 2 1 0 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1 H 0 2 2 0 0 1 2
最优化理论与算法课件 (10)
例：考虑标准形式的线性规划
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
(LP) min cx | Ax b, x 0,
令X {x n | x为LP的基本可行解}，若定义算法映射 A(x) {y n | y为LP的基本可行解,并且y和x的基矩阵是相邻的}， 那么对于任意一个基本可行解x(0) X，迭代格式x(k1) A(xk )就生 成一个相邻的基本可行解序列。
算法概念
一．下降迭代算法
迭代：从一点x(k)出发，按照某种规则A，求出后继点x(k 1)， 用k 1代替k，重复以上过程，得到一个解的序列{x(k)}， 若该序列有极限点x *，即 lim x(k) x * 0
k
则称它收敛于x *。 下降： 在每次迭代中，后继点处的函数值要有所减少。
k
k
当x(i,k ) x(0) 1时，y(i,k ) y(0) 1(k ),并且y(0) A(x(0) ) {1}.
该算法在每一点x R1都是闭的。
考虑下列非线性规划：
y
min x2
s.t.
x 1.
y=(2x+3)/3
3
y=(x+1)/3
定义算法映射：
不妨设 lim x(k j 1) x, 则x X . j
( x)连续， lim ( x(k j 1)) ( x ), j
根据极限的唯一性，有 (x ) (x)。
x(k j 1) A( x(k j ) ), x(k j ) x, x(k j 1) x 由于算法A在的补集上是闭的，x A在x处是闭的 x A(x)
原因：A在解集合外面不是闭的。
实用收敛准则
1.
x(k 1) x(k )
x(k 1) x(k )
最优化理论与算法
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
最优化理论与算法课件 (12)
3、LP问题存在无界解
例： min z 3x1 4x2
s.t x1 3
l1
x1 x2 1 l2
x1, x2 0
x2
l1
z
3 l2
2
C
1
B
O A1 2 3 4
x1
判断：若LP的可行域无界，则该LP可能 存在无界解。
• 能解决少量问题
• 揭示了线性规划问题的若干规律
规律1： 有可行解
1、系数矩阵A中任意m列所组成的m阶可逆子方阵B，
称为(LP)的一个基(矩阵)，变量xj，若它所对应的 列Pj包含在基B中，则称xj为基变量，否则称为非
基变量。基变量的全体称为一组基变量，记
xB1 , xB2 , , xBm .
基矩阵的个数最多为
Cnm
n! m!(n
m)!
2 设A B
三、决策变量x j无非负限制的转换 如：x j无非负约束
引入xj 0, xj 0, 令x j xj xj
如： 1 x3 5, x3 1, x 3 5 令 x3' x3 1, 则 x3 0, x3 4
例： max z 3x1 2x2 x3
2 5
0
0 T x(2) (4
0
-2
0)T
x(3) (6
0
0 -2)T
x(4) (0 -2 -12 0)T x(5) (0 2 0 8)T x(6) (0 0 -6 4)T
只有x(1)和x(5)为基本可行解。
非可行解
可行解
约束基方本程的 可解行空解间
基本解
max Z 6 x1 4 x2
x3 x6 5
最优化理论与算法完整版课件陈宝林PPT课件
2020/3/26
可编辑
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 20对20/策3/2论6 等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
可编辑
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
2020/3/26
可编辑
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ··· xn )
f(x)=0
2020/3/26
可编辑
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ··· xn) s.t. gk (x1 x2 ··· xn )=0, k=1,2,…,m
欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
2020/3/26
可编辑
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
无约束最优化的直接方法 最优化理论与算法 教学PPT课件
若f ( y( j) jd ( j) ) f ( y( j) ),则令
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
最优化理论与算法课件 (1)
) p( x )
(k )
(3) f ( x ( k 1) ) f ( x ( k ) )
证明： (1)由F ( x, ) f ( x) p ( x)和 k 1 k 知 F ( x ( k 1) , k 1 ) f ( x ( k 1) ) k 1 p ( x ( k 1) ) f ( x ( k 1) ) k p ( x ( k 1) ) F ( x ( k 1) , k ) x ( k )是F ( x, k )的极小点, 对x, 有F ( x, k ) F ( x ( k ) , k ) F ( x ( k 1) , k ) F ( x ( k ) , k ) F ( x ( k 1) , k 1 ) F ( x ( k ) , k )
(k )
) k 1 p ( x
( k 1)
)
k p( x ( k 1) ) k 1 p( x ( k ) ) k p( x ( k ) ) k 1 p( x ( k 1) )
k 1 k p ( x ( k ) ) k 1 k p ( x ( k 1) ) p ( x ( k ) ) p ( x ( k 1) )
(3) 由(*), 得 f (x
( k 1) (k )
(2) p( x ( k 1) ) p( x ( k ) )
) f ( x ) k p( x ) p( x
(k )
(3) f ( x
( k 1)
) f (x )
(k )
( k 1)
)
0
引理2 设x * 是问题( A)的一个最优解, 则对k , 有
最优化理论与算法课件 (13)
3.置ak 1 k , bk 1 bk , k 1 k ,
k 1 ak 1 0.618(bk 1 ak 1 ), 计算f ( k 1 )，转5。
4.置ak 1 ak , bk 1 k , k 1 k ,
k 1 ak 1 0.382(bk 1 ak 1 ), 计算f (k 1 )，转5。
x
性质：通过计算区间[a, b]内两个不同点处的函数值， 就能确定一个包含极小点的子区间。 定理：设f ( x)是[a, b]上的单峰函数，x1 , x2 [a, b]且 x1 x2，
若f ( x1 ) f ( x2 )，则对任意x [a, x1 ]，有 f ( x) f ( x2 )， 若f ( x1 ) f ( x2 )，则对任意x [ x2 , b]，有 f ( x) f ( x1 )。
2
得
1 5 2 1 5 0, 0.618 2
k ak 0.382(bk ak ) k ak 0.618(bk ak )
[a1,b1],L>0
1 a1 0.382(b1 a1 ) 1 a1 0.618(b1 a1 ) 计算f (1 ), f ( 1 )，k 1
5.置k k 1，返回2。
优点:不要求函数可微,甚至当函数不连续时，
0．618法仍可应用。
缺点：收敛比较慢，0．618法只适用于单
峰函数，所以需要先确定单峰区间， 再使用0．618法的计算公式。
k 1 2 3 4 5 6 7 8
例： min e x 5 x (1 x 2), L 0.04. ak bk k k f ( k ) f (k ) 1 2 1.382 1.618 2.928 3.048 1.382 2 1.618 1.764 3.048 2.985 1.382 1.764 1.528 1.618 3.032 3.048 1.528 1.764 1.618 1.674 3.048 3.037 1.528 1.674 1.584 1.618 3.046 3.048 1.584 1.674 1.618 1.640 3.048 3.046 1.584 1.640 1.605 1.618 3.048 3.048 1.584 1.618
最优化理论与算法完整版课件
n
xij ai
j
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
TP SHUAI
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
29
基本概念
Df 1. 1 设f(x)为目标函数，S为可行域，x0S,若对 每一个x S,成立f(x)f(x0),则称x0为极小化问题min f(x),
x S的最优解（整体最优解）
Df 1.2 设f(x)为目标函数，S为可行域，
若存在x0的邻域 N (x0 ) {x | x x0 , 0} 使得对每个x S N (x0),成立f (x) f (x0)
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
最优化理论与算法ppt
x 为的严格局部极小值点（极大值）
Page 17
凸集、凸函数与凸优化问题
凸组合：已知 D ，Rn任取k个点，如果存在常 数
k
使得ai
0
(i 1则, 2称,, k为) ai i 1
1
如果函数在点P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向L的转角
Page 11
函数的方向导数与极值问题
梯度
函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
(2) 若 f (x0)T P 0，则P的方向是函数在点x0 处的上升方向。
方向导数的正负决定了函数值 的升降，而升降的快慢就由它的 绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快
Page 14
结论：
(1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零； (3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度
以 f (x) 的n个偏导数为分量的向量称为在处的梯度，
记为
f
(
x)
f (x) x1
,
f (x) ,
x2
,
f (x)T
xn
梯度也可以称为函数关于向量的一阶导数。
Page 12
Hesse矩阵
2 f (x)
x12
2 f (x)
2
f
( x)
H (x)
x2x1
2 f (x)
2c 0
xnx1
目标函数的等值面（线） 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
最优化理论与算法课件 (14)
v
美国人爱迪生, 用博弈论和统计分析方法研究并给 出了商船避免德国潜艇袭击的航行策略, 也对以后 运筹学的发展有影响
雷达与“Blackett马戏团”
v
1935年, 英国人沃森--瓦特(R. Watson-Wart〉发明了雷达. 但很快发现由这些雷达得到的信息常常是互相矛盾的, 需要 加以协调和关联.
From /Join/Orms.html
A New Definition of OR
Institute for Operations Research and Management Science (INFORMS, merger of ORSA and TIMS)
v
1939年组建了代号为"Blackett马戏团"的研究小组, 专门进行 系统的研究, 大大提高了英国本土的防空能力
v
“Blackett马戏团”是世界上第一个使用了“Operational Research”一词; 从学术思想上, 他们的研究已经蕴含着整体 性的概念和系统分析的思想，这也是运筹学的精髓
关于约束条件，由于假设熔炼时重量没有损耗，熔炼该种 不锈钢100吨，它由原料T1 , T2 , T3 , T4 熔炼而成，故有等式约束
x1 x2 x3 x4 100
又因该不锈钢所需铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni）的最低质 量分数是由4种合金T1 , T2 , T3 , T4 对相应元素的质量分数构成， 注意到要熔炼该种不锈钢100吨，于是得到铬（Cr）、锰 （Mn）和镍（Ni）的质量分数满足的不等式约束
数学模型----整数线性规划问题
如果各பைடு நூலகம்合金的加入量以整吨为单位，即有限制
x1 , x2 , x3 , x4 0
最优化理论与算法课件 (15)
x1， x 2 0，且为整数
求ILP问题的伴随规划的最优解(值)为：
x * (4.8,0), Z * 96
而x (1) (5,0)不是可行解；
x(2) (4,0)是可行解，但 Z 80非最优值
此IP问题的最优解(值)为：
x * x ( 3 ) ( 4 ,1 ), Z * 90
B 7x1+20x2=70
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x1≤[x(0)]
x1≥[x(0)]+1
例:求解下列整数规划问题
( A0 )
max s.t.
z 10x1 20x2
0.25x1 0.4x2
x1
3 8
x2 4
x1, x2 0, 整数
max cx
Ax b
ST :
x
i
0,
xi部分或全部为整数
min cx
Ax b
ST :
x
i
0, xi部分或全部为整数
3、与LP问题的区别
（1）求解方法方面 在例1中，
MaxZ 20 x1 10 x 2
ST :
5 x1 4 x 2 24 2 x1 5 x 2 13
若能从A0的约束条件中观察到一个整数可行解， 则可将其目标函数值作为A0目标函数值的初始下 界，否则令z .
本例中，很容易得到一个整数可行解（0，0)T , 所以令z 0.
(B0 )最优解：x0* (5.6, 4)T .
3.增加约束条件将原问题分枝
( A1)
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最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 1996.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
TP SHUAI
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
TP SHUAI
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2006)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 19 Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
TP SHUAI
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
min f (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
TP SHUAI
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
TP SHUAI
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
TP SHUAI
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
TP SHUAI
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
Printice-Hall Inc.,1982/1998
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，1999
TP SHUAI
4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
TP SHUAI
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0