直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

这个定理用符号语言可表示为：

这个定理用图形语言可表示为：如图3.

图3

④已知a④α，a β，α∩β=b.求证：a④b.

证明：

④应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.

④应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.

例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

图4

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与面AC是什么位置关系？

练习

如图6，a④α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.

图7

已知直线a,b,平面α,且a④b,a④α,a,b都在平面α外.

求证：b④α.

练习

如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH④FG.

图8

例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.

图9

已知a④b,a⊂α，b⊂β，α∩β=c.

求证：c④a④b.

练习

求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.

图10

已知：如图10,a④α,a④β,α∩β=b，

求证：a④b.

练习

如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 上，求证：BD④面EFGH，AC④面EFGH.

练习

如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD 上，且CD=a，AB=b，CD④AB.

图12

（1）求证：EFGH是矩形；

（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.

提高练习：

求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.

已知：a、b是异面直线.

求证：过b有且只有一个平面与a平行.

图13

已知：a④α，A∈α，A∈b，且b④a.求证：b α.

图14