控制工程基础第5章习题解答

5.7 系统的传递函数方框图如图所示，已知25.0,1.021==T T ，
试求：
（1）系统稳定时K 值的取值范围； 解：
由题意可以写出系统的闭环传递函数为：
()()()()
K s s T T s T T K s T s T s K s T s T s K
s G B ++++=+++
++=2213212121)(11111)( 系统的特征方程为：0)(221321=++++K s s T T s T T
即：04040141)(232
121221213=+++=++++K s s s T T K
s T T s T T T T s
由特征方程写出
根据Routh 判据，系统闭环稳定的充要条件为：
⎩
⎨⎧>>-040040560K K 即：
014>>K
5.9试根据下面开环频率特性，使用Nyquist 判据分析相应的闭环系统的稳定性
()()110110
)(++=ωωωωj j j j G K
解：使用Nyquist 判据要求画出开环频率特性)(ωj G K 的Nyquist 轨迹
)(ωj G K 的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：
)
1100()1(10
)(2
2++=
ωωωωj G K
1
10arctan
1
arctan
2
0)(ω
ω
π
ω---
=∠j G K
将)(ωj G K 表示成下式：
)
1100)(1()
10100(110)
1100)(1(10
)101)(1()(2
222
2++-+-=
++⋅--⋅-=
ωωωωωωωωωωωj j j j j G K
可得其实频特性函数与虚频特性函数分别为：
)
1100)(1(110)}(Re{22++-=
ωωωω
ωj G K
)
1100)(1()
10100()}(Im{2
22++-=
ωωωωωj G K
考虑ω的几个特殊值 当0=ω：
∞=)(ωj G 2)(π
ω-
=∠j G 当∞=ω： 0)(=ωj G πω23
)(-=∠j G
由于当ω从0变化至∞，)(ωj G ∠从2π-
变化至2
3π-，因此该系统的Nyquist 轨迹必然从复平面的第三象限移动至第二象限，也即轨迹必然与负实轴相交。

令0)
1100)(1()
10100()}(Im{2
22=++-=ωωωωωj G K ，即10
1=
ω
此时：
9)
110)(11.0(110
)
1100)(1(110)}(Re{22-≈++-=
++-=
ωωωω
ωj G K
即Nyquist 轨迹与负实轴相交点为（-9，j0）
由此可以做出)(ωj G K 的Nyquist 轨迹图，如下：
由此可见，系统的开环频率特性)(ωj G K 的Nyquist 轨迹对（-1，j0）点顺时针包围两圈，即N=2，
又因为开环系统的传递函数()()
110110
)(++=s s s s G K ，极点为1.0,1,0--=s ，全部位于s
平面的左半平面，即开环系统为最小相位系统，P=0。

所以，开环系统位于右半平面的零点个数Z=N+P=2，也即闭环系统具有位于右半平面的两个极点。

所以该闭环系统不稳定。

5.11 设系统的开环传递函数为：
()()
12.01)(++=s s s K
s G K
求K=10时的相位裕度γ和幅值裕度g K （
帮助公式：100)86.2()86.2(04.1)86.2(04.0246=++
48.4)
123.204.0()123.2(23.210
log
202
2
-=+⋅+-
）
解：系统的开环频率特性)(ωj G K 为：()()
12.01)(++=
ωωωωj j j K
j G K
)(ωj G K 的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：
)
104.0()1()(2
2++=
ωωωωK
j G K
1
2.0arctan
1
arctan
2
0)(ω
ω
π
ω---
=∠j G K 将)(ωj G K 表示成下式：
)
104.0)(1()12.0(2.1)
104.0)(1()2.01)(1()(2
222
2++-+-=
++⋅--⋅-=
ωωωωωωωωωωωK
j K K
j j j j G K
)
104.0)(1(2.1)}(Re{2
2
++-=
ωωωK j G K
)
104.0)(1()12.0()}(Im{2
22++-=
ωωωωωK
j G K
令c ω为剪切频率，即：
1)
104.0()1()
(2
2=++=
=c c c c
K K
j G ωωωωωω
相位裕度γ为：
1
2.0arctan
1
arctan
2
0)(c
c
c K j G ωωπ
πωπγ---
+=∠+= 令g ω为相位交界频率，即：
0)
104.0)(1()12.0()}(Im{2
22=++-=
ωωωωωK
j G K
也即：012.02=-ω 解得：23.2=g ω 幅值裕度g K 为：
)
104.0()1(log
20)
(log 202
2++-=-==g g g g
K g K
j G K ωωωωωω
当K=10情况下
1)
104.0()1(10
2
2=++c c c ωωω
即：24622204.104.0)104.0)(1(100c c c c c c ωωωωωω++=++= 由帮助公式，得86.2=c ω。

由此得相位裕度为：
0.1832- 86.22.0arctan 86.2arctan 2
012.0arctan 1arctan 20=⋅---+=---
+=π
πωωπ
πγc c 幅值裕度g K 为：
)
123.204.0()123.2(23.210
log
202
2
+⋅+-=g K
由帮助公式，得)(48.4dB K g -=
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
● 如果已经得到系统的波特图，可以根据波特图直接判断系统的幅值裕度、相位裕度 ● 幅值裕度、相位裕度工程实际要求是多少？
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作业：
5.4 5.19(1)(3) 5.10 5.12。