数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)

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2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc

第六章微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。

2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。

3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。

4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。

5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。

6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。

12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。

13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。

14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。

15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。

16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22

习题二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ，其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16+17

46．讨论函数
1 ⎧ 2 2 ( x , y ) ≠ 0,0) ⎪( x + y ) sin 2 f ( x, y) = ⎨ x + y2 ⎪ 0 ( x , y ) = (0,0) ⎩
在 ( 0,0) 处的可微性与偏导数的连续性． 47．设函数 u = f ( x , y ) 满足拉普拉斯方程
12．求下列函数的全微分． (1) z = x y
2 3
(2) z =
xy x−y ⎛ x+ y⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 1 − xy ⎠
(3) z = arcsin 13．求 z = xy sin 14．求 z =
y x 1 x + y2
2
(4) z = arctan⎜ ⎜ 在点 (0,1) 的全微分．
y ，当 x = 2 ，y = 1，Δx = 01 . ，Δy = −0.2 时的全增量 Δz 与全 x du ； dt
2 2 2
(3) u = ln( x +
y 2 + z 2 ) 从点 A ( 1 , 0 , 1 ) 到点 B ( 3 , − 2 , 2 ) 的方向.
2 2
27. 求函数 z = x + y 在点 p ( 1 , 2 ) 处的最大方向导数. 28. 求下列函数的梯度 (1) z =
4 + x 2 + y 2 在点 ( 2 , 1 ) ;
(2) z = x y − xy ，其中 x = u cos v，y = u sin v ，求
3
∂ 2z 17．设 z = yf ( x − y ) ，求 2 ． ∂y
2 2
18．求由下列方程确定的函数 y ( x ) 的导数． (1) x + 2 xy − y = a (3) xy − ln y = a

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05

第五章导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。

2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 xx x f x ∆+∆→∆)(lim00。

4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。

5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p xy ==7、求下列函数的导函数：⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f x x f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。

9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。

10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。

11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。

12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何R x x ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。

若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。

13、证明：若)(0x f '存在，则 )(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆14、证明：若函数f 在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K ，0)()(>''-+b f a f ，则在(a,b)内至少有一点ξ，使K f =)(ξ。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28．函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29．下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f-f<a>]=f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕；〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f ',k 为介于f '<a>与f '之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f,当f '<x>≤0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十七章（20200511214748）

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十七章（20200511214748）第十七章多元函数微分学、证明题 1. 证明函数J_ x 2y 2 222，x y= 0 f(x, y) = {x +yc2 , 2 c0, x +y =02. 证明函数(x 2 y 2)sin J 2,x + y 2 20, x y -0在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在原点(0,0)可微.3?证明：若二元函数f 在点p(X 0,y 。

)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(p)内连续?4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有arctg y - x+y.1 +xy5.试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和6.设乙/^,其中f 为可微函数,验证8.设f(x,y)可微，证明:在坐标旋转变换 x=u cos 0 -v sin 0 , y=usin 0 +v cos 07.设 Z=sin y+f(sin x-sin y), 其中f 为可微函数证明—excZsec x + ——secy=1.在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微f(x, y) = *之下.(f x 2+ (f y 2是一个形式不变量，即若g(u,v)=f(u cos 0 -v sin 0 ,u sin 0 +v cos 0 ).则必有f x 2+ f y 2= g u 2+ g v 2.(其中旋转角B 是常数) 9?设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求：F x (O,O)与 F g (0,0) 10.. 若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 kF(tx,ty,tZ)=t (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是：xF x x,y,z +yF y x, y,z + ZF X x, y,z =KF(x,y,z).11.. 设 f(x,y,z)具有性质 f tx,t k y,t m Z = t n f (x,y,z)(t>0) 证明：xJ..⑵ xf x,y,z +kyf y x,y,z + mzf z x,y,z =nf(x,y,z).12. 设由行列式表示的函数an(t ) a12(t ) ■■- am(t 】 a21(t ) a22(t ) a2n(t )a n1(t ) a n2(t ) a nn(t )其中a j t (i,j=1,2,…,n)的导数都存在证明anfi) a 12(t )am(ta n1(t ) a n2(t )a nn(t )13. 证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd( a u+ 3 v)= a grad u+ 3 grad v( a , 3 为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)= f (u)grad u.并证明:Z=xy 2 x 2 y 2-xy 为二次齐次函数(1)f(x,y,z)= x nf 1,ExD(t)=dD (t ), dt kda ；1(t ) a ：2(t ) a kn (t )14. 设f(x,y)可微,L i 与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明若fj x, y = 0(i=1,2)则f(x,y) 三常数? 15. 通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理证明对某丁 (0,1),有3=cos cos sin sin4 33 6 6 3 616. 证明：函数純詡2满足热传导方程：￡H=a 2—U18. 证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程19. 设函数u= ：:x ，证明：2 2.u :: u : u :: u----- I --------------- =---- 1 ----------2x ；x;y ;y ；x20. 设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)的某领域内存在,f yx 在点(X °,y 0)连续，证明f xy (X 0,y 0)也存在，且 f xy (X 0,y 0)= f yx (X 0,y 0),21. 设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(X 0,y 0)可微,则有 f xy (X 0,y 0)= f yx (X 0,y 0) 二、计算题1. 求下列函数的偏导数：u=1 2a 二t(a,b 为常数)2 217.证明：函数u=ln ： x - a ? y - b (a,b 为常数)满足拉普拉斯方程.:x 2-2 :u -+ :x-2:u—=0.则函数V=f(yx 2 y 22' 2 )也满足此方程x y=0.2.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsin二求 f x (x^.3. 设f 1 2 2ysin -------- 2 ,x y =0f(x, y)才 x 2+y 20,x 2 +y 2 =0考察函数f 在原点(0,0)的偏导数?4. 证明函数z= ?, x 2 y 2在点(0,0)连续但偏导数不存在5. 考察函数xysin ― ,x 2 y 2 =0f(x, y) = * x + y在点(0,0)处的可微性c2 丄 2cQ,x + y =06.求下列函数在给定点的全微分；(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2 在点(0,0),(1,1);x⑵ Z= -------------- 在点(1,0),(0,1).,x 2 y 27. 求下列函数的全微分 (1) Z=ysi n( x+y); yx -z(2) u=xe +e +y、/ ( y8. 求曲面Z=arctg —在点1,1,—［处的切平面方程和法线方程x I 4丿2 2 29. 求曲面3x +y -Z =27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.2 (4) Z=ln(x+y ); (5) Z=e xy ;(6) Z=arctg -;xsin(xy)⑺ Z=xye;y Z x(8) u=;x y zzy z2(1) Z=x y; (2) Z=ycosx;⑶Z= y 2(10) u= x(9) u=(xy)311. 计算近似值：23⑴ 1.002 X 2.003 X 3.004 ;(2) sin29 ° X tg46 ° .12. 设园台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm 高h=40cm.若R,r,h 分别增加 3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值13. 设二元函数f 在区域 D=[a,b] X [c,d]上连续 (1) 若在intD 内有f x 三0,试问f 在D 上有何特性？ (2) 若在intD 内有f x =f y = 0,f 又怎样？(3) 在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域2 2x /y 求曲面Z= 与平面y=4的交线在x=2处的切线与 OZ 轴的交角.4测得一物体的体积 v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018，求由公式d=w 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限.v16.求下列复合函数的偏导数或导数：设 Z=arc tg(xy),y=e x ，求翌;ax2 2 x 2 ■'y 2x y飞-—z :Z设Z=e ,求，；xy:x : y、 2 2 2 cZ 设 Z=x +xy+y ,x=t ,y=t,求 ;dt、 2 U CZ 设 Z=x Iny,x= — ,y=3u-2v,求—v cu'u 设 u=f(x+y,xy),求ex23u=xy +z -xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60, ° 45° ,60 ° )的方向导数.18. 求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.14. 15.(1)之；-：v设u=f-：u cu ，求,一x :y-:u-Z17.求函数2 2 2 Z19. 求函数u=x +2y +3z +xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3, —)处的梯度以及它们的模点上成立等式 gradu =1.2 2 2z x y21设函数u=二22,求它在点(a,b,c)的梯度.cab22. 设 r= . r 2 y 2 z 2 試求： 1 (1)grad r;(2)grad -.r23. 设u=x 3+y 3+z 3 — 3xyz,试问在怎样的点集上 grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴 (3) 恒为零向量.24. 设f(x,y)可微丄是R 2上的一个确定向量，倘若处处有f L (x,y)三0,试问此函数f 有何特征? 25. 求下列函数的高阶偏导数：(1) Z=x 4+y 4—4x 2y 2,所有二阶偏导数；⑵Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数-3-3c z c z⑶ Z=xln( xy),2, 厂 ex 列 cxdy(4) u=xyze x+y+z2 2⑸Z=f(xy ,x y),所有二阶偏导数; ⑹u=f(x2+y 2+x 2),所有二阶偏导数;x (7)Z=f(x+y,xy, 一),Z x , z xx , Z xy .y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式：2 2(1) f(x,y)=sin(x +y )在点(0,0)(至U 二阶为止);X⑵f(x,y)= 在点(1,1)(至U 三阶为止);y(3) f(x,y)=ln( 1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2—xy —y 2— 6x — 36+5 在点(1, — 2).20.设函数u=ln 1，其中lr 丿r=*；(x _af +(y _0『+(z _c f求u 的梯度；并指出在空间哪些27. 求下列函数的极值点3 3⑴ Z=3axy —x —y (a>0);2 2⑵ Z=x +5y —6x+10y+6;2x 2⑶ Z=e (x+y +2y).28. 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值(1) Z= x2 _y2,x,y x2+y2乞4，;(2) Z= x2—xy +y2, ￡x, y 网+|y| <^;(3) Z=sin x+s ing —sin( x+y), 《x,y K x,y 収王0,x + y 兰2)29. 在已知周长为2P的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.30. 在xy平面上求一点，使它到三直线x=0,y=0,及x+2y —16=0的距离平方和最小.31. 已知平面上n个点的坐标分别是A1 x^y! , A2 X2』2，…A n x n ,y n.试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小.1 1 132. 设u= x y z2 2 2x y z求(1)u x+U y+U z； (2)xU x+yU x+ZU z； (3)U xx+U yy + U zz.2 2 233. 设f(x,y,z)=Ax +By +Cz +Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幕展开f(x+h,y+k,z+L).三、考研复习题1.设f(x,y,z)=x 2y+y2z+z2x，证明f x+f y+f z=(x+y+z).2. 求函数3 3x -y 2222 ,xy f(x, y)二 X y一 +y2 =0 "0在原点的偏导数f x (O,O)与 f y (O,O),并考察 f(x,y)在(0,0)的可微3.设 u0,x 2 X 12X1n A X1n二2Xn A. nXn -证明：⑴- k =1 tX k=0n'、XkJ.:uk：：Xkn(n 2^u.4.设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数：试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数d n g(t) dt n5.设L 、 r\c ch —— k — & 勺丿(x, y,z)二 \nf(a ht, b kt).a +xb +yc +zd +ze +xf +yg +yh +z k +xfd x ) f 2(x) f 3(X )求二.:X)求.)cxcydz7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有阴=0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p °(X 0,y 。

华东师大数学分析答案完整版

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案06

证明：记，设f（x）=0在[0，1]内有两个不同的实根，且，则。
又由于f在上连续，在内可导，所以。即。故（矛盾）。
因此方程（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。
2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式，其中0<a<b。
证明：由于
（因为0<a<b）。
3、证明定理6、2推论2。
4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且，则
f（b）≥f（a）+ m（b - a）；
（2）若函数f在[a，b]上可导，且，则
|f（b）- f（a）|≤M（b-a）；
（3）对任意实数，，都有。
5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1），其中0<a<b；
（2），其中h>0。
。
6、设为n个正数，且
f（x）= 。
证明：（1）；
（2）。
7、求下列极限：
（1）；（2）；
（3）。
8、设h>0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式为
。
证明：。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx–kx = 0存在正实根。
10、证明：对任一多项式p（x），一定存在与，使p（x）在（-∞，）与（，+∞）分别严格单调。
4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若为f的极小值点，则为f在I上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式：
（1）对任意实数a，b，有；
（2）对任何非负实数a，b，有。
6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= max{f（x），g（x）}也是I上凸函数。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01

第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明xb x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理 1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-I

a1 = b1 = 1 > 0, an + bn 2 = (an −1 + bn −1 2) 2 . Find the limit lim
n →∞
an . b pn . n →∞ q n
28. Assume p1 > 0, q1 > 0, pn +1 = pn + 3qn , qn +1 = pn + qn . Find the limit lim 29. Assume x1 = a, x2 = b, xn +1 =
41. Prove that (1) (2)
f ( x) = 3 x is uniformly continuous on [0, +∞) ; g ( x) = e x cos 1 is not uniformly continuous on [0,1] . x
42. Suppose that f
is defined on [ a, +∞) . And | f ( x ) − f ( y ) |≤ k | x − y | (k > 0) holds
an =a; n →∞ n
an 1 1 ∈ [a − , a + ] (n = 1, 2L) . n n n
f ∈ C (−∞, +∞) and that | f ( x) − f ( y ) |≤ k | x − y | (0 < k < 1) holds for any
x, y ∈ (−∞, +∞) . Prove that f has the unique fixed point on (−∞, +∞) .
34. Let f ∈ C[ a, b] . And for arbitrary x ∈ [ a, b] , there exists y ∈ [ a, b] such that

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历年考研真题评析!
%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对 ,#&##,!$$在!#(##= &#$2 (%#;’上无界 !
分析!本题采用闭区间套定理证明!
证明!取%#;中点%$&;#则(%#%$&;’#(%$&;#;’中至少有一个区间使 ,!$$无界 !如果两个都是可任取一个 $#记为 (%! #;!’!
,!($$%8!($$&9 !($$% (8!$$&9 !$$
而
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由之可得 ! ! !8!$$%,!$$($,!($$#9 !$$%,!$$&$,!($$
这里 8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!
+ , %例"&!求数集 ’% !&!&$&!(!$& &#0& 的上"下确界!
向的基础 !数学归纳法是证明某些不等式的重要工具 !
二 !数集 " 确界原理
!" 邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具! 在无限区间记号!()#%’#!() #%$#(%#& )$#!%#& )$#!( ) #& )$中出现的 ( ) 与 & )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#( )#) 当作数来运算!

数学分析(下册)(华东师大第三版)

!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"&#9时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)

第十一章重积分§ 1二重积分的概念1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D「i j网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n其界点•2•证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g •性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得D f =f , D5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且D o = D1 D 2, intD j int D j = •一，试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充要条件是f在D2上都可积，且6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明：(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ；(2) 若在D内任一子区域D D上都有D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。

7・证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点, D，使得f x,yg x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分r r dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值§ 2二重积分的计算1.计算下列二重积分：⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】；D⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】；D2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域⑶!! cosx y dxdy,其中D=D⑷..Dx1 xydxdy，其中D= 0,1 0,11.2 2 2⑵D 由不等式x y _a 与x y <a (a>0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序5. 计算下列二重积分2(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线D⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [D卄 dxdy(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;D2a -x⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x jD(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.D6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域x(1) 0 dx x f (x,y dy ；11 ^x 2⑵ j d ^_1^2fx,y dy ；⑶ 0dy 0 f x,y dy + dxX 专(p >0)所围的区域；3dy .⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域(3)D= ：x,y x2y2zy,x _0「7•用极坐标计算二重积分：⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2'；D(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』；曽F rD(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.D8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：2 2丄(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;(2) i if x,y dxdy ,其中D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若x= U cos4 v ,D4y 二U sin v .(3) i if x,y dxdy，其中D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.9•求由下列曲面所围立体V的体积：(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；2 2 | 一 ,(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；2 2 2 22 x v x v(3) v由曲面Z 和2Z= 所围的立体•4 9 4 911. 试作适当变换，计算下列积分：(1) 11 [x y sin x - y dxdy ,D= ：x.y 0 _ x y _ 二0 _ x - y _ T；Dy(2)I ie x y dxdy ,D= x,y x y 岂1, x _ 0,y _ 0D12. 设f:[a,b] T R为连续函数，应用二重积分性质证明-b I2j b|[f(xdx I 兰(b—a)[f (xdx，其中等号仅在f为常量函数时成立。

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ Cx dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56tdx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dxx x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺.于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dxcos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴Cx x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，CxC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，duu dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I. .。