高一数学正弦函数图像及性质练习题.pdf
高一教案数学正弦函数图像及性质总结复习练学习试题
高一数学正弦函数图像及性质练习题π1.函数y=sin(4-2x)的单调增区间是〔〕A .[kπ-3π8,k3ππ+8](k∈Z) B.[kππ+8,k5ππ+8](k∈Z)C .[kπ-π8,k3ππ+8](k∈Z) D.[k3ππ+8,k7ππ+8](k∈Z)2.函数1y=5sin (3x-π3)的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，最值是________3.函数y=3sin〔1x－π〕.41〕用“五点法〞作函数的图象；2〕求此函数的最小正周期；3〕求此函数的单调递增区间.用五点法作出以下函数的图像：y 3sinx5.对于函数y=sin(13π-x〕，下面说法中正确的选项是2-----------------------------------------()( A)函数是周期为π的奇函数(B)函数是周期为π的偶函数( C)π(D)函数是周期函数是周期为2的奇函数6 .为2π的偶函数作出函数6.y3sin(2x3R：),x3（1〕求此函数的周期、最值和取最值时X的集合；2〕求此函数的单调区间。
7.函数ysin(2x 5)的图像的单调区间是28.求函数的周期、最值及取得最值时X的集合（9.用五点作图法画出函数图像1〕求函数的周期T=？2〕求函数最值及取最值时X的集合。
7.3.1+正弦函数的性质与图象(共2课时)高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)
画出y = sinx， ∈[0,]的图像
1.列表
x
y=sinx
0
0
6
4
3
1
2
2
2
3
2
2
1
2
3
3
2
3
4
5
6
2
2
1
2
0
2.描点
3.连线
sinx在[0, ]上递增，在[ , ]上递减，
2
2
根据y =
将这些点连成光滑的曲线.
y
.
.
.. ...
.
.
1
-
-
O
2
4
2
3
4
-1
2.两相邻对称中心之间的距离为
2.相邻对称中心之间的距离是多少？
3. y sin x在对称中心处的函数值为0
7
2
4
探究点3：五点法作图
思考：正弦函数 = 图象也可由其在[0,2]上的图象得到.观察
图象上起关键作用的点是哪些？
五点作图法
y
( 2,1)
( 2,1)
( 2,1)
1
5
当 = − 时取得最小值− ，当
2
4
5
因此，函数值域为[− , 1].
4
2
= 1时取得最大值1.
）
正弦函数 = 的性质
定义域和值域 定义域：R 值域:[-1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调性
增区间[− + , + ]( ∈ );减区间[ + ,
正弦函数、余弦函数的图像 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
= , ∈ 的图象吗？
3
当 ∈ [2, 4], [−2, 0],…时，函数 = 的图象如何？
y
1
4
3
2
o
2
3
4
1
y sin x, x [0, 2]
sin(x 2k) sin x, k Z
函数y=-cosx的图
象与函数y=cosx的
图象有什么关系？
三、课堂小结
1. 理解用定义来画正弦函数的图象；
2. 理解用平移法画余弦函数图象；
3. 掌握正弦函数、余弦函数图象及特征；
三、课堂小结
五点法
4 、重点掌握正弦曲线、余弦曲线
图象变换法
3
2
2
x
0
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=cosx
横轴五点排均匀，
上下顶点圆滑行；
上凸下凹形相似，
游走酷似波浪行.
y
1
(3)连线
o
2
-1
3
2
2
x
二、例题讲解
例题1. 用“五点法”作下列函数的简图：
(1) y 1 sin x, x [0, 2]
(2) y cos x, x [0, 2]
( 1 ) = 1 + , ∈ [0,2]
2.如何从定义出发研究三角函数的图像？
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到
原来的位置，这一现象可以用公式来表示
sinx 2 sin x, cosx 2 cos x
3
探究1:在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，
高中数学人教(A)版高一必修第一册 第五章《5.4 三角函数的图形与性质》 练习题
5.4 三角函数的图形与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础过关练习题组一 正弦函数、余弦函数的图象1、用“五点法”作1cos 2-=x y 在[]π2,0上的图象时，应取的五点为（ ）A 、()()()120231-021,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛B 、()()()121-233-1-21,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、()()()()()143-3123-1,0，，，，，，，，ππππ D 、()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2-321-2031-361,0，，，，，，，，ππππ 2、函数y=−sinx ，x ∈[23,2-ππ]的简图（ ） A 、 B. C. D.3、已知函数()x cos 23+-=x f 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛b ，3π，则b= 。
4、用“五点法”作函数x y cos 311-=图象的简图。
题组二 正弦、余弦曲线的运用5、使不等式0sin 22≥-x 成立的x 的取值集合是（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,43242|ππππ B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,47242|ππππ C 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,25-2|ππππ D 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,7252|ππππ6、已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21cos |αα，B={}παα<<0|，且C B A = ,则C=（ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<60|παα B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<23|παπα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<30|παα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<παπα3|7、函数()x x f 4log =的图象与函数()x x g πsin =的图象的交点个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 8、（多选）下列x 的取值范围能使x x sin cos >成立的是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛40π，B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛454ππ，C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ245，D 、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4524ππππ，， 9、函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象与直线21-=y 的交点有 个。
4.11高一数学正弦函数的性质和图像
六、例 题 讲 解
例1：用五点法画出函数的简图 y=1+sinx, x∈[0，2π] ： ∈ ，
分析：利用五点法画正弦函数y=sinx的图像 分析：利用五点法画正弦函数 的图像 π π ) π ， 五个关键点是： 五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) (π,0) (32 ,−1 (2π,0)， π
二.正弦函数的图像 正弦函数的图像
在画正弦函数图像时,我们可以先画 在画正弦函数图像时,我们可以先画 上的正弦函数的图像,再利 出[ 0, 2π ] , 上的正弦函数的图像 再利 用周期性将其延拓到整个定义域上. 用周期性将其延拓到整个定义域上
正弦函数的图象
用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ 描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
练习: 练习: 用单位圆中正弦线表示正弦的方法 π π 作出点 ( ， ) sin 3 3
y
P
( ,sin ) 3 3
A O
π
π
O1 M
π 6
π 2
π
X
仿上例可以作出 y=sinx , 2π]的图象 x∈[0, 2π]的图象
四、几何法作图
用正弦线作正弦函数 用正弦线作正弦函数 的图象
y = sin x( x ∈[0,2π ])
π
2
2
,1 )
最低点： 最低点： (3π ,−1 ) 轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) 轴的交点
(π , 0) (2π ,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这 个点画出函数 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法画图” 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法画图”。
回忆单位圆中正 弦函数的定义
5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
y
2
y=1+sinx，x∈[0,2π]
1
3π
将y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的每一个点都
π
2
2π
O
π
x
向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1
2
-1
＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
y=sinx，x∈[0,2π]
y
y=-cosx，x∈[0,2π]
1
3π 2
O
π
π
2π x
2
-1 y=cosx，x∈[0,2π]
sin(x+k·2π)=sinx
不断向左、向右平移 （每次移动2π个单位长度）
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
探究二：五点画图法
思考4：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点呢？ 视察函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象：
在精确度要求不太高时，我们常常用“五点法”画 函数的简图.
3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些 有关问题。
正弦函数、余弦函数图象的作法
定义法
五点法
平移法
课后练习
1.以下对正弦函数y=sinx的图象的描述不正确的是（ C ）
A.在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z上的图象形状相同；
B.介于直线y=1与y=-1之间
C.关于x轴对称
总结：用“五点画图法”作出函数y =sinx，x∈[0,2π]的图象
y
1
●
●
0
●
●
x
-1
●
探究三：余弦函数图象
思考5：想得到余弦函数的图象，都有哪些方法呢？
北师大高一数学《正弦函数的图像和性质》练习题
正弦函数的图像与性质1、函数的部分图像如图所示，则（）.A. B.C. D.2、为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）B．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）C．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变）D．向右平行移动个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变3、若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是________.4、函数y ＝2sin(π3－2x )的单调递增区间为()A ．[－π12＋k π，5π12＋k π](k ∈Z )B ．[5π12＋k π，11π12＋k π](k ∈Z )C．[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z) D．[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)5、当x＝π4时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(3π4－x)()A．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C．是奇函数且图象关于直线x＝π2对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称6、设向量，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为____．7、已知角的终边经过点，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为．8、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调增区间为______________．9、已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A.函数的最小正周期为2B.函数的值域为C.函数的图象关于对称D.函数的图象向左平移个单位后得到的图象10、将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值为_____________．11、答案与解析1【答案】A【解析】当时，，排除C，D.当时，，代入A满足.故选A.2【答案】A【解析】因为，，所以将的图象向左平行移动个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）可得的图象.选A.3【答案】4．B[y＝2sin(π3－2x)＝－2sin(2x－π3)，故π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，解得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ(k∈Z)，即函数y＝2sin(π3－2x)的单调递增区间为[5π12＋kπ，11π12＋kπ](k∈Z)．]5答案C解析∵当x＝π4时，函数f(x)取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2kπ－3π4(k∈Z)，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．678[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )解析因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(w x ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π3)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，解得函数f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．91011。
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典 型 例 题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =
(
6
− )的单调递减区间为___________________
6
− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟 踪 训 练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(
− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5
B.[− , − ]
6
6
C.[− , 0]
3
D.[− , 0]
6
(2)函数 =
3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，
正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的图像 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。
你能得到y=sin （ x)与y=sinx 图象的关系吗？
函数 y sin(x) 的图象，可以看作
是把 y sin( x) 的图象上所有点的横坐
标* 1 倍（纵坐标不变）而得到的. 0
T 2
练习：求下列函数的最大值、最小值、 周期
先观察y=2sinx、y= 1 sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0)的图象是由y=sinx的图象上所 有点的横坐标不变，纵坐标*A倍而成. 2.值域 [ -A, A]最大值A,最小值-A
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象
5、 3 2
1
5
y sin( x ) 1
2 2
ymax 2
ymin
2
T 2
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象和性质
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
作y=sin
1 2
x的图象
1x
0
2
x
0
sin 12x 0
1、列表
高一数学(必修一)《第五章 正切函数的性质与图象》练习题含答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 正切函数的性质与图象》练习题含答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中错误的是（ ） A ．奇函数的图像关于坐标原点对称 B ．图像关于y 轴对称的函数是偶函数 C ．奇函数一定满足()00f =D ．偶函数的图像不一定与y 轴相交2．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π3．函数yA ．(,],4k k k Z πππ+∈B ．(,],2k k k Z πππ+∈C ．(-,],42k k k Z ππππ+∈ D ．(-,],4k k k Z πππ∈4．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()tan f x x x =+，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．,⎛-∞ ⎝⎦B ．,⎛-∞ ⎝⎭C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．,⎛-∞ ⎝⎭6．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈若1sin 1cos 1sin 1cos αβαβ+-=-+，则（ ） A ．2παβ+=B ．αβπ+=C ．2παβ-=D ．2πβα-=7．函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈8．已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．516C ．6D ．1729．直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，若函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题10．函数y ＝4tan 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________．11．已知函数1()tan tan f x x x=+，若()5f α=，则()f α-=__________． 12．若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．13．－65tan π与13tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______________．14．已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．三、解答题 15．已知()2(R)31x f x a a =-∈+ (1)证明()f x 是R 上的增函数；(2)是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，请求出a 的值，若不存在，说明理由． 16．分别写出满足下列条件的x 值的范围. （1）1tan 0x +≥；（2）cos 0x <. 17．已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2tan 2tan 2f x x x =++求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 值．18．定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 19．求下列函数的值域： （1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π；（2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ．参考答案与解析1．C【分析】由奇偶函数的性质知A ，B 正确；对于C 可举反例说明C 错误；对于D ，亦可举例说明偶函数的图像不一定与y 轴相交，得到D 正确. 【详解】根据奇偶函数的性质知A ，B 正确； 对于C ，如()1f x x=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞易得函数()f x 是奇函数，但它的图像不过原点，故C 错误； 对于D ，如()21g x x =，()(),00,x ∈-∞⋃+∞易得函数()g x 是偶函数，但它的图像不与y 轴相交，故D 正确． 故选：C ． 2．B【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项.【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B.【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 3．C【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围．【详解】由题可知，104 42tan x x k k Z ππππ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≠+∈⎪⎩1tan 04x π⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭ tan 14x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭244k x k πππππ-+<-≤+ k Z ∈ x ,42k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦．【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 4．A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解． 【详解】由ln ln a b >，得0a b >>． 由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-． 记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥ 所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->- 则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件． 故选：A ． 5．A【分析】由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，根据函数的单调性求出函数()tan f x x x =的最小值即可得出答案.【详解】解：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可因为函数tan y x =和y x =在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数所以函数()tan f x x x =，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数所以()tan 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以a ≤故选：A. 6．D【解析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式化简，再根据正切函数单调性确定结果.【详解】2222sin 1cos 2tan 1cos 22cos 2βββββ-==+ 2221cos()2cos ()1sin 12421sin 1cos()2sin ()tan ()24242ππαααππαπααα+--+===----- 22tan [()]tan ()24242ππαπα=--=+因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈所以0,0,24424αππαπ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(0,)22βπ∈ 因此由1sin 1cos 1sin 1cos αβαβ+-=-+得22tan tan ()tan tan()242242βπαβπα=+∴=+ 2422βπαπβα∴=+∴-=故选：D【点睛】本题考查诱导公式、二倍角余弦公式、正切函数性质，考查综合分析化简能力，属中档题. 7．C【分析】利用正切函数的性质求解. 【详解】解：令,2242k x k k Zππππππ-+<+<+∈解得3122,22k x k k Z-+<<+∈所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈8．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥ 由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+， 当02a <<时，则()2228a a a +=-++，即2340a a +-=解得4a =-或1a = 当2a ≥时，则()28228a a -+=-++，无解综上：1a =所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】由条件可得2T ππω==，即12ω=，然后求出()f x 的单调递增区间可得答案.【详解】因为直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π所以2T ππω==，所以12ω=，即()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由12242k x k πππππ-<+<+可得322,22k x k k Z ππππ-<<+∈当0k =时可得()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增因为函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，所以实数m 的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 10．3π 【分析】根据T πω=，直接计算可得结果.【详解】由题可知：T ＝3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期，识记公式，属基础题.【详解】因为1()tan tan f x x x=+()()0()() 5.f f f f αααα∴+-=⇒-=-=-故答案为-5. 12．(]0,1【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：因为ππ23a a >-，所以0a > 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈． 故答案为：(]0,1 13．－613tan 55tanππ⎛⎫<- ⎪⎝⎭【详解】613133tan tan ,tan()tan tan 55555πππππ-=--=-=-． ∵30525ππππ<<<< ∴3tan0,tan055ππ>< ∴3tantan55ππ-<-，即613tantan()55ππ-<-． 答案：613tan tan()55ππ-<- 点睛：比较三角函数值大小的方法（1）如果函数值的大小能够求出，则可根据函数值的大小进行判断；（2）如函数值无法求出，则可通过诱导公式等把角转化到同一单调区间内，根据函数的单调性比较大小． （3）若以上方法无法使用，则可选择中间量进行比较． 14．3【分析】函数()ln(1)y f x x =--的零点个数等价于函数函数()f x 与()ln 1y x =-的交点个数 作出函数()f x 与()ln 1y x =-的图象，结合图象即可求出结果.【详解】函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数等价于函数函数()f x 与()ln 1y x =-的交点个数 作出函数()f x 与()ln 1y x =-的图象，如图：由图可知，函数()f x 与()ln 1y x =-有3个交点，故函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数为3故答案为：3.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 15．(1)证明见解析(2)存在实数1a =，理由见解析【分析】（1）根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明；（2）根据()00=f 可求得a 的值，进而根据奇函数的定义证明即可. (1)对任意R x ∈都有()310,xf x +≠∴的定义域是R设1x ，2R x ∈且12x x <，则()()()()()122112122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++ 3x y =在R 上是增函数，且12x x <1233x x ∴<且()()()()()()211212313100xx f x f x f x f x ++>⇒<⇒<－f x 是R 上的增函数． (2)若存在实数a 使函数()f x 为R 上的奇函数，则()001f a =⇒= 下面证明1a =时()2131x f x =-+是奇函数 ()()()23122232111131131313x x x x x xf x f x -+-⋅-=-=-=-=-+=-++++ f x 为R 上的奇函数∴存在实数1a =，使函数()f x 为R 上的奇函数．16．（1）(),42k k k ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭Z ；（2）()112,266k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】（1）先求出当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则满足1tan 0x +≥的解集，再根据正切函数的周期性，得到答案；（2）先求出当(),x ππ∈-时，则满足cos 0x <的解集，再根据余弦函数的周期性，得到答案 【详解】解：（1）由1tan 0x +≥，得tan 1x ≥-. 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由tan 1x ≥-，解得解集为,42ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭又因tan y x =的最小正周期为π所以x 的取值范围是(),42k k k ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭Z .（2）由cos 0x ，得cos x <当(),x ππ∈-时，则由cos x <11,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭又因cos y x =的最小正周期为2π所以x 的取值范围是()112,266k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z . 【点睛】本题考查解三角函数不等式，属于简单题. 17．当4x π=-时，则()f x 有最小值1；当4x π=时，则()f x 有最大值5.【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()()2tan 11f x x =++，由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算得出tan 1x ≤≤，利用二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的最大值和最小值及其对应的x 的值.【详解】()()22tan 2tan 2tan 11f x x x x =++=++，且,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦tan 1x ≤.当tan 1x =-时，则即当4x π=-时，则函数()y f x =取最小值1；当tan 1x =时，则即当4x π=时，则函数()y f x =取最大值5.【点睛】本题考查正切型二次函数最值的求解，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．(1)R(2)偶函数，理由见解析(3)()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域. （1）()()sin cos f x x =的定义域为R .（2）对于函数()()sin cos f x x =()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.（3）()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减. cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.第 11 页 共 11 页 19．（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得；（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--和()2210,t -∈- ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭ 所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =和(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
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第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
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第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
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＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
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归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y=sinx
1
9 2
7 2
5 2
3 2
2
o
-1
2 3
4 x
正弦曲线
-2
-
余弦曲线
-2
-
y y sinx , x R
1
x
o
2 3
4
-1 y1
定义域：R
y cosx , x R 值域：[-1,1]
o
2
3
x
-1
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？
y
1
o
2
3 2
2 x
-1
五个关键点:
3 5 11 2
6
3
2
36
6
3
2
3
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx， x[0,2]
2
1 画出 y＝sin x 的图象和直线 y＝ .
2
1
1
可知 sin x≥ 的解集为 y＝sin x 图象与直线 y＝ 的交点及上方部分的集合，即
2
2
π
5π
函数定义域为{x| ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}．
6
6
02
7.3.1正弦函数的性质与图象课件高一下学期数学人教B版
2
3π
π
差的绝对值为 − =π,故选
2
2
B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
正弦函数的值域、最值
【例1】 (1)(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,
π
],值域为[2
5,-1],则a,b的值为( AC)
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
分析 根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组
求a,b.
解析 因为 f(x)=2asin x+a+b
π
的定义域是[0,2],所以
+ = -1,
当 a<0 时,由题意
解得
3 + = -5,
+ = -5,
当 a>0 时,由题意
解得
3 + = -1,
= -2,
最值;
(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函
数配方求最值.
变式训练1(1)函数f(x)=1-2sin2x+2sin x的最大值与最小值的和是( C )
A.-2
B.0
3
C.-2
1
D.-2
解析 令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=-2t
当 t=-1 时,y
1 2 3
π
x=6时,y
1
取得最小值2,所以
y 的取值范围
2.[北师大版教材习题]当x∈[-π,π]时,函数y=3sin x( B )
A.在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)高一数学(人教A版必修第一册)课件
求的是x的范围
∈
[−, ]的单调递增区间是[− , ].
小结
正弦函数 = ( ∈ )的单调性、最值
∈
∈
− + ， +
+ ， +
−
上单调递增;
上单调递减
当 = + ，取到最大值：1
当 =
+ ，取到最小值：-1
第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函
数的性质（第二课时）
课程标准
借助单位圆理解三角函数的定义，能画出三角
函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、
单调性、最大（小）值。
复习回顾
回顾1 正弦函数、余弦函数的图像是怎样的？请大家在草稿纸上画
出简图。
复习回顾
回顾2 什么是周期函数？正弦函数、余弦函数的周期是多少？它们
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
最大值：1
最小值：-1
概念生成
正弦函数 = ( ∈ )的单调性
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
正弦函数 = ( ∈ )的最值
2
是使 = ， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }.由
高一数学正弦函数图象
y
作法：(1) 等分
Q1 Q2
o1 M2 M1-1
-1
-
-1 -
y
(2) 作余弦线
-
本节课小结 1- 1-
6
4
P1
1-
-
2
p1/
-
-
图象的最高点 o
6
3
2
2 3
o5 6 1
7
4
3
5
-1 6
A M3 1
2
3
o 11 6
2
x
6
3
1-
o
-1-
2
2
3
2
5
7
6
6
4 3
(3) 竖立、平移
4
(4) 连线6
余弦曲线
y
O
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
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结束
正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦函数.余弦函数的图象和性质y
余弦函数 y cos x, x 0,2 的图象
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各单位长度而得到．
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结束
余弦函数图像的作法
-
-
y
1-
P1
p1/
y
-
-
o1
M-1 1A
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 x
-y1 -
Q1
Q2
o1 M2 M1-1
正弦函数的性质
π
度 为
,k ∈ Z
周 期 的 一 半
变式:求函数 的单调区间. 变式 求函数 y=2sin(-x )的单调区间 的单调区间
解： y = 2 sin(− x) = −2 sin x Q
函数在 [ −
π
2
π
2
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 π π ∈
3π 2
π
思考:令 思考 令t=-x,则y=2sint 则
Q
函数在 [
+2kπ, π
+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈
不通过求值，比较大小： 例3 不通过求值，比较大小： (1) sin 20 , sin170 (3) sin(− 23π ) 5 解(2) Q ,
0
0
(2) sin( −
)
π
18
), sin( −
π
10
)
π π π π Q 又 y=sinx 在[− , ]上是增函数 − <− <− < 2 2 2 10 18 2 π π sin( − ) < sin(− ) 方法归纳： 方法归纳：利用
再看正弦函数,由诱导公式 一) 再看正弦函数 由诱导公式(一 由诱导公式
sin( x + 2kπ ) = sin x, k ∈ Z
即自变量x的值每增加或减少 即自变量 的值每增加或减少 值重复出现(函数值不变 函数值不变)! 值重复出现 函数值不变
的整数倍,正弦函数的 2π 的整数倍 正弦函数的
一般地,对于函数 如果存在一个非零常数 一般地 对于函数f(x),如果存在一个非零常数 使得定义域 对于函数 如果存在一个非零常数T,使得定义域 内的每一个 值都满足: 每一个x值都满足 内的每一个 值都满足
2023-2024学年高一上数学必修一：正切函数的性质与图象
4．在－π2，π2内正弦曲线与正切曲线的交点个数是( A ) A．1 B．2 C．3 D．5
解析：当 x∈－2π，0时，sinx>tanx；当 x＝0 时，sinx＝tanx；当 x∈0，2π时，tanx>sinx.故选 A.
5．函数 y＝tanπ4x 的最小正图象的对称中心求函数 f(x)＝tan2x－3π图象 的对称中心．由 2x－3π＝k2π，k∈Z，得 x＝k4π＋6π，k∈Z.所以函数 f(x) 图象的对称中心为k4π＋π6，0，k∈Z.
10．f(x)＝atan2x－bsinx＋4(其中 a，b 为常数，ab≠0)，若 f(3)＝5， 则 f(2 016π－3)＝ 3 .
解：函数 f(x)＝5tan－2x＋2π＝－5tan2x－π2.(1)令 2x－π2≠2π＋kπ，
k∈Z，x≠2π＋k2π，k∈Z，∴f(x)的定义域为
，值域为 R；
(2)任取 f(x)定义域内的 x，则 f(－x)＝5tan2x＋2π≠f(x)，且 f(－x)＝－
f(x)，∴f(x)是奇函数；根据正切函数的单调性知，令－π2＋kπ<2x－π2<π2
解析：∵y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由 kπ－2π<x－π4<kπ＋π2，k∈
Z，可得
kπ
－
π 4
<x<kπ
＋
3π 4
，
k
∈
Z
，
∴
函
数
的
单
调
递
减
区
间
为
kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z.
7．函数 y＝cosx·|tanx|－π2<x<π2的大致图象是( C )
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高一数学正弦函数图像及性质练习题
1.函数y=sin(π4
-2x)的单调增区间是（） A. [k
π-3π8 , k π+3π8 ] (k ∈Z) B. [k π+π8 , k π+5π8 ] (k ∈Z)
C. [k
π-π8 , k π+3π8 ] (k ∈Z) D. [k π+3π8 , k π+7π8
] (k ∈Z) 2.函数 y=15 sin(3x-π3
) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，最值是________
3.已知函数y=3sin （21
x －4π）.
（1）用“五点法”作函数的图象；
（2）求此函数的最小正周期；
（3）求此函数的单调递增区间.
4.用五点法作出下列函数的图像：
x
y sin 35.对于函数y =sin(13
2π-x ），下面说法中正确的是
----------------------------------------- ( )(A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数
(C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期
6.为2π的偶函数作出函数 6.33sin(2),3
y x x R ：（1）求此函数的周期、最值和取最值时
X 的集合；
（2）求此函数的单调区间。
7.函数
5
sin(2)
2
y x的图像的单调区间是
8.求函数的周期、最值及取得最值时X的集合
9.用五点作图法画出函数图像
（1）求函数的周期T=？
（2）求函数最值及取最值时X的集合。