电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论

电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论

引言

大学中有关电动力学的学习，都离不开一个重要的方程--------麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程作为电磁场中核心定律引导我们更好的学习电动力学，并更好的从电磁场的角度来分析光学的相关知识。更深一步的掌握麦克斯韦方程组，有助于我们学科的学习，为了更好的归纳，以下就从它的历史背景，公式推导，静电场，静磁场，电磁场等几个方面论述麦克斯韦方程组的重要应用。

一、历史背景

伟大的数学家麦克斯韦和物理学家法拉第历史性的拥抱，麦克斯韦将法拉第实验得到电磁场存在的理论，用数学公式完美的表现出来，这就是伟大的麦克斯韦方程组。

1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。1855年至1865年，麦克斯韦基于以上理论，把数学的分析方法引进电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。

二、真空中麦克斯韦方程的推导

麦克斯韦方程之所以能够出现，是因为他在恒定场的基础上提出两个假设，他们分别是有法拉第电磁感应定律，认为变化的磁场可以激发电场；麦克斯韦位移电流假设，认为变化的电场可以激发磁场。

所以麦克斯韦利用库伦定律，高斯定理和相应的数学公式推出了电场的高斯定理的微分式（1）。利用安培环路定理，毕奥—萨伐尔定律推导出微分式（3）。利用了法拉第电磁感应定律和静电场方程推出了微分式（2）。最后利用麦克斯韦的位移电流假说和电荷守恒定律推导出了微分式（4）。

三、介质中的麦克斯韦方程组

（2）

（1） （3） （4）

t B E ∂∂-

=⨯∇ 0

ερ

=

∙∇E 0

=∙∇B t

E u J u B ∂∂+=⨯∇

00

ε

介质中的电容率和磁导率不再是0

u 和0ε而是改成u 和ε，并在此我们确定了

两个物理量，分别是极化强度适量P 和磁化强度适量M

。他们各自产生了极化

电流和磁化电流，他们之间的关系式由微分形式表示为P P ρ-=∙∇

和

M J M

=∙∇。根据以上关系式，并根据电荷守恒和诱导电流（极化电荷和磁化电

流）分别得到电位移矢量D 和磁场强度M

。并得到两个线性关系P E D +=0ε和M u B H

-=0。这样就把真空中的麦克斯韦方程组推广到介质中，下面（5）到（8）就是介质中的麦克斯韦方程组。

对以上各式进行物理分析，就能确切麦克斯韦方程组的物理含义。其中（5）式说明电荷是产生电场的场源；（6）式说明了变化的磁场可以激发涡旋电场；（7）式说明了磁场是无源场；（8）式表明变化的电场和电流可以激发涡旋磁场。

四、静电场的电磁方程

在静电场中，由于两者相互分离，所以麦克斯韦方程组变成为：

ρ=∙∇D 0=⨯∇E

由0=⨯∇E

我们可以得知静电场是无旋场。所以静电场为保守场，根据数学中标

量场的梯度必无旋的规律，引入静电场标量ψ并用ψ-∇=E 来描述静电场。把上

式带入ρ=∙∇D

我们可以得到电场的泊松方程：

ερ-ψ2=∇

但是在许多实际问题中,自由电荷只出现在一些导体或介质的表面,空间中没有其他自由电荷分布,这时我们选取导体表面作为区域 V 的边界,在V 内部的自由电荷面密度为 0 ,则可得到拉普拉斯方程①:

（6） （5）

（7）

（8）

t

B E ∂∂-

=⨯∇ ρ

=∙∇D 0

=∙∇B t

D J H ∂∂+

=⨯∇

0ψ2=∇

五、静磁场的电磁方程

在静磁场中，由于两者相互分离，所以麦克斯韦方程组变成为：

0=∙∇B J H =⨯∇

由0=∙∇B

我们可以知道静磁场是无源场，根据数学中矢量场的旋度必无源，我

们引入磁矢式A

所以有：

A B

⨯∇=

将上式带入J H

=⨯∇中，我们可以得到磁矢式的方程为：

J u A -=∇2

由于磁矢式A

解决遍值问题时，解题过于繁琐。所以我们引入磁标式。由于在静磁场中磁场强度的闭合回路不为零，所以能引入，但是由于求解释，没有必要求解整个磁场。求解只是局部磁场，所以我们可知磁场强度闭合回路为零。由此我

们可以得到0=⨯∇H ，我们假想磁荷密度为M u m

∙∇-=0ρ。进而我们引入了磁标式，同时得到静磁场的泊松方程：

u m ρ-ψm 2=∇

同样我们也可以得到静磁场下的拉普拉斯方程为：

0ψm 2=∇

六、电磁场的波动方程

在电磁场的波动方程中我们分为自由空间的波动方程和介质的波动方程，在介质中的波动方程又叫做亥姆霍兹方程。 1、在自由空间的波动方程

在自由空间中，我们有0=J

和0=ρ两个条件，所以麦克斯韦方程组就会变

为：

0=∙∇D （9） t

B E ∂∂-=⨯∇

（10）

0=∙∇B （11） t

D H ∂∂=⨯∇

（12）

由数学关系式我们对（10）、（12）式两边分别取旋度，并利用相应公式推导，最后利用（9）、（11）式就会得到自由空间下的波动方程：

2、亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程就是介质中的波动方程。由于在介质中存在着色散现象，所以对于不同频率的电磁波，它的介质的电容率是不同的，也就是说u 和ε是ω的函数。在线性的介质中，既有：

)ω()ω()ω(E D ε= )ω()ω()ω(H u B =

所以对于介质中的波动方程要根据时谐波下的麦克斯韦方程组来推导，首先来看时谐波的方程为：

ωt )(),(i e x E t x E -= ωt )(),(i e x B t x B -=

利用时谐波的方程代换麦克斯韦方程组，并按真空中的波动方程推导办法就可以得到亥姆霍兹方程：

E

i

B E u k E k E ⨯∇-==∙∇==+∇ω00

2

2

ε

B

i E B u k B k B ⨯∇-==∙∇==+∇ε

ε

ωu 00

2

2

七、电磁场辐射的达朗贝尔方程

为了方便起见，在此只讨论真空下的电磁辐射，所以我们可以得到在真空下的麦克斯韦方程组为：

ρ=∙∇D t B

E ∂∂-=⨯∇ 0=∙∇B t D J H ∂∂+=⨯∇

其中在均匀，同一的介质中有线性关系为：

E D

0ε= H u B 0=

其中我们前面已经引入标式ψ和矢式A

，并用利用公式我们可以得到如下结果：

12222

=∂∂-∇t

B c E

12222

=∂∂-∇t

E c B