第3章 天线阵

N sin(ψ / 2)
Nψ / 2
2
可计算上式的解为：
（3.14）
Nψ 2
=
N 2
(βd
cosθ0.5
+
Δφ )
≈
±1.391
可得半功率点所在的θ 值为
（3.15）
θ0.5
=
cos−1
⎡ ⎢⎣
1 βd
⎛ ⎜⎝
−Δφ
±
2.782 N
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
cos−1
⎡⎢⎣cosθ0
±
0.443
λ Nd
⎤ ⎥⎦
（3.11）
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由式（3.11）可得天线阵的最大辐射方向为θm
=
cos−1
⎡ ⎢⎣
1 βd
( −Δφ
±
2mπ
)⎤⎥⎦
。当
m = 0 时，ψ = 0 对应主瓣， m 为其它值时对应于栅瓣。θ 所对应的主瓣最大值
方向为
θ0
=
cos−1
⎛ ⎜
⎝
−
Δφ βd
⎞ ⎟⎠
（3.12）
3.3 半功率波瓣宽度
阵元可以是半波振子、喇叭天线、微带天线、缝隙天线或者其它形式的天线。 按照阵元中心连线轨迹，天线阵可以分成直线阵、平面阵、圆环阵、共形阵和立 体阵。实际的天线阵多由相似元组成。所谓相似元，是指各阵元的类型、尺寸、 架设方位等均相同。天线阵的辐射场是各单元天线辐射场的矢量和。只要调整好 各单元天线辐射场之间的相位差，就可以得到所需要的、更强的方向性。
《天线原理》讲义
邹艳林 郭景丽
第三章 天线阵
单个天线的方向图较宽，增益和方向性也有限，为了增强天线的方向性，提 高天线的增益或方向性系数，常将多个单元天线组合在一起。这种由若干个单元 天线按一定的方式排列起来的辐射系统称为阵列天线（Antenna Array），构成天 线阵的单元称为天线单元或阵元。
3.1 阵因子
图 3-2 等间距点源直线阵
将 zn′ = (n −1)d 及 In = Ane j(n−1)Δφ 代入得
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N
N
∑ ∑ fa (θ ,ϕ) =
I e = jβ ( xn′ sinθ cosϕ + yn′ sinθ sinϕ +zn′ cosθ ) n
An e j(n−1) (β d cosθ +Δφ )（3.6）
又
⎧⎪⎨rn′ = xn′xˆ + yn′ yˆ + zn′zˆ ⎪⎩rˆ = sinθ cosϕ xˆ + sinθ sinϕ yˆ + cosθ zˆ
则
rn′irˆ = xn′ sinθ cosϕ + yn′ sinθ sinϕ + zn′ cosθ
代入（3.1）式，得
En
=
C
e− jβr 4π r
n=1
n=1
可写为
N
∑ fa (ψ ) = An e j(n−1)ψ n=1
（3.7）
其中ψ 为相邻单元在场点处的相位差且ψ = β d cosθ + Δφ ，包括两项：相邻单
元的空间相位差和馈电相位差。以ψ 表示的阵因子称为通用方向函数，它便于
计算，且可用于方便地对阵列天线方向图进行设计。
∑ 应用等比数列求和公式 Sn
n=0
（3.5）
式（3.4）表明，天线阵的方向函数等于阵元的方向函数与阵因子的乘积，称为
方向图乘积定理。方向图乘积定理在分析天线阵的方向性时有着很重要的作用，
它适用于由相似元组成的多元阵。
2、二元阵分析
由两个阵元组成的天线阵称为二元阵。本节通过若干不同间隔与相位的二元 阵的例子，来理解天线阵的基本原理。
要在θ = θ0 方向有阵因子的最大值，则所需阵元电流为： In = e− j(n−1)β d cosθ0 。
对边射情况θ0 = 90 ，Δφ = 0 ；对端射情况，θ0 = 0 或180 ，Δφ = −β d 或 β d 。
式（3.10）的最大值发生在
ψ = β d cosθ + Δφ = ±mi2π m = 0,1,2,
下图所示。
当θ = 0 和θ = 180 时，两天线之间的波程差ψ = 180 ； 当θ = 90 时，两天线之间的波程差ψ = 0 。
【例2】：求出下列二元阵的阵因子，并绘出阵因子的方向图。
（1）间距 d = λ 的等幅同相二元阵； （2）间距 d = λ / 2 的等幅反相二元阵；
（3）间距 d = λ / 4 、等幅、相位差为 90 的二元阵；
⎢⎣
⎥⎦
=
β 2 cos(
d
cosθ
−
π
)
2
4
将 d = λ / 4 代入，并归一化，得
Fa (θ )
=
cos(π 4
cosθ
−
π) 4
=
cos
⎡π ⎢⎣ 4
(cosθ
− 1) ⎤⎥⎦
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结论：通过控制组阵参数形成特定的方向图
（4）间距 d = λ / 2 ，电流幅度比为 2 :1的同相二元阵
jβ (− d cosθ )
jβ ( d cosθ )
fa (θ ,ϕ) = 2e 2 + e 2
− j(π cosθ )
j(π cosθ )
将 d = λ / 2 代入，得 fa (θ ,ϕ) = 2e 2 + e 2
【例3】：间距 d = λ / 4 ，相位差为90°的二元等幅半波对称振子阵，求此二元
（3）间距 d = λ / 4 、等幅、相位差为 90 的二元阵
jβ (− d cosθ )
− jπ jβ ( d cosθ )
fa (θ ,ϕ) = e 2 + e 2 e 2
− jπ ⎡ − j( β d cosθ −π )
j( β d cosθ −π ) ⎤
= e 4 ⎢e 2
4 +e 2
4⎥
(cosθ
− 1) ⎤⎥⎦
其方向图与阵因子方向图相同，如图(b)所示。
3、均匀直线阵
均匀直线阵是等间距，且各阵元电流的幅度相等（等幅分布）而相位依次等 量递增或递减（线性相位分布）的直线阵。
图中所示的线性相位渐变直线阵沿 z 轴排列，d 为相邻单元之间的距离，N 为单元数目。电流可表示为 In = Ane j(n−1)Δφ ，式中 Δφ 为相邻单元之间的相位差。
对于相似元组成的天线阵，影响方向图的因素有以下五点： （1）阵的几何排列结构； （2）阵元间的相对位置； （3）阵元的激励幅度； （4）阵元的激励相位； （5）阵元的方向图。
1、方向图乘积定理
天线阵是由许多辐射单元组成的，天线阵在空间产生的场是各个辐射单元产 生的场的叠加。
P(r,θ , ϕ )
O
图 3-1 任意阵元的方向图
结论：间距增大，波瓣增多（栅瓣的出现）
（2）间距 d = λ / 2 的等幅反相二元阵
fa (θ ,ϕ)
=
jβ (− d cosθ )
−e 2
jβ ( d cosθ )
+e 2
=
2sin( β d 2
cosθ )
将 d = λ / 2 代入，并归一化，得
Fa (θ )
=
sin(π 2
cosθ )
结论：馈电相位的变化将引起阵因子方向图的变化
Fn (θ ,ϕ)In
e jβ (rn′ irˆ)
整个阵列的场为 n 个单元的叠加：
∑ ∑ E
=
N −1
En
n=0
=
C
e− jβr 4π r
N −1
Fn (θ ,ϕ) In
n=0
e jβ (rn′ irˆ)
用 f (θ ,ϕ ) 表示天线阵的场强幅度方向函数，得
（3.2） （3.3）
f (θ ,ϕ) = f1(θ ,ϕ)i fa (θ ,ϕ)
半功率波瓣宽度点处的ψ 值可由下式求出
Fa (ψ
)
=
1 N
sin(Nψ / 2) sin(ψ / 2)
=
1 2
（3.13）
当线阵的单元数很多时， N 很大，天线阵的方向性很强，则在半功率波瓣
宽度处的ψ 值很小，因此 sin(ψ / 2) ≈ψ / 2 ，则代入到式（3.13）可得
1 sin(Nψ / 2) = sin(Nψ / 2) = 1
（4）间距 d = λ / 2 ，电流幅度比为 2 :1的同相二元阵。
解：（1）
fa (θ ,ϕ)
=
2cos( β d cosθ ) 2
由于 d = λ 并归一化，得 Fa (θ ) = cos(π cosθ )
阵因子方向图为：
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当θ = 0 和θ = 180 时，两天线之间的波程差ψ = 360 = 0 ； 当θ = 90 时，两天线之间的波程差ψ = 0 ； 当θ = 60 和θ = 120 时，两天线之间的波程差ψ = 180 。
（3.4）
式中 f1(θ ,ϕ ) 为阵元的方向函数，仅与阵元的形式和尺寸有关，称为单元因子；
fa (θ ,ϕ ) 与阵元的个数、空间位置、电流幅度与相位分布相关，称为阵因子，表
示为：
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N −1
∑ fa (θ ,ϕ) =
I e jβ ( xn′ sinθ cosϕ+ yn′ sinθ sinϕ+zn′ cosθ ) n
En
= CIn
e− jβ Rn 4π Rn
Fn (θ ,ϕ)
（3.1）
其中 C 为与单元形式有关的比例系数， Fn (θ ,ϕ ) 为单元的归一化场强方向函数，
由于各阵列单元为相似元，则各阵列单元的 C 、Fn (θ ,ϕ ) 也相同。应用远场近似
后，
Rn = r − rn′ ≈ r − rn′irˆ
=
1 N
sin(Nψ / 2) sin(ψ / 2)
（3.10）
3.2 最大辐射方向
当ψ = 0 时，阵因子出现最大值，令相应的θ 值为θ0 。则 Δφ = −β d cosθ0 ，
这是为了在相对于阵元排列直线成θ0 角的方向上产生阵因子主瓣最大值所需
的、阵元到阵元的激励电流相位移。因此对一个均匀激励的等间距直线阵，如果
E 面方向图函数为：
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FE (θ ,ϕ)
=
FE (θ ,ϕ
=
0
)
=
cos
⎛ ⎜⎝
π 2
sinθ
cosθ
⎞ ⎟⎠ icos
⎡π ⎢⎣ 4
(cosθ
− 1) ⎤⎥⎦
(a)单元方向图
H 面方向图函数为：
(b)阵因子方向图
(c)天线阵方向图
FH
(θ ,ϕ)
=
FH
(θ ,ϕ
=
90
)
=
cos
⎡π ⎢⎣ 4
cosθx = rˆixˆ = (sinθ cosϕ xˆ + sinθ sinϕ yˆ + cosθ zˆ)ixˆ = sinθ cosϕ
得单元因子为
F1(θ
,ϕ)
=
cos
⎛ ⎜⎝
Hale Waihona Puke Baidu
π 2
cosθ
x
sin θ x
⎞ ⎟⎠
=
cos ⎛⎜⎝
π 2
sinθ
cosϕ
⎞ ⎟⎠
1− sin2 θ cos2 ϕ
由方向图乘积定理该二元阵的归一化方向函数为
=
N
qn−1
n=1
= 1− qN 1− q
，可得：
∑N
fa (ψ ) = A0 e j(n−1)ψ
n=1
=
A0
1 − e jNψ 1 − e jψ
=
A0
sin( Nψ sin(ψ /
/ 2) 2)
（3.8）
fam (ψ = 0) = A0N
（ψ = 0 同相叠加） （3.9）
则归一化阵因子为
Fa (ψ )
则
fa (θ ,ϕ)
=
jβ (− d cosθ )
e2
jβ ( d cosθ )
+e 2
=
2cos( β d cosθ ) 2
归一化阵因子的模值：
Fa (θ )
=
cos( β d 2
cosθ )
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将d
=
λ
/
2 代入，得到
Fa (θ )
=
cos(π 2
cosθ )
，画出归一化阵因子的方向图如
阵的方向函数和方向图。
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解：归一化阵因子为：
Fa (θ )
=
cos
⎡π ⎢⎣ 4
(cosθ
− 1) ⎤⎥⎦
由于半波振子沿 x 轴方向放置，因而单元因子为
F1(θ
,ϕ)
=
cos
⎛ ⎜⎝
π 2
cosθ
x
sin θ x
⎞ ⎟⎠
其中θx 为半波振子轴线与天线到场点的射线间的夹角。
（3.16）
当 Fa (θ = 0 ) < 0.707 且 Fa (θ = 180 ) < 0.707 时，即最大辐射方向不在
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假设有 N 个相似元（各单元不仅形式相同，而且在空间的放置姿态或取向 也相同），如图3-1所示。坐标原点选在第 0 个单元的相位中心，第 n 个单元位于
rn′ = (xn′, yn′, zn′) ，电流幅度相位为 In 。第 n 个单元在观察点 P(r,θ ,ϕ) 处的辐
射场模值为:
F
(θ
,ϕ)
=
F1(θ
,ϕ
)iFa
(θ
)
=
cos ⎛⎜⎝
π 2
sinθ
cosϕ
⎞ ⎟⎠
1 − sin2 θ cos2 ϕ
i cos
⎡π ⎢⎣ 4
(cosθ
− 1) ⎤⎥⎦
根据此式，可绘出天线阵的立体方向图。
下面来绘此二元阵的 E 面和 H 面的方向图。因为阵因子的最大辐射方向是 z 轴方向，对称振子的最大辐射方向是yoz平面，因此此阵列的最大辐射方向是 z 轴方向，其 E 面为xoz平面， H 面为yoz平面。
【例1】：间距 d = λ / 2 的等幅同相二元阵，求出其阵因子。
解：阵因子为
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∑ fa (θ ,ϕ) =
e jβ ( xn′ sinθ cosϕ + yn′ sinθ sinϕ +zn′ cosθ )
n=0
若两单元沿 z 轴排列
jβ (− d cosθ )
jβ ( d cosθ )
fa (θ ,ϕ) = e 2 + e 2