2012年武忠祥数学基础班讲义

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海天武忠祥强化数学讲义第三章

第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：)()(x f x F =′2）不定积分：∫+=Cx F x x f )(d )(2．基本积分公式：∫∫∫∫∫x x x x x x x x x x x e nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分∫xx R d )(（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分∫xx x R d )cos ,(sin（1）万能代换（一般方法）令t x =2tan（2）简单方法（三角变形，换元，分部）3)简单无理函数积分x dcx bax x R nd ),(∫++令t dcx bax n=++例一基本题例3.1∫−=)4(x x dx I 解法1∫∫+−=−−=−=c x x dxx x dxI 22arcsin)2(4422解法2∫+=−=c x xx d I 2arcsin24)(2例3.2cos ∫=xx dxI 解∫∫∫∫−=−===xx d x x x d xx xdx x x dx I 222sin 1sin 2)sin 1(sin sin cos cos sin cos dt t t t t dt t dt t x 1111()1)(1(212 sin 22224++−=+−=−=∫∫∫令例3.3∫+=dxxx I 25解法1令，则 tan t x =tdtdx 2sec =∫∫∫=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I )sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =−=−=∫∫=c u u u ++−253251=c x x x +++−242)348(151解法2∫∫+=+=)(2124224x d x x dx x I =dxx x x x ∫+−+23244=)1(]1)1[(222224x d x x x x ++−+−+∫=cx x x x ++++−+2224)1(34)1(54例3.4e xe I xx ∫−=1解I121212∫∫−−−=−=dx e e x e xd x x x （令）dt t t dx e x∫∫+=−22121t e x =−1=Ct t +−arctan 22则I c e e e x x x x +−+−−−=1arctan 41412例3.5∫+xxx d ln 解法1原式=∫+xxd ln 2=xxx x ∫+−+2ln 2dt t t t x dx x x ∫∫−=++121122=∫∫−+1222t dtdt =C t t t ++−+11ln2原式=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2解法2令，则t x =+1原式=dt t tdt tt ∫∫−=−)1ln(22)1ln(22=t t t t ∫−−−122)1ln(2222=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2例3.6∫xe e x xd arctan 2解法1原式=∫−−xx de e 2arctan 21=ee e e xx xx ∫++−−−22121arctan 21=∫++−−)1(21arctan 21222x xx xx e e de e e =Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212解法2令，则t e x =原式=∫∫−=231arctan 21arctan t tdt t =∫++−dt t t t t )1(1212arctan 222=c t t t t +−−−arctan 21212arctan 2=Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212例3.7∫+=dx xx I 91解法1（令）∫∫∫+=+=+= )1(81)1()1(8878u u dux x dx x x x dx I u x =8解法2∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1(解法3c x x dx xx dx I ++−=+−=+=∫∫−−−|1|ln 81181)11(88889例3.8∫∫∫∫+++=++−+=++=63262246413111111x dx x dxdx x x x x dx x x I例3.9∫+=xdx I sin 1解法1∫∫∫+=−=x x d x x x I 222cos cos cos 1cos sin 1解法2C x x dx x dx I +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∫∫42tan 24cos 22cos 12πππ解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x+=+==C x C t t dt t t t dt I ++−=++−=+=++⋅+=∫∫2tan 1212)1(2121112222例3.10∫++x x xcos sin 1d 解令，则t x=2tan 原式=∫+−+++2222211212t t t t dt =∫++=+C t tdt)1ln(1=Cx++)2tan 1ln(例3.11∫⋅=xx dxI 4cos sin 解法1（令）I ∫∫∫−−=−=⋅= )1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u duxx x d x x xdx u x =cos ∫−+−−=4244)1()1(u u u u 解法2∫∫∫∫⋅++=+=⋅+=cos sin cos sin 3cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx xx x x x x x dx dx x x x x x x I ∫∫++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123例3.12∫+=dxxb x a I 2222cos sin 1解1）若∫+−===≠c x ax a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222)若∫+==≠=cx b dx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若（令）)tg (cos 0 ,02222222∫∫+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a u x =tan 例3.13。

数学强化班（武忠祥）-高数第五章二重积分.doc

第五章二重积分1.定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 10d ),(lim d ),(σηξσ2.几何意义:3.性质:1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤DDy x g y x f .d ),(d ),(σσ2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D⎰⎰≤≤σ3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D),(d ),(ηξσ⎰⎰=.4.计算1) 直角坐标: 2) 极坐标:i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22yxf x y f y x f +ii)适合用极坐标的积分域:3) 利用奇偶性.①若积分域D 关于y 轴对称,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD x x y x f y x f y x f d y x f x .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ②若积分域关于x 轴对称,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD y y y x f y x f y x f d y x f y .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ4) 利用对称性:若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=DDx y f y x f σσ特别的： ⎰⎰⎰⎰=DDd y f d x f σσ)()(题型一计算二重积分例5.1计算⎰⎰+Dx ye x σd )|(|2，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.解由奇偶性知原式=⎰⎰⎰⎰=14D Dxd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）.3241010==⎰⎰-x xdy dx例5.2设区域D 为222R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(2222=.解法1)11(4)sin cos ()(224320022222222b a R d b a d d b y a x R D+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则σσd b x ay d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22222222. 从而有 21)(2222=+⎰⎰σd b y ax D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222)11(4)11(21222004322ba R d db a R +=+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰=++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(.A)πab , B)π2ab , C)π)(b a +, D)π2b a +. 解法1直接法由于积分域D 关于直线x y =对称，则⎰⎰⎰⎰++=++DDd x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)()()()()()()()(.原式])()()()()()()()([21⎰⎰⎰⎰+++++=D Dd x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21ba db a D +=+=⎰⎰.故应选（D ）. 解法2 排除法取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而⎰⎰++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(πσ2)(21ba db a D +=+=⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。

高联考研 2012年数学高分基础班讲义

高联考研考研数学高分基础班讲义20122012年考研数学高分基础班讲义(武忠祥)第一部分考研数学复习指导为了使考生更好的复习数学，达到事半功倍。

我们给考生提供以下四个方面的建议：一、了解命题的指导思想1．以教育部颁布的《硕士研究生入学统一考试大纲》为指导进行命题。

考试内容、考试要求、内容比例、题型比例符合大纲规定，不出超纲题、偏题、怪题。

2．试题以考查数学的基本概念、基本思想和基本原理为主，在此基础上加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考查。

3．确定试卷题量的标准使优秀水平的考生能在规定的时间里完成试题作答并有一定的检查时间。

试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，有利于考生发挥其真实水平。

4．充分发挥各题型的功能。

填空题主要考查三基以及数学的重要性质，一般不出纯粹只靠计算的大计算量题，以中、低等难度试题为主。

选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解并能进行简单的推理、判定、计算和比较，以中等难度试题为主。

主观性试题也有坡度，有些考查基本运算，有些考查综合应用，有些考查逻辑推理，有些考查分析问题和解决问题的能力。

5．试题有一定的内容覆盖面，但不要求面面俱到。

由于数学考试内容广泛，而考试时间有限，数量有限，一般要求保证重点章节被考查。

作为硕士研究生入学考试，应注重考查能力，试题不追求面面俱到，节节有题。

二、关于复习的建议数学复习可分为三个阶段：高联考研 2012考研数学高分基础班讲义1.基础阶段：(7月之前)全面复习，打好基础。

基本概念、基本理论、基本方法在这个阶段考生应根据考试大纲的要求选定教材（该课程的教科书），利用教材对所学过的基本概念、基本理论、基本方法进行全面系统的复习，对概念、理论和方法不能只停留在记忆，而要理解和消化。

这个阶段考生需做一些基本练习题，一般可做所选定教材后的练习题，不一定全做，每种类型选做一部分，这个阶段一般应在放暑假前完成。

考研数学基础班讲义1

----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。

函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。

设有数列和常数A 。

若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。

没有极限的数列称为发散数列。

收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。

（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

数学强化班(武忠祥)-高数第八章向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用

第八章向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节向量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。

数学强化班(武忠祥)-高数第四章多元函数微分学

第四章多元函数微分学第一节重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）1．重极限 A y x f y y x x =→→),(lim 00 ),(),(00y x y x →是以“任意方式”题型一：求极限常用方法：1）利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2）消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）； 3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 例4.1求下列极限1. .||||lim2200y x y x y x ++→→ 2. 22220011limyx y x y x +-+→→3. 42200)sin(lim y x xy xy y x +→→ 解：1。

由于y x yy x x y x y y x x y x y x +=+≤+++=++≤2222220，而0)(lim 0=+→→y x y x ，由夹逼原理知0lim2200=++→→y x y x y x . 2．方法1 将分子有理化原式.0)(2lim )11)((lim22220022222200=+=+++=→→→→y x y x y x y x y x y x y x . 方法2 当0→x ，0→y 时，222221~11y x y x -+，则原式0)(21lim 222200=+=→→y x y x y x . 3．方法1 由于21422≤+y x xy ，即为有界量，而0s i n l i m 0=→xy x ，即为无穷小量，则原式0=.方法2 由于0s i n 21s i n 0422→≤+≤xy y x xy xy （当0→x ，0→y 时），由夹逼原理知0sin lim 42200=+→→y x xyxy y x . 题型二证明重极限不存在常用方法:沿两种不同路径极限不同（通常可取过点),(00y x 的直线）例4.2 证明下列重极限不存在1) ;lim 2200y x xyy x +→→ 2) ;lim 42200y x xy y x +→→ 证明：1）取直线kx y =，让点),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(点，此时有2222202201lim lim k kx k x kx y x xy x x kx y +=+=+→→=. 则重极限2200limyx xyy x +→→不存在. 注：本题中的方法是证明重极限不存在的常用方法. 2）取直线kx y =，则01lim lim lim 24204423204220=+=+=+→→→=x k x k x k x x k y x xy x x x kx y . 若沿过原点的抛物线2y x =趋于)0,0(点时，就有21lim lim 444042202=+=+→→=y y y y x xy y y y x . 故极限4220lim y x xy y x +→→不存在.2.连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→例4.3 判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),()0,0(),(),(22y x a y x y x xy y x f 的连续性.解因为 y yx xy ≤+≤220，则.0lim22=+→→yx xy y x若),(,0y x f a =处处连续；若),(,0y x f a ≠除点)0,0(外处处连续。

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数学强化班（武忠祥）-高数第八章向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用

数学强化班（武忠祥）-⾼数第⼋章向量代数与解析⼏何及多元微分在⼏何上应⽤第⼋章向量代数与空间解析⼏何及多元微分学在⼏何上的应⽤第⼀节向量1．数量积1）⼏何表⽰：αcos ||||b a b a =?. 2) 代数表⽰: z z y y x x b a b a b a ++=?b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ?=?ii) 分配律: .)(c a b a c b a ?+?=+? 4) ⼏何应⽤:i) 求模: a a a ?=||ii) 求夹⾓: ||||cos b a ba ?=α iii) 判定两向量垂直: 0=??⊥b a b a 2.向量积1) ⼏何表⽰ b a ?是⼀向量. 模: αsin ||||||b a b a =?. ⽅向: 右⼿法则.2) 代数表⽰: zyx z y xb b b a a a k j ib a =?. 3) 运算规律 i) b a ?= )(a b ?-ii) 分配律: ?a (c b +)=b a ?+c a ?. 4)⼏何应⽤:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ?.ii) 求以a 和b 为邻边的平⾏四边形⾯积:=S |b a ?|.iii)判定两向量平⾏: ?b a //0=?b a . 3.混合积: c b a abc ??=)()( 1) 代数表⽰:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) ⼏何应⽤i) 平⾏六⾯体V =|)(|abc .ii)判定三向量共⾯: c b a ,,共⾯?(abc )=0.题型⼀向量运算例8.1 设,2)(=??c b a 则=+?+?+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +?+?+)(][a c c b b b c a b a +??+?+?+?=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ??+??+??+??+??+??=)()()()()()( a c b c b a ??+??=)()( 4)(2=??=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=??+))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ?+?=??+ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=?b a ,则=?||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解由于2),cos(==?∧b a b a b a ，⽽2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从⽽4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=?==?∧b a b a b a题型⼆向量运算的应⽤及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的⾓平分线向量且使其模为32。

武忠祥高数基础篇和辅导讲义

武忠祥高数基础篇和辅导讲义一、高数基础篇概述1.1 高数基础篇介绍高等数学是理工类专业中一门重要的基础课程，对于学生的数学素养和综合能力的培养有着至关重要的作用。

而武忠祥的高数基础篇和辅导讲义是一本备受推崇的教材，为学生提供了深入理解高等数学的工具和方法。

1.2 武忠祥教授简介武忠祥教授是中国知名数学家，拥有丰富的高等数学教学经验。

他在高等数学领域做出了突出的贡献，并对高等数学的教学方法进行了深入研究和探索。

1.3 本教材的特点武忠祥高数基础篇和辅导讲义有以下几个显著的特点：•题型全面：本教材中包含了各种经典的高等数学题型，涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个知识点，使学生能够全面了解和掌握各个领域的数学知识。

•理论详尽：教材中对于各个概念和定理都进行了详细的解释和推导，让学生能够深入理解数学的本质和内涵。

•习题分类：教材中的习题按照难度和类型进行了分类，有助于学生分阶段、有针对性地进行习题练习，提高解题能力和应用能力。

•实例讲解：教材中还提供了大量的实例，通过实际问题的解答，帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，提高应用能力。

二、高数基础篇内容概述2.1 微积分部分微积分是高等数学的核心内容之一，而本教材对微积分部分进行了详细的讲解和归纳。

主要包括以下内容：1.极限与连续：教材从极限的定义出发，逐步引入了连续的概念，并重点介绍了一些重要的极限定理。

2.导数与微分：教材详细介绍了导数的概念和计算方法，并对微分进行了深入讲解。

并通过实例，将导数与实际问题相结合，强化学生的应用能力。

3.积分与定积分：教材对积分和定积分进行了系统的讲解，包括基本性质、计算方法以及应用。

通过大量的实例，帮助学生理解积分的含义和应用。

2.2 线性代数部分线性代数是高等数学的另一个重要分支，本教材对线性代数的内容进行了全面的介绍。

主要包括以下内容：1.行列式与矩阵：教材从行列式的概念出发，介绍了行列式的计算方法和性质，并进一步引入了矩阵的概念和运算规则。

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武忠祥教授高等数学考研第二三章

f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
f ( x0 )
定义2(左导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定义3(右导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定理1 可导左右导数都存在且相等
定义4(区间上可导及导函数)
2. 微分的概念
f (b) f (a) f ( ).
ba 定理4（柯西中值定理）
设 f ( x), F ( x) 在 [a, b] 连续, 在 (a, b) 内可导，且 F( x) 0 那么至少存在一个 (a, b) ，使
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
所确定的隐函数, 则 d 2 y dx2
_______.
(1)
x0
【例9】(2013年1）设
y
x sint, t sint cost,
d2y dx2 t __________.
4
( t 为参数), 则 ( 2)
【例10】(2007年2,3）设函数 y 1 , 则 2x 3

数学强化班(武忠祥)-高数第七章无穷级数

第七章无穷级数第一节常数项级数1．概念与性质（1）定义：∑∞=∞→=1lim n n n n S u（2）性质1）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 分别收敛于σ,s ，则)(1n n n v u ±∑∞=收敛于σ±s .2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变.4) ∑∞=1n n u 收敛0lim =∞→n n u2.判敛准则(1)正项级数(∑∞=1n n u ,0≥n u )基本定理：∑∞=1n n u 收敛⇔n S 上有界。

1)比较判别法：设n n v u ≤,则 ∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛.∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.2)比较法极限形式：设∞→n lim)0(+∞≤≤=l l v u nn①若+∞<<l 0,则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同敛散.②若0=l ,则∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛,∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.③若+∞=l ,则∑∞=1n n v 发散⇒∑∞=1n n u 发散,∑∞=1n n u 收敛⇒∑∞=1n n v 收敛.3)比值法:设ρ=+∞→nn n u u 1lim,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 4)根值法: 设ρ=∞→n n n u lim ,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 (2)交错级数(∑∞=->-110,)1(n n n n u u )莱不尼兹准则: 若：(1)n u 单调减; (2) 0lim =∞→n n u ,则∑∞=--11)1(n n n u 收敛.(3)任意项级数(∑∞=1n n u ,n u 为任意实数)1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论①绝对收敛的级数一定收敛,即||1∑∞=n n u 收敛∑∞=⇒1n n u 收敛.②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.即: ∑∞=1n n u 条件收敛∑∞=+⇒12||n n n u u 和∑∞=-12||n n n u u 发散.题型一正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛；（2）当1>a 时，原级数发散；（3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。

武忠祥教授高等数学考研第一章第二节

n k k
2. 函数的极限
1)自变量趋于无穷大时函数的极限定义2
lim f ( x ) A
x
0, X 0 ,当 | x | X 时，恒有 | f ( x ) A | .
x
lim f ( x ) A lim f ( x ) A f ( x ) lim f ( x ) A lim f ( x ) A xlim x x
2)“ 1 ”型极限常用结论
若 lim ( x ) 0, lim ( x ) , 且 lim ( x ) ( x ) A
则 lim( 1 ( x )) ( x ) e A
n n1 1 sin 【例1】 lim n ( n 1) n n
1 ( ) e
【例1】（2016年1）
lim
x 0
x
0
t ln( 1 t sin t )dt 1 cos x 2
_________.
1 [ ] 2
【例2】（2016年3）已知函数
f ( x )满足
则 lim f ( x ) _________.
x 0
1 f ( x ) sin 2 x 1 lim 2, 3 x x 0 e 1
(A) 充分条件但非必要条件；
(B) 必要条件但非充分条件.
(C) 充分必要条件.
（D）既非充分条件又非必要条件.
【例2】(2015,3）设 x n 是数列，下列命题中不正确的是
（A）若 lim xn a ,
n n n
则 lim x2 n lim x2 n1 a .
n n n
（B）若 lim x2 n lim x2 n1 a , 则 lim xn a , （C）若 lim xn a , 则 lim x3 n lim x3 n1 a . n n n （D）若 lim x3 n lim x3 n1 a , 则 lim xn a ,

2012武忠祥数学基础班讲义

2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。

了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数（D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。

A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。

数学强化班(武忠祥)-高数第六章常微分方程

b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解
2)常系数:
a) 齐次
特征方程
设是特征方程两个根
1）不等实根：，
；
2）相等实根：，；
3）共轭复根：，；
b) 非齐次：
令等于作为特征方程根的重数.
令 3）欧拉方程（仅数一要求）
令，
4．差分方程（仅数三要求）
(7)
解（1）（2）令，，（3）解令. 令得（4）解（线性）（5）解令，（6）解令，则（线性）
由知， .
（7）解
1）求方程的通解 2）求方程的特解. 1）解法1 可降阶方程令，则，
（线性）
解法2
.
2）解令
令，，
显然，均为原方程解，但由，知，
，即
，，
由知，，.
例6.3求解下列各题(高阶线性方程)
1。一阶常系数线性齐次差分方程
（1）
通解为
2。一阶常系数线性非齐次差分方程
（2）
通解为
其中是非齐次差分方程（2）的特解。
1)
（1）若令
（2）若令
2），
（1）若令
（2）若令
例差分方程的通解为
.
解：原方程的一般形式为，
其对应的齐次差分方程为
其通解为
（为任意常数）.
因为是的一次多项式，且，故设原方程的特解为
为非齐次解.
为齐次解.
则齐次方程特征方程为
即
则齐次方程为
设所求的二阶线性非齐次方程为
将代入该方程得 .
故所求方程为
6.若是方程的解,求及该方程通解。