2012年武忠祥数学基础班讲义

2）有理运算性质
那么: lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = A ± B
2
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = A ⋅ B
⎛ f ( x) ⎞ lim f ( x) A lim⎜ ⎜ g ( x) ⎟ ⎟ = lim g ( x) = B ( B ≠ 0) ⎝ ⎠
ξ ∈ [c, d ] ,使 pf (c) + qf (d ) = ( p + q ) f (ξ ) .
第二章
一、导数与微分 1 导数概念： f ′( x0 ) = lim
一元函数微分学
Δx → 0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx
= lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 ) ； x − x0
o
o
其中 lim α ( x ) = 0.
3 极限存在准则 1）夹逼准则： 若存在 N ，当 n > N 时， xn ≤ yn ≤ zn ，且 lim xn = lim zn = a, 则
n →∞ n →∞ n →∞
lim yn = a.
2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。 4 常用的基本极限
lim lim sin x = 1, x →0 x ln(1 + x) = 1, x →0 x 1 lim(1 + ) x = e x →∞ x
若 lim+ f ( x) = f ( x0 ), 则称 f ( x ) 在 x 0 处右连续。
x → x0
f ( x ) 连续 ⇔ f ( x ) 左连续且右连续
2 间断点
1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点 可去间断点: 跳跃间断点: 左极限=右极限 左极限 ≠ 右极限
2）第二类间断点: 左、右极限中至少有一个不存在的间断点 无穷间断点: x → x0 时, f ( x ) → ∞ 振荡间断点: x → x0 时, f ( x ) 振荡
x → x0
7）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量 ⇒ 无界变量 8）无穷大量与无穷小量的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量（恒不为零）的倒数是无穷大量；
4
常考题型： 1）求极限； 2）无穷小量阶的比较；
1 求极限：
方法 1 例1 有理运算
3 sin x + x 2 cos lim
x →0
lim n 1 + 2 n + 3 n
n →∞
(
1 ) 2
( 3 )
n →∞
lim n a1 + a2 + L + am .
n
n
n
其中 ai > 0, (i = 1,2,L m)
(max ai )
单调有界准则
例 设 a > 0, x1 > 0, x n +1 =
1⎛ a ⎞ ⎜ xn + ⎟ ，n = 1,2,L. 求极限 lim x n . ⎜ n→∞ 2⎝ xn ⎟ ⎠
α ( x) = C ≠ 0 ，称 α ( x) 是 β ( x ) 的 k 阶无穷小. [ β ( x)]k
（2）同阶： 若 lim
（3）等价：
若 lim
（4）无穷小的阶: 若 lim
3）常用的等价无穷小： 当 x → 0 时,
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x − 1;
−
x → x0
左极限： lim− f ( x ) = f ( x0 ) (或 f ( x0 − 0) ) 右极限： lim+ f ( x ) = f ( x0 ) (或 f ( x0 + 0) )
x → x0
x → x0
+
lim f ( x ) = A ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = A
(
a )
5
2 无穷小量阶的比较
例 1 当 x → 0 时， α ( x) = kx 2 与 β ( x ) = 1 + x arcsin x − cos x 是等价无穷小，则
k = ______ .
3 ( ) 4
例 2 设当 x → 0 时 (1 − cos x) ln(1 + x 2 ) 是比 x sin x n 高阶的无穷小，而 x sin x n 是比
(1 + cos x) x
1 x=
.
（
3 ） 2 3 ( ) 2
例2 方法 2 例 方法 3 例1
lim 3
x →0
ห้องสมุดไป่ตู้
1+ x − 1− x . 1+ x − 3 1− x
基本极限
n
lim (
n→∞
a +n b+n c n ) ，其中 a > 0, b > 0, c > 0. 3
(3 abc )
等价无穷小代换
类似的定义
x →∞
x → +∞
lim f ( x ) = A ， lim f ( x ) = A 。
x → −∞ x → +∞
lim f ( x ) = A ⇔
x → x0
lim f ( x ) = lim f ( x ) = A
x → −∞
lim f ( x) = A ： ∀ε > 0, ∃δ > 0 ,当 0 <| x − x0 |< δ 时，恒有 | f ( x ) − A |< ε 。
(e x − 1) 高阶的无穷小，则正整数 n 等于
（A）1. （B）2. （C）3.
2
（
B
）
（D）4.
三、连续 1 连续的定义:
若 lim f ( x) = f ( x0 ) ,则称 f ( x ) 在 x 0 处连续。
x → x0
x → x0
左右连续定义: 若 lim− f ( x) = f ( x0 ), 则称 f ( x ) 在 x 0 处左连续。
x → x0
3
2) 无穷小的比较:
设 lim α ( x ) = 0, limβ ( x) = 0 ，且 β ( x) ≠ 0 .
（1）高阶： 若 lim
α ( x) = 0 ； 记为 α ( x ) = ο ( β ( x )); β ( x) α ( x) = C ≠ 0； β ( x) α ( x) = 1 ；记为 α ( x ) ~ β ( x); β ( x)
x 1− e
x 1− x
的连续性并指出间断点类型.
例 3 函数 f ( x) =
( x 2 + x)(ln x ) sin x2 −1
（B）1
1 x 的可去间断点的个数为（
（ C ）2 （D）3
）
（A）0
例 4 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续, a < c < d < b .试证对任意的正数 p, q ,至少存在一个
两个常用的结论：1） lim
f ( x) 存在， lim g ( x ) = 0 ⇒ lim f ( x ) = 0; g ( x) f ( x) = A ≠ 0, lim f ( x) = 0 ⇒ lim g ( x) = 0; g ( x)
2) lim 3）保号性
设 lim f ( x ) = A
lim(1 + x) x = e ,
x →0
1
lim
ex −1 = 1, x →0 x
lim n n = 1.
lim
a x −1 = ln a x →0 x
(1 + x)α − 1 lim = α, x →0 x
5 无穷小量与无穷大量 1）无穷小量的概念:
n→∞
若 lim f ( x) = 0 ，则称 f ( x ) 为 x → x0 时的无穷小量.
f (ξ ) = 0 。
常考题型 1。讨论函数的连续性及间断点的类型； 2。有关闭区间上连续函数性质的证明题; ．
⎧ ⎪(cos x)1 / x , x ≠ 0, 例 1 已知 f ( x) = ⎨ 在 x = 0 处连续，则 a = _____. . ⎪ x=0 ⎩a ,
2
(e 2 )
−
1
例 2 讨论 f ( x) =
x → x0 x → x0
几个值得注意的极限：
1
lim e x , lim arctan
x →0 x →0
1 + x2 1 . ， lim e x , lim arctan x, lim x →∞ x x x →∞ x →∞
2 极限性质 1）有界性 收敛数列必有界； 若 lim f ( x ) = A, lim g ( x) = B .
狂飙的蜗牛友情提供－－－－ＱＱ：９７２８２２３９
2012 年考研数学基础班讲义
（高等数学）
第一章
一、函数 1 函数的概念： 2 函数的性态： 单调性 有界性 ： 定义： ∃M > 0, ∀x ∈ I , f ( x) ≤ M ; 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数: 将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。 了解它们定义域, 性质,图形. 2）初等函数： 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解 析式表示的函数. 常考题型： 1。函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。复合函数； 例1 f ( x) =| x sin x | ecos x (−∞ < x < +∞) 是 （B）单调函数. （C）周期函数 （D）偶函数. 奇偶性 周期性 有界性
lim
esin x − e tan x . x → 0 x ln(1 + x 2 ) 1+ x − 1− x . 1+ x − 3 1− x
例2 方法 4 例1 例2 例3 方法 5
lim 3
x →0
夹逼原理
1 2 n ⎡ ⎤ lim ⎢ 2 + 2 +L+ 2 n→∞ n + n + 1 n +n+2 n + n + n⎥ ⎣ ⎦
1 − cos x ~
1 2 x , (1 + x)α − 1 ~ αx, 2
a x − 1 ~ x ln a, ，
4）等价无穷小代换 若 α ~ α , β ~ β , 且 lim
α 存在， β
则
lim
α α = lim β β
5)无穷小的性质: （1）有限个无穷小的和仍是无穷小. （2）有限个无穷小的积仍是无穷小. （3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小. 6) 无穷大量的概念: 若 lim f ( x ) = ∞ ，称 f ( x ) 为 x → x0 时的无穷大量；
3 连续函数性质
1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数； 2) 基本初等函数在其定义域内处处连续 初等函数在其定义区间内处处连续；
6
3）有界性：若 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,则 f ( x ) 在 [ a, b] 上有界。 4）最值性:若 f ( x ) 在 [ a, b] 连续, 则 f ( x ) 在 [ a, b] 上必有最大值和最小值。 5）介值性:若 f ( x ) 在 [ a, b] 连续, 则 f ( x ) 在 [ a, b] 上可取到介于它在 [ a, b] 上 最小值与最大值之间的一切值. 6）零点定理:若 f ( x ) 在 [ a, b] 连续,且 f (a ) ⋅ f (b) < 0 ,则必 ∃ξ ∈ (a, b) ，使
解
二、极限 1 极限概念 1) 数列极限: lim a n = A ： ∀ε > 0, ∃N > 0 ,当 n > N 时，恒有 | a n − A |< ε .
n→∞
2）函数极限: lim f ( x ) = A ： ∀ε > 0, ∃X > 0 ,当 | x |> X 时，恒有
x →∞
| f ( x ) − A |< ε .
x → x0
（1） 如果 A > 0 ,则存在 δ > 0 ,当 x ∈ U ( x0 , δ ) 时， f ( x ) > 0 . （2） 如果当 x ∈ U ( x0 , δ ) 时, f ( x ) ≥ 0 ,那么 A ≥ 0 . 4）极限值与无穷小之间的关系;
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x) = A + α ( x ) .
函数 极限 连续
（A）有界函数. 例2
已知 f ( x) = sin x, f [ϕ ( x)] = 1 − x 2 , 则 ϕ ( x) = ______ 的定义域为 _______ .
1
解： arcsin(1 − x 2 ) ； [− 2 , 2 ]. 例3
⎧ x 2 , x < 0, ⎧2 − x, x ≤ 0, f ( x) = ⎨ 设 g ( x) = ⎨ 则 g [ f ( x)] = ________ . ⎩ x + 2, x > 0, ⎩− x, x ≥ 0 ⎧2 + x 2 , x < 0, g[ f ( x)] = ⎨ ⎩ 2 + x , x ≥ 0.
7
左导数： f −′( x0 ) = lim−
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) ； Δx → 0 Δx f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 右导数： f +′ ( x0 ) = lim+ ； Δx → 0 Δx