离散数学教案范本

五、本章重点
1、利用联接词构造复合命题公式
2、真值表的构建
3、等值演算
4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法
5、推理证明
六、本章难点
1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断
2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式
3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式
七、教学方法
***
(3)复合命题符号化
***
(4)复合命题的真值判断
***
1.2命题公式及其赋值
(1)合式公式的概念、层次及不同的解释
**
(2)求公式的真值表的方法
***
(3)判断命题公式的类别:永真式、永假式、可满足式
***
(4)公式与真值表之间的关系
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1.3等值式
(1)等值式的概念
*
(2)通过等值演算判断两个公式是否等值
采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。
八、课时分配
1.1命题及联接词2课时；
1.2命题公式及其赋值2课时；
1.3等值式2课时；
1.4析取范式与合取范式2课时；
1.5推理理论与消解法2课时；
1.6命题逻辑应用案例2课时；
九、场地器材
多媒体教室
十、参考书目
1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。
2.复合命题符号化
通过范例理解如何将现实中的表达进行符号化
范例:2条件联接
爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD
用p表示儿子考上大学，q表示爸爸送IPAD，承诺可以表示为：p->q；
注意如果承诺为：只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD；
这句话也表明当我们看见爸爸送了IPAD时，也可以推理出儿子考上了大学，即q->p；用一个表达式将p->q和q->p表达，则为p<->q。
即p=0，q=1，p∧q为0∧1，结果为0；
范例5条件联接
对于“如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD”会出现4种情况：
（1）如果儿子考上大学，爸爸送了IPAD，承诺有效，即p->q为真；
（2）如果儿子考上大学，爸爸没买IPAD，承诺无效，即p->q为假；
（3）如果儿子没考上大学，爸爸买或没买IPAD，之前承诺本身都是有效的，即p->q为真；
如：5+*9-2为不合法表达式
（3）联接词对应运算符Fra Baidu bibliotek、变元为数字，引导出命题表达式也存在合法性问题；
（4）由四则运算有最终结果去理解命题运算存在结果值；
（二）合式公式（40分钟）
1、基本概念：
（1）简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，也称为命题常项或者命题常元。
（2）将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联接起来的符号串叫作命题公式或者合式公式。
《离散数学》教案
课目：第一章命题逻辑
教师：熊建英
学时：12课时
Ⅰ教学提要
一、教学对象（人数）
学生：信息安全专业本科二年级学生50人
二、教学目标（任务）
各小结中知识点掌握程度(*理解；**基本掌握；***熟练掌握)
知识点
程度
1.1命题及联接词
(1)命题的概念、表示方法及基本分类
*
(2)五种联接词的逻辑关系
2、离散数学与其他专业课程的联系；
(1)涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作系统、数据数据加密。
通过事先了解“教学计划”中学生已经学过的专业课程，后面将着重以计算机基础与C语言编程为例
(2)以C语言编程中算法、条件判断为例
(3)以计算机基础中逻辑运算为例
总结：计算机在日常生活中的用途是非常大的，进一步说明该课程的任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求。
体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。
1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义；
如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等；
(1)逻辑推理问题范例（PPT展示一个犯罪推理案例）
(2)离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此类问题的科学。
范例1：爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD
我们只有在儿子考上大学，爸爸没送IPAD时，才能说爸爸的承诺无效，其他时候任何情况都不能否定承诺的有效性。
（5）等价
设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p<->q，<->称作等价联结词，并规定p<->q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
复合命题5：身高不超过1.6米的男性
复合命题6：身高不超过1.6米的女性并且身高不超过1.8米的男性；
目的：检验学生是否学会利用连接词和命题符号构造复合命题
2.复合命题的真值判断
通过范例理解命题真假
范例4析取、合取
复合命题1：身高超过1.8米的男性：p∧q
如果当前判断对象状态为身高为1.7米，男性，明显判断为假；
目的：让学生掌握各种联接词联接命题的值。
（五）课堂小结（10分钟）
1、命题符号化
2、熟记五种命题联结词及运用。
3、命题符号化后求真值：一般地，规定的联结词优先顺序为:( )，﹁，∧，∨，->，<->，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
易犯错误：
p->q真值表中，p为0时，q为0或1，p->q为1不是0；
p->q的逻辑关系表示q是p的必要条件。q是p的必要条件有许多不同的叙述方式：只要p，就q；因为p，所以q；p仅当q；只有q才p；除非q才p；除非q，否则非p。
作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，p->q均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p->q为假，称为实质蕴含。
从现实案例中理解
自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或(排异或)。
（4）蕴涵
设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作P->q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，->称作蕴涵联结词，并规定p->q为假当且仅当P为真q为假。
***
(3)消解法
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1.6应用案例
(1)命题逻辑应用领域
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(2)典型应用案例
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(3)编写程序求解复杂命题
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三、教学要求
（一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。
（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。
四、教官分工
主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
注意:
(l)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式;
(2)称A是n+1层公式是指有以下几种情形之一的:
(a) A=﹁B,B是n层公式;
(b) A=B∧C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
(c) A=B∨C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
(d) A=B->C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
范例3析取合取
子题
超过1.8
不超过1.8
男性
女性
超过1.6
不超过1.6
符号
p
﹁p
q
s
r
﹁r
复合命题1：身高超过1.8米的男性：p∧q
复合命题2：身高超过1.6米的女性：r∧s
复合命题3：身高超过1.8米的男性或者身高超过1.6米的女性：（p∧q）∨（r∧s）
课堂练习：
复合命题4：身高超过1.8米的女性
2、定义
（1)单个命题变项是合式公式，并称为:原子命题公式。
（2)若A是合式公式，则﹁A也是合式公式。
(3)若A, B是合式公式，则(A∧B), ( A∨B), (A->B), (A<->B)也是合式公式。
(4)只有有限次地使用(1)一(3)形成的符号串才是合式公式
若A为合式公式，B是A的一部分，且B也是合式公式，则称B为A的子公式。
目的：检验学生是否学会如何判断命题
（四）联结词与复合命题（35分钟）
1、五种联结词
（1)否定
设P为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作﹁p，符号﹁称作否定联结词，并规定﹁p为真当且仅当p为假。
注意：否定之否定是肯定，即﹁﹁p等价于p
（2）合取
设p,q为二命题，复合命题“p并且q(或“P与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词，规定p∧q为真当且仅当P与q同时为真。
使用合取联结词时要注意的两点:
描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”、“一面·····一面……”等联结词都可以符号化为∧。
分清简单命题与复合命题。不要见到“与”或“和”就使用联结词∧。
（3）析取
设p, q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
***
(3)通过真值表判断两个公式是否等值
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1.4析取范式与合取范式
(1)简单析取与简单合取的定义
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(2)析取范式与合取范式定义
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(3)大项与小项定义
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(4)主析取范式与主合取范式定义
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(5)利用等值演算与真值表求得主范式
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1.5推理理论与消解法
(1)推理定义、规则
*
(2)推理证明的方法
p<->q为真时，与p->q不同，p为0时，q为0，p<->q为1，否则为0；
解决方法：p->q理解p不是q的唯一条件，p不成立，其他条件也可能使q成立；p<->q理解是p是q唯一条件，前提不成立，结论也不该成立；
1.2命题公式及其赋值（2课时）
一、教学内容
1、合式公式的概念、层次、解释
2、求公式的真值表
二、课程时间安排
1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟）
2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟）
3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）
4、联结词与复合命题（35分钟）
5、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）创设意境、导入课程（10分钟）
目的
2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。
3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程
1.1命题及联接词（2课时）
一、教学内容
1、命题的概念表示与分类
2、五种基本的联接词的逻辑关系
3、复合命题的符号化
4、复合命题的真值判断
（2）推理的前提和结论都是表达判断的陈述句。
（3）表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
2、命题概念
（1）称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题
（2）作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。
（3）真值只取两个:真与假。
真值为真的命题称为真命题。真值为假的命题称为假命题。
说明:
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。陈述句中的悖论不是命题。但现在不知道真假，未来有一天必定会知道真假的陈述句是命题。
(e) A=B<->C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
若公式A的层次是k，则称A为k层公式。
定义1. 8设pl，p2，…，pn，是出现在公式A中的全部命题变项，给pl，p2，…，pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或者解释。若设定的一组值使A的真值为1，则称这组值为成真赋值，反之则称为成假赋值。
3、命题的表示
（1)用小写英文字母p, q,r...,pi,qi,ri…表示命题
（2)用“1、T”表示真，用“0、F”表示假
（3)不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题或原子命题。
（4)由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。
课堂练习：判断教材中的例1.1中语句是否是命题
所以：只有p成立，q不成立，p->q为假。
注意如果承诺为：只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD；那么：
儿子没考上大学，爸爸没买IPAD；遵守了承诺，即p->q为真1；
儿子没考上大学，爸爸买了IPAD；违背了承诺，即p->q为假0；
课堂练习：
如果p=0,q=1;计算下面复合表达式的值；
p∧q；p∨q；（p∧q）∨（p∨q）；p->q；p<->q；
（二）离散数学的发展史（20分钟）
1、利用多媒体向学生简要介绍离散数学学科的发展历史，了解离散数学的起源和一些重要的人物资料。
2、介绍第一章命题逻辑的主要内容、及在生活中的应用、引发同学们对离散数学的兴趣。
（三）命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）
1、命题与联接词
（1）数理逻辑研究的中心问题是推理。
3、命题公式的分类
二、课程时间安排
1、章节导入（5分钟）
2、介绍与讲解合式公式（40分钟）
3、讲解真值表（35分钟）
4、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）章节导入（5分钟）
目的
判断一个合法的复合命题，通过真值表熟练掌握不同命题取值下计算复合命题的值。
（1）回顾初等数学中的加减乘除混合运算
（2）混合运算式的书写规则，即合法性判断；