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矩阵可逆的判别方法

矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院班级：数学与应用数学1班姓名：黄新菊学号：1250411025 内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。

矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。

可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。

例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。

并且还可以物理、经济等各种问题。

有重要的理论和实践意义。

所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。

关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。

导言：高等代数已经学了差不多两个学期。

自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。

前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。

而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。

突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。

为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。

我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。

希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。

整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。

正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。

有关矩阵的逆的定义：定义1：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是级单位矩阵. 即称A 可逆，B 为A 的逆。

(AB 1-=)定义2：设矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=a aa aa a a aa Ann n n n n............ (2)12222111211 中元素a ij 的代数余子式，矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=A AA A A A A AA A nnn n n n ... (2)12222111211* 称为A 的伴随矩阵。

可逆矩阵264191

高等代数
1 1 1
例
设A 2 1
0
求 A1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
解 A I 2 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
1 1
1 2
1 2
0 1
0 0
0 2 1 1 0 1
r1 r2 r3 2r2
(1)r2
1 0
0 1
1 2
1 2
1 1
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1) k
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1

矩阵可逆的若干判别方法

山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号0751010139指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。

在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。

而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。

鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。

其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。

另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。

【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。

矩阵可逆地判定及求解

华北水利水电大学矩阵可逆的判定与求解课程名称：线性代数专业班级：测控技术与仪器88班成员组成：某某：联系方式：2012年10 月16日矩阵可逆的判定与求解摘要：在高代数中,矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念,特别是可逆矩阵已成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象,必需深入了解.求逆矩阵的方法有定义法、公式法、初等变换法、分块矩阵求逆法等,本文将提供这几种方法供大家参考.关键词：可逆矩阵的定义、齐次方程组、初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法Matrix reversible decision and the solutionAbstract: In the higher algebra, the matrix in mathematics has bee an extremely important concept of widely used, especially invertible matrix algebra especially higher algebra has bee one of the main research object, it is necessary to deeply understand. Inverse matrix method is definition method, formula method, the elementary transformation method, block inverse matrix method, etc, this paper will provide the several methods for your reference.Key words:Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partitioned matrix inversion, deposition of matrixinversion, recursive method引言：矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。

矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.AbstractMatrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.目录引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得==（1）AB BA E这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A-与A为同阶方阵,即11A A AA E --==.定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.定义1.4 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ija 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为A 的伴随矩阵.定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()r A .定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：101101ij p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.注 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：1()1i p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 第三类初等矩阵()ij P c 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：101()01ij p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 定义1.9 如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵. 定义1.10 如果矩阵B 可以由矩阵A 经过有限次初等变换得到，则称矩阵A 与B 是等价的.1.2 基本定理和推论定理1.1 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化，而A 可逆时1*1(||0)A A d A d-==≠证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）其中d A =如果0d A =≠那么由（2）得**11()()A A A A E d d==（3）当||0d A =≠，有（3）可知，A 可逆，且1*1A A d-=.反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=.两边取行列式，得11A A E -==,因而||0A ≠，即A 非退化.定理 1.2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左侧乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则] 若非齐线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组有唯一解，其解为,1,2,,j j D x j n D==其中(1,2,,)j D j n =是将系数行列式D 中第j 列的元素12,,,j j nj a a a 对应地换成方程组右端的常数项12,,,n b b b ，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项0(1,2,,)i b i n ==，即111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，称为齐次线性方程组.定理 1.4 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组只有零解.证：因为0D ≠，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解,1,2,,jj D x j n D==，又因0(1,2,,)i b i n ==，可知行列式j D 中的第j 列元素全为零（1,2,,j n =），因为0(1,2,,)j D j n ==，齐次线性方程组只有零解. 定理1.5 任意一个矩阵()ij m n A a ⨯=都与一个形如rE O D OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵等价.矩阵D 称为矩阵A 的标准型.证明：若A O =,则A 已是标准型（此时0r =）,结论成立. 若A O ≠,则A 中至少有一个元素不等于零，不妨设110a ≠，用111i a a -乘以第一行加到第i 行上(1,2,,)i m = ，再将所得矩阵的第一列乘以 111j a a -加到第j 列上(1,2,,)j n = ，并将11a 化为1，于是矩阵A 化为''2221''2100010n m mn a a O A O A a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，若1(1)m A O -⨯=（n-1），则已为标准型（此时1r =），若1(1)m A O -⨯≠（n-1），则按上面的方法继续下去，最终有rE O A O O ⎡⎤→→⎢⎥⎣⎦. 推论1.1 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶初等矩阵12,,,s P P P 和n 阶初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得2112r s t E O P P P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令21sP P P P =,12t Q Q Q Q =，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P ,Q 为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当A 为n 阶可逆矩阵时，由A 可逆的充分必要条件，0A ≠.又由推论1.2，存在n 阶可逆矩阵P , Q ,使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而 0PAQ P A Q =≠于是只有r n =，所以由如下推论.推论1.3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是的A 等价标准型为n E .推论 1.4 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，A 可逆的充分必要条件是存在n 阶初等矩阵12,,,s P P P 和12,,,t Q Q Q ，使得 2112st n P P P AQ Q Q E =而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有1111111221s n t A P P P E Q Q Q ------=1111111221s t P P P Q Q Q ------=.第二章矩阵可逆的性质性质2.1 若A 是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若,B C 都是的A 逆矩阵，则B 与C 均满足式AB BA E ==，即,AB BA E AC CA E ====从而有()()B BE B AC BA C EC C =====即的逆矩阵是唯一的.性质2.2 若A 可逆，则1A -可逆，且A A =--11)(证明：由11A A E AA --==可得1A -可逆且A A =--11)(性质2.3 若A 可逆，则T A 也可逆，且11()()T T A A --=证明：因为11()()T T T T A A A A E E --===,所以T A 可逆，且11()()T T A A --=性质2.4 若A ,B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆且111()AB B A ---=证明：若A ,B 可逆，则1A -，1B - 存在且()()111111()AB B A A BB A AEA AA E ------====所以AB 可逆且111()AB B A ---=若12,,,m A A A 均为同阶可逆方阵，则它们的乘积12m A A A 也可逆且()11111221m mA A A A A A ----=性质2.5 若12,,,m A A A 均为可逆方阵，那么12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦也可逆且111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦性质2.6 若A 可逆，0k ≠，则kA 可逆且111()kA A k --=证明：若A 可逆，则0A ≠，又0k ≠，可得0n kA k A =≠,所以kA 可逆，再由11111()()()kA A k AA AA E k k---=⋅==得111()kA A k --=性质2.7 若A 可逆，则11A A-=. 证明：若A 可逆，则存在1A -，使得1AA E -=, 11AA E -==。

可逆矩阵

(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高等代数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2

An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n

高等代数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高等代数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是性质2

矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。

如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。

一、矩阵可逆的基本概念（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得AB=BA=I则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作B= A -1。

注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。

（2）矩阵A 的行秩等于列秩。

（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。

（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）Tn ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。

二、矩阵可逆的性质（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1=A 。

（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1。

（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T。

（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=λ1A -1。

（5）若矩阵A 可逆，则|A -1|=||1A 。

（6）矩阵A 的逆矩阵A -1=||*A A 。

（7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。

三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义判别法对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，记为B=A -1。

例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？证存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001所以矩阵A 可逆。

注：此方法大多适用于简单的矩阵。

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨数学毕业论文

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。

本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。

关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。

下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。

定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1）这里E 是n 级单位矩阵。

定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A 。

定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则AA 11=-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--11)( )0(1)(11≠=--k A kkA . 性质3 111)(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11'=--A . 由性质3有定理2若)2(,21≥n A A A n 是同阶可逆阵，则n A A A 21,是可逆阵，且21(A A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：方法一定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1。

方法二伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i =，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n nn n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。

定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有*11A AA =-。

定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

简谈矩阵可逆的判别法与其运用

简谈矩阵可逆的判别法与其运用内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。

首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。

下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。

关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，1.导言：矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。

2.预备知识：逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E是单位矩阵。

记作B=1-A 。

判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。

判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。

引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。

引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。

引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的一个特征向量。

引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n且A E -λ=()()A S S nk n k kn n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个数）。

判定矩阵可逆的若干方法

判定矩阵可逆的若干方法作者：梁婧祺
来源：《西部论丛》2019年第02期
摘要：矩阵是线性代数的主要研究对象，是讨论线性方程组以及学习其它学科的重要工具，其中可逆矩阵对矩阵理论而言尤为重要，因此研究矩阵可逆的判别方法非常必要。

本文首先结合例子系统地归纳总结了矩阵可逆的若干判别方法，并给出了相应的证明。

最后列举出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，以便我们能对可逆矩阵有个更加清晰的认识。

关键词：逆矩阵矩阵伴随矩阵初等变换线性方程组
小结
根据这些矩阵可逆的判别方法，我们能有效快速的解决很多和矩阵逆矩阵有关的问题，了解矩阵可逆的判别方法对学习矩阵以及矩阵应用有着不可或缺的作用。

想要使矩阵理论体系更加完善，仍有许多问题需要我们继续研究和探讨。

参考文献：
[1] 北京大学数学系几何与代数研究教研室前代数小组.高等代数[M]. 高等教育出版社，2003.
[2] 李尚志.线性代数[M]. 高等教育出版社，2006.
[3] 黄光谷，黄东，李阳. 高等代數辅导与习题解答[M]. 华中科技大学出版社，2005.
[4] 徐仲，张凯院，吕金义. 高等代数考研教案[M]. 西北工业大学出版社，2006.
[5] 钱吉林. 高等数学习题精粹[M]. 高等教育出版社中央民族大学出版社，2002.
[6] 李星，李宏伟.高等代数学习指导与习题解析[M].华中科技大学出版社，2005.
[7] 王萼芳，石生明. 高等代数[M]. 高等教育出版社，2007.
[8] 丘维声.高等代数[M]. 高等教育出版社，2002.。

可逆矩阵

A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
a11 a21 定义设 Aij 是矩阵 A = M a n1
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
都是A的逆矩阵证明若B、C都是的逆矩阵，则、都是的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆，若A可逆，则可逆
A
−1
可逆，可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上，可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高等代数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义：一.可逆矩阵的定义：可逆矩阵的定义定义：１.定义：设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使定义 AB = BA = E

矩阵可逆的充分条件

矩阵可逆的充分条件定理1：若一个n维方阵的行列式不为0，则该矩阵可逆。

证明：若A可逆，则存在一个n维方阵B满足AB=BA=I。

那么有det(AB) = det(A)det(B) = det(B)det(A) = det(BA) = det(I) = 1。

因为A可逆，故det(A)不为0，因此det(B)也不为0，可知B也可逆。

对于一个n维方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆。

证明：设A是一个n维方阵，且rank(A)=n。

那么，矩阵A的列向量线性无关，即方程Ax=0的唯一解x=0，那么，方程Ax=b有唯一解。

A可逆。

证明：设A是一个n维方阵，可以分解为LU形式，即A=LU，其中L为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。

则有det(A) = det(LU) = det(L)det(U)。

因为下三角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积，即det(L)=L11L22...Lnn，而上三角矩阵的行列式也等于其对角线元素的乘积，即det(U)=U11U22...Unn。

det(A) =L11L22...Lnn * U11U22...Unn = U11L11U22L22...UnnLnn。

因为L和U的对角线元素全都不为0，所以det(A) ≠ 0，可知A可逆。

det(A) = L11L22...Lnn * D11D22...Dnn * U11U22...Unn。

若一个n维方阵符合以上任意一个条件，则该矩阵可逆。

除了上述条件外，还有一些其他方法可以判断一个矩阵是否可逆。

下面介绍两种常用的方法：1. 列主元消元法列主元消元法是一种有效的求解线性方程组的方法，同时也可以用来判断矩阵是否可逆。

具体操作是，将矩阵A进行高斯消元变换，经过变换后，若每个列都有一个主元，即每个列的主对角线元素均不等于0，则矩阵A可逆。

若存在某个列没有主元，即主对角线元素为0，则矩阵A不可逆。

```import numpy as npdef is_invertible(A):n = A.shape[0]U = A.copy()for i in range(n-1): # 高斯消元pivot_row = np.argmax(np.abs(U[i:, i])) + i # 当前列的主元所在行if pivot_row != i: # 交换行U[[i, pivot_row], :] = U[[pivot_row, i], :]for j in range(i+1, n):factor = U[j, i] / U[i, i]U[j, i:] -= factor * U[i, i:]return not (U.diagonal() == 0).any()```2. 奇异值分解奇异值分解是矩阵分解的一种常用方式，其基本思想是将矩阵分解为三个部分：左奇异向量、奇异值和右奇异向量。

线性代数第五讲矩阵的逆

证明
( AB)(B−1 A−1 ) = A(BB−1 )A−1
−1 = AEA−1 = AA = E,
∴ ( AB ) = B −1 A−1 .
−1
(4) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 (A
T
T −1
) = (A ) .
−1 T
证明
∵ A (A
T
) = ( A A) ∴ (A ) = (A ) .
3 − 2 6 − 4 1 2 1 ∗ 1 A −1 = A = − 3 − 6 5 = − 3 2 − 3 5 2 . A 2 1 1 −1 2 − 2 2
2、定义法、
例4 若方阵 A 满足 A = 0 , 证明： I − A 可逆，
− A 1 = 1 A* . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A = 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A ≠ 0时, A称为非奇异矩阵 .
由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .
推论证明
若 AB = E (或 BA = E ), 则 B = A − 1 .
A ⋅ B = E = 1, 因而A−1存在, 于是
并求 A的逆 . 证: A( I − A) = ( I − A) A = A − A2 =I(已知条件)
所以A可逆, 且A = I − A
−1
3、行初等变换法、
如果矩阵A经过若干次行初等变换可以化为单位如果矩阵经过若干次行初等变换可以化为单位矩阵E，进行一次行初等变换相当于在矩阵A的矩阵，每进行一次行初等变换相当于在矩阵的左侧乘以一个初等矩阵。乘以一个初等矩阵左侧乘以一个初等矩阵。若将这些初等矩阵依次记为 P1 , P2 , P3 ,⋯ , Pr 即有 Pr ⋯ P3 P2 P1 A = E 若令 B = P ⋯ P P P ，则 r 3 2 1

矩阵的逆_精品文档

矩阵的逆前言在线性代数中，矩阵的逆是一个重要的概念。

对于一个可逆矩阵来说，它的逆矩阵可以帮助我们求解线性方程组、计算矩阵的行列式、特征值等等。

本文将介绍矩阵的逆的定义、性质以及如何求解逆矩阵。

定义给定一个 n n 的方阵 A。

如果存在一个 n n 的方阵 B，使得 AB = BA = I，那么我们称 B 是矩阵 A 的逆。

其中 I 是单位矩阵，满足对任意矩阵 M，有 MI = IM = M。

注意：如果矩阵 A 没有逆矩阵，我们称 A 为奇异矩阵，如果矩阵 A 有逆矩阵，我们称 A 为非奇异矩阵。

性质1.如果 A 有逆矩阵 B，则 B 的逆矩阵也是 A，即 (A-1)-1 = A。

2.如果 A 和 B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵，并且 (AB)^-1 = B^-1 * A^-1。

3.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的转置矩阵 A^T 也是可逆矩阵，并且 (A T)-1 = (A-1)T。

4.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵也是唯一的。

求解逆矩阵方法一：伴随矩阵法对于一个 n n 的可逆矩阵 A，我们可以使用伴随矩阵法来求解其逆矩阵。

伴随矩阵是指将矩阵 A 的每个元素的代数余子式转置得到的矩阵。

假设 A 的余子式矩阵为 C，则伴随矩阵定义为 A^ = C^T。

步骤如下： 1. 求解 A 的余子式矩阵 C，即将 A 的每个元素的代数余子式组成的矩阵。

2. 将 C 转置得到 A 的伴随矩阵 A^。

3. 计算 A 的行列式 |A|。

4. 如果|A| ≠ 0，则 A 的逆矩阵 A^-1 = A^ / |A|。

方法二：高斯-约当消元法另一种常用的求解逆矩阵的方法是高斯-约当消元法。

这种方法通过将矩阵 A和单位矩阵进行拼接并进行行变换，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 A 的逆矩阵。

步骤如下： 1. 将矩阵 A 和单位矩阵 I 进行拼接，得到增广矩阵 [A | I]。

2. 对增广矩阵 [A | I] 进行高斯-约当消元，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 [I | B]，其中 B 是 A 的逆矩阵。

用定义法求可逆矩阵的方法

用定义法求可逆矩阵的方法
可逆矩阵是指存在一个矩阵的乘法逆矩阵，使得两者的乘积等于单位矩阵。

换言之，对于一个n×n 的矩阵A，如果存在一个与之相乘后得到单位矩阵I 相等的矩阵B，即AB=BA=I，则矩阵A 是可逆的，矩阵B 就是A 的逆矩阵，记作A^{-1}。

求可逆矩阵的一种方法是使用定义法：
1. 我们首先假设有一个n×n 的矩阵A，我们需要判断它是否可逆。

2. 使用高斯-约旦消元法将矩阵A 转化为行阶梯形式。

3. 如果在行阶梯形式中没有出现全零行，则矩阵A 是可逆的。

否则，如果出现全零行，那么矩阵A 不可逆。

需要注意的是，对于可逆矩阵进行高斯消元时应该保留行变换的所有步骤，直到完全变换为行阶梯形式。

这样，在求解逆矩阵的过程中，我们可以将单位矩阵通过相同的行变换操作得到它的逆矩阵。

我们已经知道二阶矩阵不一定可逆但如何判断它是否可逆-文档资料

如何求它知识与能力掌握判断矩阵是否可逆的方法会求逆矩阵搞清二阶行列式与二阶矩阵的区别过程与方法情感态度与价值观通过从特殊到一般的过程体会逆矩阵的存在性及求法培养学生的从一般到特殊的归纳总结和类比的能力获得新知用行列式是求逆矩阵用变换的观点认识解二元一次方程组的意义并会用系数矩阵的逆矩阵解系数矩阵可逆的二元一次方程组则a可逆么
∴当k≠1时，矩阵A可逆.
课堂小结
a 1.若矩阵A= c b d
是可逆的,则ad－bc≠0
d b － det A det A A－1= c a － det A det A
2.二阶矩阵仅仅是一个数表, 二阶行列式表示一个数或代数式.
3.矩阵可逆的条件是一个充要条件.
教材习题答案
1 2 ） = 1 ×4－2 × 3 = －2； 1 .（1 3 4 1 0 （2） = 1 ×0－0 ×1 = 0； 1 0 5 －3 （3） = 5 ×( －1 ) －( －3 ) × 2 = 1； 2 －1 λ －1 －2 （4） = ( λ －1 )( λ －1 ) －( －2 ) ×0 = ( λ －1 ) 2 . 0 λ －1
1 － 4
1 2
1 － 4
设A=
3 －1 6 －2
,则A可逆么?若可逆,
求逆矩阵.
解: 假设A可逆, 逆矩阵B= 则:AB=BA=E2 即: 3 － 1
a c
b d
6 －2
a c
a b = c d
b d
1 = 6 －2 0
3 －1
0 1
3a－ c = 3a + 6b = 1, 3b － d =－ a－2b = 0 , 6a－2c = 3c + 6d = 0 , 6b－2d =－ c－2d = 1.

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