《角平分线(1)》系列课件
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角的平分线课件(共16张PPT)
6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?
《角平分线(1)》精品课件
北
大
下
第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第1课时）
学习目标
1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题.
新知探究
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
随堂练习
1.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP__=___∠CAP.
3.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，若AD= 3，则PE=__1__.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
A
C
DP
1
B
2
E
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
O
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
DA
1 O2
PC
E B
练一练
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
)
大
下
第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第1课时）
学习目标
1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题.
新知探究
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
随堂练习
1.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP__=___∠CAP.
3.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，若AD= 3，则PE=__1__.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
A
C
DP
1
B
2
E
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
O
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
DA
1 O2
PC
E B
练一练
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
)
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
北师大版《角平分线》ppt优秀课件1
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一
角平分线课件(华东师大版八年级)
角平分线的性质
角平分线上的点到这 个角的两边的距离相 等。
角平分线将相邻边分 为两段与相对边成比 例的线段。
角平分线将相对边分 为两段相等的线段。
角平分线的判定定理
01
如果一条射线将一个角分为两个 相等的部分，那么这条射线就是 该角的角平分线。
02
如果一条射线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等，那么这 条射线就是该角的角平分线。
02
角平分线的应用
利用角平分线求角的度数
已知一个角的角平分线，可以通过将一个角平分成两个相等 的角来求出这个角的度数。例如，如果一个角被平分为两个 45度的角，那么这个角就是90度。
可以通过构造直角三角形来利用角平分线求角度。在直角三 角形中，如果一个锐角被平分为两个相等的角，那么可以利 用三角函数来求出这个锐角的度数。
角平分线课件(华东 师大版八年级)
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的拓展
01
角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线将相对边分为两段相等的线 段。
角的平分线与三角形内角的关系
角的平分线将相对角分为两个相等的部分，即角平分线将三角形分为两个面积相等的子三角形。
角的平分线与多边形
角的平分线与多边形的性质
在多边形中，角的平分线将多边形划分为若干个面积相等的三角形。
角的平分线与多边形的应用
在解决几何问题时，常常利用角的平分线来证明多边形的面积相等或分割多边形为若干个面积相等的三角形。
THANKS
角平分线的性质1PPT演示课件
方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
1第2课时角平分线的性质及判定PPT课件(沪科版)
最小边（角）是对应边（角）. 对应边所对的角是对应角. 对应角所对的边是对应边.
合作提高 .请指出下列全等三角形的对应边和对应 角
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD=
；
BD= CB ； ∠ABDD=B
； ∠A∠DBC=DB ；
∠A= ∠CB；D
∠C
• 总结提升
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
思考：1、全等三角形的周长、面积相等吗？
2、两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等， 这两个三角形全等吗？
当堂训练
有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式子表
示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
E
B
C
D
平 F移
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F 小结：最大边（角）是对应边（角）。 最小边（角）是对应边（角）。
合作探究
师生探究·解决问题
• 例:如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是
对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和
角．
C
B
O
A
D
请视察，并说出你看到的现象
（1）
（2）
（3）
（4）
思考:他们能完全重合吗?
（5）
•形状、大小完全一样的两个图形能够完全重合。
1、能够完全重合的两个图形叫做全等图形 2、你能够找诞生活中的一些全等图形吗？
E
两个全等三角形能够完全重合
C
F
互相重合的顶点叫__对__应_顶__点___
点A、点F的对应顶 点分别是_D__、 _C__
合作提高 .请指出下列全等三角形的对应边和对应 角
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD=
；
BD= CB ； ∠ABDD=B
； ∠A∠DBC=DB ；
∠A= ∠CB；D
∠C
• 总结提升
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
思考：1、全等三角形的周长、面积相等吗？
2、两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等， 这两个三角形全等吗？
当堂训练
有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式子表
示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
E
B
C
D
平 F移
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F 小结：最大边（角）是对应边（角）。 最小边（角）是对应边（角）。
合作探究
师生探究·解决问题
• 例:如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是
对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和
角．
C
B
O
A
D
请视察，并说出你看到的现象
（1）
（2）
（3）
（4）
思考:他们能完全重合吗?
（5）
•形状、大小完全一样的两个图形能够完全重合。
1、能够完全重合的两个图形叫做全等图形 2、你能够找诞生活中的一些全等图形吗？
E
两个全等三角形能够完全重合
C
F
互相重合的顶点叫__对__应_顶__点___
点A、点F的对应顶 点分别是_D__、 _C__
1.4角平分线(1)精美课件
第9题图 第7题图 第8题图
北师· 数学
• 一、选择题(每小题4分，共8分) • 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平 分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则下列 四个结论：①DE＝DF；②AD是线段EF的垂直平 分线；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD， AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) • A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 • 11．(2014· 遂宁)如图，AD是△ABC中∠BAC的 角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝ 2，AB＝4，则AC长( ) • A．3 B．4 C．6 D．5
第2题图 第3题图
北师· 数学
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线 15 ． BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是____ 5．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分 ∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB交AB于点E，AB＝4 cm， 求△BDE的周长． 解：△BDE的周长＝AB ＝4(cm)
解：证明：先用HL证Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC
北师· 数学
北师· 数学
• 1.4 角平分线(第1课时) • 得分________ 卷后分________ 评价________
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点 到 这个角的两边的距离相等 ．
2．角平分线的判定定理：在一个角的内部， 到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上．
北师· 数学
角平分线的性质定理 1．(3分)如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， PD⊥OB于点D，则下列结论错误的是( D ) A．PC＝PD B．CO＝OD C．∠DPO＝∠CPO D．OC＝PC 第1题图 2．(3分)(2014· 黔南州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm， 那么CE等( C ) A. cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 3．(4分)(2014· 西宁)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE， 则下列说法错误的( D ) A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED
《角平分线(1)》系列课件ppt
二尖尖的小嘴，圆乎乎的 身体，脚趾分开的。
出示图片，观察小鸭
小鸭有扁扁的小嘴，圆乎乎的 身体，脚趾是蹼连在一起的。
对比小鸡和小鸭的不同： 1、小鸡尖尖嘴，小鸭有扁扁的小嘴。 2、小鸡身体圆圆的，小鸭身体像橄榄。 3、小鸡的脚趾分开，是爪子，小鸭脚趾连在一起， 是脚蹼。
三 示范操作
老师讲解示范，小朋友操作 1、将白纸用各种鲜艳的颜色涂满。
2、再在涂满颜色的纸上用深色再 次涂色，将底色全部覆盖。
3、用小竹签在制作好的刮画纸上画 上小鸡和小鸭。
作品欣赏
作品欣赏
四 活动拓展
活动拓展
活动拓展
谢谢观看！
小鸡和小鸭
一
初步掌握蜡刻画的方法运用点线面大胆作画.体会绘 画中的色彩美和构图美。
目标 二
三
学习刻画的基本方法能用刻画的方式表现出小鸭 和小鸡的外形及细节。
尝试运用不同工具进行刻画创作,感受奇特的 效果,享受成功的喜悦。
一 导入活动
老师出示刮画纸、小竹签变魔术，激发幼儿兴趣。
教师:小朋友们你们看这张 纸是什么颜色的?(黑色)上 面是不是什么都没有?看看 等会儿老师会变出什么来。
教师拿出竹签在画纸上画出小鸡和小鸭，可以看到有彩色的 线条慢慢呈现出来,画出的小鸡和小鸭也是彩色的。
教师:小朋友们看一看老师这里 变出来的画画上有什么呀?(引 导幼儿观察教师画的小鸡和小 鸭)再看看小鸡和小鸭身上的花 纹是怎么画的呢?
介绍操作工具
小朋友们老师变的魔术好 玩吗?你们也想变魔术吗? 来看看老师是用什么变的。
角平分线的性质(1)课件
E G F B D C
回顾反思 深化提高 思考：如图，为了促进当地旅游发展， 2、思考：如图，为了促进当地旅游发展，某地 要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假 要使这个度假村到三条公路的距离相等， 村。要使这个度假村到三条公路的距离相等， 应在何处修建? 应在何处修建?
布置作业 自我巩固 必做题: 137习题 必做题:P137习题18.3——第1、2、5题 习题18.3——第 选做题: 137习题 选做题:P137习题18.3——第6题 习题18.3——第 如图， 的角平分线， 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于 G.AD与EF垂直吗？证明你的结论. 垂直吗？证明你的结论. A
动手操作 探究新知
探究角的平分线的性质 上任取一点P,过点 上任取一点 过点P作 1、操作: 在平分线 、操作 在平分线OC上任取一点 过点 作 PD⊥OA于点 ，PE⊥ OB于点 于点D， ⊥ 于点E. ⊥ 于点 于点 (1)测量PD、PE的大小有什么关系？ (1)测量 、PE的大小有什么关系 测量PD 的大小有什么关系？ (2)换个点再试试，结论还成立吗? (2)换个点再试试，结论还成立吗? 换个点再试试 (3)从而得出什么结论？ (3)从而得出什么结论？ 从而得出什么结论
范例分析 拓展思维
例1:如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分 如图, ABC中 90° BD平分
∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm， ABC，DE⊥AB，垂足为点E AC=8cm， AD+DE的长度 的长度? 求AD+DE的长度? ∵∠C=90°,DE⊥AB于点 于点E, B 解:∵∠ ° ⊥ 于点 BD平分∠ABC 平分∠ 平分 ∴CD=DE ∴AD+DE=AD+CD=AC ∵AC=8cm ∴AD+DE=8cm
回顾反思 深化提高 思考：如图，为了促进当地旅游发展， 2、思考：如图，为了促进当地旅游发展，某地 要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假 要使这个度假村到三条公路的距离相等， 村。要使这个度假村到三条公路的距离相等， 应在何处修建? 应在何处修建?
布置作业 自我巩固 必做题: 137习题 必做题:P137习题18.3——第1、2、5题 习题18.3——第 选做题: 137习题 选做题:P137习题18.3——第6题 习题18.3——第 如图， 的角平分线， 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于 G.AD与EF垂直吗？证明你的结论. 垂直吗？证明你的结论. A
动手操作 探究新知
探究角的平分线的性质 上任取一点P,过点 上任取一点 过点P作 1、操作: 在平分线 、操作 在平分线OC上任取一点 过点 作 PD⊥OA于点 ，PE⊥ OB于点 于点D， ⊥ 于点E. ⊥ 于点 于点 (1)测量PD、PE的大小有什么关系？ (1)测量 、PE的大小有什么关系 测量PD 的大小有什么关系？ (2)换个点再试试，结论还成立吗? (2)换个点再试试，结论还成立吗? 换个点再试试 (3)从而得出什么结论？ (3)从而得出什么结论？ 从而得出什么结论
范例分析 拓展思维
例1:如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分 如图, ABC中 90° BD平分
∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm， ABC，DE⊥AB，垂足为点E AC=8cm， AD+DE的长度 的长度? 求AD+DE的长度? ∵∠C=90°,DE⊥AB于点 于点E, B 解:∵∠ ° ⊥ 于点 BD平分∠ABC 平分∠ 平分 ∴CD=DE ∴AD+DE=AD+CD=AC ∵AC=8cm ∴AD+DE=8cm
1.3角的平分线的性质 课件(人教版八年级上)(1)
(√)
3.三角形两个角的平分线的交点到三个顶点的距离相等.( × )
4.三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等. (√)
5.AD为△ABC的角平分线，则AD上任一点到点B和点C的距离相 等. (×)
知识点一
角平分线的性质
【示范题1】(2013·丽水中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°, ∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△DBC的面积
【尝试解答】作DE⊥BC， 由BD是∠ABC的平分线，BA⊥AD， 故DE=AD=3， ∴△DBC的面积= 1 ×10×3=15.
2
答案：15
【想一想】 角平分线上的点到两边的距离相等，能理解成角平分线上的点 到角的两边任意点连线的长度相等吗? 提示：不能.如图，已知BP是角的平分线，那么不能理解成
ABC CDE, 在Rt△CFB和Rt△CED中， CFB CED, BC DC,
∴△CFB≌△CED(AAS)， ∴CF=CE,
∴AC平分∠BAD.
【想一想】
“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这句 话能不能去掉“角的内部”这个条件? 提示：不能.如图，点P到OA的距离PE，到OB的距离PD，且 PE=PD，但点P不在∠AOB的平分线上.
3.三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于 一 点，它到_______________. 三边的距离相等 ___ 三条角平分线的交点 三角形内，到三边距离相等的点是___________________.
【思维诊断】打“√”或“×”
1.三角形两个角的平分线的交点在三角形内.
2.三角形的三条角平分线交于一点. (√)
是
.
【解题探究】1.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，如何作辅助线，才能利用角平分线的性质 ? 提示：过点D作DE⊥BC于点E，则AD=DE. 2.已知BC=10，求△DBC的面积时如何求△DBC底边上的高，这 条高是点D到∠ABC两边的距离吗? 提示：点D到∠ABC两边的距离正是△DBC底边上的高，使用三 角形的面积公式可得到答案.
《角平分线》PPT教学课件
知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由： 没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在 角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途： 证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解 例题 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解
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E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗?
如果有一个点到角两边的距离相等， 那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内 部的一条射线，而角的外部也ห้องสมุดไป่ตู้在到角两 边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个 角的内部且到角的两边距离相等的点，在 这个角的角平分线上．
1.4 角平分线（一）
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质 吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的 距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个角的平分线上）. E
F
又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°.
B
C
D
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴如D果E一= 个12 A锐D角= 1等2×于1300=°5（，在那直么角它三所角对形的中直，角
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
E B
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角 两边距离相等的点，在这个角 的角平分线上．
练一练
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且
DE=DF，求DE的长. A
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，
边等于斜边的一半）.
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线
和外角平分线，它们有什么关系？
C
E
D
21
34
B
A
F
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2= ∠CAB
1 ∵AE平分∠CAF，∴∠3=∠4= 2 ∠CAF
又∵∠CAB+∠CAF=180°
1 ∴∠1+∠3= 2（∠CAB+∠CAF）= ×180°=90°
这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
即AD⊥AE．
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上．
习题1.9 1、2、3、4