带电粒子在复合场中常见的三种运动轨迹
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热点专题突破系列(七) 带电粒子在复合场中常见的
三种运动轨迹
【热点概述】 带电粒子在复合场中运动是历届高考中的压轴题 ,所以研究带 电粒子在复合场中运动的求解方法 ,欣赏带电粒子在复合场中 运动的轨迹 ,可以激发学生在探究中学会欣赏 ,在欣赏中促进提 高。 当带电粒子沿不同方向进入复合场时 ,粒子做各种各样的运动 , 形成了异彩纷呈的轨迹图形 ,常见的有“拱桥”形、“心连心” 形、“葡萄串”形等。
(2) 在1.0 ×10 -4～2.0×10-4s时间内 ,
电场力与重力平衡 ,粒子做匀速圆周运动 , 因为T=2?m=1.0 ×10-4s
qB
故粒子在 1.0×10-4～2.0×10-4s时间内恰好完成一个周期圆周
运动
由牛顿第二定律得： qv0B=mv20 R=mv0=0.064m h=2R=0.R128dm< 。
【解析】 由r= mv知粒子在 x轴上方做圆周运
动的轨道半径
Bq
r1=
mv，0 在
Bq
x轴下方做圆周运
动的轨道半径 r2= mv，0 所以r1=2r2。现作出
2Bq
带电粒子的运动轨迹如图所示，形成“心连
心”图形，所以粒子第四次经过 x轴的位置和时间分别为
x
?
2Байду номын сангаас1
?
2mv 0 Bq
t
?
T1 ?
T2
16mE 2
答案：BqL qB2L2 ? 1 ?L
4m 16mE 2
2.“心连心”形：当带电粒子在相邻的磁感应强度不同的磁场 中做匀速圆周运动时 ,其半径不同 ,因此粒子运动的轨迹为两个 半圆的相互交叉 ,称为“心连心”形。
【例证 2】如图所示 ,一理想磁场以 x轴为界 ,下方磁场的磁感应 强度是上方磁感应强度 B的两倍。今有一质量为 m、电荷量为 +q 的粒子 ,从原点 O沿y轴正方向以速度 v0射入磁场中 ,求此粒子从 开始进入磁场到第四次通过 x轴的位置和时间 (重力不计 )。
qB
2
所以粒子离开中线OO′的最大距离 h=0.128m 。
(3)板长L=1.2m=3x t=2T+3Δt=5.0× 10-4s (4)轨迹如图
答案： 见解析
【热点集训】 1.在真空中 ,半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁 场,磁感应强度大小为 B,在此区域外围足够大空间有垂直纸面 向内的磁感应强度大小也为 B的匀强磁场 ,一个带正电粒子从边 界上的 P点沿半径向外 ,以速度v0进入外围磁场 ,已知带电粒子 质量m=2×10-10kg,带电荷量 q=5×10-6C,不计重力 ,磁感应强度 的大小 B=1T,粒子运动速度 v0=5×103m/s,圆形区域半径 R=0.2m, 试画出粒子运动轨迹并求出粒子第一次回到 P点所需时间 (计算 结果可以用π表示 )。
【热点透析】 1.“拱桥”形：带电粒子在磁场和电场中交替运动 ,在磁场中 的轨迹为半圆 ,进入电场时速度方向与电场线平行 ,粒子在电场 中做直线运动 ,如果粒子在电场中做往复运动 ,则粒子运动的轨 迹为“拱桥”形。
【例证1】如图所示 ,在x轴上方有垂直于 xOy平面的匀强磁场 , 磁感应强度为 B,在x轴下方有沿 y轴负方向的匀强电场 ,场强为 E, 一质量为 m、电荷量为 q的粒子从坐标原点 O沿着y轴正方向射出 , 射出之后 ,第三次到达 x轴时,它与O点的距离为 L,求此时粒子射 出时的速度大小和运动的总路程 (重力不计 )。
(1)粒子到达小圆周上时的速度为多大 ? (2)粒子以(1)中的速度进入两圆间的磁场中 ,当磁感应强度超 过某一临界值时 ,粒子将不能到达大圆周 ,求此最小值 B。 (3)若磁感应强度取 (2)中最小值 ,且b=( 2 +1)a, 要粒子恰好第 一次沿逸出方向的反方向回到原出发点 ,粒子需经过多少次回 旋?并求粒子在磁场中运动的时间。 (设粒子与金属球正碰后电 荷量不变且能以原速率原路返回 )
(1)粒子在0～1.0×10-4s内位移的大小 x; (2)粒子离开中线OO′的最大距离 h; (3)粒子在板间运动的时间 t; (4)画出粒子在板间运动的轨迹图。
【解析】 (1)由题意知： Eq=Uq=2.0 ×10-5N
d
而mg=2.0 ×10-5N,显然Eq=mg 故粒子在 0～1.0×10-4s时间内做匀速直线运动 , 因为Δt=1.0× 10-4s, 所以x=v0Δt=0.4m
【解析】 由洛伦兹力提供向心力得： qv0B=mv20
r
解得： r=0.2m=R 轨迹如图所示
粒子做圆周运动的周期为 T=2?r=8π× 10-5s
v0
则粒子第一次回到 P点所需时间为t=2T=16π× 10-5s。 答案：图见解析 16π×10-5s
2.(2013·梧州模拟 )如图所示 ,半径分别为 a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电 场和磁场 ,中心O处固定一个半径很小 (可忽 略)的金属球 ,在小圆空间内存在沿半径向 内的辐向电场 ,小圆周与金属球间电势差为 U,两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场 ,设有一个 带负电的粒子从金属球表面沿 +x轴方向以很小的初速度逸出 , 粒子质量为 m,电量为 q,(不计粒子重力 ,忽略粒子初速度 )求：
?
2?m Bq
?
2?m 2Bq
?
3? m Bq
答案：在x轴正方向上距 O点2mv处0
3?m
Bq
Bq
3.“葡萄串”形：在某一空间同时存在重力场、电场及周期性 变化的磁场 ,若电荷所受电场力与重力平衡时 ,无磁场时电荷做 匀速直线运动 ,有磁场时电荷做圆周运动 ,此时电荷的运动轨迹 为直线与圆周的结合 ,称为“葡萄串”形。
【解析】 画出粒子运动轨迹，如图所示，形成“拱桥”图形。
由题可知粒子轨道半径 R=L 。由牛顿运动定律知粒子运动速率
为v=BqR ? BqL
4
m 4m
设粒子进入电场后沿 y轴负方向做减速运动的最大位移为 y，由
动能定理知 1 mv 2 ?，qE得y y=
qB2L2
2
32mE
所以粒子运动的总路程为 s ? qB2L2 ? 1 ?L。
【例证3】如图甲所示 ,互相平行且水平放置的金属板 ,板长 L=1.2m, 两板距离 d=0.6m, 两板间加上 U=0.12V 恒定电压及随时 间变化的磁场 ,磁场变化规律如图乙所示 ,规定磁场方向垂直纸 面向里为正。当 t=0时,有一质量为 m=2.0×10-6kg、电荷量 q=+1.0×10-4C的粒子从极板左侧以 v0=4.0×103m/s的速度沿与 两板平行的中线OO′射入 ,取g=10m/s 2、π=3.14。求：
三种运动轨迹
【热点概述】 带电粒子在复合场中运动是历届高考中的压轴题 ,所以研究带 电粒子在复合场中运动的求解方法 ,欣赏带电粒子在复合场中 运动的轨迹 ,可以激发学生在探究中学会欣赏 ,在欣赏中促进提 高。 当带电粒子沿不同方向进入复合场时 ,粒子做各种各样的运动 , 形成了异彩纷呈的轨迹图形 ,常见的有“拱桥”形、“心连心” 形、“葡萄串”形等。
(2) 在1.0 ×10 -4～2.0×10-4s时间内 ,
电场力与重力平衡 ,粒子做匀速圆周运动 , 因为T=2?m=1.0 ×10-4s
qB
故粒子在 1.0×10-4～2.0×10-4s时间内恰好完成一个周期圆周
运动
由牛顿第二定律得： qv0B=mv20 R=mv0=0.064m h=2R=0.R128dm< 。
【解析】 由r= mv知粒子在 x轴上方做圆周运
动的轨道半径
Bq
r1=
mv，0 在
Bq
x轴下方做圆周运
动的轨道半径 r2= mv，0 所以r1=2r2。现作出
2Bq
带电粒子的运动轨迹如图所示，形成“心连
心”图形，所以粒子第四次经过 x轴的位置和时间分别为
x
?
2Байду номын сангаас1
?
2mv 0 Bq
t
?
T1 ?
T2
16mE 2
答案：BqL qB2L2 ? 1 ?L
4m 16mE 2
2.“心连心”形：当带电粒子在相邻的磁感应强度不同的磁场 中做匀速圆周运动时 ,其半径不同 ,因此粒子运动的轨迹为两个 半圆的相互交叉 ,称为“心连心”形。
【例证 2】如图所示 ,一理想磁场以 x轴为界 ,下方磁场的磁感应 强度是上方磁感应强度 B的两倍。今有一质量为 m、电荷量为 +q 的粒子 ,从原点 O沿y轴正方向以速度 v0射入磁场中 ,求此粒子从 开始进入磁场到第四次通过 x轴的位置和时间 (重力不计 )。
qB
2
所以粒子离开中线OO′的最大距离 h=0.128m 。
(3)板长L=1.2m=3x t=2T+3Δt=5.0× 10-4s (4)轨迹如图
答案： 见解析
【热点集训】 1.在真空中 ,半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁 场,磁感应强度大小为 B,在此区域外围足够大空间有垂直纸面 向内的磁感应强度大小也为 B的匀强磁场 ,一个带正电粒子从边 界上的 P点沿半径向外 ,以速度v0进入外围磁场 ,已知带电粒子 质量m=2×10-10kg,带电荷量 q=5×10-6C,不计重力 ,磁感应强度 的大小 B=1T,粒子运动速度 v0=5×103m/s,圆形区域半径 R=0.2m, 试画出粒子运动轨迹并求出粒子第一次回到 P点所需时间 (计算 结果可以用π表示 )。
【热点透析】 1.“拱桥”形：带电粒子在磁场和电场中交替运动 ,在磁场中 的轨迹为半圆 ,进入电场时速度方向与电场线平行 ,粒子在电场 中做直线运动 ,如果粒子在电场中做往复运动 ,则粒子运动的轨 迹为“拱桥”形。
【例证1】如图所示 ,在x轴上方有垂直于 xOy平面的匀强磁场 , 磁感应强度为 B,在x轴下方有沿 y轴负方向的匀强电场 ,场强为 E, 一质量为 m、电荷量为 q的粒子从坐标原点 O沿着y轴正方向射出 , 射出之后 ,第三次到达 x轴时,它与O点的距离为 L,求此时粒子射 出时的速度大小和运动的总路程 (重力不计 )。
(1)粒子到达小圆周上时的速度为多大 ? (2)粒子以(1)中的速度进入两圆间的磁场中 ,当磁感应强度超 过某一临界值时 ,粒子将不能到达大圆周 ,求此最小值 B。 (3)若磁感应强度取 (2)中最小值 ,且b=( 2 +1)a, 要粒子恰好第 一次沿逸出方向的反方向回到原出发点 ,粒子需经过多少次回 旋?并求粒子在磁场中运动的时间。 (设粒子与金属球正碰后电 荷量不变且能以原速率原路返回 )
(1)粒子在0～1.0×10-4s内位移的大小 x; (2)粒子离开中线OO′的最大距离 h; (3)粒子在板间运动的时间 t; (4)画出粒子在板间运动的轨迹图。
【解析】 (1)由题意知： Eq=Uq=2.0 ×10-5N
d
而mg=2.0 ×10-5N,显然Eq=mg 故粒子在 0～1.0×10-4s时间内做匀速直线运动 , 因为Δt=1.0× 10-4s, 所以x=v0Δt=0.4m
【解析】 由洛伦兹力提供向心力得： qv0B=mv20
r
解得： r=0.2m=R 轨迹如图所示
粒子做圆周运动的周期为 T=2?r=8π× 10-5s
v0
则粒子第一次回到 P点所需时间为t=2T=16π× 10-5s。 答案：图见解析 16π×10-5s
2.(2013·梧州模拟 )如图所示 ,半径分别为 a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电 场和磁场 ,中心O处固定一个半径很小 (可忽 略)的金属球 ,在小圆空间内存在沿半径向 内的辐向电场 ,小圆周与金属球间电势差为 U,两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场 ,设有一个 带负电的粒子从金属球表面沿 +x轴方向以很小的初速度逸出 , 粒子质量为 m,电量为 q,(不计粒子重力 ,忽略粒子初速度 )求：
?
2?m Bq
?
2?m 2Bq
?
3? m Bq
答案：在x轴正方向上距 O点2mv处0
3?m
Bq
Bq
3.“葡萄串”形：在某一空间同时存在重力场、电场及周期性 变化的磁场 ,若电荷所受电场力与重力平衡时 ,无磁场时电荷做 匀速直线运动 ,有磁场时电荷做圆周运动 ,此时电荷的运动轨迹 为直线与圆周的结合 ,称为“葡萄串”形。
【解析】 画出粒子运动轨迹，如图所示，形成“拱桥”图形。
由题可知粒子轨道半径 R=L 。由牛顿运动定律知粒子运动速率
为v=BqR ? BqL
4
m 4m
设粒子进入电场后沿 y轴负方向做减速运动的最大位移为 y，由
动能定理知 1 mv 2 ?，qE得y y=
qB2L2
2
32mE
所以粒子运动的总路程为 s ? qB2L2 ? 1 ?L。
【例证3】如图甲所示 ,互相平行且水平放置的金属板 ,板长 L=1.2m, 两板距离 d=0.6m, 两板间加上 U=0.12V 恒定电压及随时 间变化的磁场 ,磁场变化规律如图乙所示 ,规定磁场方向垂直纸 面向里为正。当 t=0时,有一质量为 m=2.0×10-6kg、电荷量 q=+1.0×10-4C的粒子从极板左侧以 v0=4.0×103m/s的速度沿与 两板平行的中线OO′射入 ,取g=10m/s 2、π=3.14。求：