结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析

习 题
9-2
解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53
.05
.13145
.1347
.05
.13141
4=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ
结点 A B
C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩
-67.05
45.9
-45.9
()()()
逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+---=
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---=θ
(b)解：设EI=9，则
3
,31,1====BE BD BC AB i i i i
12
.01
41333331
316.01
41333331
436
.0141333333
3=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
=BC BA BE BD μμμμ
结点 A B
C
杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩
0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2
16.2
0 最后弯矩 3.6 7.2
5.4
61.2 -73.8
()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=
θ
9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点
设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=488212
443222
2 m KN l M BC ⋅-=⋅+-
=58262
1
892 结点力偶直接分配时不变号
结点 A B
C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递
0 50 50 5 5 12 最后弯矩
103
-3
12
(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i
7
374
1413145
.014141
4=
=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=
=BC CB BC BA μμμμ
固端弯矩：
m
KN M M M m KN M m KN M CD
CB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=1402
1808640080802
结点 A B
C
杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩
-80 80 0 0 -140 分配传递
-20 -40 -40 -20
47.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82
-1.63
-1.63
-0.82
0.6 0.45 最后弯矩
-112.22
15.57
-15.48
66.28
-66.05
(c) 解：B 、C 为角位移结点
5
1411,544145
4414,51411=+==+==+==+=
CD CB
BC BA μμμμ
固端弯矩：
m
KN M m
KN M m
KN M m
KN M m
KN M m
KN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=1006
52420035245012524501252412834246464242
2
2
2
2
2
结点 A B
C
D 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100
固端弯矩
64 128 -50 50 -200 分配传递
15.6 -15.6 -62.4 -31.2
72.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32
-2.32
-9.28
-4.64
3.7 0.93 -0.93 最后弯矩
96.42
95.58
-95.6
157.02
-157.03
-142.97
96.42
(d) 解：11
3
1314141311
4
131414145
.01
4141
4=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=
DB
DE DC
CD CA μμμμμ 固端弯矩：m
KN M m
KN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=3
8
38
12422 结点 A C
D E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩
0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递
-5 -10 -10 -5
46/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33
- 23/33
-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩
-5.35
-10.7
-9.3
-2.44
2.19
0.25
4.12
(e) 解：当D 发生单位转角时：()()
2
4
14-=
⨯⨯=m EI K Y C 则()
）
假设12(44
1==⨯=
-m EI EI
M DC
7
3,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====
∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点
D E
B 杆端 D
C DA DE E
D EB B
E 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩
0 0 -9 9 0 0 分配传递
-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.23
0.18 0.31 0.16 最后弯矩
3.98
2.99
-6.98
5
-5
-2.47
(f) 解：截取对称结构为研究对象。

0.544
1/21
2/3323
AA AA AB AB
S EI EI
S EI μ
μ''
''==⨯
==== 同理可得：21,3
3
BA
BB μμ''==另
1
12
AA BB AB BA C C C C ''''==-==
B
2.67 -0.44 0.29 -0.05 0.03 4.501.33
0.15
0.02
-4.50
-1.33
-0.15
-0.02
-4.50
4.51
4.50
M图
9-4 (a)解：
'
4i
6i28
3
i
B B''
7
3
3
28
4
4
1
1
6
2
6
4
1
1
6
4
,
3
16
3
16
)
(
4
4
1
3
3
4
3
4
3
4
3
4
3
=
=
=
=
=
⨯
⨯
+
=
=
⨯
⨯
+
=
=
=
=
∴
=
=
=
=
⨯
⨯
+
=
''
'
BA
AB
BA
BA
BA
l
AB
l
A
B
CB
BC
BC
BC
BC
CB
l
l
C
B
M
M
C
i
M
S
i
l
i
i
M
i
l
i
i
M
M
M
C
i
S
i
M
M
EI
i
i
l
i
i
M其中
结点 A B C
杆端
AB BA BC CB
分配系数固结 7/11 4/11 铰结
固端弯矩0 0
分配传递3M/11 7M/11 4M/11 0
最后弯矩3M/11 7M/11 4M/11 0
M图
(b解：首先在B点偏右作用一力矩，如图所示。

根据杆BC端，可得()①
4
BA
BC
BC
k
i
Mθ
θ
θ
θ-
+
=
根据杆BA端，可得()②
4
BA
BA
BC
i
kθ
θ
θ
θ=
-
由②式得：③
4
BA
BC
θ
kθ
kθ
i
θ
+
=
将②式代入①式得：④
4
4
BA
BC
iθ
iθ
M+
=
3
2
8
4
4
4
2
4
4
4
4
4
BC
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
∴
i
i
i
i
k
i
k
i
θ
θ
θ
iθ
iθ
iθ
BA
BC
BC
BA
BC
BC
θ
θ
μ
3
1
2
4
1=
+
=
-
=
θ
θ
k
i
k
μ
μ
BC
BA
9-5 (a解：作出M图（在B处加刚臂）
4.0
,0
,6.0
2
,0
,3
=
=
=
∴
=
=
=
BC
BA
BD
BC
BA
BD
i
S
S
i
S
μ
μ
μ
结点 A B C E
杆端AB BD BA BC CB CE EC
分配系数铰结 0.6 0 0.4 铰结
固端弯矩0 -2ql2 -ql2/3-ql2/6 0 0
分配传递0 21 ql2/15 0 14ql2/15 -14ql2/15 0
最后弯矩0 21 ql2/15 -2ql23ql2/5 -33ql2/30 0 0
(b 解：提取左半部分分析
=
+
(a)
(b)
（a ）图中结构不产生弯矩，（b ）图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得：
11
8111
2212412111121241412
12/24
1
98
19
1241414
1
4/25.1/3=
--==⎪⎭⎫ ⎝⎛++==⎪⎭⎫ ⎝⎛++==
======
-==
⎪⎭⎫ ⎝⎛+====='''
'''''C B BA F B C B BA C B E A F B AB BA AB E A AB AB AE EI EI S EI S S EI
S S EI EI S EI Ei S μμμμμμμμ
5kN A
''C '
AB AE '
-10.2
2.048.16
M 图
9-7 (a)解：AB 、CD 、EF 、GA 均为并联结构。

①首先转化结间荷载
()()()←-=←-=-=←==
KN Q KN ql Q KN ql Q F
AG F BA F AB 5.22 5.378
3 5.6285 固端弯矩：m KN ql M F
AB
⋅-=-=1258
2
23333243993l
i
l EI l EI l EI l EI k k k k k GH EF CD AB =+++=
+++=并 于是边柱和中柱的剪力分配系数为8
3
,8121==r r
转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN 边柱和中柱的剪力分别为： KN
r F KN r F Q Q 8210
708
70
70212
1=⨯==
⨯= 边柱柱脚弯矩为：m KN ⋅=+⨯5.212125108
70
中柱柱脚弯矩为：
m KN ⋅=⨯5.262108
210
()
M KN m ⋅图
(b)解：同上题，边柱和中柱的剪力分配系数为8
3
,8121==r r
转化结间荷载
()KN Q F
FE 96.8104108103
2-=+⋅-
=
边柱和中柱的剪力分别为：
m
KN P M KN r F m KN M KN r F F
FE
Q F
EF Q ⋅=⋅⋅==⨯=⋅-=⋅⋅-
==⨯=8.12100
28,36.396.82.31002810,12.196.8222
12
1
边柱柱脚弯矩为：m KN ⋅-=⨯6.5512.1
中柱CD 柱脚弯矩为：m KN ⋅-=⨯8.16536.3 中柱EF 柱脚弯矩为：m KN ⋅-=--208.162.3
5.6
5.6
16.8
16.8
29.6
35.7
20
5.6
5.6
()
M KN m ⋅图
(c) 解：
(a)
当顶层横梁没有水平位移时，d 、e 、b 、c 并列 R=45KN
KN
F F F F r r r r Qe Qd Qc Qb d e c b 5.741=====
===
(b)KN m
⋅单位：d e b c
并
并
串a
并
设14123
==
EI
k d 则 2
1841213=⨯=
====EI k k k k k a e d c b
()()()()()()()()KN
F F F F F KN F F KN F r r r k k k k k k k de Q Qe Qd Qc Qb bc Q
de Q Qa bcde a bcde bcde c b bc e d de 152
1
30 153/45311 3
2
21111
2
121122==========
-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+
=⇒⎪⎭⎪
⎬⎫=+==+=()
M KN m ⋅图
(d 解：结构分析： bc 并联与de 并联，经串联后的结合柱与a 并联。

3
33333
131591212131211
3l EI
l
EI
l EI l
EI
l EI l EI
k =
++
++=
∴并
543915159120,5139151591202
139********,159120,15939⨯
⨯=⨯⨯=⨯⨯====
e d c b bcde a r r r r r r
KN Q KN Q KN Q Q KN Q e d c b a 64.4,16.1,64.4,97.4=====∴
()
M KN m ⋅图
9-8 图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出M 图。

解：
(a)
1
3
10305585g n i Qg Qh Qi g h i r r r F F F KN R KN
===
====+=、、三杆并联
85KN (b)
45KN
20KN 20KN 10KN
15KN
15KN
20
204030
40
30
40
180180
180
30
30
a
b c d
e
a c d e
并
并
串f
并b
()()()()2338
22418
1138417883338
89
11717
abc de abcde abcde f k k k μμ=++==+===+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=-=
()9
8545178
854017
1402022
40108
340158Qf Q abcde Qd Qe Qa Qb Qc F KN F KN F F KN F KN
F F KN
=⨯
==⨯===⨯==⨯===⨯=
将（a ）、（b ）两图叠加得：
20
20
40
30
40
30
40
180
160
160
3030
40
20
60
20
20
20
40
20
70
()
M KN m
⋅
图
9-9 (a) 解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。

其变形曲线如图所示。

C点角位移应是
顺时针方向。

C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩3/2
ql
A
B
C M
M
M
2
2
=
>
(b) 解：若D点固定，则
2
2
2
ql
Pl
M
DC
=
=
实际结点的转动受到弹性约束
2
2
ql
M
DC
<
若DE段两端固结，则
12
2
ql
M
DE
-
=
但
DC
DE
M
M<<，D结点左侧下缘将受拉
DE
ED
M
M>
AB
BA
BD
DB M
M
M
M
=
>
2
,
2
(c)解：对于仅有结点线位移的刚架,B端若为固定端,则A、B两点固端弯矩为4/
pa
F
B端若为自由端，则B端弯矩为4/
pa
F
-,B端实际弯矩应介于两者之间。

根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉。

且
CD
DB
BD M
M
M
2
2
=
>
(d)解：
8p
F l
p
l
B点没有线位移，于是考虑两种极端情况，如（b）、（c）所示。

可以看出⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
∈l
F
l
F
M
p
p
AB2
1
,
8
1
且l
F
M
M
p
BA
AB2
1
=
+
我们还应注意BD杆没有剪力。

M 图
(e)
(f)解：
=
反对称
+
正对称
反对称：可知AB 杆和ED 杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法平衡。

所以AB 杆与ED 杆的弯矩与杆平行。

114
326717BC BA BC BA EI S a EI S a μμ=
=
=
=
114
(a)
对称：C 铰只能提供水平力，忽略轴向变形。

12
14
（b ）
（a ）、（b ）两图叠加，得
928
M 图
(g) 解：忽略轴向变形，则竖直方向的Fp 不产生弯矩，可略去。

EI=常数，正六边形
+t
=
F P 12
p F 12
p F 反对称
+
12
p F 12
p F 对称
对称结构不产生弯矩。

反对称：
(a)
(b)
11
4
p M F h =
b 图中因BC 杆的BC μ比较大，所以BC M 接近于1M 。

M 图
A
B
D
F
G
H
其中AB BA M M >，所以反弯点偏上，这是考虑节点转动的原因。

(h)解：单独考虑力矩和竖向荷载。

力矩：
+
反对称
对称
反对称：
(a)
AB ，BD 杆中无剪力，又因为0AB M =，所以AB 杆中无弯矩，又
因为DE 杆的1EI =∞，
D 点无转角，对于剪力静定杆而言，无转角则无弯矩，所以DB 杆中无弯
矩。

对称：
(b)
这是结点无线位移结构，又因为DE 杆与BC 杆的1EI =∞，所以结点又无转角，所以AB 杆、BD 杆、BC 杆无弯矩。

（a ）、（b ）图叠加： 竖向荷载：
(c)
(d)
本结构无线位移，D 、B 两结点又无转角，DB 杆、BA 杆上又无荷载，所以DB 杆、BA
杆无弯矩。

(c)(d)两图叠加得：
M 图
9-10 试用静力法求图a 所示超静定梁B 支座反力F yB 的影响线方程，并绘制它的影响线。

设取基本结构如图b 所示。

(a) 解：由力法求出：()()
2233
2322yB Px l l x Px x l F l l +--=-=
故影响线为：
9-11解：①yB
F
②L
QB
F
③R
QB
F
④2
M
⑤C
M。