数学物理方法4.1 数项级数、幂级数

分离实部虚部，则
n
n
lim
n
Sn
lim
n
k 1
ak
i lim n
bk
k 1
Sr iSi
n
n
结论：复数项级数收敛<=>实数项级数 ak 和 bk
都收敛。
k 1
k 1
实数项级数收敛的必要条件是：llnniimm
an bn
0 0
那么：
lim
n
Biblioteka Baidu
n
0
复数项级数的敛散性
收敛与绝对收敛的关系
如果|k |收敛，则，k 必收敛。称为绝对收敛
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；
概念：(收敛圆)
区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收
敛圆，半径R是收敛半径。
例：讨论级数 求其收敛半径。
的敛散性，
解：级数的前n项和为Sn
n0
称为幂级数，特例z0=0，则 cn zn n0
幂级数敛散性判别（Abel判别法）
若级数 cn zn在z0处收敛，那么当 | z || z0 | 时，该级数绝对收敛； n0
若级数 cn zn在z0处发散，那么当 | z || z0 | 时，该级数发散； n0 当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
1 zn 1 z
,
当
|
z
|
1时，lim n
S
n
1 zn 1 z
1 1 z
,
当
|
z
|
1时，S
发散，即级数发散
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
k 1
k 1
逆命题不成立。
讨论级数
k 1
in n1
, (
0)
的敛散性。
当δ>0时，级数绝对收敛；
当δ=0时，级数收敛但不绝对收敛；
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
讨论函数项级数
n1
sin nz的敛散性。 n2
当z是实数时，此级数绝对收敛； 当Im(z) 0时，此级数发散。
特殊的函数项级数：幂级数
若 fn (z) cn (z z0 )n ，则函数项级数
cn (z z0 )n
n0
n
解：根据根式判别法，需计算 lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 |
n
n
lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 | lim(1 sin 1 )n
n
n
n
n
lim(1 sin
1
(1/
)
sin
1 n
)(
sin 1 n
1/ n
)
e 1
n
n
所以，该级数的收敛半径是e
幂级数的运算：利用运算法则展开级数
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
n1 n
例4：
n0
n! nn
zn
解：采用比式判别法，则 lim
n
(n 1)! (n 1)n1
nn n!
lim
n
nn (n 1)n
e1
所以，该级数的收敛半径为e.
收敛半径判别：举例
例5： (1)n (1 sin 1 )n2 zn
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
Sn k ak i bk
k 1
k 1
k 1
无穷多项
复数项级数的敛散性
若部分和Sn有极限：lnim Sn S ，则称级数为收敛级 数；反之，则为发散级数。
1、代数运算（加减乘除） 2、代换运算
解：该函数 1 1 1 1 zn
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1