数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
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4.1数项级数
∑
∞
n=1
∑
∞
1 1 1 1 1 发散. =1+ + + L+ +L 发散. n 2 3 4 n
n→ ∞
lim S n = S ,
n→ ∞
lim S 2 n = S ,
于是
n→∞
lim ( S 2n − S n )= S − S = 0.
1 1 1 1 1 1 1 > + +L+ = , 但S 2 n − S n = + +L+ 2 n 2n 2n n+1 n+ 2 2n 1442443 2
a (1− q n ) （ 2） 当 q > 1 时 ， ∵ lim S n = lim =∞ ， n→∞ n→∞ 1− q
级数发散. ∴级数发散.
（3 ）当 q =1 时，
故级数发散. ① 当 q =1 时， lim S n = lim na = ∞ ，故级数发散.
n→∞ n→∞
② 当 q = −1 时， S n = a − a + a − a +L+ ( −1)n−1 a ，
等比级数
n −1 q < 1,收敛 ∑ aq q ≥ 1,发散 n =1 ∞
∞
级数
n=1
∑ un
n→ ∞
lim u n ≠ 0 ⇒ 发散
n→∞
lim un = 0, 不一定收敛 .
利用级数的基本性质 判定其敛散性
利用级数收敛和发散的 定义 判定其敛散性
n
1 n2 n ) ]
1 e
0
= 1 ≠ 0,
lim [(1 +
∞
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
k 1
k 1
k 1
无穷多项
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
第四章 解析函数的幂级数
➢复数项级数 ➢幂级数 ➢泰勒（Taylor）级数 ➢罗朗（Laurent）级数
本章以函数的复变函数微分知识为基础； 是第五章（留数）的重要基础。
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
k 1
k 1
k 1
无穷多项
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
第四章 解析函数的幂级数
➢复数项级数 ➢幂级数 ➢泰勒（Taylor）级数 ➢罗朗（Laurent）级数
本章以函数的复变函数微分知识为基础； 是第五章（留数）的重要基础。
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
4-1复数项级数与幂级数
n0
n0
25
如果级数 cnz0n发散, 且如果| z || z0 | n0
用反证法, 设级数 cnzn反而收敛,则根据 n0
前面的结论可导出 cnz0n收敛,与所设 n0
矛盾. 因此只能是 cnzn发散 n0
26
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出 幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛 情况不外乎三种:
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
34
更为重要的是代换(复合)运算
如果当| z | r时, f (z) an zn ,又设在 | z | R n0
内g(z)解析且满足 | g(z) | r,则当| z | R时,
f [g(z)] an[g(z)]n. n0
• 这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着 广泛的应用.
35
n0
这种级数称为幂级数.
• 如果令za=z, 则(4.2.2)成为
cnz n , 这是
• (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后n常0就(4.2.3)讨论
23
定理一(阿贝尔Abel定理)
如果级数 cnzn在z z0( 0)收敛,则对满足 n0
数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)
z n1
( z 1)
n0 n 1
1
zn ( z 1)
微分 m 次
1 z n0
m!
(1 z)m1
n(n 1)...(n m 1) znm
nm
n=m+k
1 (1 z)m1
Ck mk
k0
zk
(z
1)
一般情形
1 (1 z)
1 ( 1)...( k 1) zk ( z 1)
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；
级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。
魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理
➢ 幂级数的和函数在收敛圆内解析
幂级数 cn (z a)n 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R n0
的内部解析，可逐项求导、逐项积分：
z
f ( )d
1
zn ( z 1)
n0 n!
1 z n0
•导出：cos z ei z ei z 1 z2 z4 (1)n z2n
2
2! 4!
(2n)!
积分
sin z
zz
z3
z5
(1)n
z 2n1
0
3! 5!
(2n 1)!
z dz
lnk (1-z) lnk1 0 1 z
k 1
k!
规定 (1 z) |z0 1
例2：求 f (z) ez 在 z=0 和 z=3 处的泰勒展开
1 z
在
ez
zn ,
1
zn
z=0
n0 n! 1 z n0
收敛半径 = 1
处
幂级数相乘：f (z) cn zn ,
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
THANKS
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
4.1 数项级数、幂级数
所以，该级数的收敛半 径为e.
收敛半径判别：举例
1 n2 n 例5： (1) (1 sin ) z n n 0
n
解：根据根式判别法， 需计算 lim n n
n n
1 n2 | (1) (1 sin ) | n
n
1 n2 1 lim | (1) (1 sin ) | lim(1 sin ) n n n n n 1 lim(1 sin ) n n
复数项级数
称表达式： α1+α2+α3+…+αn+… 为无穷级数，记为
无穷多项
其中 k ak ibk
k 1
k
前n项和Sn
S n k ak i bk
k 1 k 1 k 1
n
n
n
复数项级数的敛散性
lim S n S ，则称级数为收敛级 若部分和Sn有极限： n 数；反之，则为发散级数。
那么： 称函数项级数在D内收敛。
k 1
结果：
当z是实数时，此级数绝对 收敛； sin nz 讨论函数项级数 的敛散性。 2 当 Im(z ) 0时，此级数发散。 nLeabharlann n 1特殊的函数项级数：幂级数
n 若 f n ( z) cn ( z z0 ) ，则函数项级数
c (z z )
当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散； 概念：(收敛圆) 区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收 敛圆，半径R是收敛半径。 例：讨论级数 求其收敛半径。 的敛散性，
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
4-1复数项级数和幂级数
∞
∞ ∞ 1 1 1 1 1 n 1 = (1 + + + L) − i (1 − + − L) = ∑ + i ∑ ( −1) n 2 3 2 3 n =1 n n =1 ∞ ∞ 1 n 1 因为 级数 ∑ 发散, 虽 ∑ ( −1) 收敛 , n n =1 n n =1
原级数仍发散 .
22
( 8i )n 是否绝对收敛？ 是否绝对收敛？ 例5 级数 ∑ n=1 n!
级数收敛的必要条件(定理4 级数收敛的必要条件 定理4)
因为实数项级数
∑1 an和∑1 bn收敛的必要条件是 n= n=
n→ ∞
∞
∞
lim an = 0 和 lim bn = 0 .
n→ ∞
所以复数项级数 ∑ α n收敛的必要条件是
n=1
∞
lim α n = 0
n→∞
15
注意： 注意：条件 αn →0⇔αn →0 (n→∞) ，该条件只是级数 ∞ 1 收敛的必要条件 而不是充分的， 必要条件， 收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 ∑ n=1 n 1 但是它是发散的。 尽管通项 → 0 ，但是它是发散的。
• 从导数与积分的角度研究解析函数均 获得成功．于是，我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数 来讨论解析函数．实践证明，这种选 择是成功的． • 讨论解析函数的台劳级数和罗伦级数 展开式。
1
第四章 复级数
§4-1 复数项级数和幂级数 §4-2 Taylor级数 级数 §4-3 Laurent级数 级数
则称 {zn } 极限是 α ，或者 {zn } 收敛且收敛到 α ， 记作 lim z n = α
n→ ∞
定理1
lim z n = α
∞ ∞ 1 1 1 1 1 n 1 = (1 + + + L) − i (1 − + − L) = ∑ + i ∑ ( −1) n 2 3 2 3 n =1 n n =1 ∞ ∞ 1 n 1 因为 级数 ∑ 发散, 虽 ∑ ( −1) 收敛 , n n =1 n n =1
原级数仍发散 .
22
( 8i )n 是否绝对收敛？ 是否绝对收敛？ 例5 级数 ∑ n=1 n!
级数收敛的必要条件(定理4 级数收敛的必要条件 定理4)
因为实数项级数
∑1 an和∑1 bn收敛的必要条件是 n= n=
n→ ∞
∞
∞
lim an = 0 和 lim bn = 0 .
n→ ∞
所以复数项级数 ∑ α n收敛的必要条件是
n=1
∞
lim α n = 0
n→∞
15
注意： 注意：条件 αn →0⇔αn →0 (n→∞) ，该条件只是级数 ∞ 1 收敛的必要条件 而不是充分的， 必要条件， 收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 ∑ n=1 n 1 但是它是发散的。 尽管通项 → 0 ，但是它是发散的。
• 从导数与积分的角度研究解析函数均 获得成功．于是，我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数 来讨论解析函数．实践证明，这种选 择是成功的． • 讨论解析函数的台劳级数和罗伦级数 展开式。
1
第四章 复级数
§4-1 复数项级数和幂级数 §4-2 Taylor级数 级数 §4-3 Laurent级数 级数
则称 {zn } 极限是 α ，或者 {zn } 收敛且收敛到 α ， 记作 lim z n = α
n→ ∞
定理1
lim z n = α
数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数
幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于 描述弹性体的应力和应变 关系。
热力学
热力学中的理想气体状态 方程就是通过幂级数来表 达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于 描述电磁波的传播和电磁 场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算 复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是 将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并 同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在 数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级 数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区 别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。
第四章-幂级数
2 2
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒 为零，a为其零点，则必有a的一个邻域， 使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。
的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3） 则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l
n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数 各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中 ，都是复常数，这样的 级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径 先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记 号
即，如果 果 ，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i
2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点 注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒 为零，a为其零点，则必有a的一个邻域， 使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。
的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3） 则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l
n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数 各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中 ，都是复常数，这样的 级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径 先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记 号
即，如果 果 ，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i
2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点 注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n
幂级数课件
(1) 加减法
a n x n bn x n cn x n .
n 0 n 0
n 0
x R, R
(其中 cn an bn )
(2) 乘法
( a n x ) ( bn x ) cn x . x R, R
n n
n
定义域就是级数的收敛域精品文档定理141abel定理如果级数处收敛则它在满足不等式几何说明收敛区域发散区域发散区域精品文档由定理141知道精品文档定义
第十四章
幂 级 数
引言
前面介绍了一般的函数项级数，重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始， 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier级数”（三 角多项式的推广，三角级数的特例，在物理 中有广的应用）.
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
a n x n 收敛, 即级数 a n x n收敛;
n 0 n 0
( 2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
n 0
解
令( 2 x 3) y 得 ( 1) n y n
2
n 0
当 y 1时，级数收敛； 当 y 1时，级数发散；
所以，当 1 2 x 3 1， 2 x 1时， 原级数收敛；
所求收敛域为 2， 1.
例4 求 ( 1)
n 1
a n x n bn x n cn x n .
n 0 n 0
n 0
x R, R
(其中 cn an bn )
(2) 乘法
( a n x ) ( bn x ) cn x . x R, R
n n
n
定义域就是级数的收敛域精品文档定理141abel定理如果级数处收敛则它在满足不等式几何说明收敛区域发散区域发散区域精品文档由定理141知道精品文档定义
第十四章
幂 级 数
引言
前面介绍了一般的函数项级数，重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始， 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier级数”（三 角多项式的推广，三角级数的特例，在物理 中有广的应用）.
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
a n x n 收敛, 即级数 a n x n收敛;
n 0 n 0
( 2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
n 0
解
令( 2 x 3) y 得 ( 1) n y n
2
n 0
当 y 1时，级数收敛； 当 y 1时，级数发散；
所以，当 1 2 x 3 1， 2 x 1时， 原级数收敛；
所求收敛域为 2， 1.
例4 求 ( 1)
n 1
数学物理方法-复变函数-第三章-幂级数
收敛域
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
在复平面上，幂级数的收敛域是由收 敛半径决定的圆环或点集。对于形如 (a_n(z-a)^n)的幂级数，其收敛域可 能是圆环、半圆、点或全平面。
幂级数的可微性
幂级数的导数
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数 ，其导数也是形如(a_n(z-a)^n) 的幂级数。
可微性
如果一个幂级数在某点处可微， 则该点处函数的值可以通过幂级 数的导数来近似计算。
在求解波动方程时，幂级数展开可以提供一种简洁的近似方法，用于分析波动现 象的近似解。这种方法在处理复杂波动问题时特别有效，如非线性波动和多维波 动问题。
在热传导方程中的应用
热传导方程是描述热量传递过程的偏微分方程，广泛应用于 工程和科学领域。通过将热传导方程转化为幂级数形式，可 以方便地求解热量传递问题。
收敛性和应用
分式函数的幂级数展开在x不等于0时 收敛，可以用于计算分式函数的近似 值，尤其在处理分式函数的积分和微 分时非常有用。
04
幂级数展开在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波等。通过将波动方程 转化为幂级数形式，可以方便地求解波动问题，得到波的传播规律和性质。
幂级数展开在处理复杂电磁场问题时特别有用，如非均匀 介质中的电磁波传播和多维电磁场问题。这种方法能够提 供近似解，帮助我们更好地理解电磁场的规律和性质。
05
幂级数展开的进一步研究
幂级数展开的误差分析
01
02
03
误差来源
主要来源于截断误差和舍 入误差。
误差估计
通过泰勒级数展开，可以 估计幂级数展开的误差大 小。
幂级数的可积性
幂级数的积分
对于形如(a_n(z-a)^n)的幂级数，其积分也是形如(a_n(z-a)^n)的幂级数。
幂级数-PPT
n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级 数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习 试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.
4.1级数的基本性质
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即 序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,
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1、代数运算（加减乘除） 2、代换运算
解：该函数 1 1 1 1 zn
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
讨论函数项级数
n1
sin nz的敛散性。 n2
当z是实数时，此级数绝对收敛； 当Im(z) 0时，此级数发散。
特殊的函数项级数：幂级数
若 fn (z) cn (z z0 )n ，则函数项级数
cn (z z0 )n
n0
n
解：根据根式判别法，需计算 lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 |
n
n
lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 | lim(1 sin 1 )n
n
n
n
n
lim(1 sin
1
(1/
)
sin
1 n
)(
sin 1 n
1/ n
)
e 1
n
n
所以，该级数的收敛半径是e
幂级数的运算：利用运算法则展开级数
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；
概念：(收敛圆)
区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收
敛圆，半径R是收敛半径。
例：讨论级数 求其收敛半径。
的敛散性，
解：级数的前n项和为Sn
1 zn 1 z
,
当
|
z
|
1时，lim n
S
n
1 zn 1 z
1 1 z
,
当
|
z
|
1时，S
发散，即级数发散
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
n1 n
例4：
n0
n! nn
zn
解：采用比式判别法，则 lim
n
(n 1)! (n 1)n1
nn n!
lim
n
nn (n 1)n
e1
所以，该级数的收敛半径为e.
收敛半径判别：举例
例5： (1)n (1 sin 1 )n2 zn
分离实部虚部，则
n
n
lim
n
Sn
lim
n
k 1
ak
i lim n
bk
k 1
Sr iSi
n
n
结论：复数项级数收敛<=>实数项级数 ak 和 bk
都收敛。
k 1
k 1
实数项级数收敛的必要条件是：llnniimm
an bn
0 0
那么：
lim
n
n
0
复数项级数的敛散性
收敛与绝对收敛的关系
如果|k |收敛，则，k 必收敛。称为绝对收敛
n0
称为幂级数，特例z0=0，则 cn zn n0
幂级数敛散性判别（Abel判别法）
若级数 cn zn在z0处收敛，那么当 | z || z0 | 时，该级数绝对收敛； n0
若级数 cn zn在z0处发散，那么当 | z || z0 | 时，该级数发散； n0 当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
k 1
k
逆命题不成立。
讨论级数
k 1
in n1
, (
0)
的敛散性。
当δ>0时，级数绝对收敛；
当δ=0时，级数收敛但不绝对收敛；
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
Sn k ak i bk
k 1
k 1
k 1
无穷多项
复数项级数的敛散性
若部分和Sn有极限：lnim Sn S ，则称级数为收敛级 数；反之，则为发散级数。
解：该函数 1 1 1 1 zn
b(1 z / b) b 1 z / b b n0 bn
3、分析运算（求导，求积分）
解：该函数 d
1
d
(1)n z n n(1)n1 z n1
dz 1 z dz n0
n1
lim
n
S
n
(
z
)
k 1
fk (z)
那么：
称函数项级数在D内收敛。 结果：
讨论函数项级数
n1
sin nz的敛散性。 n2
当z是实数时，此级数绝对收敛； 当Im(z) 0时，此级数发散。
特殊的函数项级数：幂级数
若 fn (z) cn (z z0 )n ，则函数项级数
cn (z z0 )n
n0
n
解：根据根式判别法，需计算 lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 |
n
n
lim n | (1)n (1 sin 1 )n2 | lim(1 sin 1 )n
n
n
n
n
lim(1 sin
1
(1/
)
sin
1 n
)(
sin 1 n
1/ n
)
e 1
n
n
所以，该级数的收敛半径是e
幂级数的运算：利用运算法则展开级数
幂级数的收敛半径
根据Abel判别法，对任意幂级数，总是存在一个圆， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；
概念：(收敛圆)
区域|z|<|z0|=R表示一个圆盘（不包括圆周）， 使得级数在圆内收敛，在圆外发散；该圆周称为收
敛圆，半径R是收敛半径。
例：讨论级数 求其收敛半径。
的敛散性，
解：级数的前n项和为Sn
1 zn 1 z
,
当
|
z
|
1时，lim n
S
n
1 zn 1 z
1 1 z
,
当
|
z
|
1时，S
发散，即级数发散
n
所以，级数的收敛半径是1
幂级数收敛半径判别法
比式判别法
根式判别法
讨论： 两者结果应该是一致的！ 如何证明之？
收敛半径判别：举例
解：根据比式判别法，知lim | cn1 | 1，所以该级数的收敛半径为1；
当z
0时，级数为
n
(1)
n cn ，级数收敛，但不绝对收敛；
当z
n1
2时，级数为
n 1，级数发散。
n1 n
例4：
n0
n! nn
zn
解：采用比式判别法，则 lim
n
(n 1)! (n 1)n1
nn n!
lim
n
nn (n 1)n
e1
所以，该级数的收敛半径为e.
收敛半径判别：举例
例5： (1)n (1 sin 1 )n2 zn
分离实部虚部，则
n
n
lim
n
Sn
lim
n
k 1
ak
i lim n
bk
k 1
Sr iSi
n
n
结论：复数项级数收敛<=>实数项级数 ak 和 bk
都收敛。
k 1
k 1
实数项级数收敛的必要条件是：llnniimm
an bn
0 0
那么：
lim
n
n
0
复数项级数的敛散性
收敛与绝对收敛的关系
如果|k |收敛，则，k 必收敛。称为绝对收敛
n0
称为幂级数，特例z0=0，则 cn zn n0
幂级数敛散性判别（Abel判别法）
若级数 cn zn在z0处收敛，那么当 | z || z0 | 时，该级数绝对收敛； n0
若级数 cn zn在z0处发散，那么当 | z || z0 | 时，该级数发散； n0 当|z|=|z0| 时，级数的敛散性? 具体问题具体分析！
k 1
k
逆命题不成立。
讨论级数
k 1
in n1
, (
0)
的敛散性。
当δ>0时，级数绝对收敛；
当δ=0时，级数收敛但不绝对收敛；
函数项级数
函数项级数：
f1(z) f2 (z) fn (z)
注意：所有函数项在同 一个区域D内有定义。
n
前n项和 Sn (z) fk (z) k 1
若在D内每一点都有，S ( z )
数学物理方法4.1 数项级数、幂级数
复数项级数
称表达式：
α1+α2+α3+…+αn+…
为无穷级数，记为
k
k 1
其中 k ak ibk
前n项和Sn
n
n
n
Sn k ak i bk
k 1
k 1
k 1
无穷多项
复数项级数的敛散性
若部分和Sn有极限：lnim Sn S ，则称级数为收敛级 数；反之，则为发散级数。