初值问题的数值解法
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第六章 常微分方程初值问题的数值解法_习题课
1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 。 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。
三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。
2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 。
二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。
3.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( );
⎩⎨⎧=='00
y x y y x f y )()
,(改进欧拉法的局部截断误差是( );
四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O (h 2) (B)O (h 3) (C)O (h 4) (D)O (h 5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( )
.(A)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y (B)⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+1+)
(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y
(C)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+2=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y h y y x hf y y y x hf y y (D)⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)
(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y 答案：(D)
5. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O (h 3). (A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法 答案：(B)
解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，O(h3)。
6. 对Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为
))(,()()(11n n n n n x y x hf x y x y T --=++ 对在处作Talor 展开，有
)(1+n x y n x )()(2
)()()(32
1h O x y h x y h x y x y n n n n +''+'+=+
而且，因此其局部截断为 ))(,()(n n n x y x f x y =' ))(,()()(11n n n n n x y x hf x y x y T --=++
)()(2
)()(32
h O x y h x y h x y n n n +''+'+=
)()(n n x y h x y '--
)()(2
32
h O x y h n +''=)(2h O =
所以，显式Euler 方法是1阶方法，其截断误差的主项是)(2
2
n x y h ''。
7.对隐式Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为
))(,()()(1111++++--=n n n n n x y x hf x y x y T 对在处作Talor 展开，有
)(1+n x y n x )()(2
)()()(32
1h O x y h x y h x y x y n n n n +''+'+=+
而且，也在处作Talor 展开，有 ))(,()(111+++='n n n x y x f x y n x )()()()(21h O x y h x y x y n n n +''+'='+所以，因此其局部截断为
))(,()()(1111++++--=n n n n n x y x hf x y x y T
)()(2
)()(32
h O x y h x y h x y n n n +''+'+=
)()()()(32h O x y h x y h x y n n n +''-'-- )()(2
32
h O x y h n +''-=)(2h O =
所以，隐式Euler 方法也是1阶方法，其截断误差的主项是)(2
2
n x y h ''-。
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：其局部截断为
))](,())(,([2
)()(1111+++++--=n n n n n n n x y x f x y x f h
x y x y T
对在处作Talor 展开，有
)(1+n x y n x )()(6
)(2)()()(43
21h O x y h x y h x y h x y x y n n n n n +'''+''+'+=+
而且，))(,()(n n n x y x f x y ='))(,()(111+++='n n n x y x f x y ，对)(1+'n x y 也在处作Talor 展开，有
n x )()(2
)()()(32
1h O x y h x y h x y x y n n n n +'''+''+'='+
所以，因此其局部截断为
))](,())(,([2
)()(1111+++++--=n n n n n n n x y x f x y x f h
x y x y T
)()(6
)(2)()(43
2h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=
)()(12)(2)(2)(2)(43
2h O x y h x y h x y h x y h x y n n n n n +'''-''-'-'--
)()(12
43
h O x y h n +'''-=)(3h O =
所以，梯形公式是2阶方法，其截断误差的主项是)(12
3
n x y h '''-=。
9.用欧拉法解初值问题，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数.
⎩
⎨⎧1=060≤≤0--='2)()
.(y x xy y y 解: h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式
)
2,1,0)(4(2.0),(2
1=-=--=+=+k y x y y hx hy y y x hf y y k k k k
k k k k k k k 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有
y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
10.用欧拉预报－校正公式求解初值问题，取步长h =0.2,计算
y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l ⎩⎨⎧1
=10
=++'2)(sin y x y y y 解 步长h =0.2, 此时f (x ,y )=－y －y 2sin x . 欧拉预报－校正公式为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f h
y y y x hf y y 校正值
预报值 有迭代公式：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧+--=--+--+=-=--+=++++++++)
sin (1.0)sin 1.09.0()]
sin ()sin [(2
)
sin 2.08.0()
sin (12
111211212
1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y x y y x y y x y y h y y x y y x y y h y y 校正值预报值
当k =0，x 0=1, y 0=1时，x 1=1.2，有
631710=11⨯02-80⨯1=20-80=0001.)sin .()sin ..(x y y y
715490=21631710+63171010-1⨯1⨯10-90⨯1=≈2121.).sin ..(.)sin ..().(y y 当k =1，x 1=1.2, y 1=0.71549时，x 2=1.4，有
47697
0=21715490⨯02-80⨯715490=20-80=1112
.)
.sin ..(.)sin ..(x y y y