数学物理方法习题总稿-csy

数学物理方法习题

习题一

1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）i -; (2).

11i

i

-+;

(3). 1; (4). 1i

e

+;

(5).1cos sin i αα-+; (6) 3

()z z x iy =+

2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) ||2z =; (2) ||3z ≤;

(3)1

Re 2

z ≥; (4) ||||z a z b -=- (a b 、皆为复实数）; (5) ||Re 1z z +≤; (6) 1

|

|11

z z -≤+; (7) 1

Re 2z

=; (8) 1Im 2z <<;

(9) 0arg

4

z i z i π

-<<+; (10) |2||2|5z z ++-=. 3、计算下列各式：

（1 （2）i

i ；

（3 （4

（5a b （、皆为实常数）

； （6）2

1)(1)n

n i i ++-（； （7）cos cos 2cos3cos n ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+（ϕ为实数）

习题二

1、

设

,

z x iy =+试证：

|sin |z =

和

|s |co z =

2、

计算下列各式:

（1）sin()a ib +和s()co a ib +（其中a b 、为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）2

2

;ch z sh z - （3）(1);Ln - 一1 一

（4）cos ix 和sin ix （x 为实数）； （5）chix 和shix （x 为实数）； （6）sin ||iaz ib z e -（a b 、为实常数）。 3、解方程：

（1）sin 2z =； （2） 2.tgz =

习题三

1、 若一实函数在区域G 内解析，试证该实函数必为实数。

2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）212;z z ω=-- （2）1z

ω=

（3）Im Re ;z z z ω=- （4）||.w z =

3、设函数3222()()f z my mx y i x lxy =+++是全平面上的解析函数，试确定m n l 、、的值。

4、已知下列各解析函数()f z 的实部u 或虚部v ，求该解析函数：

(1)sin ;x u e y = (2)(cos sin ),(0)0;x u e x y y y f =-=

(3)22,(2)0;y v f x y ==+ (4)22

222

,()0;()

x y u f x y -=∞=+ (5)2

2

,(0)0;u x y xy f =-+= (6)3

2

3,(0)0;u x xy f =-= (7)3

2

2

3

632,(0)0;u x x y xy y f =+--= (8)4

2

2

4

6,(0)0;u x x y y f =-+= (9)222sin 2,()0;2cos 22

y y

x u f e e x π

-=

=+- (10)ln ,(1)0;u f ρ== (11),(1)0.u f ϕ==

5、由极坐标下柯希—里曼条件，证明极坐标下的拉普拉斯方程：

222

11()0.u u ρρρρρϕ∂∂∂+=∂∂∂

习题四

指出下列多值函数的支点及其阶数，能否画出里曼面？（a b 、为复常数）

（1 （2 （3）;Lnz （4）().Ln z a - 一2 一

习题五

1、已知复势1

()2f z z i

=

-+，试画出其等温网。

2、已知流线族的方程为：y

x

=常数，求复势。

3、已知等势族的方程为：22x y +=常数，求复势。

4、已知电力线为与实轴详相切于原点的圆族，求复势。

5、在圆柱||z R =的外部的平面静电场的复势为()2ln R

f z i z

σ=，求柱面上的电荷密度。 6、有两个平行而均匀带电的线电荷，每单位长度所带的电量分别是＋q 和－q ，两线相距2a ，

求这个平面静电场的复势、电力线和等势线。

习题六 1、计算积分120

()i

x y ix dz +-+⎰

的值，积分路线为自原点到1i +的直线段。

2、计算积分

||c

z dz ⎰的值，其中积分路线是：

（1）连接－1与1的直线段； （2）连接－1与1且中心在原点的上半圆周； （3）连接－1与1且中心在原点的下半圆周。 3、求积分

1

11

dz z -⎰，积分路径为：

（1）沿||1z =的上半半圆周； （2）沿||1z =的下半圆周。 4、求积分

20

Re i

zdz +⎰

的值，积分路径为：

（1）沿直线段从0到2 ，再沿直线段从2到2i +；（2）沿直线段(2)(01).z i t t =+≤≤

5、计算下列积分： （1）

||11;z dz z =⎰ （2）||11

;||z dz z =⎰ （3）

||11||;z dz z =⎰ （4）||11||.||z dz z =⎰

6、计算积分

||1.(21)(2)z z dz z z =+-⎰

一3 一