二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义

第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。

B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．2．（2021秋•宝山区校级月考）把根号外面的式子移到根号内，则x＝．【分析】直接利用二次根式的性质得出x的符号，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．3．（2021春•诸暨市月考）已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则|y﹣1|+的化简结果．【分析】根据三角形三边之间的关系确定y的取值范围，然后根据y的取值范围去绝对值化简即可．【解答】解：∵2，3，y是一个三角形的三条边，∴1＜y＜5，∴原式＝y﹣1+＝y﹣1+|y﹣5|＝y﹣1+5﹣y＝4．故答案为：4．4．（2021春•新县期末）已知|2019﹣a|+＝a，求a﹣20192的值是．【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a≥2020，∴2019﹣a＜0，∴a﹣2019+＝a，∴＝2019，∴a﹣2020＝20192，∴a﹣20192＝2020，故答案为：20205．（2021秋•普陀区校级期中）下列结论正确的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最简二次根式【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：A、的有理化因式可以是，故A不符合题意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．6．（2021春•九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x ＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同号，并且x、y都是负数，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，当x＝﹣1，y＝﹣4时，＝+＝2+＝；当x＝﹣4，y＝﹣1时，+＝+＝+2＝，则的值是，故选：B．7．（2021春•高青县期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（）A．9B．9C．5D．5【分析】把已知条件变形得到x﹣2＝，两边平方得到x2＝4x+1，利用降次的方法得到原式＝3x﹣1，然后把x的值代入计算即可．【解答】解：∵x＝+2，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2＝4x+1，∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．故选：D．8．（2021秋•南岸区校级期中）已知a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则+＝．【分析】先估算的范围，确定a、b的值，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴a＝2，b＝3，∴+＝+2，故答案为：+2．9．（2021•诸城市三模）已知a＝+1，b＝﹣1，则a3b﹣ab3＝．【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝（+1）+（﹣1）＝2，a﹣b＝（+1）﹣（﹣1）＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝1，∴a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b）＝4，故答案为：4．10．（2021春•杭州期末）若a＝+1，b＝﹣1，则a2﹣ab+b2＝．【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝+1+﹣1＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，∴原式＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝8﹣3＝5．故答案为：5．11．（2021秋•市北区校级期中）计算：（1）﹣；（2）3﹣+7；（3）（﹣）×﹣3；（4）（+）（﹣）﹣（+1）2．（5）；（6）．【分析】（1）根据立方根和二次根式的乘除法公式即可求解；（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（3）根据二次根式的乘除法化简，再合并同类二次根式即可；（4）根据平方差公式和完全平方公式展开，化简即可．（5）根据二次根式的除法法则和二次根式的性质计算； （6）先把各二次根式化简，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣＝3﹣2 ＝1；（2）原式＝3×3﹣×4+7×＝9﹣2+＝；（3）原式＝﹣﹣3×＝6﹣6﹣＝5﹣6；（4）原式＝13﹣3﹣（8+2+1）＝13﹣3﹣8﹣4﹣1＝1﹣4．（5）原式＝+﹣4 ＝2+3﹣4 ＝1； （6）原式＝2﹣3+8＝7．考点四 二次根式的化简求值及简单应用知识点睛：1.二次根式的化简求值解题步骤：①根据实数的混合运算法则和二次根式的性质公式将所给代数式化到最简 ②将所给字母的值带入计算☆化简求值问题所得结果必须是最简二次根式或者实数 2.图形的坡比：直线AB 的坡比i =ACBC水平距离铅锤距离ABC类题训练：1．先化简，再求值：，其中a＝，b＝5+2．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣，当a＝＝5﹣2，b＝5+2时，原式＝﹣1．2．（2021秋•鄞州区月考）已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化简并求值：．【分析】（1）先将a化简，然后通过配方法将原式化简，最后代入a求值．（2）将原式先化简，然后代入a的值求解．【解答】解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，将a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．3．（2021秋•奉贤区校级期中）若，则x的取值范围是（）A．B．C．D．x＜【分析】利用二次根式的性质得到＝|3x﹣2|，即|3x﹣2|＝2﹣3x，然后根据绝对值的意义得到3x﹣2≤0，再解不等式即可．【解答】解：∵＝|3x﹣2|＝2﹣3x，∴3x﹣2≤0，∴x≤．故选：C．4．（2021秋•余杭区期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在格点上，则点C到AB所在直线的距离为（）A．B．C．D．【分析】根据△ABC的面积＝边长为3的正方形面积﹣直角边为2的等腰三角形的面积﹣2个直角边分别为1和3的三角形面积，△ABC的面积＝BC•h，列等式求出h．【解答】解：∵S△ABC＝32﹣﹣×2＝4，设点C到AB所在直线的距离为h．∵AB＝＝，S△ABC＝，∴•h＝4，∴解得h＝．故选：B．5．（2021秋•普陀区校级月考）已知a+b＝﹣8，ab＝1，则值为．【分析】将二次根式进行化简，然后根据分式加法运算法则进行计算，最后利用整体思想代入求值．【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝1，∴a＜0，b＜0，∴原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣，当a+b＝﹣8，ab＝1时，原式＝﹣＝8，故答案为：8．6．（2018春•台州期中）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为8cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．4cm2B．（8﹣12）cm2C．（4﹣8）cm2D．（4+12）cm2【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为12cm2和8cm2，∴它们的边长分别为cm，cm，∴AB＝2cm，BC＝2cm，∴空白部分的面积＝﹣12﹣8，＝（4﹣8）cm2．故选：C．7.已知一个直角三角形的周长是4+，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（）A．5B．C．D．1【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积．【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边c＝2×2＝4，∵直角三角形的周长是4+，∴a+b+c＝4+，∴∴∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（26﹣16）＝5，故s三角形＝ab＝．故选：B．8．（2021秋•隆昌市校级月考）先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，则有：．（1）根据上述方法化简：①＝；②＝；（2）已知，则4x2+4x﹣2021＝．【分析】（1）利用完全平方公式得到①原式＝；②原式＝，然后根据二次根式的性质化简即可；（2）利用化简复合二次根式得到x＝，则2x+1＝，两边平方得到4x2+4x＝2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）①原式＝＝＝﹣；②原式＝＝＝＝2+；故答案为：﹣；2+；（2）∵x＝＝＝＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝3，即4x2+4x+1＝3，∴4x2+4x＝2，∴4x2+4x﹣2021＝2﹣2021＝﹣2019．故答案为﹣2019．9．（2021春•长丰县期末）观察下列等式：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：，…请回答下列问题：（1）则第四个等式为；（2）用含n（n为正整数）的式子表示出第n个等式为．【分析】（1）通过观察所给式子，分子可以写成平方差公式的形式，进而得到答案；（2）通过观察所给式子，分子可以写成平方差公式的形式，再由数之间的规律，即可求解；【解答】解：（1）观察式子规律，可得第四个等式为：＝＝＝+2，故答案为＝＝＝+2；（2）通过观察可得，第n个等式为：＝＝＝+，故答案为＝＝＝+．10．（2020春•博白县期末）已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．【解答】解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．11．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．（1）用二次根式表示点P与点A的距离；（2）当x＝4，y＝时，连接OP、P A，求P A+PO；（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求+的值．【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；（2）利用两点间的距离公式求得OP、P A，然后求P A+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代数式进行解答．【解答】解：（1）点P与点A的距离：；（2）∵x＝4，y＝，P（x，y），A（1，0），∴P（4，），∴P A＝＝2，PO＝＝3，则P A+PO＝2+3；（3）∵点P位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴+＝|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即+的值是1．12．（2021秋•南岸区校级期中）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；13．（2021春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32，1+ 2，5+52．（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要m．【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2；比较大小，可以作差，m+n﹣2，联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【解答】解：（1）∵4+3＝7，2＝4，∴72＝49，（4）2＝48，∵49＞48，∴4+3＞2；∵1+＝＞1，2＝＜1，∴1+＞2；∵5+5＝10，2＝10，∴5+5＝2．故答案为：＞，＞，＝．（2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵（﹣）2≥0，∴（）2﹣2•+（）2≥0，∴m﹣2+n≥0，∴m+n≥2．（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【坡比问题】1．（2021秋•正定县期中）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC ＝1，则斜坡AB的坡度为（）A．B．C．30°D．60°【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∠ACB＝90°，则斜坡AB的坡度为：＝＝．故选：A．2．（2021秋•东昌府区期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．20【分析】由AB的坡角α＝45°，求出AE的长，再由背水坡CD的坡度i＝1：得出∠C＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解．【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF ＝AE ，∵迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB ＝10米，∴DF ＝AE ＝10×22＝10（米）， ∵背水坡CD 的坡度i ＝1：，∴i ＝＝＝，∴∠C ＝30°，∴CD ＝2DF ＝2AE ＝20（米）， 故选：A ．3．（2021秋•闵行区期中）一段公路路面的坡度为i ＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了 米．【分析】设他沿着垂直方向升高了x 米，根据坡度的概念用x 表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设此人升高了x 米， ∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x 米， 由勾股定理得，x 2+（2.4x ）2＝1302，解得，x ＝50，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50．4．（2021秋•任城区校级月考）水坝的横截面是梯形ABCD ，现测得坝顶DC ＝4m ，坡面AD 的坡度i 为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m ，（≈1.732）求：（1）坝底AB 的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD 不变的情况下降低AD 的坡度（如图），使新坡面DE 的坡度i 为1：，原水坝底部正前方2.5m 处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．【分析】（1）过C 作CF ⊥AB 于F ，过D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形CDHF 是矩形，得21CD ＝HF ＝4m ，DH ＝CF ＝3m ，由坡度的定义得AH ＝DH ＝3m ，再由坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m ，易得BF 的长，即可求解；（2）由坡面DE 的坡度i 为1：求出EH 的长，易得AE ＝EH ﹣AH 的值，进而与2.5m比较即可．【解答】解：（1）如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，过D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形CDHF 是矩形，∴CD ＝HF ＝4m ，DH ＝CF ＝3m ，在Rt △ADH 中，坡度i ＝1：1＝DH ：AH ，∴AH ＝DH ＝3m ，在Rt △BCF 中，∠B ＝60°，CF ＝3m ，∵i BC ＝=3， ∴BF ＝＝（m ），∴AB ＝AH +HF +FB ＝7+1.7≈8.7m ；即坝底AB 的长约为8.7m ；（2）此加固工程对古树没有影响，理由如下：由题意得，DH ：EH ＝1：， ∴EH ＝DH ＝3（m ），∴AE ＝EH ﹣AH ＝（3﹣3）m ， ∵（3）2＝27，（3+2.5）2＝30.25， ∴3﹣3＜2.5，∴此加固工程对古树没有影响．22。