二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义

第02讲 《二次根式》章节分类总复习

考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：

1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式

2. 二次根式有意义的条件

a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；

☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性

⎩⎨

⎧≥≥0.0

.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练

1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，

，，

（x ＞0），

，

，

﹣

，

，

（x ≥0，y ≥0）．

【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作

出判断． 【解答】解：

符合二次根式的定义；

是三次根式；

是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣

符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；

（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．

2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4

D ．±4

【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．

【解答】解：当x＝1时，原式＝，

故选：A．

3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是

【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．

【解答】解：∵＝2，且是整数，

∴2是整数，即6n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为6．

故答案为：6．

4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，

∴10﹣5x≥0，

∴x≤2．

故答案为：x≤2．

5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．

【解答】解：当x＝3时，

此时2x﹣6＝0，

的最小值为0，

故答案为：3

6．已知二次根式．

（1）求x的取值范围；

（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；

（3）若二次根式的值为零，求x的值．

【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；

（2）将x＝﹣2代入计算可得；

（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，

解得x≤6；

（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；

（3）∵二次根式的值为零，

∴3﹣x＝0，

解得x＝6．

7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．

【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．

【解答】解：

则；

＝＝2．

考点二二次根式相关概念

知识点睛：

1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式

①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式

☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式

2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式

类题训练

1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）

A．B．C．D．

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．

【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．

B、原式＝3，故B不符合题意．

C、是最简二次根式，故C符合题意．

D、原式＝2，故D不符合题意．

故选：C．

2．把下列根式化成最简二次根式．

（1）5

（2）6

（3）（a＞0）

（4）（n＜0）

【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：（1）5＝5×2＝10；

（2）6＝6×＝6×＝；

（3）（a＞0）

＝5a；

（4）（n＜0）

＝×

＝﹣．

3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）

A．B．C．D．

【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；

B 、＝2，不能与合并，不符合题意；

C 、＝，不能与合并，不符合题意；

D 、

＝

，不能与

合并，不符合题意；

故选：A ． 4．如果最简二次根式

与2

是同类二次根式，则a ＝ ．

【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2

是同类二次根式，

∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．

考点三 二次根式的运算

知识点睛：

二次根式乘法公式：()

）（③②）

（①0b ,0··)0()

0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：

(

)

()()

()

b

a b a c b a b a b a c b

a c

a a

a a

b b ab b a b a b a b

a b

a --=

-+-=

+=≥==≥=

)0(1)0,0()

0,0(＞＞变形公式：＞④

类题训练

1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．

公式①、②、③常用于以下两种题型：

（1）化简求值

（2）无理数比较大小

常见比较大小的三种方式：

（1）利用近似值比较大小

（2）把系数移到根号内比较

（3）分别平方，然后比较大小

以上方法注意两数的正负号

公式④及其变形常用于分母有

理化的化简，即分式的分子分母

同乘分母的无理化因式，使分母

变为整数。