谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法

摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条

件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用

问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。

关键词:条件概率，事件、样本空间

1.条件概率的概念

一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P )

()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 关于条件概率，有下面的定理:

定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的条

件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P )

()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==

性质：1. ()P B A =1- )|(A B P

2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别

)|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应

的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。

3.条件概率的解题方法：

解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法:

（1） 化为古典概型解决

)()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数

（2） 化为几何概型解决

)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,)

A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等 （3） 条件概率公式法

如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式=

)|(A B P

)

()(A P AB P 计算 （4）缩减样本空间法：

在事件A 发生的前提下，确定事件B 的缩减样本空间A A ⋂Ω=Ω，并在A Ω中

计算事件B 发生的概率，从而得到)|(A B P

(5)利用条件概率的性质

()P B A 1()P B A =-性质=1 -)

()(A n BA n 4.条件概率常见应用问题类型

类型1：掷骰子子问题

例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A 为 “至少出现一个正面“，记事件B 为 “至少出现两个反面”，求)|(),|(B A P A B P .

解法1：化为古典概型解决：AB 表示“恰有一个正面两个反面，Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT},A ={TTT ,HHT,HTH,HTT,TH H,THT,TTH,}, B ={ HTT,THT,TTH}

=)(A P 87, =)(B P 2184=,=)(AB P 83,=)|(A B P 7

3)()(=A P AB P , =)|(B A P 43 解法2：缩减样本空间法：在缩减样本空间A A =Ω中看，A 共有7个元素，

其中只有3个属于B ，故有=)|(A B P 73，=)|(B A P 4

3 类型2：摸球问题

例2：袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。

解法1：条件概率公式法

设=A {第1次摸到白球}；=B {第2次摸到黑球}

求)(A P ：袋中有10个球，每个球等可能地被取中。考虑两次取球的随机试验；

从袋中不放回地摸取两次，每一次—个，共有210A 种摸法．即样本点总数为210A 个。

第1次摸到白球的摸法有16C 种，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能从9个球

中摸一球，有19C 种摸法，因此A 包含的样本点数为1916C C 个。故由古典慨型的概

率计算公式得)(A P =53210

1916=A C C 求)(AB P ：考虑上述同—个随机试验的样本空间，样本点总数仍为210A 个，其中

事件AB 表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB 包含的样本点数为

1416C C 个,于是由古典概率计算公式可得=)(AB P 210

1416A C C , 故由条件概论可得=)|(A B P )()(A P AB P =9

4 解法二：缩减样本空间法:对方法一中的样本空间进行缩减，在“第1次摸到白球”

的条件下，样本空间A Ω所包含的样本点数为1916C C 其中“第2次摸到黑球”的样

本点数为14

16C C 。故由古典概率计算公式可得=)|(A B P 9419161416=C C C C

类型3：产品检验问题：

例3：设有某产品一盒共6只，已知其中有2只次品，从中取二次，每次任取一只，作不放同抽样。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。

解法：设事件A 为“第一次抽得次品”，事件B 为“第二次抽到次品”，则AB 为“第一次和第二次都抽得次品”，故有1612)(C C A P =,

26

22)(C C AB P =,52)()()|(==A P AB P A B P 类型4：整数的倍数问题

例4:从1-100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率?

解：设事件C 为“取出的数不大于50，事件A 为“取出的数是2的两倍’，事件B 为“取出的数是3的倍数”, 则5.0)(=C P ，且求概率为

=+)|)((C B A P =-+)|()|()|(C AB P C B P C A P 66.0)08.016.025.0(2=-+

类型5;等候问题

例5：两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面，并约定先到者等候另一人30分钟方可离开，已知两人会上了面，求先到者等候另一人超过20分钟的概率。

解：设事件A ={ 两人会上了面 }，B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 }

先用集合表示该试验的样本空间Ω及事件A 、B 、A B ，得{(,)060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤且，{(,)30}A x y y x =-≤，{(,)2060}B x y y x =<-≤， {(,)2030}A B x y y x =≤-≤，

（ 样本点(,)x y -对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ，x 、y 的单位：⨯时⨯分 ）

如图所示。

于是，所求事件的概率为：

)

()()()()|(A AB A P AB P A B P μμ几何定义条件概率==的面积区域的面积区域A AB = =-+--+-)3060(2

1)3060(21)3040(213040(2122222222=--2222306030402772700700=

类型6:医疗诊断问题