二次函数(一)

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二次函数图象(1)

?
做一做
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作Βιβλιοθήκη 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象．完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系?
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x 2
y 3x 1 y 3x 1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3 x2
27
12 27
3 12
0 3
3 0
12 3
27 12
48 27
3(x-1)2 48
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
做一做
y=3x2 (3)函数y=3(x-1)2的图象与 y =3 x 2 的图象有什么关系 ? 它是轴对称图形吗 ? 它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x² , y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2 的图象可以看作是抛 x=1 物线y=3x2先沿着x轴向开口向上右平移1个单位,再沿直对称轴仍是平行于 y轴的直 ,当 x=1 时有最小线x=1向上平移2个单线x=1;增减性与y=3 x2 类似. 值,且最小值为2. 位后得到的. 顶点是(1,2).
独立作业
知识的升华
P48 习题2.4
1题.
祝你成功！
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

二次函数(1)

初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点，当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______．二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0．正确的个数是（）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点，当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3），即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____．二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0．正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上．解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。

二次函数(一)

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二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；

2.2 二次函数的图象(一)

x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
y 2 x2 3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2
3
1.5
8 3
-6
...
练一练2
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
函数图象画法
描点法
列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
(3) y 2 x2 3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
.
抛物线在x轴的
方（除顶点外）.
已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.

第二十四节二次函数图象与性质-(一)

二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。

例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口，y=ax 2+c 图象有最点；当x=0时，y 有最值为；当a<0时，开口，图象有最点，当x=0时，y 有最大值为。

④当c>0时，是由y=ax 2向平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向平移|c|个单位。

简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ，与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题：（1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？（2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____；（3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。

小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最值为0；当a<0时，开口向下，图象有最点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为。

二次函数及其图象和性质(一)教案

教学过程一、复习预习我们已经学了一次函数，请大家回忆一下1.一次函数的定义2.一次函数的图像①画图②待定系数法求解析式3.一次函数的性质本节课我们将继续学习二次函数，请同学们先来看我们手里的课本复页.二、知识讲解提问：在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数不同，猜想它是二次函数。

该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。

1.二次函数定义：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。

2.二次函数基本形式： 2y a x =的图像性质：画图步骤（1）列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将x 取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；（2）描点：根据表格中每个(,)x y 的实数对，在坐标系中描出相应的点；（3）连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。

2y a x c =+的性质：上加下减()2y a x h =-的性质：左加右减()2y a x h k =-+的性质：左加右减，上加下减注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由2y ax c =+，()2y a x h =-的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．考点/易错点1定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。

二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课

• 一般地, y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的.
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
到
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
小练习: 抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
y 2(x 1)2
y (x 1)2 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
回顾:
(1)怎样的抛物线可以通过平移得到? 二次项系数a值相同的抛物线可以通过平移得到
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.

二次函数的图像与性质(1)

4.在y轴左侧，y都随着x的增大而减小；
在y轴右侧，y都随着x的增大而增大。
不同点：
1.顶点不同
2.最小值不同
你还能得出哪些结论呢？大胆的说出来！
想一想
二次函数y=2x2，y=2x2+1 和y=2x2-1，它们的图像有什么联系呢？能通过怎样的变换得到呢？
问题2
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=-x2，y=-x2+1和 y=-x2-1图像呢？
学习心得交流
（1）这节课大家在交流、活动过程中有哪些体验和收获？
（2）对函数y=ax2+k与y=ax2的图像的画法和性质还有哪些困惑？a，c的取值对二次函数的图像和性质有何影响？

巩固练习
课本第12-13页练习
课后作业
习题21.2 第1题
下课了，同学们再见！
想一想
二次函数y=ax2与y=ax2+k 的图像有什么联系呢？可以通过怎样的变换得到？
归纳总结
1.抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状，开口方向和开口大小相同，只是位置不同。
2.抛物线y=ax2+k可以看成抛物线 y=ax2 沿着y轴方向平移 k 个单位得到。当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移。
3.当x取何值时，二次函数y=2x2，y=2x2+1和 y=2x2-1取得最小值？最小值分别是多少？
观察
二次函数y=2x2，y=2x2+1和y=2x2-1图像有什么相同点和不同点？
相同点：
1.都是抛物线，且开口大小，开口方向都相同
2.都是轴对称图形，且对称轴都是y轴
3.图像都有最低点，函数都有最小值

二次函数(1)PPT课件(人教版)

九年级上册人教版数学
第二十二章二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．

15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解：降低 x 元后，所销售的件数是 (500 ＋ 100x) ，则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．

第十二课时二次函数(一)

已知点A（-3，y1）、B（-1，y2)、C（2，y3）都在抛物线y=a(x-1)2+c(a
＜0）上，则y1、y2、y3的大小关系是
（用＜连接）
在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使
＜0 成立的是
（） A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣ （x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取
值范围内，下列说法正确的是(
)
A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
知识点4 二次函数图象的平移
1. 二次函数一般式平移：
平移前的解析式
第12课时二次函数的图象和性质(一)
课时目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
考点六二次函数与几何的综合运用例6 (2019·玉林中考改编)已知抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平
方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q.若∠DQD1＝60°，求m的值．
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．

九年级数学第二章二次函数（一）

第2章二次函数第1课时二次函数（1）【知识要点】1．形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫二次函数．2．在函数y=ax 2+bx+c 中，a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数及常数项．课内同步精练●A 组基础练习1．某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y （万元），与平均年增长率x 之间的函数关系式是 .2．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）y=-2x 2 ( )(2）y=x-x 2 ( )(3）y=2(x-1)2+3 ( )(4）y=-3x 2-3 ( )(5) s=a(8-a) ( )3．说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ．(1)y=x 2中a= ,b= ,c= ;(2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ;(3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;4．已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .●B 组提高训练5.已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 .6.在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 .课外拓展练习●A 组基础练习1.当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式．(1)y =234m m mx -+,m = ,y = ;(2) y =2(1)m m m x ++,m = ,y = ;(3) y =232(4)mm m x -+-,m = ,y = . 2.函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时：(l ）它是二次函数；(2）它是一次函数；(3）它是正比例函数；●B 组提高训练3．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=0时y=1；x=1时y=1；x=2时y=-1.求这个二次函数关系式.4．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=1时y=3；x=-1时y=4；x=-2时y=3.求这个二次函数关系式.第2课时二次函数的图象（1）【知识要点】1.函数y=ax 2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，图像的顶点是(0,0)2.函数y=ax 2,当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.3.函数y=ax 2,当a>0时，对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当x=0时函数y 有最小值0.课内同步精练●A 组基础练习1．函数y=ax 2(a ≠0)的图象叫做，它关于轴对称，它的顶点是 .2．当a>0时，y=ax 2在x 轴上的 (其中顶点在轴上),它的开口并且向上无限 .3.函数212y x =-的对称轴是，顶点坐标是，对称轴的右侧y 随x 的增大而，当x= 时，函数y 有最值，是 .4.函数y=3x 2与函数y=-3x 2的图象的形状，但不同.●B 组提高训练5.一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （-2,8).(l ）求这个函数的解析式；(2）画出函数图象；(3）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积．课外拓展练习●A 组基础练习1.抛物线y=ax 2与y=2x 2形状相同，则a= .2.已知函数y=ax 2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是，顶点是 . 抛物线的开口，在对称轴的左侧，y 随x 增大而，当x= 时，函数y 有最值，是 .3.若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过（）A. P 1(-1，-2 )B. P 2(-l, 2 )C.P 3( l, 2)D.P 4(2, 1) ●B 组提高训练4.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线214y x =- (1)作出这条抛物线；(2)利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽；(3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？第3课时二次函数的图像（2）【知识要点】函数y=a(x+m)2+k(a,m,k 是常数，a ≠0).①当a>0时，图像开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，右侧y 随x 的增大而，当x= 时，y 有最值，是 .②当a<0时，图像开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，右侧y 随x 的增大而，当x= 时，y 有最值，是 .课内同步精练●A 组基础练习1.函数y=2(x+1)2是由y=2x 2向平移单位得到的.2.函数y=-3(x-1)2+1是由y —3x 2向平移单位，再向平移单位得到的.3.函数y=3(x-2)2的对称轴是，顶点坐标是，图像开口向，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 .4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是，顶点坐标是，图象开口向，当x 时， y 随x 的增大而减小，当时，函数y 有最值，是 .●B 组提高训练6.在同一坐标系内，画出函数y=2x 2和y=2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．课外拓展练习●A 组基础练习1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（）A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)2. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +6●B 组提高训练3. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -2 4. 经过配方，画出函数y=-3x 2+6x-4的图象，并说出它的对称轴及顶点坐标，当x 时， y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 .第4课时二次函数的图像（3）【知识要点】函数y=ax 2+bx+c (a ，b ，c 是常数a ≠0).①当a>0时，函数y 有最小值，是 . ② 当a< 0时，函数y 有最大值，是 .课内同步精练●A 组基础练习1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最值，是 .2. 函数213523y x x =---，当x= 时，函数有最值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，函数y 有最值，是 .●B 组提高训练4. 把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 .5. 如图，用长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？课外拓展练习●A 组基础练习1. 把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（）A .21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D. 21722y x x =+- 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=124. 二次函数y=-2x 2+4x-9的最大值是A.7B.-7C.9D.-9●B 组提高训练5. 己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长．第5课时二次函数的性质【知识要点】1．若已知抛物线的顶点为（0, 0)，则二次函数的关系式可设为y=ax 2(a ≠0 ).2．若已知抛物线的顶点在y 轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax 2+k(a ≠0 ).3．若已知抛物线的顶点在x 轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2 (a ≠0 ).4．若已知抛物线的顶．汽为（ m , k ）则二次函数的关系式可设为y = a ( x-m ）2+k （a ≠0 ) .课内同步精练●A组基础练习1. 已知函数y=(m-1)x2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点．2. 函数y=2x2的图象向平移5个单位，得到y=2（x+5）2的图象，再向平移个单位．得到y=2x2+20x+56的图象．3. 二次函数y=2x2-4x-3，当x= 时，有最大值，是 .4. 已知抛物线y=x2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .5. 用配方法把二次函数y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y= ,它的对称轴是，顶点坐标是 .6. 一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（）A.y=2x2-x-5B.y=2x2+x+5C. y=2x2-x+5D. y=2x2+x-57. 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的顶点坐标为M (2，-4 )，且其图象经过点A (0, 0 )，则a, b , c的值是（）A .a=l, b=4, c=0 B.a=1,b=-4,c=0 C.a=-1,b=-1,c=0 D.a=1,b=-4,c=8●B组提高训练8. 己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（-1，- 3 )，求b，c的值．9. 已知二次函数y =ax2 +bx-1的图象经过点 (2，-1)，且这个函数有最小值-3 ，求这个函数的关系式．课外拓展练习●A组基础练习1. 已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a= .2. 已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3, l；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 .3. 抛物线y=-x2+4x-1的顶点坐标是，在对称轴x=2的侧y随x的增大而减小．4. 二次函数y =ax2+bx+c的图象的形状 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关●B 组提高训练6. 已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为（一 l , 2 ) ，且图象过点（ l ，一 3 ) .(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出它的开口方向、对称轴；第6课时二次函数的应用（1）【知识要点】运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练●A 组基础练习1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线，与x 轴的交点是，当x= 时，y 有最，是 .2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是，b 的符号是，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0,当x 时，y < 0 .3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x=≠>的图象是（）●B 组提高训练5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）.y 值越大，表示接受能力越强．(l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？(3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？课外拓展练习●A 组基础练习1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第象限.2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 .5. 二次函数y=4x 2-x+1的图象与x 轴的交点个数是（）A. l 个B.2个C. l 个D.无法确定6. 已知二次函数y=x 2-4x-5，若y>0,则（）A . x>5 B.-l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜-1 D. x>1或2x<-5●B 组提高训练7. 学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领，还要掌握为使车子停止前进而刹车后汽车继续滑行的距离．资料显示，当路况良好、路面于燥时，刹车后汽车滑行的距离与车速之间的对应关系如表所示：车速（km/h ） 4864 80 96 112 滑行距离(m)22.5 36 52.5 72 94.5 (1)绘制汽车滑行的距离(2)证明汽车滑行的距离s （单位：m ）及车速v （单位： km / h ）之间有如下的关系：23316512s v v =+ (3)利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离．(4)在路况不良时，表中的滑行距离须分别修正为 45, 72, 105, 144及189m ，在这种情况下， (2)中的函数关系应如何调整？第7课时二次函数的应用（2）【知识要点】利用二次函数来解实际问题，体会实际问题转化为数学模型的过程，课内同步精练●A组基础练习1. 有一座抛物线型拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m.(l)在如图所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m．求水面在正常水位基础上涨多少m时，就会影响过往船只？2. 小明在网上交了一个新朋友，新朋友告诉他：“我在公元x2年时是x岁．”小明今年14岁，小明对这位新朋友该“称兄”还是“道弟”?●B组提高训练3. 一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线．(l)请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m？最大高度为多少m?(3)当高尔夫球的高度到达5m 时，它飞行的水平距离为多少m ?课外拓展练习●A组基础练习1. 如图，一根粗细均匀的杠杆AB，支点在杠杆的一端A，力点在杠杆的另一端B，在距支点A0.lm处C挂着49kg重物，而杠杆本身每米重5kg，求杠杆使用起来最省力的AB长．2. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD/部分为一段抛物线，顶点G的高度为8m , AD和A 'D/是两根高为5.5m 的支柱．OA和OA/为两个方向的汽车通行区，宽都为15m，线段CD和C'D/为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.（1）求桥拱DGD/所在抛物线的解析式及线段CC/的长；(2)BE和B/E/为支撑斜坡的立柱，其高都为4m，相应的AB和A/B/为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和 A/B/的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4m，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7m．它能否从OA（或O/A/）区域安全通过？请说明理由．●B组提高训练3.小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成300, 450, 600方向推了三次，铅球推出后沿抛物线运动．如图所示，小明推铅球时的出手点距地面2m . 以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得出有关数据如下表：推针专球的方向与水平线的夹角300 450 600铅球运行所得到的抛物线解析式y=-0.06(x-3)2+2.5 y= (x-4)2+3.6 y=-0.22(x-3)2+4 估测铅球在最高点的坐标P1(3,2.5) P2(4, 3.6) P3(3, 4) 铅球落点到小明站立处的水平距9.5m m 7.3m离(1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填人表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．第8课时二次函数的应用（3）【知识要点】二次函数是刻划现实生活中某些情境的数学模型.课内同步精练●A 组基础练习1. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产的情况进行调查的基础上．对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，得到了以下图象：请你根据图象提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售价-成本）(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由．●B 组提高训练2. 如图，今有网球从斜坡OA 的点O 处抛出．网球的抛物路线的函数关系是2142y x x =-，斜坡的函数关系是12y x =，其中，y 是垂直高度（m ），x 是与点O 的水平距离（m ）. (l)网球落在斜坡的点A ，写出点A 的垂直高度，以及点A 与点O 的水平距离；(2)在图象中，标出网球所能达到的最高点B,并求OB 与水平线Ox 之间夹角的正切值．课外拓展练习●A组基础练习1. 金苹果商场的某种商品价格下降x成（1成=110），则销售量增px成（p为大于l的常数）.(1)当x在什么范围内取值时，售出的总金额有所增加？(2)当x为何值时，才能使出售出的总金额达到最大值？●B组提高训练2. 某高科技发展公司500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500 万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销瞥单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本一）为z（万元）(l)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(2)试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(3)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？第2章单元过关测试一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 ( )① a + b + c>0 ② a - b + c＜0 ③ abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0A. 5个B. 4个 C .3个 D. 2个2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.下列过原点的抛物线是 ( )A.y=2x2-1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2x2+x4.已知抛物线过A(-1, 0）和B (3, 0）两点，与y轴交于点C，且BC=32，则这条抛物线的解析式为（）A.y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-35.二次函数y= a (x+m)2-m (a≠0)无论m为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x上B. 直线y=x上C.y轴上D.x轴上6.如图，在直角三角形AOB中，ABOB，且OB=AB=3，设直线:l x t ，截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 ( )7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是244ac ba;④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题的个数有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 ( )二、填空题9.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是 .10.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为 .11.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .12.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是13.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .14.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数），当x取值x1,x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .三、解答题15.根据下列不同条件，求二次函数的解析式：(l）二次函数的图象经过A (1, l)，B（l, 7), C(2,4）三点；(2）已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 );(3）图象经过（-3,0),(l,0), (-l，4)三点．16.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题：(l)x取何值时，y随x的增大而减小？(2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0?(3)若x1＞x2＞x3＞1 时，比较y l, y2, y3的大小17.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0,0）和（1，6 ）两点？18.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形－边长为x（m) ，面积为S(m2）.(l）求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．19.某跳水运动员进行IO m跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）．在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(l)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．。

二次函数的图象和性质（1）教案

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象．二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象，能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来，就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象．在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________．例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向； (2)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ．（1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象；（2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值；（3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。

二次函数的图象(一)

第八节二次函数2ax y =的图象（一）【学习目标】1．了解二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，知道抛物线的有关概念．【重点、难点】重点：是二次函数2ax y =的图象和性质．难点：是根据图象概括二次函数2ax y =的性质．考点：1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数2ax y =的解析式．2．会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，并结合图象理解抛物线及其对称轴、顶点和开口方向等概念．3．了解二次项等系数a 对抛物线2ax y =形状的影响．有关简单的二次函数2ax y =的问题命题形式也比较灵活，一般有填空题，选择题和解答题．但在中考中出现的频率很高．【知识要点】1．二次函数的定义．一般地，如果()0,,2≠++=，a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数．例如13,2,32222+-=+=--=x y x x y x x y 等等，都是x 的二次函数．注意：（1）任何一个二次函数的解析式，都可以化成()0,,2≠++=，a c b a c bx ax y 是常数的形式，因此，把()0,,2≠++=，a c b a c bx ax y 是常数叫做二次函数的一般式．（2）二次函数()0,,2≠++=，a c b a c bx ax y 是常数中，y x ,是变量，c b a ,,是常量．自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于0的实数．因为0=a 是，则c bx ax y ++=2，就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若c y b ==则,0，这是一个常函数．（3）二次函数c bx ax y ++=2的结构特征是：等号右边是关于自变量x 的二次多项式．（4）二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了． 2．二次函数2ax y =的性质．二次函数()02≠=a ax y 的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值3．二次函数2ax y =的图象（1）二次函数2ax y =的图象是一条抛物线，其对称轴是y 轴，顶点在原点处，开口方向由a 的符号决定，当0>a 时，开口向上，抛物线在x 轴的上方（顶点在x 轴上），并向上无限延伸；当0<a 时，开口向下，抛物线在x 轴下方（顶点在x 轴上），并向下无限延伸.（2）抛物线2ax y =的开口的大小由a 决定.a 越大，抛物线的开口越窄；a 越小，抛物线的开口越宽.（3）二次函数2ax y =的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取四个点，由于关于y 轴对称的两个点横从标互为相反数，纵坐标轴相等，所以先计算y 轴右侧两个点的纵坐标，左侧对应写出即可； ②描点：先将y 右侧的两个点描出来，然后按对称关系找到y 轴右侧的两个对应点； ③连线：按一定顺序将这5个点（两对关于y 轴对称的点和原点）用平滑曲线连结起来．注意：这是“顺序”是指按自变量从小到大（或从大到小）的顺序，换句话说，就是从左到右或从右到左的顺序．【典型例题】例1．已知函数()422-++=m m x m y 关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？例2．已知()422-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）画出函数的图象．2ax y = 0>a向上（0，0） y 轴 0>x 时，y随x 增大而增大；0<x 时，y 随x 增大而减小.当0=x 时， 0=最小y .2ax y = 0>a向下（0，0） y 轴 0>x 时，y随x 增大而减小；0<x 时，y 随x 增大而增大.当0=x 时， 0=最大y.例3．函数()02≠=a ax y 的图象与直线32-=x y 交于点（1，b ），求（1）a 和b 的值；（1）求抛物线2ax y =的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（2）x 取何值时，二次函数2ax y =中的y 随x 的增大而增大；（3）求抛物线与直线2-=y 的两交点及顶点所构成的三角形的面积．例4.函数2kx y =和函数k kx y +=的图象，在同一坐标系中的图象大致如图中的（）.例5．正方形的周长是Ccm ，面积为2Scm ：（1）求S 与C 之间的函数关系式；（3）画出图象；（3）根据图象，求出21cm S =时，正方形的周长；（4）根据图象求出C 取何值时，24cm S ≥．例6．已知抛物线241x y =和直线1+=ax y ．（1）求证：不论a 取何值，抛物线与直线必有两个不同点；（2）设()()2211,,y x ，B y x A 是抛物线与直线的两个交点，设点p 为线段AB 的中点，且点p 的横坐标为221x x +，试用a 表示p 的纵坐标；【经典练习】1．在下列各式中y 是x 的二次函数的是（）．A 、12=+x xyB 、022=-+y xC 、22-=-ax yD 、0122=+-y x2．在同一坐标系中，作22221,2,2x y x y x y =-==的图象，它们共同物点是（）．A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上．B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下．C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点．D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点．3．若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为（）． A 、-1或3 B 、-1 C 、3 D 、无法确定 4．已知原点是抛物线()21x m y +=的最高点，则m 的范围是（）． A 、1-<m B 、1<m C 、1->m D 、2->mOxBOxy Cy OxDOyAx5．函数()n mx x n m y ++-=2是二次函数的条件是（）． A 、0,,≠m n m 且是常数 B 、n m n m ≠且是常数,, C 、0,,≠n n m 且是常数 D 、可以为任意常数n m , 6．已知二次函数2ax y -=下列说法不正确的是（）. A 、当0,0≠>x a 时，y 总取负值B 、当0,0<<x a 时，y 随x 的增大而减y 小C 、当0<a 时，函数图象有最低点，即y 有最小值D 、当0<x 时，2ax y -=()0≠a 的对称轴是y 轴7．下列四个选项中，哪一个是函数()02>+==ab b ax y ax y 与的图象（）.8．已知抛物线2ax y =与直线1+=kx y 交于两点，其中一点坐标是（4,1），求另一点坐标．9．如图，点P 是抛物线2x y =上在第一象限内的一个点，点A 的坐标是（30,）．（1）令点P 的坐标为（y x ,），求△OPA 的面积S 与y 的关系式；（2）S 是y 的什么函数？S 是x 的什么函数？10．函数a x a x a y a +-++=+)3()1(22．（1）当a 取什么值时，它为二次函数；（2）当a 取什么值时，它为一次函数．【课后作业】1．若()()222132m x m x m m y +-+--=是x 的二次函数，则m 为．2．已知函数()m m x m y ++=21是二次函数，其图象开口向下，则m = ，顶点在，x0时，y 随x 增大而增大，x 0时，y 随x 减小而减小．3．函数()22x y -=的图象是线，顶点坐标是，对称轴是．图象的开口向；当x = 时，函数有最值；在对称轴左侧，y 随x 增大而，在对称轴右侧，y 随x 增大而．4．函数23x y =与直线3+=kx y 的交点为（2，b ），则=k ，=b ．5．已知函数抛物线()21x m y -=，且直线m x y -+=33，经过一、二、三象限y ，则m 的范围是． 6．等腰直角三角形的斜边为x ，将此三角形的面积S 表示为x 的函数，并画出图象．OxyAOxyBOxCOxyD。

九年及数学中考专题(数与代数)-第十九讲《二次函数(1)》课件(北师大版)

四.典型例题
解：(1)配方，y=－0.25(x2－4x+4－4)+2
=－0.25(x－2)2+3
∴图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，3）.
(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位，顶点
成为(0，1)，形状不变，得到函数y=－0.25x2+1的图象.
∵△=12－4(－)·2=3＞0，
∴图象与x轴交于两点，解方程－0.25x2+x+2=0
第十九讲二次函数的图象与性质（1）
一.课标链接
二次函数的图象与性质二次函数是中学数学中的第三类基本函数，是数形结合的典型之一，是中学数学的知识重点，它与一元二次方程和一元二次不等式联系紧密，掌握二次函数的基本概念和图象性质，能够解决相关问题是中考的测试要点之一.题型有填空、选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多.
得
，
所以a 1
.
3 y 1 x 42 3 1 x2 8 x 7
3
3 33
四.典型例题
方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为
x1=1，x2=7．可设两根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7，即有y=a(x-1)(x-7)，
把点（4，－3）代入上式得 -3=a(4-1)(4-7)-3 ，
此题可用以下四种方法求出解析式. 知识考查：求解二次函数的解析式的的方法.
四.典型例题
解：方法一：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，根据题意以及对称性，可得，抛物线通过(4，-3)、 (1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的
三元一次方程组 16a 4b c 3 ，解得

二次函数1图象与性质

二次函数 1知识点结构：1、二次函数的定义；2、二次函数的图象及性质。

知识点一二次函数的定义二次函数定义：形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．例题：例1 下列函数是二次函数的有（）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y ; (6) y=2(x+3)2－2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个例2 若()mmx m m y -+=22是二次函数， m=______。

例3 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式。

课堂练习：1、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x（3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝x ＋1x2、函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．当m__________时，该函数为二次函数；当m__________时，该函数为一次函数．3、在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13 时，x 的值．知识点二二次函数的图象与性质1、.函数y=ax 2的图象与性质2、函数y＝ax2＋k的图象与性质234a＞0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而增大；x____时，y随x 的增大而减小； a ＜0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而减小；x____时，y随x 的增大而增大；备注：｜a ｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜越小，抛物线的开口越________． 5、函数图象的平移规律： “左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例题：例1 足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）AB C D例2 若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过（） A. P 1(-1，-2 ) B. P 2(-l, 2 ) C.P 3( l, 2) D.P 4(2, 1)例3 已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y= —x 2的图象上，则（） A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3例4 将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为______________．例5 完成下列表格：y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）例6 如图 ① y ＝ax 2② y ＝bx 2③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．___________________________________例7 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．例8 函数y=-3(x-1)2+1是由y=-3x 2向平移单位，再向平移单位得到的.其对称轴是，顶点坐标是，图像开口向，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 .例9 一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （2,-8). (l ）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象；(3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。

二次函数知识点以及对应例题(一)

第二十二章二次函数的图象和性质（一）知识点一：二次函数的概念一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数. 其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、和常数项. 注意：确定二次函数的“三要素”（1）含有自变量的代数式必须是整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于0. 示例：二次项系数是1y x 2－x 4 常数项是－4一次项系数是－1任何一个二次函数的解析式都可化成y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的形式. 因此，把y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）叫做二次函数的一般形式. 二次函数也有特殊形式：1. 只含二次项，即y ＝ax 2（a ≠0，b ＝0，c ＝0）；2. 不含一次项，即y ＝ax 2＋c （a ≠0，c ≠0，b ＝0）；3. 不含常数项，即y ＝ax 2＋bx （a ≠0，b ≠0，c ＝0）【例1】下列函数中，一定是二次函数的是（） A. 22x xy -=B. y ＝3x 2－(3x 2＋2x －1)C. y ＝－x 2＋2xD. y ＝ax 2＋bx ＋c【例1】【解析】判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断：（1）看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数；（2）当它的等号两边都是整式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二次式，那就可能是二次函数，否则就不是；（3）看它的二次项系数是否为0，如果不为0，那就是二次函数. 选项A ：22y x x=-中，等号的右边不是整式，所以A 错误；选项B ：y ＝3x 2－(3x 2＋2x －1)化简后是y ＝－2x ＋1，不含有自变量的二次式，所以B 错误；选项D ：y ＝ax 2＋bx ＋c ，二次项系数有可能为0，所以D 错误；选项C ：y ＝－x 2＋2x ，等号两边都是整式，含有自变量的二次式，且二次项系数不是0，所以是二次函数，故选C.【答案】C 【巩固】1. 函数()1222+++=+x x m y mm 是二次函数，则m 的值为（）A. －2B. 0C. －2或1D. 12. 已知二次函数y ＝1－3x ＋5x 2，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（） A. a ＝1，b ＝－3，c ＝5 B. a ＝1，b ＝3，c ＝5 C. a ＝5，b ＝3，c ＝1 D. a ＝5，b ＝－3，c ＝1 【巩固答案】 1. D 2. D知识点二：二次函数y ＝ax 2的图象和性质 1. 抛物线二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c . 抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.2. 用描点法画函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象的一般步骤（1）列表列表时，自变量x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单，描点方便为原则.对于画函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象时，一般先取原点（0，0），然后在y 轴两侧各取2个或3个点，注意对称取点. （2）描点一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5个点，用“五点法”快速准确地作出函数图象，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.在平面直角坐标系内，画函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象时，以自变量x 的值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，一般先描出y 轴一侧的几个点，再根据对称性找出y 轴另一侧的几个点. （3）连线按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸.3. 二次函数y ＝ax 2的图象和性质二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象与性质y ＝ax 2a ＞0 a ＜0图象开口方向开口向上开口向下顶点坐标（0，0）对称轴y 轴（或x ＝0）增减性在对称轴的左侧，即x ＜0时，y 随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x ＞0时，y 随x 的增大而增大在对称轴的左侧，即x ＜0时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即x ＞0时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝0时，y 最小值＝0当x ＝0时，y 最大值＝0注意：1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y 随x 的增大而增大，“下坡路”就是y 随x 的增大而减小.2. 在二次函数y ＝ax 2（a ≠0）中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a |的大小决定抛物线的开口程度，|a |越大，抛物线的开口越小，反之，|a |越小，抛物线的开口越大. |a |相等说明抛物线的开口大小相同.3. 二次函数y ＝－ax 2（a ≠0）与y ＝ax 2（a ≠0）的图象关于x 轴对称.【例2】在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数y ＝4x 2，241x y =，y ＝－4x 2与241x y -=的图象并回答下列问题：x … －1 0 1 … y ＝4x 2... (24)1x y =… … y ＝－4x 2……y xOOy x241x y -=… …（1）抛物线y ＝4x 2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是；抛物线y ＝－4x 2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是；抛物线y ＝4x 2与y ＝－4x 2的图象关于轴对称.（2）若点（－5，y 1）和点（－3，y 2）在抛物线y ＝4x 2上，则y 1与y 2的大小关系是；若点（－5，y 1）和点（－3，y 2）在抛物线y ＝－4x 2上，则y 1与y 2的大小关系是 . （3）抛物线241x y =，当x 0时，抛物线上的点都在x 轴上方，当x 0时，抛物线从左向右逐渐上升，它的顶点是最点；抛物线241x y -=，当x 0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最点.【例2】【解析】按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象，再根据函数图象即可得出每个函数图象的性质. 【答案】解：列表如下：x … －1 0 1 … y ＝4x 2 (4)0 4 (2)41x y = (14)0 14… y ＝－4x 2… －40 －4… 241x y -=…14- 014-…连线：用平滑的曲线连接，如图所示：（1）向上 y 轴（0，0）；向下 y 轴（0，0）； x .（2）y 1＞y 2 ； y 1＜y 2 .（3）≠ ＞低；＞高. 【巩固】1. 函数()222--=mx m y 是二次函数，则下列关于它的图象说法：①开口向上；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点坐标为（0，0）；⑤顶点坐标为（0，－4）；⑥顶点坐标为（－4，0）；⑦有最高点；⑧有最低点. 其中正确的有（） A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 如图所示的四个二次函数图象分别对应①y ＝ax 2，②y ＝bx 2，③y ＝cx 2，④y ＝dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 . （用“＞”连接）3. 已知抛物线y ＝ax 2（a ＞0）过A （－2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A. y 1＞0＞y 2B. y 2＞0＞y 1C. y 1＞y 2＞0D. y 2＞y 1＞0【巩固答案】 1. B2. a ＞b ＞d ＞c3. Cxy y ＝－14x ²y ＝14x ²y ＝－4x ²y ＝4x ²–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5–6–7–812345678OOxy④③②①知识点三：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1. 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象形状相同，只是位置不同. 抛物线y ＝ax 2＋k 的图象可由抛物线y ＝ax 2的图象沿y 轴上（下）平移|k |个单位长度得到.（1）当k ＞0时：（2）当k ＜0时：2. 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质y ＝ax 2＋k （a ≠0） a ＞0 a ＜0 图象k ＞0 k ＜0k ＞0 k ＜0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（0，k ）对称轴 y 轴（或x ＝0）增减性当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大. 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.最值当x ＝0时，y 最小值＝k当x ＝0时，y 最大值＝k2（1）它的开口向，对称轴为，顶点坐标为；（2）把抛物线y ＝2x 2 可得抛物线y ＝2x 2－3；（3）若点（－4，y 1），（－1，y 2）在抛物线y ＝2x 2－3上，则y 1 y 2（填“＞”“＜”或“＝”）.【例3】【解析】（1）在y ＝2x 2－3中，a ＝2＞0，k ＝－3，所以该抛物线开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，－3）.（2）y ＝2x 2－3的图象与y ＝2x 2的图象的形状、开口方向都相同，只是位置不同，抛物线y ＝2x 2－3是由抛物线y ＝2x 2向下平移3个单位长度得到的.（3）点（－4，y 1），（－1，y 2）都在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，由－4＜－1，可知y 1沿y 轴向下平移k 个单位长度沿y 轴向上平移k 个单位长度抛物线y ＝ax 2＋k抛物线y ＝ax2抛物线y ＝ax2抛物线y ＝ax 2＋k沿y 轴向下平移k 个单位长度沿y 轴向上平移k 个单位长度yOxyO xOyxOyx＞y 2. 【答案】（1）上 y 轴（0，－3）；（2）向下平移3个单位长度；（3）＞. 【巩固】1. 在同一坐标系中，作y ＝3x 2＋2，y ＝－3x 2－1，231x y 的图象，则它们（） A. 都关于y 轴对称 B. 顶点都在原点 C. 都开口向上 D. 以上都不对2. 将抛物线y ＝x 2向下平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（） A. y ＝x 2＋2B. y ＝x 2－2C. y ＝(x －2)2D. y ＝(x ＋2)23. 二次函数y ＝ax 2＋c （a ≠0）中，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，它们对应的函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为（） A. a ＋cB. a －cC. －cD. c【巩固答案】 1. A 2. B 3. D知识点四：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质 1. 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2图象间的关系二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的图象形状相同，只是位置不同. 抛物线y ＝a (x －h )2可由抛物线y ＝ax 2沿x 轴向右（左）平移|h |个单位长度得到.（1）当h ＞0时：（2）当h ＜0时：2. 二次函数y ＝a (x －)2的图象和性质y ＝a (x －h )2（a ≠0）a ＞0a ＜0抛物线y ＝ax2沿x 轴向左平移h 个单位长度沿x 轴向右平移h 个单位长度抛物线y ＝a (x －h )2抛物线y ＝a (x －h )2沿x 轴向左平移h 个单位长度沿x 轴向右平移h 个单位长度抛物线y ＝ax 2图象h ＞0 h ＜0h ＞0 h ＜0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（h ，0）对称轴直线x ＝h增减性当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大. 当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小.最值当x ＝h 时，y 最小值＝0当x ＝h 时，y 最大值＝0【例4】已知二次函数()222--=x y . （1）画出函数图象，确定抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴.（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【例4】【解析】（1）按照列表、描点、连线的步骤画出图象，再根据函数图象确定抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴即可.（2）由（1）所作图象观察图象可知：对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；对称轴右侧，y 随x 的增大而减小. 【答案】解：（1）先列表：x… －2 0 2 4 6 … ()2221--=x y …－8－2－2－8…连线：用平滑的曲线连接，如图所示：h yOx Oy xh由函数图象知：抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x ＝2；（2）当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；当x ＞2时，y 随x 的增大而减小. 【巩固】1. 关于x 的函数y ＝－2(x －3)2与y ＝2(x －3)2的性质中，下列说法错误的是（） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同D. 当x ＜3时，y ＝2(x －3)2随x 的增大而减小；y ＝－2(x －3)2随x 的增大而增大 2. 抛物线y ＝x 2＋1经过平移得到抛物线y ＝(x ＋1)2，平移的方法是（） A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【巩固答案】 1. A 2. A知识点五：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质 1. 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2图象间的关系二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象是一条抛物线，可由二次函数y ＝ax 2的图象向右（左）平移|h |个单位长度，再向上（下）平移|k |个单位长度得到.8yx-376-8-7-6-5-4-3-1-2O-2-112345y ＝－12x －2()2由二次函数y ＝ax 2的图象得到y ＝a (x －h )2＋k 的图象的具体平移过程如下：注意：抛物线y ＝a (x －h )2＋k 左、右平移时，只有常数h 发生变化；上、下平移时，只有常数k 发生变化.活学巧记：函数平移规律，左加右减自变量，上加下减常数项. 2. 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质函数y ＝a (x －h )2＋k （a ＞0）y ＝a (x －h )2＋k （a ＜0）图象h ＞0，k ＞0 h ＜0，k ＞0h ＜0，k ＜0 h ＞0，k ＜0h ＞0，k ＞0 h ＜0，k ＞0h ＜0，k ＜0 h ＞0，k ＜0开口方向开口向上开口向下顶点坐标（h ，k ）对称轴直线x ＝h增减性在对称轴左侧，即当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧，即当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大.在对称轴左侧，即当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，即当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小.最值当x ＝h 时，y 最小值＝k当x ＝h 时，y 最大值＝k拓展：从y ＝a (x －h )2＋k （a ≠0）中可以直接看出抛物线的顶点坐标是（h ，k ），所以通常把它称为二次函数的顶点式.【例5】在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是（） A. y 的最小值为1y ＝ax 2＋k y ＝ax 2向右(h ＞0)或向左(h ＜0)平移|h |个单位长度y ＝a (x －h )2向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度 y ＝a (x －h )2＋k 向右(h ＞0)或向左(h ＜0)平移|h |个单位长度 O yh x yhO x yO h xhyOxyOhxyO h xhOy xO yhxB.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C.当x＜2时，y的值随x的值增大而增大，当x≥2时，y的值随x的值增大而减小D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【例5】【解析】对于二次函数y＝(x－2)2＋1，∵a＝1＞0，∴二次函数开口向上，∵h＝2，k＝1，∴顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，函数y有最小值为1，所以A、B选项正确；当x＜2时，y的值随x的值增大而减小，当x＞2时，y的值随x的值增大而增大，所以C选项错误；由平移规律左加右减，上加下减知D选项正确，故选C.【答案】C【巩固】1.设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3(x＋1)2＋4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为.2.在平面直角坐标系上，将二次函数y＝2(x－1)2－2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则其顶点为（）A.（0，0）B. （1，－2）C. （0，－1）D. （－2，1）【巩固答案】1.y1＜y2＜y32. C。

1初中二次函数知识点总结(全面).docx

九年级二次函数知识点学生姓名：（一）、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y = ax 2+bx^-c （a,b,c 是常数，心0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数（心（），而久c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y = ax 2+bx + c 的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2・（2） a.b.c 是常数，。

是二次项系数，b 是一次项系数，c •是常数项.（二）、二次函数y = ax 2+bx^c 的性质1・当小时，抛物线开口向上，对称轴为匸缶顶点坐标为士罟当X 」时，y 随X 的增大而减小；当兀＞-2时，y 随X 的增大而增大；当 2a 'x = —时， 2a大而减小；当x=-A 时，歹有最大值色』la 4a（三）、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y = ax 2 -\-bx + c （ a 9 b , c 为常数，心0）;2. 顶点式:y = a （x-h ）2 +k （ a 9 h 9 R 为常数,aHO ）;3. 两根式： y = a （x-x ｝）（x-x 2）（。

工0,召， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）・注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2-4ac ＞0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习2-当。

＜°时’抛物线开口向下，对称轴为…存顶点坐标为y 有最小值害 4ac - b八4a 』b 2a 时, y 随兀的增大而增大；当x 〉_刍时,1 •下列关系式中，属于二次函数的是（X为自变量）（）2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是（）A. (1, -4)B. (-1, 2)C. (1, 2)3. 抛物线y=2 （x-3）2的顶点在（）限（A.B.C.D.如图所示，已知二次函数y 二ax'+bx+c （aH0）的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点A （m, 0）和点B,且m>4,那么AB 的长是（）8.若一次函数y 二ax+b 的图象经过第二.三、四象限，贝IJ 二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是（）D. (0, 3) A.第一象限B.第二象限C. x 轴上D. y 轴上 4. 抛物线的对称轴是（ A. x=-2 B. x=2 C. x=-4 D. x=45. 已知二次函数y 二ax'+bx+c 的图象如图所示, 则下列结论中，正确的是（）A. ab>0, c>0B. ab>0, c<0C. ab<0, c>0D. ab<0, c<06.二次函数y=axW+c 的图象如图所示，则点吩）在第— A. 4+mB. mC. 2m~8D. 8_2m7. yD9、抛物线"° 一疔+ 3的对称轴是( )A.直线x = -3B.直线x = 3C.直线x = -2D.直线x = 210.把抛物线/ = -2^^+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A Z = -2(x-l),+6B , =C y =—20+02+6 D，= _20十1)丁_6二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？(1)y-x2 =0 (2) y = (x + 2)(兀_2)_(兀_1)2(3) y = %2 4-丄(4) y = y/x2 +2x-3X2、二次函数y = -2(x-3)2-5的图象开口方向________ ,顶点坐标是—，对称轴是—;3、当k为何值时，函数)y伙-1)*"'+1为二次函数？画出其函数的图象.3.函数y = x(2-3x),当x为__________ 时，函数的最大值是 _________ :4.二次函数y = --x2+2x,当兀 _______________ 时，y<0;且y随x的增大而减小；5.二次函数y=x-2x+l的对称轴方程是______________ ・6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y= (x-h)2+k的形式，贝!j y二_____ ・7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________ .8.抛物线y=x2+bx+c,经过A(-l, 0), B(3, 0)两点，则这条抛物线的解析式为.9.二次函数>J = -x2-2x的对称轴是________ ・10二次函数y = 2x2-2x-l的图象的顶点是 _________ ,当x ______ 时，y随x的增大而减小.11抛物线y = a/-4x-6的顶点横坐标是-2,贝I J G二______ •12、抛物线y = ax2 3 + 2x + c的顶点是(-,-1),贝！Jo、c的值是多少?2 " 513.已知抛物线尸■一X2-3X--3 2(1 )写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2 )求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；(3 )画出草图(4)观察草图，指出x为何值时，y>0, y=0, yVO.14、如图，已知二次函数y = -L x^ +hx + c的图象经过A (2, 0)、B (0, -6)两点。

二次函数(一)

二次函数图象(1)

二次函数(1)

二次函数(一)

2.2 二次函数的图象(一)

第二十四节二次函数图象与性质-(一)

二次函数及其图象和性质(一)教案

二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课

二次函数的图像与性质(1)

二次函数(1)PPT课件(人教版)

第十二课时二次函数(一)

九年级数学 第二章 二次函数（一）

二次函数的图象和性质（1）教案

二次函数的图象(一)

九年及数学中考专题(数与代数)-第十九讲《二次函数(1)》课件(北师大版)

二次函数1图象与性质

二次函数知识点以及对应例题(一)

1初中二次函数知识点总结(全面).docx

九年级数学第二章二次函数（一）