材料力学(II)第二章 材料力学 孙训方

材料力学(II)第二章材料力学孙训方

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

第二章考虑材料塑性的极限分析__167;2-1 塑性材料简化的应力-应变曲线

__167;2-2 拉压杆系的极限荷载 __167;2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩

__167;2-4 梁的极限弯矩 __183; 塑性铰

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

__167;2-1 塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时

的应力—应变曲线，bc表示

be b s

卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料

p

c

在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计

o

p e(a)

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b 所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种

材料称为弹性─ 理

想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的 -g曲线简化为图c所示的曲线。

s s(b)3

b

s

gs(c)

g

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

__167;2-2 拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。

B

C

s

A s

F(a)4

(b)

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

例2-1 图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同， - 关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试

分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。

l

(a)5

(b)

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

解： (1) 应力1. 当F 较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静

定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为

1 2

A 1 2 cos 3

F cos2

(1)

F 3 A 1 2 cos3

(2)

F

可见

3 1 2

(c)6

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

2. F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。 Fs 称为屈服载荷。令 3= s,F =Fs。由(2)式得

Fs s A 1 2 cos3

(3)

由于FN3=σsA,使超静

定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为

FN1 FN 2应力为7

Fs s A 2 cos (4)

Fs / A s 1 2 2 cos

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

3. 继续增加荷载，3杆的应力保持 3= s不变，1、2杆

的应力增加，直到1、2杆也发生屈服( 1= 2= s),整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 = s A,由结点A 的平衡方程得

Fu s A 1 2 cos 极限荷载和屈服荷载的比值为

(5)

Fu 1 2 cos Fs 1 2 cos3

当 =45__176;时，Fu/Fs=1.41,即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。8

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

(2) A点的位移 1. F=Fs时， 3= s ,3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为1

3

2

A l 2

l1

l3

s l3

s A l EA

(6)

A (d) 2. 继续增加荷载，3杆的应力 3= s保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A

点的位移为9

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

u l1

cos

EA cos 2

s Al

(7)

b a

外力F和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。F_lt;Fs时，结构的刚

度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1, 2杆组成，所以Oa 和ab的斜率不同。 (e)

材料力学孙训方

材料力学Ⅱ 电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆 (例如，例2-1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成

为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧