最大公约数与最小公倍数应用

最大公约数与最小公倍数应用(一)

—、知识要点：

1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md, b=nd,并且(m,n)二1。例

如：(24,54) =6,24=4X6,54=9X6, (4,9)二1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且aXb=[a, b] X (a,b)o

例如：(18, 12) = , [18, 12]= (18, 12) X[18, 12] =

3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法

二、热点考题：

例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。(运用性质2)

练一练：甲数是36,屮、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。

例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。” 例3已知a 与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, Co 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12, 15]=60 的倍数。再由[a, b, c]二120 知，a 只能是60 或120。[a, c]=15, 说明c没有质因数2,又因为[a, b, c]=120=23X3X5,所以c=15o

练一练：已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。

例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。

习题四

1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。

2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。

3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为13,求这两个数。

4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。

5、已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。

6、已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432, 求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？

9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且AXB=42,求B。

10、已知A和B的最大公约数是31,且AXB=5766,求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3, 5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？

家庭练习

1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？

2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的儿个班, 每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？

3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？

4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。3、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪儿组？

例1用自然数a去除498, 450, 414,得到相同的余数，a最大是多少?

分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84<■ 所求数是(48, 36, 84) =12。

例2现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的

可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件''它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一立是1111的约数。因为1111=101X11,它的约数只能是1, 11, 101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111, 1111不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101, 101和909。所以所求数是101。

练习：

1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有儿个？

2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？

3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？

4、中、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人乂同时从出发点出发？

5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是13,这个两数各是多少？

6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分13秒和1分30

秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个

一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4. 5米，袋鼠每次跳2・75米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12. 375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？

【例6】（1） A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。A、B两数的最大公因数是多少？（2）屮乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,屮数是36,乙数是多少？

【例7】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，笫三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配儿个工人？

练习：

1.中数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数是多少？

2•—块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？

3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

4.有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学？

带余数的除法

询面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题•除此之外，例如：16-3=5- 1,即16二5X3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（bHO）,那么一定有另外两个整数q和r, O^r

当i-O时，我们称3能被b整除。

当r^O时，我们称a不能被b整除，：r为&除以b的余数，q为a除以b 的不完全商（亦简称为商）•用带余除式乂可以表示为"bp・y O^r

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数•解题可从带余除式入手分析。

解：•••被除数一除数二商…余数，

即被除数二除数X商+余数，

/•251=除数 X 商+41,

251-41二除数X商，

.*.210=除数X商。

7210=2X3X5X7,

A210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70 大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70o

例2用一个自然数去除另一个整数，商40,余数是16•被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少？

解：•••被除数二除数X商+余数，

即被除数二除数X40+16。

山题意可知：被除数+除数二933-40-16二877,

・•・（除数X40+16）+除数=877,

・•・除数X 41二877-16,

除数=8614-41,

除数二21,

•••被除数二21X40+16 二856。

答：被除数是856,除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期儿？

解：十月份共有31天，每周共有7天，

731=7X4+3,

・••根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

•••这年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，从3月17日作为笫一天开始往回数（即3月16日（第二天），15 S （第三天），…）的第1993天是星期儿？

解:每周有7天,19934-7=284 （周）•••5 （天人

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5 —个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。

这是一道古算题•它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物儿何？"

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五

树梅花卄一枝，七子团圆正半月，除白零五便得知・”意思是，用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加. 如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止•这样就可以得到满足条件的解•其解法如下：

方法1： 2X70+3X21+2X15二233

233-105X2=23

符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

方法2： [3, 7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。

例6 —个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。分析“除以5余3”即“加2后被3整除S同样邛余以6余4”即“加2后被6整除”。

解：[5, 6]-2=28,即28适合前两个条件。

想:28+[5, 6JX?之后能满足“7除余1”的条件？

28+[5, 61 X4=148, 148=21X7+1,

乂148V210二[5, 6, 7]

所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7 —个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。解：想：2+3 X?之后能满足“5除余3”的条件？

2+3X2二8 °

再想：8+[3, 5]X?之后能满足“7除余4”的条件？

8+[3, 5]X3=53o

・・・符合条件的最小的自然数是53。

归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法•当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

n解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8 —个布袋中装有小球若干个•如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5 个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？

解：2+[5, 7] X 1=37 （个）

•••37除以3余1,除以5余2,除以7余2,

•••布袋中至少有小球37个。

例9 69、90和125被某个正整数?;除时，余数相同，试求'的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1, 19除以2余1，

即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整除.

山此我们可以得到这样的结论：如果两个整数&和b,均被自然数m除，余

数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

1・

例9可做如下解答：

•・•三个整数被N除余数相同，

AN I (90-69),即N I 2b N I (125-90),即N I 35,

・・・N是21和35的公约数。

•••要求N的最大值，

•••N是21和35的最大公约数。

・・・21和35的最大公约数是7,

・・・N最大是7。

例6屮乙两数的乘积是2700,屮乙两数的最大公因数是15。屮乙两数各是多少?

练习

1、一张长方形纸，长72厘米，宽48厘米，把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？

2、当商取整数时，用某数去除410余5,去除242少1,去除550余10,这个数最大是多少？

3、两个数的和是836,其中一个数的末尾是0,如果把这个0抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？

4、两个数的最大公约数是6,最小公倍数是144,求这两个数是多少。

第13讲最大公约数与最小公倍数（二）

这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18, 12） =2x3=6, [18, 12]=2x3x3x2=36o 如

果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

(18, 12) x[18, 12]

=(2x3) x (2x3x3x2)

=(2x3x3) x (2x3x2)

=18x12o

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，

等于18与12的乘积。当把18, 12换成其它自然数时，依然

有类似的结论。从而得出一个重要结论：

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即,

(a, b) x[a, b]=axbo

例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。己知其中一个自然数是18,求另一个自然数。

解：由上面的结论，另一个自然数是(6x72) -18=24o

例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。”

改变以后的两个数的乘积是1x30=30,和是11。

30=1x30=2x15=3x10=5x6,

由上式知，两个因数的和是11的只有5x6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是

7x5=35 和7x6=42o

例3己知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, c。

分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12 与15的公倍数，即是[12, 15]=60的倍数。再由[a, b, c]=120 知，a只能是60或120o [a, c]=15,说明c没有质因数2, 又因为[a, b, C]=120=23X3X5,所以c=15o

因为a是c的倍数，所以求a, b的问题可以简化为：七

是60 或120, (a, b) =12, [a, b]=120,求a, bo ”

当a=60时，

b= (a, b) x[a, b]ma

=12x120^-60=24；

当a=120时，

b= (a, b) x[a, b]ma

=12x120^120=12o

所以a, b, c 为60, 24, 15 或120, 12, 15。

例4有甲、乙、丙三种溶液，分别重4；千克、3：千克和2专千克。现

6 4 9

要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克?

分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6, 4, 9]=36,三种溶液的重量都乘以36后，变为150, 135和80,

（150, 135, 80） =5o

上式说明，若三种溶液分别重150, 135, 80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150, 135, 80的1/36,所以每瓶最多装嗨埸（千克）°

在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，

称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：

（1）先将各个分数化为假分数；

（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；

（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；

⑷⑷卫即为所求。

a

例5求5|, 2|,岭的最大公约数。

解：先将各分数化为假分数宇，¥，辟，得到

Q o y

2 5 2 =（35, 21, 56）

' 6' ”8’[6, 8, 9] 72°

类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的

整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍]

求一组分数的最小公倍数的方法：

（1）先将各个分数化为假分数；

（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；

（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；⑷巻卩为所求。

b

例6狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳6专米，黄鼠狼每次跳

3 1

6話米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔甘米设有

一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个 跳了多远？

分析与解：狐狸掉进陷井时与起点的距离应是6：和詁的最小整数倍

2 1

,即钙和3土的最小公倍数。

.2 丄「56 71 [56, 7]

56 -

[6?5 計[厂 2]=_O^T =T =56 m 5 同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为

「63 7 [63, 7] 63 厂》 F 莎 r7T^T = T =31I （米），

所以狐狸掉进陷井时跳了灾十6|二9 （次）。

所以黄鼠狼掉进陷井时跳了 31 1/2-6 3/10=5 （次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了

6春 XX31£ （氷）。

3

[6io s

练习13

1. 将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍

数的乘积的形式。

2. 两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足

条件的自然数有哪几组？

3 •求下列各组分数的最大公约数:

5

6

4 •求下列各组分数的最小公倍数:

54 ；和2乍的乘积是否等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘

积?

&有甲、乙、丙三种溶液，分别重耳，2討吨千克。现要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？

7•有一块圆形绿地，周围种花卉，每隔琲种一株芙蓉，每隔4势

种

一株牡丹，每隔4+米种一株茶花，每隔2彳米种一株菊花。己知4种花卉神

于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。