《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念

一、实例

工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。 二、弯曲的概念：

受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：

受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。 五、弯曲的分类：

1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。 六、梁、荷载及支座的简化

（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。 （二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。 （三）、荷载的简化：

1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。 （四）、支座的简化：

1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁

静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图

一、内力的确定（截面法）：

[举例]已知：如图，F ，a ，l 。 求：距A 端x 处截面上内力。 解：①求外力

l

a l F Y l Fa

F m F X AY

BY A AX

)(F

, 0 , 00 , 0-=

∴==

∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力

x

F M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-=

=∴=∑∑ , 0)( , 0

∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩

1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

2. 剪力：F s ；构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。 二、内力的正负规定:

①剪力F s ：在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。

②弯矩M ：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 三、注意的问题

1、在截开面上设正的内力方向。

2、在截开前不能将外力平移或简化。 四、简易法求内力：

F s =∑F i （一侧） ， M=∑m i 。（一侧）。 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。 [例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。

解：（1）确定支座反力

65.48005.13120000312008000=⨯-⨯+⨯⨯⇒==⨯--+⇒=∑∑AY

B

BY

AY

F

M F F Y

⇒

)

(2900)(1500N F N F BY AY ==

（2）简易法求内力 1--1截面取左侧考虑：

)

.(26005.0800215005.08002)

(700800150080011m N F M N F F AY AY s =⨯-⨯=⨯-⨯==-=-=

2--2截面取右侧考虑：).(30005.129002

5

.15.112005.12

5

.15.11200)

(110029005.1120022m N F M N F BY s =⨯-⨯

⨯=⨯+⨯

⨯-=-=-⨯=

五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x 的函数式。

Fs=Fs(x ）——剪力方程 ；M=M(x) ——弯矩方程

qx x F s -=)( )0(l x ≤；22

1

)(qx x M -= )0(l x ≤

注意不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。

六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。 七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。

1、建立直角坐标系，

2、取比例尺，

3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。 八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。

2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。

3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。

4、确定最大的剪力值、弯矩值。 例：如图所示。 解：1、支反力

l

F F

Y l Fa F m AY

BY A b , 0 , 0=∴==∴=∑∑ 2、写出内力方程 AC 段：F L

b

F x F AY s =

=)(1 )0(1a x ； 11)(Fx L

b

x M =

)0(1a x ≤≤ BC 段：F L

a

F x F BY s -=-=)(2 )0(2b x ；

222)(Fx L a

x F x M BY == )0(2b x ≤≤

3、根据方程画内力图

讨论——C 截面剪力图的突变值。

集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。（集中力 F 实际是作用在△X 微段上）。

集中力偶作用点处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。

§5—3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用

一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系

1、支反力：2

ql F F BY AY == 2、内力方程：qx ql x F s -=

21

)( )0(l x ； 22

1

21)(qx qlx x M -= )0(l x ≤≤

3、讨论：

)(21

)(x F qx ql dx x dM s =-= )()(x q q dx

x dF s =-= 对dx 段进行平衡分析，有：

[]0)(d )(d )()(,0=+-+=∑x F x F x x q x F Y s

s

s

)(d d )(x F x x q s =，即

()()x q x

x F s =d d

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。

0)](d )([)())(d (2

1

)d (, 0)(2=+-++=∑x M x M x M x x q x x F F m s

i A )(d )

(d x F x

x M s = 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

有：

()()x q x x F s =d d ；)(d )(d x F x x M s =；)(d )

(d 2

2x q x x M =