《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学 第四五章弯曲内力应力
a
13 RB qa 6 5 R A qa 6
Q
5/6 qa2
M
1/6
13/72
7/6
3/6
4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q A
a a
3qa 2
m qa2
B
C
qa 2
2a
qa
3qa 2
qa 2
a
qa 2
qa2 2
qa2
q A
P=qa
B A
q
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
11 2 qa 8
y E E
A
y(
E
y )dA
E
A
y 2 dA M
令 EI z
I z y 2 dA
A
M
抗弯刚度
M 或 EI z
1
My Iz
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
例5-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
中 性 轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
中性层与横截面的交线。
2
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x 的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）
材料力学教案 第5章 弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
10+第五章++弯曲内力——材料力学课件PPT
一般性步骤 对应关系 快速画法
15
第五章 弯曲内力
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
16
第五章 弯曲内力
F
梁的外力内力相同
(1)
梁的横截面积相同
F
(1)与(2)两种情况 那种情况对梁承
qa
a/2 +
A
- B-
C
qa
A
B-
C
qa2 5qa2/4 qa2
11
第五章 弯曲内力
例：已知弯矩图， 试画载荷图。
2qa qa
解：
1. 根据剪力图定集中与分布力 2. 根据弯矩图的跳跃值定集中
与分布力偶。
思考：是否能唯一确定载
a
a
a
qa
荷图的约束形式？
剪力图
2qa2
3 qa2 2
qa2 qa2
a
a
a
弯矩图
12
第五章 弯曲内力
两种特殊问题
例：利用微积分关系画 剪力弯矩图
3 qa2 2
A
qa q
思考： 1. 如何计算支座反力？
B
a
a
3 qa
1 qa
2
(a)
2
2. 计算支座反力后，利用
Fs
3 qa 2
1 qa 2
微积分关系画图时，是
x
否还要考虑中间支座？
3. 载荷作用在梁间铰上、 M 铰链左侧梁端，铰链右
1 qa 2 (a1)
1 qa2
8
x
侧梁端，剪力、弯矩图
有无区别？
3 qa2 2
(a2)
材料力学第五章弯曲内力
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
弯曲内力与弯曲应力
21
五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。 Fs=Fs(x）————剪力方程 M=M(x) ————弯矩方程 q
Fs ( x) qx
A L B
(0 x l )
x
1 2 M ( x ) qx (0 x l ) 2
注意：不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。 7
五、弯曲的分类：
1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分—— 有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
1
1 a
2 2
q
解（1）确定支座反力（可省略） （2）截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
b
图（a） qL A M1 x1 Fs1
Y 0 qL F
Fs1 qL
s1
0
m
A
( Fi ) 0 qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
24
[例] 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。 F 解：①求支反力 A MA L B FAY F ; M A FL FAY Fs(x) X F ②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
(0 x l )
材料力学第5章弯曲应力
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学第五章
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
5章弯曲应力及弯曲强度
第5章弯曲应力及弯曲强度
5.1 平面弯曲的概念和实例 弯曲： 弯曲： 以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 的变形形式。 a) 外力特征 外力特征: 受横向荷载的作用， 受横向荷载的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. 直于杆轴 b) 变形特征 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 杆件的轴线由直线变为曲线 以弯曲变形为主要变形的杆件. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件
x M(x)
5.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 图示简支梁受力F作用 试作此梁的内力图。 作用， 例 5-4 图示简支梁受力 作用，试作此梁的内力图。
a A C RA
b F L
b B L RB
计算约束反力. 解：①计算约束反力
a b RB = F RA = F L L 写出内力方程. ②写出内力方程 AC段 AC段： Fs1(x) = RA = b F L b M1(x) = RA ⋅ x = Fx L CB段 CB段： a Fs2 (x) = −RB = − F L a M2 (x) = RB ⋅ (L − x) = F(L − x) L
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
• 正负号规定： 正负号规定： M──使梁下部受拉为正， M──使梁下部受拉为正， 使梁下部受拉为正 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 Fs──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 ──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 使脱离体顺时针转为正 ──拉为正 压为负。 拉为正， FN──拉为正，压为负。 Fs 、FN图正值绘在上侧，并标明正负号。 图正值绘在上侧，并标明正负号。 • 阴影线规定： 阴影线规定： 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。
材料力学第五章
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
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第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
2. 剪力：F s ；构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。
二、内力的正负规定:①剪力F s ：在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
②弯矩M ：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
三、注意的问题1、在截开面上设正的内力方向。
2、在截开前不能将外力平移或简化。
四、简易法求内力：F s =∑F i （一侧） ， M=∑m i 。
（一侧）。
左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。
解：（1）确定支座反力65.48005.13120000312008000=⨯-⨯+⨯⨯⇒==⨯--+⇒=∑∑AYBBYAYFM F F Y⇒)(2900)(1500N F N F BY AY ==（2）简易法求内力 1--1截面取左侧考虑：).(26005.0800215005.08002)(700800150080011m N F M N F F AY AY s =⨯-⨯=⨯-⨯==-=-=2--2截面取右侧考虑：).(30005.1290025.15.112005.125.15.11200)(110029005.1120022m N F M N F BY s =⨯-⨯⨯=⨯+⨯⨯-=-=-⨯=五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x 的函数式。
Fs=Fs(x ）——剪力方程 ；M=M(x) ——弯矩方程qx x F s -=)( )0(l x ≤；221)(qx x M -= )0(l x ≤注意不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。
七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。
1、建立直角坐标系，2、取比例尺，3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。
八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。
2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。
3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。
4、确定最大的剪力值、弯矩值。
例：如图所示。
解：1、支反力lF FY l Fa F m AYBY A b , 0 , 0=∴==∴=∑∑ 2、写出内力方程 AC 段：F LbF x F AY s ==)(1 )0(1a x ； 11)(Fx Lbx M =)0(1a x ≤≤ BC 段：F LaF x F BY s -=-=)(2 )0(2b x ；222)(Fx L ax F x M BY == )0(2b x ≤≤3、根据方程画内力图讨论——C 截面剪力图的突变值。
集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。
（集中力 F 实际是作用在△X 微段上）。
集中力偶作用点处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。
§5—3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：2ql F F BY AY == 2、内力方程：qx ql x F s -=21)( )0(l x ； 22121)(qx qlx x M -= )0(l x ≤≤3、讨论：)(21)(x F qx ql dx x dM s =-= )()(x q q dxx dF s =-= 对dx 段进行平衡分析，有：[]0)(d )(d )()(,0=+-+=∑x F x F x x q x F Y sss)(d d )(x F x x q s =，即()()x q xx F s =d d剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
0)](d )([)())(d (21)d (, 0)(2=+-++=∑x M x M x M x x q x x F F m si A )(d )(d x F xx M s = 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
有：()()x q x x F s =d d ；)(d )(d x F x x M s =；)(d )(d 22x q x x M =二、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。
2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。
（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。
（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。
3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。
4、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。
5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、集中力偶作用的截面。
三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图四、简易法作内力图法（利用微分规律）: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
基本步骤：1、确定支座反力；2、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；3、确定控制点内力的数值大小及正负；4、描点画内力图。
控制点：端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
[例] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：1、确定支反力（可省略）223;0qa m F Y ==2、画内力图左侧段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线右侧段：剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。
左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。
右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。
§5—4 按叠加原理作弯矩图一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。
即在弹性限度内满足虎克定律。
二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
[例]按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。
四、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下——Fs 图反对称，M 图对称；对称结构在反对称载荷作用下——Fs 图对称，M 图反对称。
§5—5 平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。
3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不能有转动）。
用填角表示，以与铰支节点区别。
4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。
平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。
特点：刚架各杆的内力有：F s、M、F N。
二、平面刚架内力图规定：弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。
四、平面曲杆内力图规定：弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。
要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。
剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
[例] 试作图示刚架的内力图。
弯曲内力小结一、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
二、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
三、弯曲内力的确定1、内力的正负规定:①剪力Fs ：:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
②弯矩M ：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
2、内力的计算：（1）、截面法——截开；代替；平衡。
注意的问题：a 、在截开面上设正的内力方向；b 、在截开前不能将外力平移或简化。
（2）、简易法求内力：（重点）F s =∑F i （一侧） ， M=∑m i （一侧）。
左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
四、剪力方程、弯矩方程：F s =F s (x ）——剪力方程；M=M(x ——弯矩方程注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
五、 剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系（难点）：()()x q x x F s =d d ；)(d )(d x F xx M s =；)(d )(d 22x q xx M = 六、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线。