平方根和算术平方根
平方根与算数平方根——区别与联系
解：
x 25
2
解：
x 81 0
2 2
x 25 x 5
x 81 x 81 x 9
2.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由 120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 多少？
解：设每块地砖的边长为a米。
答：每块地砖的边长为0.3米。
在实际问题 中，利用平方 根的知识去解 决问题时，一 定要注意未知 数的实际意义！
0的平方根也是0 没有平方根 开平方
负 数
求法 表 示
被开方 数a的取 值范围
Hale Waihona Puke a，其中a是被开方数 ，2是根指数（省略）
a≥0
a≥0
例题解析
1、求下列各式的X。
本题实际是利用了平 方根的定义解方程，为 我们后续学习开平方法 解一元二次方程内容奠 定了基础！
(1) x 25
2
(2) x 81 0
负数没有算术平方根.
平方根的概念及性质
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：a的平方根表示为± 其中a叫做被开方数。
a （读做“正、负根号a” ）
练一练：口算下列各数的平方根： 正数有正负两个平方根,它们互为相反数; 性质 (1)9 (2)1.21 (3) 0 (4) -3 0的平方根是0;
负数没有平方根.
归纳总结：平方根和算术平方根的异同点。
算术平方根
定 义
如果一个正数的平方等于a，那么 这个正数就叫a的算术平方根。
平方根
如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫a的平方根。
性 质
正 有一个算术平方根并且还是正 有两个平方根，它们互为相 反数 数 数 0
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(教师版含解析)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
平方根与算术平方根的学习要点
平方根与算术平方根的学习要点平方根是一门非常重要的数学知识，它在日常生活中以及科学技术中都有着广泛的应用。
今天我们就来聊聊平方根，包括它的定义、数学特性以及计算方法。
首先，什么是平方根？平方根是一类幂函数，可以表示平方根的数学记号是“√”，它的定义是指某个数a的p次幂（p≥2）等于一个数M时，a称为M的p次平方根，写作M^1/p 。
例如，数字8的平方根就是2，因为2^2=8，因此8的平方根是2。
其次，复平方根和算术平方根的区别。
按照参数的不同可以将平方根分为两种：\复平方根和算术平方根。
复平方根的参数中可以有复数，而算术平方根的参数只能有实数。
另外，算术平方根一定是正的，也就是说复数的平方根中，存在两个实部相同的复数，其中一个的实部正负分别为±平方根的值。
再次，平方根的特性。
平方根是可交换律的，即可以交换根号内外的数。
平方根也具有乘法结合律，即可以将平方根取出，并推广到根号内任意多个因子上。
此外，平方根是分配律的，可以将平方根化简为连续的根号，即凡是可以分配的，就可以把根号内的数乘法分开。
最后，如何计算平方根。
计算平方根常见的方法有：（1）法则相乘法。
即用待开根号的数除以另一个数，等于另一个数，则除数即为待开根号数的平方根。
例如225的平方根=15：15x15=225；（2）求解法。
有一种叫求解法的求根号的方法，将原式展开成一个二次方程，一般可求出两个解，其中一个就是我们要求的根号。
例如√225=15，把它展开成一个二次方程，你就会得到两个解，一个是+15，另一个是-15。
（3）原式法。
即直接用开根号的方法求其平方根。
将待求的数分解为几个质数之乘积，开根号时除以质数，把根号内的质数变成几个单项式的相乘。
以上就是关于复平方根和算术平方根的学习要点，希望能够帮助大家对平方根有更深入的认识，有更全面的掌握，从而更好地应用在日常生活以及科学技术中。
平方根与算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。
平方根与算术平方根
它们互为相反数
• 0的平方根是—— 0 • 负数的平方根—— 负数没有平方根
3．例题解析 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的算术平方根是7； （2）2是4的平方根；
（3）25的平方根是-5；
（4）64的平方根是 8 ；
（5）-16的平方根是-4．
解 : 设长方形纸片的长为3xcm, 宽为2xcm. 根据边长与面积的关系得:
3x 2 x 300 2 6 x 300 2 x 50
由3 50cm.
50
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形 纸片裁出符合要求的长方形纸片.
36 36 36
的值是————
的算术平方根等于______ 的平方根等于______
算术平方根等于其本身的数是————
平方根等于其本身的数是————
小丽想用一块面积为400cm2 正方形纸片,沿着边的方向裁出一块 面积为300cm2的长方形纸片用来绘 画，使它的长与宽之比为3:2。 不知能否裁出来,正在发愁。小明见 了说“别发愁，一定能用一块面积大 的纸片裁出一块面积小的纸片”，你 同意小明的说法吗？ 小丽能用这块 纸片裁出符合要求的纸片吗？
算术平方根与平方根的联系
, a的取值范围 a中 , a 的取值范围
算术平方根与平方根的区别
一、书写格式
正数a的算术平方根可以表示用 a 表示； 正数a的负的平方根，可以用符号 a 表示， 正数a的平方根用符号 a 表示．
二、取值
• 正数的算术平方根是——正数 • 0的算术平方根是—— 0 • 负数的算术平方根—— 负数没有算术平方根
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
平方根和算术平方根
平⽅根和算术平⽅根平⽅根和算术平⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的性质：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数；0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2；2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：（双重⾮负性）⑴ 0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a⼆、【题型分类讲解】题型⼀、求平⽅根1、36的平⽅根是；2、的算术平⽅根是；3、下列计算正确的是（）A 2B = C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有。
①只有正数才有平⽅根；②-2是4的平⽅根；③的平⽅根是；④的算术平⽅根是；⑤的平⽅根是-6 ⑥5、如果a 是b 的⼀个平⽅根，则b 的算术平⽅根是；6平⽅根是； 25 的平⽅根是___，4的算术平⽅根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平⽅根是（）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+x D 、42+x 9、⼀个⾃然数的算术平⽅根是a ，则下⼀个⾃然数的算术平⽅根是（）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a10、若9,422==b a ，且0A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型⼆、运⽤算术平⽅根进⾏运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522?--??-题型三、平⽅根性质的运⽤1、⼀个正数x 的平⽅根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
(完整版)数的开方知识点汇总
7、实数与数轴的关系
任意一个数对应了数轴上的一个点，数轴上任意一上 点对应了一个实数，因此实数与数轴上的点是—对 应关系。
iii：算术平方根非负即当a>0时-,a>0
4、立方根
（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就 叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。
（2、）立方根的表示方法：
一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。
（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略） （3、）立方根的性质：
（3）算术平方根的性质：
1正数有一个正的算术平方根。
20的算术平方根是0
3负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）, a的双重非负性
1首先，石要有意义，首先被开方数必须是一个非 负数。
2其次，心表示一个非数的算术平方根，它的值不 可能是一个负数，即它的值是一个非负数。
综上：,a中a>0,a>0
（5）初中所学的三类非负数i：绝对值非负即|a|>0丘：偶次方非负即a偶次>0
数的开方知识点汇总
安皋二中八年级数学组
一、平方根、算术平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。
2、平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）
3、平方根的表示方法
一个非负数a的平方根可表示为土..a，读作正负根号a
其实它的完整写法是土2a我们称2是根指数，a叫做
被开方数，、叫根号，我们平常省略了根指数2。
算术平方根平方根计算题
算术平方根平方根计算题在日常生活中，我们经常会遇到一些数学计算题，其中算术平方根和平方根是两种常见的数学概念。
为了帮助大家更好地理解和掌握这两者，本文将详细介绍它们的计算方法以及实际应用。
一、算术平方根与平方根的概念区分1.平方根：一个数的平方根是指这个数能够被平方后得到原数的值。
例如，9的平方根是3，因为3=9。
需要注意的是，一个数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数，互为相反数。
2.算术平方根：一个数的算术平方根是指这个数能够被平方后得到原数的正值。
例如，9的算术平方根是3，因为3=9。
二、计算算术平方根的方法1.对于一个非负数，我们可以直接计算其平方根，即求一个数x，使得x=原数。
2.如果计算出的平方根是负数，那么我们需要取绝对值，得到算术平方根。
三、计算平方根的方法1.对于一个非负数，我们可以直接计算其平方根，即求一个数x，使得x=原数。
2.如果计算出的平方根是负数，那么我们需要取绝对值，得到平方根。
四、实际应用问题及其解题思路1.问题：一块矩形的面积是24平方米，已知矩形的长是4米，求矩形的宽。
解题思路：利用矩形面积公式S=长×宽，已知长和面积，求解宽。
2.问题：一个数的平方是64，求这个数。
解题思路：利用平方根的定义，求解这个数的平方根。
五、总结与建议1.掌握算术平方根和平方根的概念，了解它们的计算方法。
2.在实际应用中，注意根据题目要求选择使用算术平方根或平方根。
3.提高计算能力，熟练掌握计算方法，提高解题效率。
通过以上介绍，相信大家对算术平方根和平方根有了更深入的了解。
算术平方根和平方根的区别例题
算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。
但是很多人可能会混淆它们之间的区别。
今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。
二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。
√16=4，因为4²=16。
2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。
与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。
-3的平方是9，所以-3是9的平方根。
从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。
这也是它们最本质的区别所在。
三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。
b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。
c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。
2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。
可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。
①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。
4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。
6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。
平方根与算术平方根
平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。
平方根与算术平方根的应
平方根与算术平方根的应用xx年xx月xx日•平方根与算术平方根的基础知识•平方根的应用•算术平方根的应用•平方根与算术平方根在科学计算中的应用目•平方根与算术平方根在生活中的应用•总结与展望录01平方根与算术平方根的基础知识平方根的定义与性质平方根的定义：对于任何一个非负数x，它的平方根记作√x，即若a²=x，则a为x的平方根。
•非负性：对于任何实数x，它的平方根有2个，记作±√x。
平方根的性质•对于正数a，它的算术平方根记作√a，即√a≥0。
算术平方根的定义与性质算术平方根的定义：对于任何一个正数x，它的算术平方根记作√x。
•正数a的算术平方根记作√a，即√a>0。
算术平方根的性质•对于非负数x，它的算术平方根记作√x，即若√x²=x，则√x≥0。
平方根与算术平方根的异同•相同点•都是用来求解x的方程的方法。
•对于正数a，它们的结果相同，即√a=a。
•不同点•定义范围不同：平方根定义在实数范围内，而算术平方根定义在正数范围内。
•结果的符号不同：平方根有正负两个值，而算术平方根只有一个正值。
•处理方式不同：求解方程ax²=b时通过平方根来求解，求解方程ax=b时通过算术平方根来求解。
02平方根的应用利用平方根的性质对一元二次方程进行求解，例如将方程$ax^2+bx+c=0$ 转化为 $x^2=(b^2-4ac)/4a$，再利用平方根求得方程的根。
代数方程的求解利用平方根进行等式的变换，例如将 $x^2-9=0$ 转化为$(x+3)(x-3)=0$，从而简化计算。
等式变换利用平方根进行等式变换计算面积和体积利用平方根可以计算矩形、正方形和圆形等形状的面积，以及圆柱体、圆锥和球体等形状的体积。
测量和计算利用平方根可以测量和计算一些实际生活中的问题，例如通过测量房间的面积来计算需要多少平方米的壁纸。
利用平方根解决实际问题统计学在统计学中，平方根常被用于计算标准差等指标。
平方根与算术平方根立方根无理数
什么叫开平方？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方是什么关系？
指数
根号 互为
平 方 运 算
x a
2
底数
逆运算
x a
被开方数
开 平 方 运 算求幂
已知幂和指数求底数
自学并讨论？
例2 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
(4) -0.064
(5)0
通过对以上问题的解答，你能总 结出立方根有什么样的性质？
立方根的性质：
正数的立方根是正数;负数的立方 根是负数;零的立方根是0.
说明:立方根的个数的性质可以概括为 立方根的唯一性,即一个数的立方根是 唯一的.
思考： 平方根与立方根的区别和联系
平方根与立方根的区别和联系
3 B. 5
C.0
D. √— 3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是（ D ）
1 B. -3 与 3 2 D. -3与 √ （-3） —的点表示的数 3.在数轴上与原点距离等于√ 7 ±√— ） 是（ 7
这一秒不放弃！
下一秒有奇迹！
探究一
3 = 3.0 9 ～ 0.81 ～ 11 3 = -0.6 5
质疑点拨
47 = 5.875 8
5～ ～ 0.5 9
使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：
11 ～ ～ 0.12 90
任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
、 2
5的平方根表示为： 5，
25 的平方根表示为： 25 25 5 36 36 36 6
第一讲 平方根与算术平方根
是 49 的平方根，即±
都有意义，则 a 的值是(
(A)a≥0 (B)a≤0 4、求下列各式 x 中的取值范围： (1) x 1 (2)
(C)a＝0
3 x 2x 4
(3) x 2 1
(4) 9 x 2 5、求下列各式的平方根： （1）
(5) 3 x
x3
(6) x 4
-2-
3. 性质： （1） ( a ) 2 a (a 0) （2） a 2 a ：①当 a 0 时， a 2 a ； ②当 a＜0 时， a 2 a 。 4、开平方：①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数； ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例 6、求下列各数的平方根： （1）121； （2）
5 3 x 18
144 ； 49
（2） 10 12 ；
（3）
1 ； 16
（4） 17 2 152
6、求 x 值： ① x 2 24 25 ② 4 x 2 25 ③ ( x 0.7 ) 3 0.027
B 组：能力提升
1、若数轴上的点 A，B，C，D 表示数－2，1，2，3，则表示 (A) AB 上 (B) BC 上 (C) CD 上 (D) OB 上 的点 P 应在线段( ).
3
x x 有意义，则 x 1 的值是
；
；若
x
1 1 ＋ x 有意义，则 8 8
x=
5． （ 2012 江苏）已知 x 、 y 都是实数，且 y 是 . 6. .若 4a 1 有意义，则 a 能取得最小整数是（ A、0 B、1 C、 5 D、 4
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平方根和算术平方根1、什么叫做平方根？如果一个数的平方等于9，这个数是几？±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
4的平方根是 ；149的平方根是 。
的平方根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平方根是 ？2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表示 ，= 。
2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。
3、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根. 例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
5、算术平方根的性质：（双重非负性）⑴ 0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a二、【题型分类讲解】题型一、求平方根1、36的平方根是 ；2、的算术平方根是 ；3、下列计算正确的是（ ）A 2B = C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根；③的平方根是； ④的算术平方根是； ⑤的平方根是-6 ⑥5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是 ；6平方根是 ； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+x D 、42+x 9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a10、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型二、运用算术平方根进行运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯题型三、平方根性质的运用1、一个正数x 的平方根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
2、已知2a －1的平方根是±3，3a+b －1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.3、解方程：①4)3(252=-x ②049162=-x题型四、算术平方根性质的运用1、若3y ，则y x +的算术平方根是 。
2、若()04322=---+-c b a ，则c b a +-的值为 。
3=x 与y 的值。
4、已知a a a =-+-20102009，求49020092+-a 的平方根？题型五、大小的比较（整数部分或小数部分）1、比较下列两组数据的大小（填“＞”，“＜”或“=”）（1 （2） 4（3）； （4）2、求下列各数整数部分和小数部分（1）、3； （2）、38； （3）、15-；3、 满足x 有4、已知a 的一个平方根，b 是平方根等于本身的数，c 是题型六、求未知数取值范围1、求下列x 的取值范围x 2； 53-x ； x x +-1；1+x x2、21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．3、若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ； 1、数a 在数轴上表示如图所示，则化简的结果是（ ）A ．－1B ．1－2aC ．1D ．2a －12、化简：=-2)3(π 。
3、若x ＜2，化简。
一、 填空题1. 一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根.算术平方根是 ，平方根是 ；3.81的平方根是___，4的算术平方根是_____，5. 如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是6．算术平方根等于它本身的数有________，平方根等于本身的数有________． 7．如果x 的一个平方根是a.那么另一个平方根是________8．一个正数的两个平方根的和是________． 一个正数的两个平方根的商是________9．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 10．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．11．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；若a 的平方根是±5，则a = ； 若a 的平方根等于2±，那么_____=a ；12、化简：=-2)3(π 。
13 2.676=， 26.76=，则a 的值等于 。
14. 满足x 是15．已知0)3-(122=+-b a ，则=32ab ； 17．当______m 时，m -3有意义； 18．当_______x 时，x -11有意义；19．当________x 时，式子21--x x 有意义； 20. 若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 。
二、 选择题1．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5；（2）（-4）2；（3）-22；（4）0；（5）-a 2；（6）π；（7）-a 2-1A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4.下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ±24 D.±25．下列说法错误的是（ ）A 、1)1(2=-B 、()1133-=-C 、2的平方根是2± D 、81-的平方根是9± 6. 以下语句及写成式子正确的是（ ）A.7是49的算术平方根，即749±=B.7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C.7±是49的平方根，即749=±D.7±是49的平方根，即749±=7．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．12)12(2=-±C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±8. 下列结论正确的是（ ） A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- C.16)16(2±=- D.251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 9．下列运算中，错误的是（ ） ①1251144251=， ②4)4(2±=-， ③22222-=-=-，④2095141251161=+=+ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个10．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1B 、9C 、4D 、511．若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） A 1± B 4 C 3或5 D 512．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 13. ）。
A 7.0～7.5之间B ．6.5～7.0之间C ．7.5～8.0之间D ．8.0～8.5之间14、满足53<<-x 的整数x 是（ ）A 、3,2,1,0,1,2--B 、3,2,1,0,1-C 、3,2,1,0,1,2--D 、2,1,0,1-15．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ）A.a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=16. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a19．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=x B ．1917=x C ．1817=x D ．1817±=x 三 解答题（1）解方程：1．034372=-x2.22)16()3(25-=-x（2） 计算：1．914414449⋅ +2)6( 2. 41613+-（3）28．已知：实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a 试求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值．阿尔伯特·爱因斯坦（1879－1955），美籍德裔犹太人，因为“对理论物理的贡献，特别是发现了光电效应”而获得1921年诺贝尔物理学奖，现代物理学的开创者、奠基人，相对论——“质能关系”的创立者，“决定论量子力学诠释”的捍卫者（振动的粒子）——不掷骰子的上帝。
他创立了代表现代科学的相对论，为核能开发奠定了理论基础，在现代科学技术和他的深刻影响下与广泛应用等方面开创了现代科学新纪元，被公认为是自牛顿以来最伟大的科学家1999年（己卯年）12月26日，爱因斯坦被美国《时代周刊》评选为“世纪伟人”。
爱因斯坦十六岁时报考瑞士苏黎世的联邦工业大学工程系，可是入学考试却告以失败。
看过他的数学和物理考卷的该校物理学家韦伯先生却慧眼识英才，称赞他：“你是个很聪明的孩子，爱因斯坦，一个非常聪明的孩子，但是你有一个很大的缺点：就是你不想表现自己。
”在12岁到16岁时就已经自学学会了解析几何和微积分。
而对于不想表现自己这个“缺点”，他也是“死不悔改”。
他晚年写给朋友的信中说：“我年轻时对生活的需要和期望是能在一个角落安静地做我的研究，公众人士不会对我完全注意，可是现在却不能了。
”淡泊名利驻华盛顿的以色列大使打来的。
大使说：“教授先生，我是奉以色列共和国总理本·古里安的指示，想请问一下，如果提名您当总统候选人，您愿意接受吗？”爱因斯坦被同胞们的好意感动了，但他想的更多的是如何委婉地拒绝大使和以色列政府，而不使他们失望，不让他们窘迫。
不久，爱因斯坦在报上发表声明，正式谢绝出任以色列总统。
在爱因斯坦看来，“当总统可不是一件容易的事。
”同时，他还再次引用他自己的话：“方程对我更重要些，因为政治是为当前，而方程却是一种永恒的东西。
”成功秘诀有一次，一个年轻人写信问爱因斯坦关于他成功的秘诀。
他回答：“早在1901年，我还是二十二岁的青年时，我已经发现了成功的公式。
我可以把这公式的秘密告诉你，那就是A=X+Y+Z！（A就是成功，X就是正确的方法，Y是努力工作，Z是少说废话！）这公式对我有用，我想对许多人也一样有用。
1955年4月18日，人类历史上最伟大的科学家之一，阿尔伯特·爱因斯坦因主动脉瘤破裂逝世于美国普林斯顿。
爱因斯坦的生前不要虚荣，死后更不要哀荣。
他留下遗嘱，要求不发讣告，不举行葬礼。
他把自己的脑供给医学研究，身体火葬焚化，骨灰秘密的撒在不让人知道的河里，不要有坟墓也不想立碑。