最大熵

最大熵原理和分析

最大熵原理和分析熵是信息论中一个非常重要的概念，它表示一个随机变量的不确定性。

对于一个离散随机变量X，其熵H(X)定义为：H(X) = -∑ P(x) log P(x)其中，P(x)表示X取一些值x的概率。

熵的值越大，表示随机变量的不确定性越高，反之，熵的值越小，表示随机变量的不确定性越低。

最大熵原理认为，当我们对一个问题缺乏先验知识，也就是无法对一些事件的概率分布进行确定时，我们应该选择一个与我们已知信息最为吻合，即最为均匀的分布。

最大熵原理的核心思想是在保持已知信息的基础上，尽可能避免引入不可验证的假设。

1.定义问题和确定已知信息：首先，我们需要清楚地定义问题，并确定我们已知的信息和限制条件。

这些已知信息可以是一些约束条件，也可以是一些期望值等。

2.确定特征函数：为了表示我们所关心的问题，我们需要选择一组合适的特征函数。

特征函数是一个从问题的状态空间映射到实数的函数，它可以度量一些状态的特征或属性。

3.确定约束条件：根据已知信息和特征函数，我们可以得到一组约束条件。

这些约束条件可以是一些状态的期望值等。

4.定义最大熵模型：最大熵模型是在满足已知信息和约束条件的条件下，找到最大熵分布的模型。

最大熵模型可以通过最优化方法来求解。

5.模型评估和应用：通过最大熵模型，我们可以得到概率分布或其他输出。

我们可以使用这些输出来进行模型评估、分类、预测等任务。

然而，最大熵原理也存在一些限制。

首先，在实际应用中，特征函数的选择往往具有一定的主观性。

其次，最大熵模型的计算复杂度较高，当特征函数和约束条件较多时，求解最大熵模型可能会变得困难。

另外，最大熵原理本身并没有提供一种判断模型的好坏的准则。

综上所述，最大熵原理是一种基于信息论的概率模型学习方法。

它通过最大化系统的熵，来求解最为均匀和不确定的概率分布。

最大熵原理在统计学、自然语言处理、机器学习等领域有广泛的应用，但同时也存在一些局限性。

最大熵模型简介

P {p | Ep( f j ) E~p( f j ),1 j k}
H ( p) p(x) log2 p(x)
x
p* arg max H ( p)
最大熵模型
❖ 例如：给定一个词
假定已知存在四种词性：名词、动词、介词、指代词 ❖ 如果该词在语料库中出现过，并且属于名词的概率为70%，则判断
Generative Model vs. Discriminative Model
❖ Generative Model (GM): P(Y|X)=P(X|Y)P(Y)/P(X)，通过求解P(X|Y)和P(Y)来求解P(Y|X)
❖ Discriminative Model (DM): 对P(Y|X)直接建模
纲要
❖ 最大熵原理 ❖ 最大熵模型定义 ❖ 最大熵模型中的一些算法 ❖ 最大熵模型的应用 ❖ 总结 ❖ 思考题
最大熵模型(Maximum Entropy
Model)
❖
假设有一个样本集合 (x1, x2 ,... xn )
特征(j对f1, pf2的...制fk )约可以表示为
，我们给出k个特征 , Ep( f j ) E~p( f j )
p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)=p(X=6)=0.1
最大熵原理
❖ 最大熵原理：1957 年由E.T.Jaynes 提出。 ❖ 主要思想：
在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。
❖ 原理的实质：
前提：已知部分知识关于未知分布最合理的推断＝符合已知知识最不确定或最随机的推断。这是我们可以作出的唯一不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设，这些约束和假设根据我们掌握的信息无法作出。

最大熵马尔可夫模型

最大熵马尔可夫模型介绍最大熵马尔可夫模型（Maximum Entropy Markov Model，简称MEMM）是一种常用于序列标注的统计模型。

它结合了最大熵模型和马尔可夫随机场模型的特点，旨在解决序列标注问题中的上下文相关性和特征选择的挑战。

本文将深入讨论MEMM的原理、应用场景、训练方法以及一些扩展和改进的方法。

原理最大熵模型最大熵模型是一种用于分类和回归问题的概率模型，它通过最大化经验分布的熵来选择最合适的模型。

最大熵模型的基本思想是，在给定一些约束条件下选择概率分布的最大熵模型。

最大熵模型的参数估计可以通过最大熵准则来进行。

马尔可夫随机场模型马尔可夫随机场模型是一种用于建模随机现象的图模型。

它通过图中的节点表示随机变量，边表示节点之间的依赖关系，通过定义一组概率分布来描述整个系统。

马尔可夫随机场模型的参数估计可以通过最大似然估计等方法进行。

最大熵马尔可夫模型最大熵马尔可夫模型是将最大熵模型和马尔可夫随机场模型相结合的一种序列标注模型。

它在标注序列的每个位置上，使用最大熵模型来选择最合适的标记，并且考虑了上下文的依赖关系。

最大熵马尔可夫模型的参数估计可以通过条件随机场的方法进行。

应用场景最大熵马尔可夫模型在自然语言处理领域有着广泛的应用。

例如，命名实体识别、词性标注、语义角色标注等任务都可以使用MEMM来解决。

这是因为MEMM可以有效地利用上下文信息，提高序列标注的准确性。

训练方法最大熵马尔可夫模型的训练通常涉及以下几个步骤：1.数据准备：收集和标注训练数据，将数据转化为特征表示。

2.特征提取：从训练数据中提取特征，这些特征可以包括词性、上下文信息等。

3.特征权重估计：使用最大熵准则估计特征的权重，通常使用迭代算法如改进的迭代尺度法。

4.模型训练：通过训练算法根据标注数据调整模型参数，比如拟牛顿法、梯度下降等。

5.模型评估：使用验证数据来评估模型的性能，可以使用准确率、精确率、召回率等指标。

最大熵原理及其应用

熵与激光刘波 200340751一、熵熵是热力学和统计物理学中的核心概念，也是物理学的基本概念之一。

熵定律（热力学第二定律）是19世纪自然科学发展所取得的伟大成果之一。

1864年，克劳修斯在《热的唯动说》一书中，首先引入了熵这个概念，用它来量度热量转化为功的本领。

我们称之为热力学熵，并用符号S 表示。

（一）熵的含义具体说来，熵具有以下的含义：首先，熵的本义是系统的态函数，是系统演化的重要判据。

熵的物理表达式如下：⎰=T dQ S 或TdQ dS = 其中S 表示熵，Q 表示热量，T 表示温度。

即一个系统的熵等于该系统在一定过程中所吸收（或耗散）的热量除以它的绝对温度。

利用熵这个物理量，热力学第二定律可表述为熵增加原理：系统经绝热过程由初态变到终态，它的熵不减少，熵在可逆绝热过程中不变，在不可逆绝热过程中增加。

只要有热量从高温物体流向低温物体，系统的熵就增加，而这个过程是自发实现的。

只有当热量从地温物体流向高温物体，系统的熵才可能减少，而这个过程是不会自发实现的。

另外，系统达到平衡后，就没有热量传递，熵不变，过程可逆，但是实际上很难有绝对的配合。

也就是说，只要熵增加就表明系统中存在着自发的不可逆过程。

反过来说过程能不能发生？如果发生的话是否可逆？可以从熵的变化来加以判断。

正如普利高津指出的：“这样一来，熵变成了一个进化的指示器，或者象爱丁顿恰当的说的‘时间之矢’。

”其次，熵的宏观意义表征系统能量分布的均匀程度。

即：能量分布越不均匀，熵越小；能量分布越均匀，熵越大；能量分布不均匀趋向均匀，熵增加。

确实，热传导、扩散，以及各种宏观流动都是从不均匀趋向均匀的，所以熵都是增加的。

我们知道能量分布越不均匀，潜在的做功的本领越大；能量分布越均匀，潜在的做功的本领越小。

如果我们把前一种能量叫做可利用性高的能量，那么熵也就成了能量可利用性大小的一种量度。

熵增加意味着能量可利用性的降低，或者说不可利用能量的增加。

最大熵定理的意义

最大熵定理的意义
最大熵定理是统计学上的一个重要定理，也叫熵最大原理。

该定
理由犹太裔美国物理学家和数学家纳洛斯·伦琴于1957年提出。

最大
熵定理在统计学、信息论、算法工程和机器学习领域都有重要的应用，尤其是在已知一定条件和信息量时推测数据结构的情况下，它扮演着
特殊角色。

最大熵定理提供了从一组已知变量中求出最有可能的数据结构的
方法。

这实际上就是一个概率分布的选择问题。

最大熵定理对于此问
题提出的解决方案是，在满足已知变量的约束条件前提下，要求该概
率分布必须具有最大熵，即这种分布将使得全部已知变量的不确定性
最大化。

最大熵定理表明，在任意已知条件下，我们可以找到一个最佳的
结果，即一个最大的可能性。

也就是说，在满足一定条件的前提下，
不确定性最大的分布就是最优的，而不确定性就是熵所表示的概念。

最大熵原理的应用场景非常多。

在机器学习的建模中，最大熵原
理也被用于实现贝叶斯决策限制。

在语音识别领域，最大熵原理常常
用来实现联合模型，同时也用于语音识别系统中的概率图模型构建。

此外，最大熵原理也被广泛用于自然语言处理、文本分类、文本挖掘、文本生成以及模式识别等领域。

最大熵原理提供了一种有效的方法来处理不确定性和利用有限的
信息，使用它可以挖掘众多的隐含知识，在极大程度上提高机器学习
的效率和准确性。

未来，最大熵原理将继续受到重视，并有望在更多
领域得到更多的应用。

最大熵模型算法

最大熵模型算法今天我们来介绍一下最大熵模型系数求解的算法IIS算法。

有关于最大熵模型的原理可以看专栏里的这篇文章。

有关张乐博士的最大熵模型包的安装可以看这篇文章。

最大熵模型算法 1在满足特征约束的条件下，定义在条件概率分布P(Y|X)上的条件熵最大的模型就认为是最好的模型。

最大熵模型算法 23. IIS法求解系数wi先直接把算法粘贴出来，然后再用Python代码来解释。

这里也可以对照李航《统计学习方法》P90-91页算法6.1来看。

这个Python代码不知道是从哪儿下载到的了。

从算法的计算流程，我们明显看到，这就是一个迭代算法，首先给每个未知的系数wi赋一个初始值，然后计算对应每个系数wi的变化量delta_i，接着更新每个wi，迭代更新不断地进行下去，直到每个系数wi都不再变化为止。

下边我们一点点儿详细解释每个步骤。

获得特征函数输入的特征函数f1,f2,...,fn，也可以把它们理解为特征模板，用词性标注来说，假设有下边的特征模板x1=前词, x2=当前词, x3=后词 y=当前词的标记。

然后，用这个特征模板在训练语料上扫，显然就会出现很多个特征函数了。

比如下边的这句话，我/r 是/v 中国/ns 人/n用上边的模板扫过，就会出现下边的4个特征函数(start，我，是，r)(我，是，中国，v)(是，中国，人，ns)(中国，人，end，n)当然，在很大的训练语料上用特征模板扫过，一定会得到相同的特征函数，要去重只保留一种即可。

可以用Python代码得到特征函数def generate_events(self, line, train_flag=False):"""输入一个以空格为分隔符的已分词文本，返回生成的事件序列:param line: 以空格为分隔符的已分词文本:param train_flag: 真时为训练集生成事件序列；假时为测试集生成事件:return: 事件序列"""event_li = []# 分词word_li = line.split()# 为词语序列添加头元素和尾元素，便于后续抽取事件 if train_flag:word_li = [tuple(w.split(u'/')) for w inword_li if len(w.split(u'/')) == 2]else:word_li = [(w, u'x_pos') for w in word_li]word_li = [(u'pre1', u'pre1_pos')] + word_li + [(u'pro1', u'pro1_pos')]# 每个中心词抽取1个event，每个event由1个词性标记和多个特征项构成for i in range(1, len(word_li) - 1):# 特征函数a 中心词fea_1 = word_li[i][0]# 特征函数b 前一个词fea_2 = word_li[i - 1][0]# 特征函数d 下一个词fea_4 = word_li[i + 1][0]# 构建一个事件fields = [word_li[i][1], fea_1, fea_2, fea_4] # 将事件添加到事件序列event_li.append(fields)# 返回事件序列return event_li步进值 \delta_{i} 的求解显然delta_i由3个值构成，我们一点点儿说。

最大熵模型核心原理

最大熵模型核心原理一、引言最大熵模型(Maximum Entropy Model, MEM)是一种常用的统计模型，它在自然语言处理、信息检索、图像识别等领域有广泛应用。

本文将介绍最大熵模型的核心原理。

二、信息熵信息熵(Entropy)是信息论中的一个重要概念，它可以衡量某个事件或信源的不确定度。

假设某个事件有n种可能的结果，每种结果发生的概率分别为p1,p2,...,pn，则该事件的信息熵定义为：H = -∑pi log pi其中，log表示以2为底的对数。

三、最大熵原理最大熵原理(Maximum Entropy Principle)是指在所有满足已知条件下，选择概率分布时应选择具有最大信息熵的分布。

这个原理可以理解为“保持不确定性最大”的原则。

四、最大熵模型最大熵模型是基于最大熵原理建立起来的一种分类模型。

它与逻辑回归、朴素贝叶斯等分类模型相似，但在某些情况下具有更好的性能。

五、特征函数在最大熵模型中，我们需要定义一些特征函数(Function)，用来描述输入样本和输出标签之间的关系。

特征函数可以是任意的函数，只要它能够从输入样本中提取出有用的信息，并与输出标签相关联即可。

六、特征期望对于一个特征函数f(x,y)，我们可以定义一个特征期望(Expected Feature)，表示在所有可能的输入样本x和输出标签y的组合中，该特征函数在(x,y)处的期望值。

特别地，如果该特征函数在(x,y)处成立，则期望值为1；否则为0。

七、约束条件最大熵模型需要满足一些约束条件(Constraints)，以保证模型能够准确地描述训练数据。

通常我们会选择一些简单明了的约束条件，比如每个输出标签y的概率之和等于1。

八、最大熵优化问题最大熵模型可以被看作是一个最优化问题(Optimization Problem)，即在满足约束条件下，寻找具有最大信息熵的概率分布。

这个问题可以使用拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier Method)来求解。

最大熵模型(matlab应用)

04
最大熵模型的优化
正则化技术
L1正则化
也称为Lasso正则化，通过在损失函数中添加权重向量的L1范数，使得权重向量中的某些元素变为零，从而实现特征选择。
L2正则化
也称为Ridge正则化，通过在损失函数中添加权重向量的L2范数，使得权重向量的所有元素都变小，从而防止过拟合。
特征选择优化
基于互信息的特征选择
金融领域
最大熵模型在金融领域中可用于风险评估、股票预测和信用评分等任务。
02
最大熵模型的建立
特征选择
特征选择
在建立最大熵模型之前，需要选择与目标变量相关的特征。通过特征选择，可以去除无关或冗余的特征，提高模型的精度和泛化能力。
特征选择方法
常见的特征选择方法包括基于统计的方法、基于信息论的方法、基于模型的方法等。在Matlab中，可以使用如 fitcdiscr等函数进行特征选择。
图像识别
总结词
详细描述
最大熵模型在图像识别中也有着重要的应用，尤其在处理复杂图像时表现出色。
最大熵模型可以用于图像分类、目标检测和人脸识别等任务。通过训练最大熵模型，可以学习到图像的特征，并根据这些特征对图像进行分类或检测目标。最大熵模型在处理复杂图像时具有较好的鲁棒性，能够有效地处理噪声和光照变化等因素。
它基于信息论中的熵概念，熵表示随机变量的不确定
性或混乱程度。
03
在统计推断和机器学习中，最大熵原理常用于模型选
择和特征提取。
最大熵模型的定义
01
最大熵模型是一种基于最大熵原理的概率模型，它通过最大化熵值来选择概率分布。
02
在形式上，最大熵模型通常表示为一系列约束条件下的优化问

最大熵原理与最小鉴别信息原理

第七章最大熵原理与最小鉴别信息原理
非适定问题与最大熵和最小鉴别原理 ⑴非适定问题的概念先了解正问题，逆问题，过定、欠定由与欠定原因造成解不存在，不唯一或不连续，称为非适定问题如：地震勘探确定地层结构雷达根据接受信号进行功率谱估计以及声音、图象识别问题
⑵最大熵原理概念：把符合约束条件但熵值取最大的概率分布的解，作为唯一不偏不倚的解。即：在约束条件∑q(ak)fm(ak)=cm ∑ q(ak)=1 使熵 ∑ q(ak)log q(ak) 取最大分布，按拉格朗日乘数法： q(ak)=exp[-λ0- ∑ λ m fm(ak)] m=1….M 该试就是满足约束条件下最大熵的q分布. 实际例子： 1）统计力学气体分子速度的分布是能量约束下的最大熵分布； 2）大气层空气密度随高度的分布，是平均势能约束下最大熵分布；应用范围：统计学、运输、排队、建模、防真、决策、股市信号处理（谱估计，图象复原）理解：
Ø 最大熵原理的合理性 ⑴客观性的问题：因为香农提出的熵和信息带有一定的主观性，但最大熵原理下所给出的解却完全是一个客观量。因为只有一组数学期望值有关，是实实在在客观测量到的，所以不存在主观性问题。 ⑵如何理解被最大熵排除满足约束条件其它解：理论证明 P259 实测 P260 99.9%的解满足 1.602≤H≤1.61358(Hmax) 这一结果说明：从概率的观点看，熵值远离最大熵的可能解出的机会非常小，从组合的观点来看，熵值远离最大熵的组合，种类在所有可解的组合中所占的比例很小。
最小鉴别信息原理与最大熵原理的公理化推导 ⑴最小鉴别信息原理推导，P261—P268 证明引入了一致性的 4 条公理，即：唯一性、不变性、子集独立和系统独立。说明只有鉴别信息最小所得的解满足4条公理。 4条公理的理解：唯一性：要求解是唯一不变性：坐标变换下解的不变性独立性：按两种方式求得解要一致子集独立性：把集合分成若干独立的子集所得解一致

最大熵原理

注：戴帽子的表示统计量(不含任何未知量，可以直接从训练数据中计算得到的也说成是经验的)，不戴帽子表示概率模型是从训练数据中抽象出来的。
2.1.2 特征函数
假设给出了的很多有关数据的先验信息（就像例子中的��(�� = ��, �� = 0) + ��(�� = ��, �� = 0) = 0.6），我们要怎么将这些先验信息（约束条件）体现在我们的模型中呢？为了解决这一问题，引入了特征函数的概念。
方案 1：
x
y
0
1
a
0.5
0.1
b
0.1
0.3
0.6
1.0表格 2.方案源自2：xy0
1
a
0.3
0.2
b
0.3
0.2
0.6
1.0
表格 3.
显然方案 1 和 2，都是满足约束P(x = a, y = 0) + p(x = b, y = 0) = 0.6的，但是最大熵原理告诉我们方案 2 会比方案 1 更好，更能接近事实。这里约束条件只有一个，我们能很快的给出，熵最大的分布(可以通俗的理解为怎么填表格中的数值，使得熵最
大)。但是，实际应用中，我们约束远不止 1 条，这种情况，就很难直接填表格中的数值了，所以最大熵模型应运而生。
2. 最大熵模型：
最大熵原理认为，学习概率模型时，在所有可能的概率模型中，熵最大的模型最好，最能反映实际情况。通常用约束条件来确定模型的集合，所以，最大熵原理可以理解为在满足给定约束的条件下，选择熵最大的模型。
��∈∁ ��
对偶问题为：
�� (��, ��)

最大熵先验分布

最大熵先验分布最大熵先验分布是一种当训练集不足时，用来确定自然语言模型的参数的机器学习算法。

它的优点在于，它实现了最大熵原理，即在受约束的情况下尽可能多地保持不确定性，从而使训练出来的模型成为对不考虑样本缺失情况下可行的全局最优解。

一、最大熵先验分布的定义最大熵先验分布是一种概率模型，它假定未知的概率分布表示能够最大程度地满足约束条件的最简单的模型。

它特别适合处理少量训练数据的情况，可以使用最大熵原则来优化模型，以使模型对不可考虑的样本的信息最小化。

因此，最大熵先验分布是如果假设模型参数无法用于估计参数的一种方法，可以使用该方法构建简单的模型，而无需大量训练数据。

二、最大熵先验分布的应用1、自然语言处理(NLP)：当训练语料库不足时，最大熵先验分布可以帮助机器学习训练NLP模型，使用最大熵原则弱化不考虑样本缺失情况下可行的全局最优解，从而实现了针对少量训练数据场景下更准确的模型结果。

2、图像分割：图像分割任务需要在有少量标注样本的情况下进行训练，最大熵先验分布可以通过训练对具有不足样本空间的部分进行更准确的分割。

3、强化学习：最大熵先验分布可以在强化学习中用于构建面向多目标实验的模型，可以构建易学习的、有效的行为模型，从而实现最优动作结果。

三、最大熵先验分布的好处1、建模简单：最大熵先验分布只需要指定约束条件参数，就可以生成一个模型，不需要训练大量数据，可以用少量数据来训练一个更准确的模型。

2、拟合稳定：由于最大熵先验分布引入的不确定性和约束，模型参数的调节更为稳定，不因为样本数据的改变而发生突变，有助于模型的拟合准确率的提升。

3、泛化性好：最大熵先验分布弱化了对不可见样本的影响，有助于模型泛化性的提升，从而构建出一个更有效的模型，从而获得更加准确的预测结果。

《最大熵原理与应用》课件

《最大熵原理与应用》 PPT课件
最大熵原理与应用介绍一门探讨信息学和机器学习的课程，通过最大化信息熵来提供最优解决方案。
什么是最大熵原理？
1 平衡与不确定性
最大熵原理追求在保持平衡的同时处理不确定性，找到信息传递中的最佳策略。
2 信息的度量
通过熵来度量统计数据的不确定性和信息量，越高的熵意味着信息越不确定。
最大熵原理与其他机器学习算法的关系？
贝叶斯网络
最大熵原理可以视为贝叶斯网络的特例，贝叶斯网络考虑了变量之间的依赖关系。
支持向量机
最大熵原理与支持向量机都属于生成模型，但支持向量机更加注重决策边界的优化。
神经网络
最大熵原理在神经网络中可以用作损失函数之一，用于优化模型的输出。
信息熵是什么？
最大熵分类器如何实现？
最大熵分类器可以通过梯度下降等优化算法来求解模型参数，以最大化训练数据的对数似然函数。
最大熵分类器的原理是什么？
最大熵分类器在预测新样本的类别时，尽可能满足多个约束条件，并使得模型的预测具有最大的不确定性。
最大熵模型在文本分类中的应用
最大熵模型在文本分类中可以识别垃圾邮件、情感分析等任务，有效地处理大规模文本数据。
最大熵模型可以容易地添加新的特征和约束条件，以适应不同的问题。
最大熵模型的优缺点是什么？
优点
模型简单直观、灵活性强、数据驱动、潜在信息充分利用。
缺点
在某些问题上可能出现维度灾难、计算复杂度高等问题。
最大熵分类的基本思想是什么？
最大熵分类器通过构建适当的特征集合和约束条件，从而推导出最优的分类模型。
最大熵模型的数学推导过程是什么？
通过拉格朗日乘子法和最大熵原理，可以推导出最大熵模型的对偶表示和相应的优化算法。

简述最大熵定理内容

简述最大熵定理内容最大熵原理是一种选择随机变量统计特性最符合客观情况的准则，也称为最大信息原理。

随机量的概率分布是很难测定的，一般只能测得其各种均值（如数学期望、方差等）或已知某些限定条件下的值（如峰值、取值个数等），符合测得这些值的分布可有多种、以至无穷多种，通常，其中有一种分布的熵最大。

选用这种具有最大熵的分布作为该随机变量的分布，是一种有效的处理方法和准则。

这种方法虽有一定的主观性，但可以认为是最符合客观情况的一种选择。

在投资时常常讲不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，这样可以降低风险。

在信息处理中，这个原理同样适用。

在数学上，这个原理称为最大熵原理。

历史背景最大熵原理是在1957年由E.T.Jaynes提出的，其主要思想是，在只掌握关于未知分布的部分知识时，应该选取符合这些知识但熵值最大的概率分布。

因为在这种情况下，符合已知知识的概率分布可能不止一个。

我们知道，熵定义的实际上是一个随机变量的不确定性，熵最大的时候，说明随机变量最不确定，换句话说，也就是随机变量最随机，对其行为做准确预测最困难。

从这个意义上讲，那么最大熵原理的实质就是，在已知部分知识的前提下，关于未知分布最合理的推断就是符合已知知识最不确定或最随机的推断，这是我们可以作出的不偏不倚的选择，任何其它的选择都意味着我们增加了其它的约束和假设，这些约束和假设根据我们掌握的信息无法作出。

可查看《浅谈最大熵原理和统计物理学》——曾致远(RichardChih-YuanTseng)研究领域主要为古典信息论，量子信息论及理论统计热物理学，临界现象及非平衡热力学等物理现象理论研究古典信息论在统计物理学中之意义及应用[1]。

发展过程早期的信息论其中心任务就是从理论上认识一个通信的设备（手段）的通信能力应当如何去计量以及分析该通信能力的规律性。

但是信息论研究很快就发现利用信息熵最大再附加上一些约束，就可以得到例如著名的统计学中的高斯分布（即正态分布）。

最大熵——精选推荐

最⼤熵1. 最⼤熵原理最⼤熵原理是概率模型学习的⼀个准则，其认为学习概率模型时，在所有可能的概率模型中，熵最⼤的模型是最好的模型。

通常⽤约束条件来确定概率模型的集合，然后在集合中选择熵最⼤的模型。

直观地，最⼤熵原理认为要选择的概率模型⾸先必须满⾜已有的事实，即约束条件。

在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分都是等可能的。

最⼤熵原理通过熵的最⼤化来表⽰等可能性，因为当X服从均匀分布时熵最⼤。

2. 最⼤熵模型最⼤熵原理应⽤到分类得到最⼤熵模型。

给定训练集T=(x1,y1),(x2,y2),...,(x N,y N)，联合分布P(X,Y)以及边缘分布P(X)的经验分布都可以由训练数据得到：˜P(X=x,Y=y)=count(X=x,Y=y)N˜P(X=x)=count(X=x)N⽤特征函数f(x,y)描述输⼊x和输出y之间的某⼀个事实，特征函数是⼀个⼆值函数，当x与y满⾜某⼀事实时取1，否则取0。

例如，可以令特征x与标签y在训练集出现过时取1，否则取0。

特征函数f(x,y)关于经验分布˜P(X=x,Y=y)的期望值为：E˜P(f)=∑x,y˜P(x,y)f(x,y)特征函数f(x,y)关于模型P(Y|X)与经验分布˜P(x)的期望值为：E P(f)=∑x,y˜P(x)P(y|x)f(x,y)如果模型能够获取训练数据中的信息，那么就可以假设这两个期望值相等，即：∑x,y ˜P(x,y)f(x,y)=∑x,y˜P(x)P(y|x)f(x,y)将上式作为模型学习的约束条件，条件数量对应特征函数个数，设所有满⾜约束条件的模型集合为：C={P|∑x,y˜P(x,y)fi(x,y)=∑x,y˜P(x)P(y|x)fi(x,y),i=1,2,...,n}其中n为特征函数个数。

定义在条件概率分布P(Y|X)上的条件概率熵为：H(P)=−∑x,y˜P(x)P(y|x)ln P(y|x)模型集合C中条件熵H(P)最⼤的模型称为最⼤熵模型。

第五节最大熵模型

第五节最大熵模型最大熵模型（Entropy Model）也是随机概率模型之一。

典型的最大熵模型有Wilson模型和佐佐木(Sasaki)模型，以下分别讲述。

1．Wilson模型Wilson模型是由A.G.Wilson提出的方法，它以英国为中心，在区域科学方面的应用例较多，其模型如下式所示。

(4-5-1)式中，T：对象地区的生成交通量。

即，OD交通量的组合数由求E的最大得到。

例：发生小区Ｏ，吸引区AB，出行生成量为4。

能够发生的OD交通量状态如下。

OD交通量状态情况1 情况2 情况3 情况4情况5组合数E：,,,,发生概率：1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/1616为可能发生的组合数。

从上述情况看,组合数为6的组合发生的概率最大,因此可以视为最容易发生。

Wilson模型的约束条件为：（4-5-2）（4-5-3）(4-5-4)式中，的交通费用；总交通费用。

最大熵模型一般用以下对数拉格朗日方法求解。

(4-5-5)式中，，，为拉格朗日系数。

应用Stirling公式近似，得，(4-5-6) 代入（4-5-5）式，并对求导数，得，令，得，(4-5-7)∵∴(4-5-8)同样，(4-5-9)这里，令，则（4-5-7）为：(4-5-10）可以看出，式(4-5-10）为重力模型。

Wilson模型的特点：(1)能表现出行者的微观行动；(2)总交通费用是出行行为选择的结果，对其进行约束脱离现实；(3)各微观状态的概率相等，即各目的地的选择概率相等的假设没有考虑距离和行驶时间等因素。

计算步骤：第1步给出第2步给出，求出第3步用求出的，求出第4步如果，非收敛，则返第2步；反之执行第5步。

第5步将，，代入式（4-5-7)求出，这时，如果总用条件（ 4-5-4）满足，则结束计算，反之，更新值返回第1步。

2．佐佐木(Sasaki)模型分别设定i区的发生概率和j区的吸引（选择）概率。

, （）－－发生守恒条件(4-5-11), （）－－吸引守恒条件(4-5-12), () (4-5-13)式中，为i区的发生交通量被j区有吸引的概率。

七、最大熵模型的优缺点
• 优点：（1）建模时，试验者只需集中精力选择特征，而不需要花费精力考虑如何使用这些特征。（2）特征选择灵活，且不需要额外的独立假定或者内在约束。（3）模型应用在不同领域时的可移植性强。（4）可结合更丰富的信息。 • 缺点：（1）时空开销大（2）数据稀疏问题严重（3）对语料库的依赖性较强
三、信息熵
（1）和熵的联系——熵是描述客观事物无序性的参数。香农认为信息是人们对事物了解的不确定性的消除或减少，他把不确定的程度称为信息熵（香农，1948 ）。随机事件的信息熵：设随机变量ξ，它有A1，A2，A3， A4，……，An共n种可能的结局，每个结局出现的概率分别为p1，p2，p3，p4，……，pn，则其不确定程度，即信息熵为
最大熵理论及其应用
• 熵 • 物理学概念 • 宏观上：热力学定律——体系的熵变等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度（克劳修斯，1865） • 微观上：熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数（波尔兹曼，1872） • 结论：熵是描述事物无序性的参数，熵越大则无序。
（是数学方法和语言文字学的结合。一个系统的熵就是它的无组织程度的度量。熵越大，事件越不确定。熵等于0，事件是确定的。举例：抛硬币， p（head）=0.5，p（tail）=0.5 H（p）=-0.5log2（0.5）+（-0.5log2（0.5））=1 说明：熵值最大，正反面的概率相等，事件最不确定。
二、熵在自然界的变化规律——熵增原理 • 一个孤立系统的熵，自发性地趋于极大，随着熵的增加，有序状态逐步变为混沌状态，不可能自发地产生新的有序结构。 • 当熵处于最小值, 即能量集中程度最高、有效能量处于最大值时, 那么整个系统也处于最有序的状态,相反为最无序状态。 • 熵增原理预示着自然界越变越无序

初识最大熵原理

初识最⼤熵原理⼀、概述在⽇常⽣活中或者科学试验中，很多的事情发⽣都具有⼀定的随机性，即最终产⽣的结果是随机发⽣的，我们不清楚这些结果是否服从什么规律，我们所拥有的只有⼀些实验样本，在这种情况下，我们如何根据现拥有的东西对结果产⽣⼀个合理的推断呢？最⼤熵⽅法就是解决这种问题的⼀个⽅法。

最⼤熵原理是有E.T.Jaynes在1957年提出的，其基本思想如下：在只掌握未知部分的部分知识时，我们应该选取符合这些知识并且熵值最⼤的概率分布。

熵从定义上来说就是⼀个随机变量的不确定性，熵值最⼤即不确定性最⼤。

从这⽅⾯来看，最⼤熵原理实质上就是在满⾜已知所有的知识前提下，对于未知的分布应该是⾃⼰最不能确定或者最随机的分布，因为只有这样，最终的分布才能代表⼀个最公平的选择，任何带有主观性的选择其实质上就是为模型加⼊了约束条件，⽽这些条件都是根据⽬前已知信息所⽆法得出的。

⽬前最⼤熵原理在⾃然语⾔处理上已经得到了极⼤的应⽤。

由于最⼤熵模型可以将不同源的信息集中到⼀个框架下进⾏综合考虑，所以在解决⼀些复杂问题时体现出极⼤的优势。

也因此，⾃Della Pietra在1992年⾸度⽤最⼤熵原理进⾏语⾔处理，现在越来越多的学者都⽤最⼤熵原理处理⽂本分类、短语识别和词性标注等问题，并且取得了⽐较满意的效果。

最⼤熵模型的基本思想是：当我们对⼀个随机事件的发⽣建⽴预测模型时，模型应当满⾜全部从训练样本中获取的已知特征信息，⽽对其他未知的信息不做任何主观假设，在这种情况下，条件概率分布最均匀，预测的风险最⼩，此时预测模型满⾜约束条件下的信息熵值最⼤，所以这种模型被称为“最⼤熵模型”。

⽣活中所说的不要把所有的鸡蛋都放在同⼀个篮⼦⾥⾯，就是最⼤熵思想的⼀个很朴素的说法，当我们遇到不确定性事件时，就要尽量保留各种可能性，这⼀原则符合简单可取性。

⼆、条件最⼤熵模型由于⽬前很多最⼤熵模型都是应⽤在语⾔处理领域，那么我们就⽤处理语⾔举例来阐述最⼤熵模型。

熵的性质与最大熵定理

1、熵的性质 (1)非负
H(X) 0
0 P(xi ) 1 I(xi ) log P(xi ) 0 i 1,2,, N
N
H(X) P(xi )I(xi ) 0 i1
(2)对于信源概率P(X)严格上凸
N
[P1(xi ) (1 )P2 (xi )]log[P1(xi ) (1 )P2 (xi )] i1
f[αx1+(1-α)x2] f(x2) f(x1) αf(x1)+(1-α)f(x2)
x1 αx1+(1-α)x2 x2
利用ln x x 1
N
N
P1(xi ) log[P1(xi ) (1 )P2 (xi )] P1(xi ) log P1(xi )
i1
i1
N
N
P1(xi ) log P1(xi ) (1 ) P2 (xi ) log P2 (xi )
i1
i1
其中0 1
设f(x)对定义域中任意两个值x1、x2及0<α<1，如果f[αx1+(1α)x2]>αf(x1)+(1-α)f(x2) ，则f(x)对于x严格上凸
P(xi )

1 N
i 1,2,, N
i 1,2,, N
H(X)max

N i1
P(xi ) log
P(xi )

N i1
1 N
log
1 N

log
N
例1：二元信源X ~ P(X)
P(X) P(0) P(1) p 1 p p p
信源的熵及p ~ H(p)曲线
0.811