考研数学三(微积分)模拟试卷158(题后含答案及解析)
考研数学三(微积分)模拟试卷114(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷114(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f(x)在x=a处可导，则=( )．A．0B．f’(a)C．2f’(a)D．3f’(a)正确答案：D解析：知识模块：微积分2．设函数f(x)在点x处可微，则必存在x的一个δ邻域，使在该邻域内函数f(x)( )．A．可导B．连续未必可导C．有界D．不一定存在正确答案：C解析：因为f(x)在x0处可微，所以在x0点必连续，从而有=f(x0)．由函数极限的局部有界性知f(x)在x0的某邻域内有界，故选C．知识模块：微积分3．设f(x)=，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但f’(x)在x=0不连续D．可导且f’(x)在x=0连续正确答案：D解析：所以f’(x)在x=0处连续．故选D．知识模块：微积分4．设y=xn+ex，则y(n)=( )．A．exB．n!C．n!+nexD．n!+ex解析：因为(xn)(n)=n!，(ex)(n)=ex，所以y(n)=n!+ex．故选D．知识模块：微积分5．函数f(x)=(x2一2x一3)｜x2—3x｜sin｜x｜不可导点的个数是( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：f(x)的不可导点可能是｜x2一3x｜=0或｜x｜=0的点，即x=0，3，若直接按定义判断较复杂．利用如下结论：若存在，则f(x)=g(x)｜x—x0｜在x=x0处可导的充要条件是=0．f(x)=[(x2一2x一3)｜x一3｜sin｜x｜1]｜x｜而(x2一2x一3)｜x一3｜sin｜x｜=0，所以，f(x)在x=0处可导．同理f(x)=[(x2一2x一3)｜x｜sin｜x｜]｜x一3｜(x2一2x一3)｜x｜sin｜x｜=0，所以，f(x)在x=3处可导．故选A．知识模块：微积分填空题6．设f(x)为可导的偶函数，且=2，则曲线y=f(x)在点x=一1处法线的斜率为________．正确答案：一1．解析：由f(x)为可导的偶函数可知f’(x)为奇函数，即f’(一x)=一f’(x)．又=一2f’(1)=2，所以f’(1)=一1，f’(一1)=一f’(1)=1，故所求法线的斜率为k=一=一1．知识模块：微积分7．设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，则a=________，b=________．正确答案：一1，一1．解析：由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一1)在两条曲线上，由y=x2+ax+b，得y’=2x+a．．又点(1，一1)在曲线y=x2+ax+b上，即一1=1+a+b，得b=一1．知识模块：微积分8．设f()=sinx，则f’[f(x)]= ________．正确答案：2sinx2．cos(sinx2)2．解析：由f()=sinx得f(x)=sinx2，因此f[f(x)]=sin[f(x)]2，所以f[f(x)]=cos[f(x)]2．2f(x) =2sinx2．cos(sinx2)2．知识模块：微积分9．设f(x)=，则f’(0)= ________．解析：知识模块：微积分10．设f(x)是以4为周期的函数，且f’(一1)=2，则=________．正确答案：一．解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷148(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷148(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f（x）在点x0的某邻域内有定义，且f（x）在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是（）A．f（x）sinxB．f（x）+sinxC．f2（x）D．|f（x）|正确答案：B解析：若f（x）+sinx在x=x0处连续，则f（x）=[f（x）+sinx]—sinx在x=x0处连续，与已知矛盾。
因此f（x）+sinx在点x0必间断。
故选B。
知识模块：微积分2．设f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分必要条件是（）A．f（a）=0，且f’（a）=0B．f（a）=0，且f’（a）≠0C．f（a）＞0，且f’（a）＞0D．f（a）＜0，且f’（a）＜0正确答案：B解析：若f（a）≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。
（当f（x）在x=a可导，且f（a）≠0时，|f（x）|在x=a点可导。
）当f（a）=0时，上两式分别是|f（x）|在x=a点的左、右导数，因此，当f（a）=0时，|f（x）|在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’（a）≠0时，故选B。
知识模块：微积分3．设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f”（x）＞0，令un=f （n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（）A．若u1＞u2，则{un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：本题依据函数f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列{un= f（n）}的敛散性。
取f（x）=—lnx，f”（x）=＞0，u1=—lnl=0＞—ln2=u2，而f（n）=—lnn发散，则可排除A；取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收敛，则可排除B；取f（x）=x2，f”（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2发散，则可排除C；故选D。
考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。
正确答案：π2/э2 涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B 涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A 涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C 涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6 涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4 涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷98(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷98(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设数列{xn}，{yn}满足，则下列正确的是A．若{xn}发散，则{yn}必发散．B．若{xn}无界，则{yn}必有界．C．若{xn}有界，则{yn}必为无穷小．D．若为无穷小，则{yn}必为无穷小．正确答案：D解析：由已知条件是无穷小量时{yn}是较高阶的无穷小量，即D正确．知识模块：微积分2．f(x)=xsinxA．在(一∞，+∞)内有界．B．当x→∞时为无穷大．C．在(一∞，+∞)内无界．D．当x→∞时有极限．正确答案：C解析：设xn=nπ(n=1，2，3，…)，则f(xn)=0(n=1，2，3，…)；设这表明结论A，B，D都不正确，而C正确．知识模块：微积分3．函数在下列哪个区间内有界．A．(一1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：注意当x∈(一1，0)时有这表明f(x)在(一1，0)内有界．故应选A．知识模块：微积分4．若当x→∞时，则a，b，c的值一定为A．a=0，b=1，c为任意常数．B．a=0，b=1，c=1．C．a≠0，b，c为任意常数．D．a=1，b=1，c=0．正确答案：C解析：知识模块：微积分5．设，则下列结论错误的是A．x=1，x=0，x=一1为间断点．B．x=0为可去间断点．C．x=一1为无穷间断点．D．x=0为跳跃间断点．正确答案：B解析：计算可得由于f(0+0)与f(0一0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去间断点．应选B．知识模块：微积分6．把当x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．β，α，γ．D．γ，α，β．正确答案：C解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除A与D．又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除B，即应选C．知识模块：微积分7．在中，无穷大量是A．①②．B．③④．C．②④．D．②．正确答案：D解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选D．知识模块：微积分填空题8．=_____________。
考研数学三(微积分)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意阶导数，所以f(x)与函数g(x)=x2｜x｜具有相同最高阶数的导数．因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可导，从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2，即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2．故应选C．知识模块：微积分2．设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，则f(x)在x=0处A．不可导．B．可导且f’(0)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：B解析：因，由极限的保号性质知，由于1—cosx＞0→当0＜｜x｜＜δ时f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得极小值．故应选D．知识模块：微积分3．若x f’‘(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则A．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)是f(x)的极大值．正确答案：B解析：由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续，再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的极小值．故应选B．知识模块：微积分4．曲线渐近线的条数是A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：令f(x)的定义域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．知识模块：微积分5．曲线的拐点有A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：f(x)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．知识模块：微积分填空题6．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分7．74的极大值点是x=__________，极小值点是x=____________．正确答案：极大值点x=0；极小值点为解析：知识模块：微积分8．设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．正确答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1) 解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．知识模块：微积分9．曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________．正确答案：y=0解析：函数y=x2e-x2的定义域是(一∞，+∞)，因而无铅直渐近线．又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0．知识模块：微积分10．曲线的渐近线方程为__________．正确答案：解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线知识模块：微积分11．曲线(x一1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是__________．正确答案：解析：由隐函数求导法，将方程(x一1)3=y2两边对x求导，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x一1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是知识模块：微积分12．曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．正确答案：y=x－1解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx 上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．知识模块：微积分13．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价格的弹性=________．正确答案：b解析：知识模块：微积分14．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是__________．正确答案：10＜P≤20解析：从而P的取值范围是10＜P≤20．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷150(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f（x）=的间断点及类型是（）A．x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B．x=±1均为第一类间断点C．x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D．x=±1均为第二类间断点正确答案：B解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=±1均为f（x）的第一类间断点，故选B。
知识模块：微积分2．设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件正确答案：A解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。
题设φ（x）以x=a为跳跃间断点，则存在A+，A+≠A—。
当g（a）=0时，这表明，g（a）=0时，F’（a）存在下面证明若F’（a）存在，则g（a）=0。
反证法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求导法则，φ（x）在x=a 可导，这与题设矛盾，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。
故选A。
知识模块：微积分3．设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f”（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A．af（x）＞xf（a）B．f（x）＞xf（b）C．xf（x）＞bf（b）D．xf（x）＞af（a）正确答案：B解析：将A，B选项分别改写成于是，若能证明或xf（x）的单调性即可。
又因令g（x）=xf’（x）—f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf”（x）＜0（x ＞0），那么g（x）＜g（0）=0 （x＞0），即故在（0，+∞）内单调减小。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(93年)设函数则f(χ)在χ＝0处【】A．极限不存在．B．极限存在但不连续．C．连续但不可导．D．可导．正确答案：C解析：由于当χ→0时，sin为有界变量，为无穷小量，则＝0，且f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0处连续．但不存在，则f(χ)在χ＝0处不可导．知识模块：微积分2．(94年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由于则y＝为其一条水平渐近线，又＝∞则χ＝0为原曲线一条垂直渐近线．知识模块：微积分3．(95年)设f(χ)为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(1，f(1))处的切线斜率为【】A．2B．－1C．D．－2正确答案：D解析：由＝－1 得f′(1)＝－2．所以，应选D．知识模块：微积分4．(97年)若f(－χ)＝f(χ)(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内有【】A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ) (－∞＜χ＜＋∞)知，f(χ)的图形关于y轴对称．由在(－∞，0)内f′(χ)＞0且f〞(χ)＜0知，f(χ)的图形在(－∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，＋∞)内．f(χ)的图形单调下降，且是凸的，则C为正确选项．知识模块：微积分5．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为【】A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：由题设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且f(χ)＝f(χ＋4)，两边对z求导，则f′(χ)＝f′(χ＋4)，故f′(5)＝f′(1)．由于则f′(1)＝－2，故y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为f′(5)＝－2 知识模块：微积分6．(00年)设函数f(χ)在点χ＝a处可导，则函数｜f(χ)｜在点χ＝a处不可导的充分条件是【】A．f(a)＝0且f′(a)＝0B．f(a)＝0且f′(a)≠0C．f(a)＞0且f′(a)＞0D．f(a)＜0且f′(a)＜0正确答案：B解析：排除法．如f(χ)＝(χ－a)2，f(a)＝0，且f′(a)＝0，而｜f(χ)｜＝(χ－a)2在χ＝a处可导，所以A不正确．又如f(χ)＝χ，a＝1，则f(a)＝1＞0，f′(a)＝1＞0 而｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，故C不正确；若f(χ)＝－χ，a＝1，显然f(χ)满足D选项中条件，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，所以D不正确，从而应选B．知识模块：微积分7．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则【】A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：由于f′(χ)＝.(χ－a)(χ≠a)及f′(χ)在χ－a连续．则又由＝－1＜0及极限的局部保号性知，存在δ＞0，当0＜｜χ－a｜＜δ时＜0．从而当χ∈(a－δ，a)时，f′(χ)＞0；当χ∈(a，a＋δ)时，f′(χ)＜0．又f′(a)＝0，则χ＝a是f(χ)的极大值点．知识模块：微积分填空题8．(93年)已知y＝，f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．(94年)已知f′(χ0)＝－1，则＝_______．正确答案：1解析：原式＝＝1 知识模块：微积分10．(94年)设方程eχy＋y2＝cosχ确定y为χ的函数，则＝_______．正确答案：解析：方程eχy＋y2＝cosχ两边对χ求导，得eχy(y＋χy′)＋2χyy′＝－sinχ解得y′＝知识模块：微积分11．(95年)设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)＝－1＝2(1＋χ)-1－1 f′(χ)＝2.(－1)(1＋χ)-2，f〞(χ)＝2.(－1).(－2)(1＋χ)－3，…f(n)(χ)＝2(－1)(n)!(1＋χ)-(n+1)＝(－1)n 知识模块：微积分12．(96年)设方程χ＝yy确定y是χ的函数，则dy＝_______．正确答案：解析：方程χ＝yy两边取对数得：lnχ＝ylny 上式两边求微分得dχ＝(lny＋1)dy 则dy＝知识模块：微积分13．(96年)设(χ0，y0)是抛物线y＝aχ2＋bχ＋c上的一点．若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_______．正确答案：≥0(或aχ02＝c)，b任意．解析：y′＝2aχ＋b，y′(χ0)＝2aχ0＋b 过(χ0，y0)的切线方程为y －y0＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 即y＝(aχ02＋bχ0＋c)＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 由于此切线过原点，把χ＝y＝0代入上式，得－aχ02－bχ0－c＝－2aχ02－bχ0，即aχ02＝c 所以，系数应满足的关系为≥0(或aχ02＝c)，b任意．知识模块：微积分14．(97年)设y＝f(lnχ)ef(χ)，其中f可微，则dy＝_______．正确答案：解析：由y＝f(lnχ)ef(χ)可知知识模块：微积分15．(98年)设曲线f(χ)＝χn在点(1，1)处的切线与χ轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)＝_______．正确答案：解析：设f(χ)在点(1，1)处的切线为y＝aχ＋b．则当y＝0时，ξn＝因此，知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷200(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷200(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sint dt，则( )．A．a=b=1，c=0B．a=b=1，c=0C．a=b=－1，c=0D．a为任意常数，b=2，c=0正确答案：D解析：因为ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，所以显然c=0，再由得a为任意常数，b=2，选D．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且g(0)=1，f’(x)=－sin2x+∫0xg(x—t)dt，则( )．A．x=0为f(x)的极大值点B．x=0为f(x)的极小值点C．(0，f(0))为y=f(x)的拐点D．x=0非极值点，(0，f(0))非y=f(x)的拐点正确答案：A解析：由∫0xg(x－t)dt∫0xg(u)du得f’(x)=－sin2x+∫0xg(u)du，f’(0)=0，因为所以x=0为f(x)的极大值点，选A．知识模块：一元函数微分学3．设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且又f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt，则( )．A．x=0是f(x)的极大值点B．x=0是f(x)的极小值点C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt=－2x2－∫0xg(x －t)d(z－t)=－2x2+∫0xg(u)du，f’’(x)=－4x+g(x)，f’’(0)=0，f’’(x)=－4+g’(x)，f’’(0)=－4＜0，因为所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，从而当x∈(－δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，选C．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．A．∫0xt[f(t)－f(－t)]dtB．∫0xt[f(t)+f(－t)]dtC．∫0xf(tx)dtD．∫0xf2(t)dt正确答案：B解析：因为t[f(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫0x[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(－t)]dt，F(－x)=∫0－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫0x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，选B．知识模块：一元函数积分学填空题5．=______．正确答案：解析：因为eln2(1+x)－1～ln2(1+x)～x2，知识模块：函数、极限、连续6．若f(x)=2nx(1一x)n，记=______．正确答案：解析：由f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0得知识模块：一元函数微分学7．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学8．设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)=且f(1)=4，则∫01f(x)dx=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．微分方程y’－xe－y+=0的通解为______．正确答案：解析：由令z=ey，则所以原方程的通解为知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
近年考研数学三微积分题目整合及其详细解答
解：有可能 lim g(x) 与 lim ϕ(x) 都不存在，如ϕ(x) = x, f (x) = x + 1 , g(x) = x + 2 ，
x→∞
x→∞
x2
x2
则有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) ，且 lim[g(x) − ϕ(x)] = 0 ，但 lim f (x) = ∞ ，
x→∞
x→∞
n 1 n(n + 1) + 2
= 1 = 2， 1 n(n − 1) 2 2 2
填空： 2 ． 2
3． （99）设函数 f (x) = a x
(a > 0,
a ≠ 1) ，则 lim 1 n→∞ n 2
ln[ f (1) f (2)L f (n)] =
．
2
解：原式 =
lim
ln(a1
⋅
a2
Lan )
选择：（D）．
3． （04）函数 f (x) = | x | sin(x − 2) 在下列哪个区间内有界，（
）
x(x − 1)(x − 2)2
（A） (−1, 0) ．
（B） (0, 1) ．
（C） (1, 2) ．
（D） (2, 3) ．
解：间断点有 x = 0, 1, 2 ，其中 x = 0 是可去间断点， x = 1, 2 是无穷间断点，故有界区间不能包含 x = 1, 2 ，
x→−∞
x→−∞
选择：（A）．
3． （ 97 ） 若 f (−x) = f (x) (−∞ < x < +∞) ， 在 (−∞, 0) 内 f ′(x) > 0 且 f ′′(x) < 0 ， 则 在 (0, + ∞) 内 有
考研数学三(微积分)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷135(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1—C1一C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1一y3)+C2(y2一y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1一y3与y2—y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．知识模块：微积分2．已知sin2x，cos2x是方程y”+P(x)y’+Q(x)y=0的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解不是A．C1sin2x+C2cos2x．B．C1+C2cos2x．C．C1sin22x+C2tan2x．D．C1+C2cos2x．正确答案：C解析：容易验证sin2x与cos2x是线性无关的两个函数，从而依题设sin2x，cos2x为该方程的两个线性无关的解，故C1sin2x+C2cos2x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C1sin2x+C2cos2x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C1sin22x+C2tan2x不能构成该方程的通解．事实上，sin22x，tan2x都未必是方程的解，故选(C)．知识模块：微积分填空题3．当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α，且y(0)=π，则y(1)=________．正确答案：解析：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)一y(x0=y(1)一y(0)=y(1)一π，代入△y的表达式即得y(1)一π=π+α←→y(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，在x=x0的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是A．若则f’(x0)存在且等于A．B．若f’(x0)存在且等于A，则C．若，则f’(x0)不存在．D．若f’(x0)不存在，则正确答案：C解析：解答本题的关键是将f’(x0)的定义式与联系来考虑．对于A：取但f(x)在x=x0处不连续，从而f’(x0)不存在．故A不对，同时也说明D不对．对于B：取显然f’(0)存在，但不存在，故B也不对．由排除法可知，应选C．或直接证明C正确．反证法：假设f’(x0)存在，则f(x)在x=x0处连续，那么在条件下，由洛必达法则有矛盾，所以f’(x0)不存在．知识模块：微积分2．在命题①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导，②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x—a)φ(x)在x=a处必可导，③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a处必不可导，④若f(x)在x=a 处连续，且存在，则f(x)在x=a处必可导中正确的是A．①②．B．①③．C．①②③．D．②④．正确答案：A解析：①是正确的．设f(a)≠0，不妨设f(a)＞0，由于f(x)在x=a处连续，故存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)＞0，于是在此区间上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可类似证明．若f(a)=0，则所以由夹逼定理得②是正确的．因为③是错误的．由②正确即知③是错误的．无妨取反例：φ(x)=x2，则，即f(x)在x=a处可导．④也不正确．可取反例：f(x)=｜x｜，显然f(x)在x=0处不可导，但综上分析，应选A．知识模块：微积分3．设f(x)在任意点x0∈(一2，+∞)有定义，且f(一1)=1，a为常数，若对任意x，x0∈(一2，+∞)满足则函数f(x)在(一2，+∞)内A．连续，但不一定可微．B．可微，且C．可微，且D．可微，且正确答案：D解析：由题设增量等式应得到f(x)在x=x0处可导，而x0又是(一2，+∞)内任意一点，于是f(x)在(一2，+∞)内处处可导，且再由f(一1)=1，即得lnC=1，解得C=e．所以在(一2，+∞)内有表达式故应选D．知识模块：微积分4．若极限则函数f(x)在x=a处A．不一定可导．B．不一定可导，但f+’(a)=A．C．不一定可导，但f-’(a)=A．D．可导，且f’(a)=A．正确答案：A解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．请读者试举一例．知识模块：微积分5．设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A．P’(x0)＞0．B．P’(x0)＜0．C．P’(x0)≤0．D．P’(x0)≥0．正确答案：D解析：反证法．设x0是P(x)=0的最大实根，且使0＜x一x0＜δ时P(x)＜0，又由此可见P(x)在区间必由取负值变为取正值，于是，使P(x1)=0，与x=x0是P(x)=0的最大实根矛盾．故应选D．另外，该题也可以通过P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0的图形来进行判定．4次函数与x轴的交点有如下四种情况，由此可知P’(x0)≥0．知识模块：微积分填空题6．设则f’(1)=____________．正确答案：涉及知识点：微积分7．设f(x)=esinπx，则=___________．正确答案：一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．解析：根据导数定义所以，所求极限为一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esin πx｜X=1=π．或把函数代入用洛必达法则求极限．知识模块：微积分8．若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=___________．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成知识模块：微积分9．设函数的导函数在x=0处连续，则参数λ的取值范围为_____________．正确答案：(3，+∞)解析：由导数定义可求得上述根限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．因此，参数λ的取值范围为(3，+∞)．(当1＜λ≤3时不存在．) 知识模块：微积分10．设则f’(t)=___________．正确答案：f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．解析：先求出f(t)，再求f’(t)．由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．知识模块：微积分11．设y=y(x)由方程y=1+xexy确定，则dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．正确答案：1；2解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．知识模块：微积分12．设y=sinx2，则=__________．正确答案：解析：设u=x3，则于是由复合函数求导法则即得知识模块：微积分13．设=__________．正确答案：解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得知识模块：微积分14．设=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分15．设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=__________．正确答案：(2n一1)!!f2n+1(x)解析：用归纳法．由f’(x)=f3(x)=1.f3(x)求导得f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求导又得f’’’(x)=1.3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想f(n)(x)=1.3…(2n一1)f(2n+1)(x)=(2n—1)!!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，…)．设n=k上述公式成立，则有f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’=(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，由上述讨论可知当n=1，2，3，…时f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷88(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷88(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f（x）和φ（x）在（一∞，+∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，φ（x）有间断点，则（）A．φ（f（x））必有间断点B．[φ（x）]2必有间断点C．f（φ（x））必有间断点D．必有间断点正确答案：D解析：取f（x）=1，x∈（一∞，+∞），φ（x）=则f（x），φ（x）满足题设条件。
由于φ（f（x））=1，[φ（x）]2=1 ，f（φ（x））=1都是连续函数，故可排除A、B、C，应选D。
知识模块：微积分2．设函数f（x）=则f（x）在x=0处（）A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：显然f（0）=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f（x）在x=0处连续，排除A、B。
又因为不存在，所以f（x）在x=0处不可导，故选C。
知识模块：微积分3．已知函数y=y（x）在任意点x处的增量△y=+α，且当Ax→0时，α是△x的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）A．2—πB．πC．D．正确答案：D解析：因为函数y=y（x）在任意点X处的增量△y==0，故由微分定义可知此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Ceaarctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。
因此y（1）=πearctanx=故选D。
知识模块：微积分4．设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，则下述命题中正确的是（）A．若f（x）在（一∞，+∞）上可导且单调增加，则对一切∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B．若f（x）在点x0处取得极值，则f’（x0）=0C．若f”（x0）=0，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点坐标D．若f’（x0）=0，f”（x0）=0，f”‘（x0）≠0，则x0一定不是f（x）的极值点正确答案：D解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，则一定有f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，但可导函数f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，可能有f’（x）≥0。
考研数学三(微积分)模拟试卷80(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设y(x)是微分方程y”+(x一1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程有y”+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y”(0)=2，于是=1，选(A)．知识模块：微积分2．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一2y’一3y一(2x+1)e一x的特解形式为( )．A．(ax+6)e一xB．x2e一xC．x2(ax+b)e一xD．x(ax+b)e一x正确答案：D解析：方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2一3，故方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特解形式为x(ax+b)e一x，选(D)．知识模块：微积分填空题3．设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分4．微分方程y’一xe一y+=0的通解为________．正确答案：解析：知识模块：微积分5．微分方程yy”一2(y’)2=0的通解为________．正确答案：C1x+C2．解析：知识模块：微积分6．微分方程xy’=+y(x＞0)的通解为________．正确答案：lnx+C．解析：知识模块：微积分7．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’—2y=0．知识模块：微积分8．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=________．正确答案：(e2一1)．解析：y”一4y’+4y=0的通解为y=(C1+C1x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是知识模块：微积分9．差分方程yt+1一2yt=3×2t的通解为y(t)=________．正确答案：C×2t+×2t．解析：yt+1一2yt=0的通解为y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得a=，故原方程的通解为y(t)=C×2t+×2t．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷152(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷152(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设an＞0(n＝1，2，…)且收敛，又0＜k＜，则级数(－1)n(ntan)a2n( )．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与k有关正确答案：A解析：知识模块：微积分2．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y＝y0处导数为零B．f(x0，y)在y＝y0处导数大于零C．f(x0，y)在y＝y0处导数小于零D．f(x0，y)在y＝y0处导数不存在正确答案：A解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f’x(x0，y0)＝0，f’y(x0，y0)＝0，于是f(x0，y0)在y＝y0处导数为零，选(A)．知识模块：微积分3．设函数f(x)＝则在点x＝0处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但导数不连续D．导数连续正确答案：D解析：因为f(x)＝0，f(x)＝(0)＝0，所以f(x)在x＝0处连续；，得f(x)在x＝0处可导，且f’(0)＝0；当x＞0时，f’(x)＝3x2sin；当x＜0时，f’(x)＝2x，因为＝f’(0)，所以f(x)在x＝0处导数连续，选(D)．知识模块：微积分4．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：知识模块：微积分填空题5．设a＞0，且＝1，则a＝______，b＝______．正确答案：1，4解析：由＝1得b＝1，则＝1，故a＝4．知识模块：微积分6．设x→0时，lncosax～－2xb(a＞0)，则a＝______，b＝______．正确答案：2，2解析：因为ln(cosax)＝ln[1＋(cosax－1)]～cosax－1～，所以得到＝－2，b ＝2，解得a＝2，b＝2．知识模块：微积分7．设f(x)＝，则f(n)(x)＝______．正确答案：解析：，解得A＝3，B＝－2，知识模块：微积分8．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．cosx2dx＋cosx2dx＝______．正确答案：解析：改变积分次序得cosx2dx＝∫01dx∫x2xcosx2dy＝∫01xcosx2dx＝知识模块：微积分10．yy’＝1＋y’2满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝0的解为______．正确答案：ln｜y＋＝±x解析：令y’＝p，则，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，则1＋p2＝C1y2，由y(0)＝1，y’(0)＝0得y’＝±，ln｜y＋＋C2＝±x，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解为ln｜y＋＝±x．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷81(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷81(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+φ3(x)B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C．C1[(φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正确答案：D解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为方程有y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，选(D)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
设f(x)是连续函数．2．求初值问题的解，其中a＞0；正确答案：y’+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)eatdt+C]e一ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e一ax∫0xf(t)eatdt．涉及知识点：微积分3．若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(eax一1)．正确答案：当x≥0时，|y|=e一ax|∫0xf(t)eatdt|≤e一ax∫0x|f(t)|eatdt≤≤ke 一ax∫0xeatdt=e一ax(eax一1)．涉及知识点：微积分4．设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=在(一∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(一∞，1)及(1，+oo)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：当x＜1时，y’一2y=2的通解为y=C1e2x一1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x一1；当x＞1时，y’—2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1一0)一e2一1，解得C2=1一e一2，y=(1一e一2)e2x，补充定义y(1)=e2一1，则得在(一∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数涉及知识点：微积分5．设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．正确答案：令P(x，y)=xy(x+y)一f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因为[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以，即f”(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2=2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2—2．原方程为[xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一2(ycosxdx+sinxdy)+(一ysinxdx+cosxdy)=0，即d(x2y2+2xy一2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为x2y2+2xy一2ysinx+ycosx=C．涉及知识点：微积分6．利用变换x=arctant将方程cos4x+cos2x(2一sin2x)+y=tanx化为y关于t 的方程，并求原方程的通解．正确答案：的特征方程为λ2+2λ+1=0，特征值为λ1一λ2=一1，则的通解为y=(C1+C2t)e一t+t一2，故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e一tanx+tanx一2．涉及知识点：微积分7．设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)一3∫0xf(t一x)dt=一3x+2，求f(x)．正确答案：∫0xf(t一x)dt=一∫0xf(t一x)d(x一f)=一∫0xf(一u)du=∫0xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2两边对x求导数得f”(x)+2f’(x)一3f(x)=一3，其通解为f(x)=C1ex+C2e一3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．涉及知识点：微积分8．设二阶常系数线性微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．正确答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有原方程为y”一3y’+2y=一ex．原方程的特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y”一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．涉及知识点：微积分9．设u=且二阶连续可导，又=0，求f(x)．正确答案：由或rf”(r)f’(r)=0，解得rf’(r)=C1，由f’(1)=2得C1=2，于是f’(r)=f(r)=Inr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=1nx2．涉及知识点：微积分设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一10．求f’(x)；正确答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f”(x)=一(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)= 涉及知识点：微积分11．证明：当x≥0时，e一x≤f(x)≤1．正确答案：当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)—e一x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e一x=≥0，由f(x)≥e一x(x≥0)．涉及知识点：微积分12．设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．正确答案：代入原方程得y”一y=sinx，特征方程为r2—1=0，特征根为r1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=于是方程的通解为y=C1ex+C2e一x一sinx，由初始条件得C1=1，C2=一1，满足初始条件的特解为y=ex一e一x一sinx．涉及知识点：微积分13．设函数f(x，y)可微,=ecoty，求f(x，y)．正确答案：由得C=0，即f(0，y)=siny．又由=一f(x，y)，得lnf(x，y)=一x+lnφ(y)．即f(x，y)=φ(y)e一x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e 一xsiny．涉及知识点：微积分设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)一f(1)]．若f(1)=，求：14．f(x)；正确答案：由题设知，π∫1af2(x)dx=[a2f(a)一f(1)]，两边对a求导，得3f2(a)=2a(a)+a2f’(a) 涉及知识点：微积分15．f(x)的极值．正确答案：因为f’(x)=又因为为极大值．涉及知识点：微积分设函数f(x)满足xf’(x)一2f(x)=一x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：16．曲线y=f(x)；正确答案：由xf’(x)一2f(x)=一xf’(x)一f’(x)=一1f(x)=x+cx2．设平面图形D 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则因为V”(c)=＞0，所以c=为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x一涉及知识点：微积分17．曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．正确答案：f’(x)=1一，f’(0)=1，曲线f(x)=x一在原点处的切线方程为y=x，则A= 涉及知识点：微积分18．位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为,求y=y(x)．正确答案：因为p(2)=0，所以C1=0，故y’=p=进一步解得因为y(0)=2，所以C2=0，故曲线方程为y=+2．涉及知识点：微积分19．一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．正确答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为Y一y=y’(X一x)，令X=0，则Y=y一xy’，切线与y轴的交点为(0，y一xy’)，由题意得x2+x2y’2=4，解得y’=积分得因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为y= 涉及知识点：微积分20．设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．正确答案：对曲线L1，由题意得=2，解得y=x(2x+C1)，因为曲线L1过点(1，1)，所以C1=一1，故L1:y=2x2一x．对曲线L2，由题意得因为曲线L2过点(1，1)，所以C2=一1，故L2：y=2一由2x2—x一2一得两条曲线的交点为(，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为涉及知识点：微积分21．用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．正确答案：一4y=0的通解为y=C1e一2t+C2e2t，故原方程的通解为y=C1e2arcsinx+C2e2arcsinx．涉及知识点：微积分22．用变量代换x=1nt将方程+e2xy=0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．正确答案：+y=0的通解为y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex．涉及知识点：微积分23．设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．正确答案：因为曲线是上凸的，所以y”＜0，由题设得因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p|x=0=1，从而y’=因为曲线过点(0，1)，所以C2=1+所求曲线为因为时函数取得极大值涉及知识点：微积分24．飞机以匀速υ沿y轴正向飞行，当飞机行至0时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2υ．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．正确答案：(1)设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为进一步解得故轨迹方程为涉及知识点：微积分25．细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．正确答案：设t时刻细菌总数为S，则有=kS，S(0)=100，S(24)=400，涉及知识点：微积分26．某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为，设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A 的浓度是均匀的)?正确答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量为流出湖的污染物A的含量为则在此时间元素内污染物A的改变量为于是令m=m0，得t=61n3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．涉及知识点：微积分。
考研数学三(微积分)模拟试卷115(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷115(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．验证函数f(x)=在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理中的点ξ．正确答案：解析：用定义判断f(x)在分段点x=1处的连续性和可导性，然后利用拉格朗日中值定理求出相应的ξ．知识模块：微积分2．设b＞a＞0，f(x)在[a，b]上连续，单调递增．且f(x)＞0，证明：存在点ξ∈(a，b)使得a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．正确答案：令F(x)=2x2f(x)一a2f(b)一b2f(a)．显然F(x)在[a，b]上连续且F(a)=a2[f(a)一f(b)]+f(a)(a2一b2)＜0，F(b)=f(b)(b2一a2)+b2[f(b)一f(a)]＞0．由零点定理，至少存在一个点ξ∈[a，b]使得F(ξ)=0，即a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．解析：作辅助函数F(x)=2x2f(x)一a2f(b)一b2f(a)，F(x)在[a，b]上用零点定理．知识模块：微积分3．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)．f(b)＞0，f(a)．k∈R，存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．正确答案：令F(x)=e—kξf(x)，则由题设可知，F(x)在[a，b]上连续．不妨假定f(a)＞0，于是有F(x1)=F(x2)=0．所以F(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，且F(x1)=F(x2)=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(x1，x2)(a，b)，使得F’(ξ)=0，即e—kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0，故有f’(ξ)一kf(ξ)=0．解析：欲证存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)一kf(ξ)=0，即e—kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0，即[e—kξf(x)]’｜x=ξ=0．可作辅助函数：F(x)=e—kξf(x)，用介值定理和洛尔定理证明．知识模块：微积分4．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．正确答案：作辅助函数F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k．由f(0)=f(1)=1，＜F(0)＜F(1)．由介值定理，存在点c∈(，1)，使得F(c)=F(0)．因此，F(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且F(0)=F(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)(0，1)，使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0，即f’(ξ)=一k．解析：这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题．f’(ξ)=一k→f’(ξ)+k=0 →[f(x)+kx]’x=ξ=0 →F(x)=f(x)+kx的导数在(0，1)内有零点．于是，我们只要验证F(x)在[0，1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件．知识模块：微积分5．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx，试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)=0．正确答案：作辅助函数F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由拉格朗日定理可知，存在点η∈(a，b)，使得F’(η)=，即f(η)=∫abf(x)dx=f(a)=f(b)．于是，在区间[a，η]和[η，b]上分别应用洛尔定理，可知存在点ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．再对f’(x)在[ξ1，ξ2]上应用洛尔定理，可知存在点ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f”(ξ)=0．解析：由洛尔定理可知：要证存在一点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)=0，对F(x)=∫axf(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η．知识模块：微积分6．设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，并且f(x)g’(x)一f’(x)≠0，试证：在(a，b)内至多存在一点ξ，使得f(ξ)=0．正确答案：由已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，可知f’(x)一f(x)g’(x)≠0，即作辅助函数F(x)=f(x)e—g(x)，则F(x)在[x1，x2]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x1，x2)(a，b)内至少存在一点ξ，使F’(ξ)=e—g(ξ)[f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)]=0，这与已知条件f(x)g’(x)一f’(x)≠0，x∈(a，b)矛盾，故f(x)在(a，b)内至多存在一个零点．涉及知识点：微积分7．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，试证：(1)存在点η∈(，1)，使f(η)=η．(2)对λ∈R，必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．正确答案：(1)令F(x)=f(x)一x，则F(x)在[0，1]上连续，又F(1)=一1＜0，＞0，由介值定理可知，在(，1)中至少存在一点η，使得F(η)=0，即f(η)=η．(2)令φ(x)=[f(x)一x]e—λx，则φ(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且φ(0)=0，φ(η)=[f(η)一η]e—λx=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，η)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即e—λx[f’(ξ)一λ(f(ξ)一ξ)一1]=0．从而有f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．解析：(1)这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为函数的零点问题．f(η)一η=0，即f(x)一x=0，即F(x)=f(x)一x在(，1)内有零点．由于待证的结论中不含导数，所以可由介值定理证明．(2)欲证结论中含有一阶导数，应构造辅助函数用洛尔定理证明．由f’(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1，得到f’(x)一λf(x)=1一λx，再由一阶非齐次线性方程的通解公式得f(x)=e∫λdx[∫(1一λx)e—∫λdxdx+c]=eλx(xe—λx+c)=ceλx+x，即[f(x)一x]e—λx=c．于是，我们便可得到要找的辅助函数F(x)=[f(x)一x]e—λx．知识模块：微积分8．设f(x)在[0，1]上可导，且∫01xf(x)dx=f(1)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．正确答案：令F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．由积分中值定理，存在c∈[0，1]，使得f(1)=cf(c)．于是，有F(c)=cf(c)=F(1)=f(1)．所以，F(z)在[c，1][0，1]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在∈E(0，1)，使ξf’(ξ)+f(ξ)=0．解析：因待证结论中含有导数，所以应先构造辅助函数，再用洛尔定理来证明．要证的结论为：ξf’(ξ)+f(ξ)=0→xf’(x)+f(x)=0→f’(x)+f(x)=0．由一阶齐次线性方程的通解公式得：f(x)=，即xf(x)=c．取F(x)=xf(x)作为辅助函数，于是只需验证F(x)满足洛尔定理的全部条件．知识模块：微积分9．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且f(x)dx=f(0)，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．正确答案：因为f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理，存在点c∈[，1]，使得又f(x)在[0，c]连续，在(0，c)内可导，且f(0)=f(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)(0，1)，使得f’(ξ)=0．解析：待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明．证明的关键是在[0，1]内构造辅助区间[0，c]，使得f(0)=f(c)．点c可由已知条件和积分中值定理得到．知识模块：微积分10．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．正确答案：令F(x)=ef(x)arctanx．由已知条件，F(1)=ef(x)arctan1=ef(x)arctanxdx=1．由积分中值定理，存在点η∈[0，．于是，F(x)在[η，1]上连续，在(η，1)内可导，由洛尔定理，存在点ξ∈(η，1)(0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．解析：所以，可作辅助函数F(x)=ef(x)arctanx，用洛尔定理证明．知识模块：微积分11．设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．正确答案：作辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又0=∫01xf(x)dx=∫01xdF(x)=xF(x)｜01—∫01F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分别对F(x)应用洛尔定理，存在点ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．在[ξ1，ξ2]上对f(x)再应用洛尔定理，存在点ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得f’(ξ)=0．涉及知识点：微积分12．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(x)dx=f(2)，试证：存在一点ξ∈(0，2)，使得f”(ξ)=0．正确答案：在[a，2]上f(x)满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在一点b∈(a，2)，使得f’(b)=0，又f’(x)在[a，b]上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点ξ∈(a，b)(0，2)，使得f”(ξ)=0．解析：要证f”(ξ)=0，对f(x)可用两次洛尔定理来证明．用两次洛尔定理的关键是在[0，2]内构造使得f(a)=f(2)的区间和使f’(b)=f’(c)的区间[a，2]与[b，c]．[a，2]可由积分中值定理得到，[b，c]可由已知极限和洛尔定理获得．知识模块：微积分13．设f(x)在[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有连续的导数，且在(0，1)内g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点ξ1，ξ2∈(0，1)，使得f(ξ)=f(ξ)=0．正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=F(1)=0．又0=∫01f(x)g(x)dx=∫01g(x)F(x)｜01一∫01F(x)g’(x)dx =一∫01F(x)g’(x)dx，即有∫01F(x)g’(x)dx=0，由积分中值定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)g’(ξ)=0，由g’(x)≠0知F(ξ)=0，0＜ξ＜1．即F(0)=F(ξ)=F(1)=0，由洛尔定理，存在点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．解析：在f(x)连续的条件下，欲证f(x)存在两个零点f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，可构造辅助函数F(x)=I f(t)dt，用洛尔定理证明．因已知F(0)=F(1)=0．于是，问题的关键是再找一点ξ，使F(ξ)=0，这样的点ξ可由已知条件得到．知识模块：微积分14．设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)非负，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．正确答案：令F(x)=x∫1xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1．∫11f(t)dt=0．由洛尔定理，存在ξ∈(0，1)，使F’(ξ)=0，即∫1ξ(t)dt+ξf(ξ)=0，故ξf(ξ)—∫ξ1f(x)dx=0．解析：欲证ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx→xf(x)=∫x1f(t)dt，如作辅助函数F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，则F(0)=0f(0)一∫01f(t)出≤0，F(1)=1．f(1)一∫11f(t)dt=f(1)≥0，难以验证F(x)在[0，1]上有F(0)＜0，F(1)＞0．于是，可作辅助函数F(x)，使得F’(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，即F’(x)=[x∫1xf(t)dt]’，即F(x)=x ∫1xf(t)dt，再用洛尔定理证明．知识模块：微积分15．设f(x)在[0，1]上连续，且∫01xf(x)dx=∫01f(x)dx，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得∫01f(x)dx=0．正确答案：令F(x)=∫0x(x—u)f(u)du，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=∫01(1一u)f(u)du=∫01f(u)du—∫01u(u)du=∫01f(u)du —∫01f(u)du=0，即F(x)在[0，1]上满足了洛尔定理的全部条件．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即[∫0x(x—u)f(u)du]’｜x=ξ=[∫01f(t)dt+xf(x)—xf(x)]｜x=ξ=0，故有∫0ξf(x)dx=0．为辅助函数．解析：欲证∫0ξf(x)dx=0，若用F(x)=∫0xf(x)dt作为辅助函数，用零值定理难以验证F(0)F(1)＜0．于是，改为令F’(x)=∫0xf(t)dt．作辅助函数F(x)=∫0x[∫0uf(t)dt]du=u∫0uf(t)dt｜0x—∫0xuf(u)du =x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=∫0x(x一u)f(u)du，再用洛尔定理证明．知识模块：微积分16．设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．正确答案：变量可分离的微分方程得F(x)=，即(1一x)F(x)=c．作辅助函数φ(x)=(1一x)F(x)，用洛尔定理证明．证令φ(x)=(1一x)F(x)=∫0xf(t)dt—x∫0xf(t)dt，则φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且φ(0)=φ(1)=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，即f(ξ)一∫0ξf(t)dt一ξf(ξ)=0，故有∫0ξf(t)dt=(1一ξ)f(ξ)．用反证法证明唯一性．假若在(0，1)内存在点ξ1、ξ2，不妨设ξ1＜ξ2，使得=(1一ξ2)[f(ξ2)一f(ξ1)]一(ξ2一ξ1)f(ξ1)．由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点ξ是唯一的．解析：记F(x)=∫0xf(t)dt，欲证存在点ξ，使得F(ξ)=(1—ξ)F’(ξ)F(x)=(1一x)F’(x)．知识模块：微积分17．设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)＞0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f”(ξ)=0．正确答案：不妨设f’(a)＞0，则由f’(a)f’(b)＞0可知，f’(b)＞0．由导数的定义：即f(x2)＜f(b)=f(a)，于是有f(x2)＜f(a)＜f(x1)．由介值定理，存在点η∈(x1，x2)，使得f(η)=f(a)．由洛尔定理可知存在点ξ1∈(x1，η)，使f’(ξ1)=0，存在ξ2∈(η，x2)，使f’(ξ2)=0．所以，f’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，由洛尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f”(ξ)=0．解析：证f”(ξ)=0的关键是找出使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0的区间[ξ1，ξ2]．由f’(a)f’(b)＞0及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的点ξ1和ξ2．知识模块：微积分18．设f(x)在[a，b]上一阶可导，且｜f’(x)｜≤M，∫abf(x)dx=0，试证：当a≤x≤b时，∫abf(t)dt｜≤M(b—a)2．正确答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，且F(a)=F(b)=0．由最值定理，存在x0∈[a，b]，使F(x0)=｜F(x)｜．若F(x0)=0，则F(x)≡0，结论自然成立．若F(x0)≠0，由x0∈(a，b)可知F(x0)必是F(x)的极值．于是有F’(x0)=0，在x0处由台劳公式可得涉及知识点：微积分19．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’+(a)=＞0，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．正确答案：由题设f’+(a)=＞0可知，在(a，b)内至少存在一点x0．使f(x0)＞0．在[a，x0]，[x0，b]上分别用拉格朗日中值定理可知：存在d∈(a，x0)，c∈(x0，b)．使得于是由题设可知，f’(x)在[d，c]上连续，在(d，c)内可导．再由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(d，c)(a，b)，使得=f”(ξ)＜0．解析：由拉格朗日中值定理可知，要证f”(ξ)=＜0，只要证当d＜c时，有f’(c)＜0，f’(d)＞0．只要证存在点x0∈(a，b)，有由题设可知，只要证f(x0)＞0．由已知条件f’+(a)＞0可找到这样的点x0．知识模块：微积分20．设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)<0．正确答案：由题设知，f(x)在[a，c]和[c，d]上分别满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．又f’(x)在[a1，b1]上可导且不恒等于零，所以，必存在点a2∈(a1，b1)，使得f’(a2)＞0，或存在点a3∈(a1，b1)，使f’(a3)＜0．当存在点a2∈(a1，b1)，使得f’(a2)＞0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a2，b1)，使得当存在点a3∈(a3，b1)，使得f’(a3)＜0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a3，b1)，使得综上可知，存在点ξ∈(a1，b1)(a，b)，使f”(ξ)＜0．解析：由题设知，可在[a，c]，[c，b]上分别对f(x)用洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，6)，使f’(a1)=f’(b1)=0．但f(x)不恒等于常数，可知f’(x)≠0．从而可知，f’(x)在[a1，b1]上可导，不恒等于零，且f’(a1)=0，f’(b1)=0．然后可用拉格朗日中值定理证明存在点ξ∈(a1，b1)，使得f”(ξ)＜0．知识模块：微积分21．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证：1≤∫02(x)dx≤3．正确答案：由拉格朗日微分中值定理得存在点ξ1∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ1)x，存在点ξ2∈(x，2)，使得f(x)一f(2)=f’(ξ2)(x一2)．又｜f’(x)｜≤1，所以有｜f(x)一f(0)｜≤x→1一x≤f(x)≤1+x，x∈[0，1]，｜f(x)一f(2)｜≤2一x→x一1≤f(x)≤3一x，x∈[1，2]．由定积分的性质可知∫02f(x)dx≥∫01(1一x)dx+∫12(x一1)dx=1，∫02f(x)dz≤∫01(1+x)dx+∫12(3一x)dx=3．故1≤∫02f(x)dx≤3．或f(x)=f(x)—f(b)=f’(ξ)(x一b) (f(b)=0)．然后，根据题意进行不等式放缩．若有f(a)=f(b)=0，则f(x)可表示为f(x)=f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ1)(x一a)，f(x)=f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ2)(x一a)．解析：先应用拉格朗日微分中值定理估计f(x)的值域范围，再用积分性质估计定积分．知识模块：微积分22．试证明：方程=0有且只有一个实根．正确答案：所以，F(x)在(一∞，+∞)内单调增加，故F(x)=0的根存在并且唯一．解析：于是可由介值定理得零点的存在性，由单调性定理可得唯一性．知识模块：微积分23．设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f”(x)＞0，且=β＜0，又存在x0，使得f(x0)＜0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．正确答案：先证存在性．由，存在M＞0，使得当x＞M时，｜f’(x)一α｜＜于是可知：f(x)在(0，+∞)内单调增加．任取x∈[M，+∞)，f(x)在[M，x]上连续，在(M，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点ξ∈(M，x)，使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x一M)，于是f(x)＞f(M)+(x一M)＞0．又存在点x0，使得f(x0)＜0．所以，由介值定理．存在点ξ1∈(x0，x)，使f(ξ1)=0．同理可证，当x＜0时，存在点ξ2∈(x，x0)，使得f(ξ3)=0．再证唯一性．(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ1，ξ2，ξ3(ξ1＜ξ2＜ξ3)，由洛尔定理，存在η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使得f’(η1)=f’(η2)=0．再由洛尔定理，存在η∈(η1，η2)，使f”(η)=0．与题设f”(x)＞0矛盾，故f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．涉及知识点：微积分24．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，b＞a＞0，f(a)≠f(b)，试证：存在点ξ，η∈(a，b)，使得2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．正确答案：由拉格朗日微分中值定理，可得取g(x)=x2，则f(x)、g(x)在[a，b]上满足柯西定理的条件．由柯西微分中值定理，存在η∈(a，b)，使故有2ηf’(ξ)=(a+b)f’(η)．解析：知识模块：微积分25．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意给定的正数a，b，在(0，1)内存在不同的点ξ，η，使=a+b．正确答案：因为a＞0，b＞0，所以0＜＜1．又f(x)在[0，1]上连续，由介值定理，存在点c∈(0，1)使得f(c)=．将f(x)在[0，c]，[c，1]上分别用拉格朗日中值定理得f(c)一f(0)一f’(ξ)c，ξ∈(0，c)，f(1)一f(c)=f’(η)(1一c)，η∈(c，1)．由f(0)=0，f(1)=1，可得涉及知识点：微积分26．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．正确答案：令g(x)=e3x，则g(x)=e3x在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件．由拉格朗日中值定理，存在点η∈(a，b)，使得令F(x)=exf(x)，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a，b)，使得代入①式，可得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．解析：(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ→(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η→(e2a+ea+b+e2b)[ex(x)]’｜x=ξ=(e3x)｜x=η，先对g(x)=e3x用拉格朗日中值定理，再对F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常数(e2a+ea+b+e2b)可得待证的等式．知识模块：微积分27．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．正确答案：作辅助函数g(x)=lnx，则f(x)、g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由柯西定理，存在点η∈(a，b)，使得即f(b)一f(a)=ηf’(η)(lnb—lna)．两边同除以(b一a)得即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．解析：f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna) 知识模块：微积分28．设f(x)在[一a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt，f(0)=0，证明：存在一点ξ∈[一a，a]，使得a4｜f”‘(ξ)｜=12∫—aa｜f(x)｜dx．正确答案：由f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dtx2+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，知f’(0)=0，f”(x)=2x+I f(u)du，f”(0)=0．根据台劳公式，有这里m，M为｜f”‘(x)｜在[一a，a]上的最小值、最大值．故存在点ξ∈[一a，a]使得｜f”‘(ξ)｜==f(x)｜dx．解析：只要证｜f”‘(ξ)｜=｜f(x)dx，由于｜f”(x)｜在[—a，a]上连续，可对f”‘(x)在[一a，a]上用介值定理．为证明｜f(x)dx如介于｜f”‘(x)｜在[—a，a]上的最小值和最大值之间．对f(x)用麦克劳林公式．知识模块：微积分。
考研数学三(微积分)模拟试卷128(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷128(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1；(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(一1)f”(x)一xf’(x)=ex一1，则下列说法正确的是A．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．B．f(0)是f(x)的极小值．C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D．f(0)是f(x)的极大值．正确答案：B解析：(Ⅰ)由条件=f’(0)=0．用洛必达法则得．因f”(x)=f”(0)，若f”(0)≠0，则J=∞，与J=1矛盾，故必有f”(0)=0．再由f”‘(0)的定义知J=f”‘(0)=1，即f”‘(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，现考察f”(0)．由方程得利用当x→0时的等价无穷小关系／，并求极限即得又f”(x)在x=0连续，故f”(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选(B)．知识模块：微积分2．设函数f(x)有二阶连续导数，且=一1，则A．f(x)在x=0处取极大值．B．f(x)在x=0处取极小值．C．点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：A解析：利用f(x)在x=0处的二阶泰勒公式可得从而必有f(0)=a，f’(0)=0，f”(0)=一2，所以f(x)在x=0处取得极大值．故应选(A)．知识模块：微积分3．设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且=一1，则x=1是f(x)的A．不可导点．B．可导点，但非驻点．C．驻点，但非极值点．D．驻点，且为极值点．正确答案：D解析：即f(x+1)＞0=f(1)．从而可知x=1为极小值点，故选(D)．知识模块：微积分4．设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，则y(x)的极大值与极小值之差为A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：D解析：先确定三次函数y(x)表达式中的常数a，b，c．由y’(x)=3x2+6ax+3b 及已知x=2是极值点，可得y’(2)=3(4+4a+b)=0．①又由在x=1处的斜率为y’(1)=一3，得3(1+2a+b)=一3．②由①、②可得a=一1，b=0．故三次函数y(x)=x3一3x2+c．由y’(x)=3x(x一2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2．又由y”(x)=6x一6知y”(0)＜0与y”(2)＞0．故y(x)的极大值为y(0)=c，极小值为y(2)=一4+c．于是y(0)～y(2)=4．故应选(D)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研数学三（微积分）模拟试卷158(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设a为任意常数，则级数( )．
A．发散
B．条件收敛
C．绝对收敛
D．敛散性与常数a有关
正确答案：B
解析：知识模块：微积分
2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1＝∫abf(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，则( )．
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S2＜S3＜S1
正确答案：B
解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：微积分
3．设曲线y＝x2＋ax＋b与曲线2y＝xy3－1在点(1，一1)处切线相同，则( )．
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝2，b＝1
D．a＝－2，b＝－1．
正确答案：B
解析：由y＝x2＋ax＋b得y’＝2x＋a，2y＝xy3～1两边对x求导得2y’＝y3＋3xy2y’，解得y’＝，因为两曲线在点(1，－1)处切线相同，所以选(B)．知识模块：微积分
4．设f(x)＝，则f(x)( )
A．无间断点
B．有间断点x＝1
C．有间断点x＝－1
D．有间断点x＝0
正确答案：B
解析：当｜x｜＜1时，f(x)＝1＋x；当｜x｜＞1时，f(x)＝0；当x＝－1时，f(x)＝0；当x＝1时，f(x)＝1．于是f(x)＝显然x＝1为函数f(x)的间断点，选(B)．知识模块：微积分
填空题
5．＝______．
正确答案：1
解析：注意到xx＝1，由洛必达法则得知识模块：微积分
6．设f(x)可导且＝2，又g(x)＝在x＝0处连续，则a＝______．
正确答案：3
解析：因为g(x)在x＝0处连续，所以a＝3．知识模块：微积分
7．＝______．
正确答案：
解析：知识模块：微积分
8．由x＝zey＋z确定z＝z(x，y)，则dz｜(e，0)＝______．
正确答案：
解析：x＝e，y＝0时，z＝1．知识模块：微积分
9．计算∫02dx∫x2y2e－y2dy＝______．
正确答案：
解析：改变积分次序得∫02dx∫x2y2e－y2dy＝∫02dy∫0yy2e－y2dx＝∫02y3e－y2dy 知识模块：微积分
10．以y＝C1e－2x＋C2ex＋cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______．
正确答案：y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx
解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y’’＋y’－2y＝Q(x)，把y＝cosx代入原方程，得Q(z)＝－sinx一3cosx，所求微分方程为y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx．知识模块：微积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11．．
正确答案：涉及知识点：微积分
12．求arctanx．
正确答案：涉及知识点：微积分
13．求．
正确答案：当x∈[0，1]时，由0≤≤sinnx≤xn 涉及知识点：微积分
14．设f(x)二阶连续可导，且f(0)＝f’(0)＝0，f’’(0)≠0，设u(x)为曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求．
正确答案：曲线y＝y(x)在点(x，f(x))的切线为Y－f(x)＝f’(x)(X－x)，令Y ＝0，则u(x)＝X＝x－，涉及知识点：微积分
15．设b＞a＞0，证明：．
正确答案：令f(t)＝lnt，由微分中值定理得f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)＝其中ξ∈(a，b)．因为0＜a＜ξ＜b，所以．涉及知识点：微积分
16．求曲线y＝的上凸区间．
正确答案：由y’’＜0得(x－3)2－1＜0，解得2＜x＜4，故曲线y＝的上凸区间为(2，4)．涉及知识点：微积分
17．求．
正确答案：涉及知识点：微积分
18．求∫01xarctanxdx．
正确答案：涉及知识点：微积分
19．求．
正确答案：涉及知识点：微积分
20．设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B 有相等的面积，设C的方程是y＝x2，C1的方程是y＝x2，求曲线C2的方程．
正确答案：由题设C：y＝x2，C1：y＝x2，令C2：x＝f(y)，P点坐标为(x，y)，∫0x2f(y)dy＝x3，两边对x求导，得2x．f(x2)＝．从而C2的方程为x＝f(y)＝．涉及知识点：微积分
21．设z＝f(exsiny，x2＋y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求．
正确答案：＝f’1exsiny＋2xf’2＝f’1excosy＋exsiny(f’’11excosy＋2yf’’12)＋2x(f’’21excosy＋2yf’’22)＝f’1excosy＋f’’11e2xsin2y＋2ex(ysiny＋xcosy)f’’12＋4xyf’’22 涉及知识点：微积分
22．把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x)．
正确答案：D＝{(r,θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ}，则f(x,y)dxdy＝dθ∫0sec θrf(rcosθ,rsinθ)dr．涉及知识点：微积分
23．判断级数的敛散性．
正确答案：涉及知识点：微积分
24．求幂级数的和函数
正确答案：令x＋1＝t,得收敛半径为R＝1，当t＝±1时，因为≠0，所以收敛区间为－1＜t＜1，从而－2＜x＜0．涉及知识点：微积分
25．求微分方程xy’’＋3y’＝0的通解．
正确答案：涉及知识点：微积分。