考研数学三(微积分)模拟试卷158(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷158(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设a为任意常数，则级数( )．

A．发散

B．条件收敛

C．绝对收敛

D．敛散性与常数a有关

正确答案：B

解析：知识模块：微积分

2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1＝∫abf(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)]，则( )．

A．S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S3＜S1＜S2

D．S2＜S3＜S1

正确答案：B

解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：微积分

3．设曲线y＝x2＋ax＋b与曲线2y＝xy3－1在点(1，一1)处切线相同，则( )．

A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝－1

C．a＝2，b＝1

D．a＝－2，b＝－1．

正确答案：B

解析：由y＝x2＋ax＋b得y’＝2x＋a，2y＝xy3～1两边对x求导得2y’＝y3＋3xy2y’，解得y’＝，因为两曲线在点(1，－1)处切线相同，所以选(B)．知识模块：微积分

4．设f(x)＝，则f(x)( )

A．无间断点

B．有间断点x＝1

C．有间断点x＝－1

D．有间断点x＝0

正确答案：B

解析：当｜x｜＜1时，f(x)＝1＋x；当｜x｜＞1时，f(x)＝0；当x＝－1时，f(x)＝0；当x＝1时，f(x)＝1．于是f(x)＝显然x＝1为函数f(x)的间断点，选(B)．知识模块：微积分

填空题

5．＝______．

正确答案：1

解析：注意到xx＝1，由洛必达法则得知识模块：微积分

6．设f(x)可导且＝2，又g(x)＝在x＝0处连续，则a＝______．

正确答案：3

解析：因为g(x)在x＝0处连续，所以a＝3．知识模块：微积分

7．＝______．

正确答案：

解析：知识模块：微积分

8．由x＝zey＋z确定z＝z(x，y)，则dz｜(e，0)＝______．

正确答案：

解析：x＝e，y＝0时，z＝1．知识模块：微积分

9．计算∫02dx∫x2y2e－y2dy＝______．

正确答案：

解析：改变积分次序得∫02dx∫x2y2e－y2dy＝∫02dy∫0yy2e－y2dx＝∫02y3e－y2dy 知识模块：微积分

10．以y＝C1e－2x＋C2ex＋cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______．

正确答案：y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx

解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y’’＋y’－2y＝Q(x)，把y＝cosx代入原方程，得Q(z)＝－sinx一3cosx，所求微分方程为y’’＋y’－2y＝－sinx－3cosx．知识模块：微积分

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．．

正确答案：涉及知识点：微积分

12．求arctanx．

正确答案：涉及知识点：微积分

13．求．

正确答案：当x∈[0，1]时，由0≤≤sinnx≤xn 涉及知识点：微积分

14．设f(x)二阶连续可导，且f(0)＝f’(0)＝0，f’’(0)≠0，设u(x)为曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求．

正确答案：曲线y＝y(x)在点(x，f(x))的切线为Y－f(x)＝f’(x)(X－x)，令Y ＝0，则u(x)＝X＝x－，涉及知识点：微积分

15．设b＞a＞0，证明：．

正确答案：令f(t)＝lnt，由微分中值定理得f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)＝其中ξ∈(a，b)．因为0＜a＜ξ＜b，所以．涉及知识点：微积分

16．求曲线y＝的上凸区间．

正确答案：由y’’＜0得(x－3)2－1＜0，解得2＜x＜4，故曲线y＝的上凸区间为(2，4)．涉及知识点：微积分

17．求．

正确答案：涉及知识点：微积分

18．求∫01xarctanxdx．

正确答案：涉及知识点：微积分

19．求．

正确答案：涉及知识点：微积分

20．设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B 有相等的面积，设C的方程是y＝x2，C1的方程是y＝x2，求曲线C2的方程．

正确答案：由题设C：y＝x2，C1：y＝x2，令C2：x＝f(y)，P点坐标为(x，y)，∫0x2f(y)dy＝x3，两边对x求导，得2x．f(x2)＝．从而C2的方程为x＝f(y)＝．涉及知识点：微积分

21．设z＝f(exsiny，x2＋y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求．

正确答案：＝f’1exsiny＋2xf’2＝f’1excosy＋exsiny(f’’11excosy＋2yf’’12)＋2x(f’’21excosy＋2yf’’22)＝f’1excosy＋f’’11e2xsin2y＋2ex(ysiny＋xcosy)f’’12＋4xyf’’22 涉及知识点：微积分

22．把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x)．

正确答案：D＝{(r,θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ}，则f(x,y)dxdy＝dθ∫0sec θrf(rcosθ,rsinθ)dr．涉及知识点：微积分

23．判断级数的敛散性．

正确答案：涉及知识点：微积分

24．求幂级数的和函数

正确答案：令x＋1＝t,得收敛半径为R＝1，当t＝±1时，因为≠0，所以收敛区间为－1＜t＜1，从而－2＜x＜0．涉及知识点：微积分

25．求微分方程xy’’＋3y’＝0的通解．

正确答案：涉及知识点：微积分