常微分方程课程总结
常微分方程解题方法总结
常微分方程解题方法总结
来源：文都教育
复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍. 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题. 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结. 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要.
以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法. 下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询.
常微分方程
(名称、形式)
通解公式或解法
可分离变量的方程当时，得到，
两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解.
齐次微分方程
解法：令，则，代入得到化为可分离变量方程
一阶线性微分方程
伯努利方程解法：令，有，
（n≠0,1）代入得到
二阶常系数齐次线性微分
方程求解特征方程：三种情况：
(1)两个不等实根：通解：
(2)两个相等实根：通解：
(3)一对共轭复根：通解：
二阶常系数非齐次线性微
分方程
通解为的通解与的特解之和.
常见的有两种情况：
（1）
若不是特征方程的根，令特解；若是特征方程的单根，令特解；若是特征方程的重根，令特解；
（2）
当不是特征值时，令，当是特征值时，令
以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较实用的方法.。
【总结】常微分方程知识总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。
注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
一阶常微分方程解法总结
章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如d^ = f (x)g(y) dx当g(y) =o 时，得到 型f(x)dx ，两边积分即可得到结果;g(y)当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。
例 1.1、巴=xydxdy解：当y = 0时，有xdx ，两边积分得到 yy =0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y 二Ge^ (G 为常数)②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；P(x) N(y)当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。
2 2例「2、x(y -1)dx y(x -1)dy=0解：当 (x 2 -1)(y 2-1) =0时，有Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1o222Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；当(x - 1)(y -0 =0时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为(x 2-1)( y 2-1) =C (C 为常数)。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)dx x(C 为常数)所以y ^C j e 2(C i 为非零常数且G = _e C)解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到x dx解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到1一 史二口，有 udu=-7dx dx u所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u代入得到2"x 一 y -2) Tx=C (C 为常例 2.2、dydx 2x - y 1 x _2y 1解：由丿 2x—y+"0得到、x_2y +1 =01 x =3 1 y =- -3，令 u = x +1 3，有」1v = y 一一dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-vdu u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u一 du口，化简得到，1 -2tduu 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t )2有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所 以有f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
微分方程解法小结
微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。
解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。
令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。
4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。
二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。
(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。
)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。
二阶常系数微分方程总结
二阶常系数微分方程总结二阶常系数微分方程的求解方法及应用引言：在数学中，微分方程是一个方程，该方程中包含了未知函数的导数，是研究自然界现象变化规律的重要工具。
其中，二阶常系数微分方程是一类常见的微分方程，它具有形如f''(x)+af'(x)+bf(x)=0的形式，其中a和b为常数。
本文将从求解方法和应用两个方面对二阶常系数微分方程进行总结。
一、求解方法：1. 特征方程法：特征方程法是求解二阶常系数微分方程的常用方法。
对于f''(x)+af'(x)+bf(x)=0，我们可以假设f(x)=e^(rx)为其解，代入方程后化简得到特征方程r^2+ar+b=0。
根据特征方程的解的不同情况，可以得到方程的通解。
2. 变量分离法：对于一些特殊的二阶常系数微分方程，可以通过变量分离法求解。
首先，我们将f(x)表示为f(x)=u(x)v(x)，然后将f''(x)+af'(x)+bf(x)=0带入，得到一系列关于u(x)和v(x)的方程，通过求解这些方程可以得到方程的解。
3. 初值问题求解：对于二阶常系数微分方程的初值问题，可以通过给定初始条件来求解。
首先，将方程转化为标准形式，然后代入初始条件进行求解，得到满足初始条件的特解。
二、应用：1. 自由振动：二阶常系数微分方程广泛应用于描述自由振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用二阶常系数微分方程来描述，其中a和b分别代表弹簧的刚度和阻尼系数。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 电路分析：在电路分析中，电感、电容和电阻的组合经常涉及到二阶常系数微分方程。
通过建立电路方程并转化为微分方程，可以求解电路中电流和电压随时间的变化规律，为电路设计和分析提供依据。
3. 指数增长和衰减：二阶常系数微分方程也可以应用于描述指数增长和衰减的过程。
在人口增长、物质衰变等领域中，经常需要通过求解二阶微分方程来预测趋势和变化。
高考数学中的常微分方程的求解方法总结
高考数学中的常微分方程的求解方法总结高考数学中常微分方程的求解方法总结常微分方程是数学中的一种重要概念，是许多实际问题的数学模型，广泛应用于科学和工程领域。
在高考数学中，常微分方程作为一个基础性概念经常出现，求解常微分方程也是数学考试中的重点内容。
本文将总结高考数学中常见的常微分方程求解方法，并结合例题进行说明。
1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的一种简单有效的方法。
可分离变量的方程形式为：$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $将方程两边分离变量，得到：$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $对两边积分，得到：$ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $从而求出常微分方程的通解。
下面以一个例题为例：例：求解初值问题 $ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^2},\ y(1)=2 $解：将方程两边分离变量：$ y^2 dy = xdx $对两边积分，得到：$ \frac{1}{3} y^3 = \frac{1}{2} x^2 + C $其中 $ C $ 为任意常数。
代入 $ y(1)=2 $，得到 $ C = \frac{1}{3} $，从而得到通解：$ y^3 = \frac{3}{2} x^2 +1 $2. 齐次方程法齐次方程为一阶常微分方程，其形式为：$ \frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) $其中 $ f(u) $ 为关于 $ u $ 的连续函数。
对于齐次方程，可以通过变量代换 $ y = ux $，将其化为常数系数的线性微分方程，然后利用一些基本的求解技巧求出通解。
下面以一个例题为例：例：求解初值问题 $ \frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x},\ y(1)=1 $解：将方程变形为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 1 - \frac{2x}{y+x} $令 $ \frac{y}{x} = w $，则有：$ y = wx $$ \frac{dy}{dx} = w + x \frac{dw}{dx} $将上式代入原方程：$ w + x \frac{dw}{dx} = w -1 - \frac{2}{1+w} $整理得到：$ x \frac{dw}{dx} + \frac{2}{1+w} = -1 $对其进行分离变量，得到：$ \frac{1+w}{w} dw = - \frac{1}{x} dx $对两边积分，得到：$ w + \ln{w} = -\ln{x} + C $代入 $ w = \frac{y}{x} $，得到：$ \frac{y}{x} + \ln{\frac{y}{x}} = -\ln{x} + C $从而得到通解：$ y = x e^{-\frac{3}{2} \ln x +C} $代入 $ y(1)=1 $，得到 $ C = \frac{1}{2} \ln 2 $，从而得到初值问题的解：$ y = x \sqrt{\frac{1}{2} \ln(\frac{x^2}{2})} $3. 其他方法除了可分离变量法和齐次方程法，还有一些方法可以用来求解常微分方程，例如一阶线性常微分方程的常数变易法、高阶常微分方程的特征方程法、欧拉方程法等等。
微分方程总结归纳
微分方程总结归纳微分方程是数学中重要的概念之一，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
本文将以人类的视角，通过几个具体的实例来总结归纳微分方程的应用。
第一部分：生物学中的微分方程在生物学中，微分方程经常被用来描述生物体的生长、变化和适应过程。
比如，我们知道细胞的增长速度与其当前的大小有关。
假设细胞的大小为x，细胞的增长速率为dx/dt，那么可以用微分方程来表示细胞的增长规律：dx/dt = kx其中，k是一个常数，表示细胞的增长速率。
这个微分方程告诉我们，细胞的增长速率与其当前的大小成正比。
这个简单的微分方程可以帮助我们理解细胞的生长规律，为生物学研究提供重要的理论基础。
第二部分：物理学中的微分方程在物理学中，微分方程被广泛应用于描述物体的运动和力学性质。
比如，牛顿第二定律可以用微分方程的形式来表示：F = m(d^2x/dt^2)其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，x是物体的位移。
这个微分方程告诉我们，物体所受的力与其质量和加速度成正比。
通过求解这个微分方程，我们可以计算出物体的运动轨迹和速度变化，从而更好地理解物体的运动规律。
第三部分：经济学中的微分方程在经济学中，微分方程被用来描述经济系统中的变化和发展。
比如，我们知道市场需求和供给的变化会影响商品的价格。
假设商品的价格为p，需求量为x，供给量为y，那么可以用微分方程来描述价格的变化规律：dp/dt = k(x-y)其中，k是一个常数，表示价格的变化速率。
这个微分方程告诉我们，价格的变化速率与需求量和供给量的差异成正比。
通过求解这个微分方程，我们可以预测价格的走势，为经济决策提供重要参考。
结论微分方程是数学中重要的工具，它可以帮助我们理解和描述许多自然界和人类社会中的现象和规律。
本文通过生物学、物理学和经济学三个领域的实例，总结归纳了微分方程的应用。
希望读者通过本文的介绍，对微分方程有更深入的理解，并能在实际问题中灵活运用。
阶常微分方程解法总结
阶常微分方程解法总结根据方程的形式和特点，我们可以将解法总结为如下几种情况：1.可分离变量方程（可分离变量定理）：若方程可化为dy/dx = g(x)h(y)，则可以将方程两边同时乘以dx和1/h(y)，然后将式子两边分别积分得到∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx。
最后解出y的表达式。
2.齐次方程（齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = F(y/x)，则可以令v = y/x，进而可得到dy/dx = (dv/dx)x + v。
再将方程化为可分离变量的形式进行求解。
3.线性方程（线性方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)，则可以根据线性方程的定理解得通解。
通解的形式为y = (1/μ(x))(∫μ(x)Q(x)dx + C)，其中μ(x)为方程的积分因子，通过求解微分方程dμ(x)/dx = P(x)μ(x)得到。
4.变量可分离的齐次方程（变量可分离的齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = f(y/x)，则可以通过变量代换v = y/x，将方程化为dx/x = f(v)dv的形式进行求解。
最后再将v恢复为y/x得到该方程的通解。
5. Bernoulli方程（Bernoulli方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中n不为0或1，则可以通过假设v = y^(1-n)进行变量代换，将方程化为线性方程进行求解。
6.可降阶的高阶微分方程（常微分方程降阶）：若方程为高阶微分方程dy^n/dx^n = f(x)，我们可以通过逐步降阶来求解。
首先令v = dy/dx，然后对方程两边求导得到dv/dx =d^2y/dx^2、通过重复这个过程，我们最终可以得到一个只涉及一阶导数的方程，然后再用前面的方法进行求解。
7.常数变易法：当我们求解线性非齐次方程时，可以使用常数变易法。
首先求解对应的齐次方程，得到齐次解y0。
然后令y=y0v，将这个v代入非齐次方程中得到v的方程。
微分方程总结归纳
微分方程总结归纳微分方程是数学中的一种重要概念，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中具有广泛的应用。
本文将对微分方程进行总结归纳，介绍其基本概念、分类、解法以及应用等方面的内容。
一、基本概念微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
其中，未知函数可以是一个或多个变量的函数，导数可以是一阶或高阶导数。
微分方程的一般形式可以表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数。
二、分类微分方程根据方程中未知函数及其导数的阶数、方程中是否含有自变量x，以及方程的线性性质等，可以分为常微分方程和偏微分方程、一阶微分方程和高阶微分方程、齐次微分方程和非齐次微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等多个类别。
常微分方程是指只涉及未知函数的一阶或高阶导数的微分方程，而偏微分方程是指涉及未知函数的偏导数的微分方程。
常微分方程主要研究函数的变化规律，而偏微分方程则主要研究多变量函数的变化规律。
三、解法解微分方程的方法多种多样，常见的方法有分离变量法、变量替换法、常数变易法、齐次方程法、特殊方程法、幂级数法、变系数法等。
分离变量法是指将微分方程中的变量分离成两部分，然后分别对两边进行积分。
变量替换法是通过引入新的变量来简化微分方程的形式，使得求解更加方便。
常数变易法是通过对未知函数加上一个特定的函数来将非齐次方程转化为齐次方程，从而简化求解过程。
四、应用微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中具有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程来描述，从而解决物体的运动问题。
电路中的电流和电压关系、热传导方程、人口增长模型等都可以通过微分方程来描述和求解。
微分方程在金融学、经济学、生态学等领域中也有重要应用。
例如，在金融学中，可以通过微分方程建立利率、价格等变量之间的关系，从而进行金融市场的分析和预测。
常微分方程总结
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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二、y f (x, y) 型的微分方程 即含自变量x,
不含未知函数y
设 y p (x) ,
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
[C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
dx
令z
y1
n
,则
dz dx
(1 n)yn
dy dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
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一、一阶线性微分方程
常微分函数知识点总结
常微分函数知识点总结常微分函数是微分方程中的一种特殊类型，它是指一个未知函数的微分与它本身的函数关系。
在数学中，微分方程是描述自然现象变化规律的重要工具，因此常微分函数也是微分方程研究的重要对象之一。
在此，我们将对常微分函数的基本概念、性质和解法等进行总结。
常微分函数的基本概念首先，我们来了解一下常微分函数的基本概念。
常微分方程是指一个未知函数的导数与函数本身之间的关系式，这种导数与未知函数本身之间的关系便是常微分函数。
常微分函数的一般形式可以写为：y’ = f(x, y)其中，y为未知函数，x为自变量，f(x, y)为关于x和y的函数。
在常微分函数中，y’称为函数y的导数，它表示y随着x的变化而变化的速率。
而f(x, y)则是一个关于x和y的函数，它描述了y的导数与y本身之间的关系。
常微分函数的一个重要特点是未知函数y的导数与未知函数y本身的关系是隐式的，它不是通过解析式具体表达的。
常微分函数的解法在解常微分函数时，最常用的方法之一是分离变量法。
分离变量法是将未知函数y的导数与未知函数y本身的关系式进行变换和分离，最终得到一个可以通过积分求解的方程。
接下来，我们以一个简单的一阶常微分方程为例来说明分离变量法的解法：dy/dx = x/y我们可以将方程变形为：ydy = xdx然后对两边同时积分，得到：∫ ydy = ∫ xdx解得：1/2 * y^2 = 1/2 * x^2 + C其中，C为积分常数。
最终解得未知函数y与自变量x之间的关系式：y = ±√(x^2 + C)这便是通过分离变量法解出的常微分函数的解。
常微分函数的性质除了解法外，常微分函数还具有一些重要的性质。
其中，一个重要的性质是存在唯一性定理。
唯一性定理是指若常微分方程满足一定的 Lipschitz 条件，则它的解在一定的条件下是唯一的。
这个定理对于常微分方程的解的存在性和唯一性提供了重要的保证，极大地推动了常微分方程的理论研究和应用。
微分方程解的结构总结
微分方程解的结构总结一、常微分方程的解的结构常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的微分方程。
在常微分方程的解的结构方面，我们有以下几个重要结论：1. 叠加原理：如果一个常微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
这意味着我们可以通过已知的解构造出新的解。
2. 初始条件的影响：常微分方程通常需要给定初始条件才能确定特定的解。
不同的初始条件会得到不同的解，这反映了解的结构的多样性。
3. 解的存在唯一性：对于某些常微分方程，解的存在唯一性是成立的，也就是说只有一个解满足给定的初始条件。
这种情况下，解的结构相对简单明确。
二、线性微分方程的解的结构线性微分方程是指未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
线性微分方程的解的结构更加复杂，我们有以下重要结论：1. 叠加原理：对于线性微分方程，它的解也满足叠加原理。
如果一个线性微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
2. 齐次线性微分方程的解的线性空间性质：齐次线性微分方程是指其右端项为零的线性微分方程。
对于齐次线性微分方程，它的解构成一个线性空间。
这意味着我们可以通过已知的解构造出线性空间中的其他解。
3. 非齐次线性微分方程的解的结构：非齐次线性微分方程是指其右端项不为零的线性微分方程。
对于非齐次线性微分方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和构成。
这可以通过叠加原理和线性空间性质得出。
三、特殊微分方程的解的结构除了常微分方程和线性微分方程外，还有一些特殊的微分方程，它们的解的结构也有一些特殊性质：1. 可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程可以通过分离变量的方法求解。
解的结构相对简单，可以通过分离变量再积分得到。
2. 齐次微分方程：齐次微分方程的右端项可以通过变量替换转化为常数项，从而得到其解的结构。
3. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程可以通过积分因子法求解。
解的结构可以通过积分因子的选择和积分的方法得到。
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常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
则原方程变形为=dX dY Y b X a Y b X a 2211++＝)(XYg§2.2 线性微分方程与常数变易法（1）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=，其中)()(x Q x P ，在区间上是x 的连续函数。
若)(x Q ＝0，则变为y x P dxdy )(=，称为一阶齐次线性微分方程，若)(x Q 0≠，则称为一阶非齐次线性微分方程。
（2）y x P dxdy)(=是变量分离方程，解为⎰=dx x P ce y )(（c 是任意常数）。
（3）常数变异法，令⎰=dxx P e x c y )()(，微分之，得到⎰+⎰=dx x P dxx P e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( 代入原方程得到新方程，解得c dx e x Q x c dx x P +⎰=⎰-)()()(得到通解c dx e x Q e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-)()()( （4）伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy)()(+= 令n y z -=1，从而dxdyy n dx dz n--=)(，均代入原方程得到 )()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=,这是线性微分方程。
§2.3 恰当微分方程与积分因子2.3.1 恰当微分方程（1）简单二元函数的全微分：)(xy d xdy ydx =+)(2y x d y xdy ydx =- )(2xyd x xdy ydx =+-)(ln x y d xy xdy ydx =-- )arctan (ln 22y x d y x xdy ydx =+- )(ln 2122yx yx d y x xdy ydx +-=--2.3.2 积分因子)(x NxNy M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dx x e )(ψμ。
§2.4一阶隐式微分方程与参数表示（1）形如),(dx dyx f y =，引入参数p dx dy =，原方程变为),(p x f y =，两边对x 求导，并以p dxdy=代入，得到dx dy p f x y p ∂∂+∂∂=，这是关于p x ,的一阶微分方程 （2）形如),(dxdyy f x =， 引入参数p dxdy=，原方程变为),(p x f x =，两边对y 求导，并以p dy dx 1=代入，得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1，这是关于p y ,的一阶微分方程，设求得通解为0),,(=c p y φ，则方程通解为{0),,(),(==c p y p y f x φ（3）形如F （),y x '＝0c t t dt t t t y dt t t t y t t p t t x tx p y x y x +++=+-=+-=+=+==='='-'+⎰2333323332332333)1(4123)1()21(9,)1()21(9d ,13,13,y 03积分之，得到于是从而则由方程得解：令（4）形如F （),y y '＝0第三章 一阶微分方程解的存在定理§3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程),(y x f dx dy= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3）其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.思路：1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2）构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰ （3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3）函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.命题1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ= 的解,则()y x ϕ=是积分方程 00(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤ （3.6）命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+. 1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) xnn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ 对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.7） 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++ 可知3n =.于是 0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.§3.2 解的延拓2、局部利普希茨条件定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足利普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和利普希茨常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部利普希茨条件.定理3 （延拓定理）如果方程),(y x f dxdy=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部利普希茨条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，方程),(y x f dxdy=以),(00y x 为初值的解)(x ϕ均可以向左右延展，直到点(,())x x ϕ任意接近区域G 的边界.以向x 增大的一方来说，如果()y x ϕ=只能延拓到区间上，则当x m →时，(,())x x ϕ趋于区域G 的边界。