差分方程

差分方程

对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.

一、差分的定义 定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为

)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,

简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.

称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.

同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分. 一般记)(1

x n x n

y y -∆

∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i n

i i

n

x n

y C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,

(1) Δ(C )=0;

(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );

(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;

(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ; (5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x

x

z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= α

α

x x -+)1(.

特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=

i n n

i i n

x C

-=∑1

, 阶数降了一阶.

推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .

二、差分方程

定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

它的一般形式为0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ， 其中F , G 是表达式，x 是自变量. 使等式成立自变量的取值范围称为该方程的定义域. 0),,,,(1=++n x x x y y y x F 的方程，也称为n 阶差分方程. n 为方程的阶. 形如

)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ （14-7-1）

称为n 阶线性差分方程.. 0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.

差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为差分方程的解．对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解．一般来说，对于n 阶差分方程，其含有n 个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解．不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样椰油初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00

y y x x x

==.二阶的如:

00

y y x x x

==,00

y y x x x

∆=∆=等等.

对于线性差分方程的解的结构有如下结论.

定理 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（14-7-1）的解，则对任意常数C 1, C 2,

)()(2211x y C x y C +也是方程（14-7-1）的解．

定理 设0)(0≠x a ，)

()

2()

1(,.....,,n x x x y y y 是

0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a

的n 个线性无关的特解，则)

()2(2)1(1.....n x n x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定理 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n x

x x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a

的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程

)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++

的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理 设，)

1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )

2(x

y 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)

2()1(x

x x y y y +=是方程 )()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解.

本书着重研究一阶和二阶常系数的差分方程.

三、一阶常系数的差分方程

一阶常系数的差分方程是)(1x f py y x x =-+ (常数p ≠0).

（a ）当0)(=x f ，设x x r y =是其齐次方程的解, 即 01

=-+x x pr r ,

所以 r=p . 那么01

=-+x x pr r

有通解x x Cp y =(C 为任意常数)

例 求差分方程0231=-+x x y y 的通解.

解 事实上原方程是0321=-+x x y y 所以其通解为x

x C y ⎪⎭

⎫

⎝⎛=32 (C 为任意

常数)..