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2022-2023学年河北省衡水市部分中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(学生版+解析版)

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2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。

河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷及答案

河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷及答案

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知z =i(3−i)2+i，则z 在复平面内对应的点位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a ，b 满足|a |=2，b =(1，1)，|a +b |=10，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为A ．(22,22)B ．(1,1)C ．(−1,−1)D ．(−22,22)3．在Rt ΔABC 中，A =90∘，B =60∘，AB =2，则AB ⋅BC =A ．−4B ．4C ．−8D ．84．已知A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC 的夹角为钝角”是“|AB +AC |<|BC |”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2 000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5−12．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，且点E 为线段BO 的黄金分割点，则BF =A +B +C +D 6．已知复数z 满足z ⋅z +4i ⋅z =5+ai ，则实数a 的取值范围是A ．[−4,4]B ．[−6,6]C ．[−8,8]D ．[−12,12]7．已知点P 是ΔABC 所在平面内一点，有下列四个等式：①PA +PB +PC =0；②PA ⋅(PA −PB)=PC ⋅(PA −PB)；③|PA|=|PB|=|PC|；④PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．①B ．②C ．③D ．④8．对于给定的正整数n ，设集合X n ={1,2,3,⋯,n }，A ⊆X n ，且A ≠∅．记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2023)=A ．2023×22023+1 B ．2023×22022+1 C ．2022×22022+1D ．2022×22023+1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高三上数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年高中（下）数学试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知全集为U ，P ，Q 为U 的子集，P ∩(∁U Q )=P ，则Q ∩(∁U P )=( )A.∅B.P C.Q D.U2. 已知复数z =5−5i2−i ，则z 的虚部为( )A.−3B.−3i C.−1D.−i3. 某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况进行预测，甲说：“A ，B 同时获奖”，乙说：“B ，D 不可能同时获奖”，丙说：“C 获奖，”，丁说：“A ，C 至少一件获奖”．如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）A.作品A 与作品BB.作品B 与作品CC.作品C 与作品DD.作品A 与作品D4. 已知|→a |=1，|→b |=12|→a |，|→a −13→b |=√316，则→a 与→b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π65. 函数f(x)=xln(x +1)的图象大致是()A.U P Q U P ∩(Q)=P ∁U Q ∩(P )=∁U ∅PQU z =5−5i 2−i z −3−3i−1−i A ，B ，C ，D A ，B B ，D C A ，C A BB CC DA D ||=1a →||=||b →12a →|−|=a →13b →31−−√6a →b →π6π32π35π6f (x)=x ln(x +1)B. C. D.6. 已知a =log 30.3，b =30.3，c =0.33，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A.b >c >aB.c >b >aC.a >b >cD.b >a >c7. 若函数f(x)=sinx −acosx 图象的一条对称轴方程为x =π3，则f(x)在(0,π)上的单调递增区间是( )A.(π6,π2)B.(0,π3)C.(0,π3)和(5π6,π)D.(0,π6)和(2π3,π)8. 关于x 的一元二次不等式mx 2−2x +1<0的解集为(a,b)，则3a +2b 的最小值是( )A.3+2√22B.5+2√6C.52+√6D.39. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB,→BD =x→AB +y→AC(x,y ∈R)，|→AD |=2，且→AC ⋅→AD =12，则2x +y =( )A.−34B.−13a =0.3log 3b =30.3c =0.33a b c b >c >a c >b >a a >b >cb >a >c f(x)=sinx −a cosx x =π3f(x)(0,π)(,)π6π2(0,)π3(0,)π3(,π)5π6(0,)π6(,π)2π3x m −2x +1<0x 2(a,b)3a +2b3+22–√25+26–√+526–√3△ABC AD ⊥AB,=x +y (x,y ∈R)，||=2BD −→−AB −→−AC −→−AD −→−⋅=12AC −→−AD −→−2x +y =()−34−13C.−23D.110. 函数f(x)=ln |x |+|sinx |（−π≤x ≤π且x ≠0）的图象大致是( )A.B.C.D.11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +π4)−1(A >0,0<ω<1)，f(π8)=f(5π8)，且f(x)在区间(0,3π4)上的最大值为√2.若对任意的x 1，x 2∈[0,t]，都有2f (x 1)≥f (x 2)成立，则实数t 的最大值是（ ）A.3π4B.2π3C.7π12D.π212. 定义在R 上的函数f(x)=x +g(x)，g(x)=−2x −2+g(−2−x)，若f(x)在区间[−1,+∞)上为增函数，且存在−2<t <0，使得f(0)⋅f(t)<0．则下列不等式不一定成立的是( )A.f(t 2+t +1)>f(12)B.f(−2)>0>f(t)C.f(t +2)>f(t +1)D.f(t +1)>f(t)二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若平面向量→a,→b,→c 满足→a ⋅(→a +→c )=0,|→c |=1,|→a +→b −2→c |=2，则→a ⋅→b 的最大值为________.14. 函数f(x)=cos 2x −sin 2x −sin2x 的图象在点(π8,0)处的切线方程为________. −231f(x)=ln |x |+|sinx |−π≤x ≤πx ≠0()f (x)=Asin(ωx +)−1(A >0,0<ω<1)π4f()=f()π85π8f (x)(0,)3π42–√x 1∈[0,t]x 22f ()≥f ()x 1x 2t 3π42π37π12π2R f(x)=x +g(x)g(x)=−2x −2+g(−2−x)f(x)[−1,+∞)−2<t <0f(0)⋅f(t)<0()f(+t +1)>f()t 212f(−2)>0>f(t)f(t +2)>f(t +1)f(t +1)>f(t),,a →b →c →⋅(+)=0,||=1,|+−2|=2a →a →c →c →a →b →c →⋅a →b →f (x)=x −x −sin2x cos 2sin 2(,0)π815. 已知sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα=45，β是第三象限角，则sin (β+π4)的值________．16. 已知函数f(x)=(x +1)sinx +cosx ，若对于任意的x 1，x 2∈[0,π2](x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|<a |e x 1−e x 2|成立，则实数a 的取值范围为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，cos2C −cos2B =2sinA(sinA −sinC).(1)求角B 的大小；(2)若c =1，△ABC 的面积为3√32，求b. 18. 现在给出三个条件：①a =2；②B =π4；③c =√3b ．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(2b −√3c )cosA =√3acosC ，________，________．求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）. 19. 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=−10．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n 2n−1}的前n 项和． 20. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快. 某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为9平方米，经过3个月其覆盖面积达到12平方米，该生物覆盖面积y （单位：平方米）与经过时间x(x ∈N)个月的关系有两个函数y =k ⋅a x (k >0,a >1)与y =p √x +q(p >0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(2)问约经过几个月，该水域中此生物的覆盖面积是当初投放的1000倍.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48） 21. 已知椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为2√3.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过F 1的直线l ，使得直线l 与椭圆C 交于A ，B ，AF 2⊥BF 2？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数f(x)=e 2x −ax 2−ax −sinx −1，f ′(x)为f(x)的导函数.(1)求y =f ′(x)在x =0处的切线方程；(2)证明：当a ≤1时，f(x)>0对x >0恒成立.sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα=45βsin(β+)π4f (x)=(x +1)sinx +cosx ，∈[0,](≠)x 1x 2π2x 1x 2|f()−f()|<a|−|x 1x 2e x 1e x 2a △ABC a ，b ，c A B C cos2C −cos2B =2sinA(sinA −sinC)(1)B(2)c =1，△ABC 33–√2b.a =2B =π4c =b 3–√△ABC a b c A B C (2b −c)cosA =a cosC 3–√3–√△ABC {}a n =0a 2+=−10a 6a 8(1){}a n (2){}a n 2n−1n 29312y x(x ∈N)y =k ⋅(k >0,a >1)a x y =p +q(p >0)x −√(1)(2)1000≈1.412–√≈1.733–√lg2≈0.30lg3≈0.48C ，F 1F 2x 423–√(1)(2)F 1l l C A ，B A ⊥B F 2F 2l f(x)=−a −ax −sinx −1e 2x x2(x)f ′f(x)(1)y =(x)f ′x =0(2)a ≤1f(x)>0x >0参考答案与试题解析2022-2023学年高中（下）数学试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】U为全集，P，Q为U的子集，由P∩(∁U Q)=P可知P与Q无交集，则Q∩(∁U P)=Q．【解答】解：∵P∩(∁U Q)=P(U为全集，P，Q为U的子集)，∴说明P与Q无交集，∴Q∩(∁U P)=Q．故选C．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】由题意，先对复数z进行整理，进而即可得到复数的虚部.【解答】解：已知复数z=5−5i2−i=5(1−i)(2+i)(2+i)(2−i)=5(3−i)5=3−i ，可得z的虚部为−1.故选C.3.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】本题主要考查推理知识．【解答】解：若甲预测正确，则乙预测正确，丙预测错误，丁预测正确，与题意不符，故甲预测错误；若乙预测错误，则依题意丙、丁均预。

2023届河北省衡水市十三中高三上学期质检(三)数学试题及答案

2023届河北省衡水市十三中高三上学期质检(三)数学试题及答案

衡水市第十三中学2022~2023学年高三第一学期质检考试（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，复数，平面向量，数列占30%，立体几何，解析几何占70%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,2A B x x =≤=<，则A B = （）A.{}22x x -<<B.{}02x x ≤<C.{}2x x ≤ D.{}22x x -<≤2.已知()1i 4z ⋅+=，则z 的虚部为（）A.2- B.2C.2i -D.2i3.已知 1.1ln3,log 2a b c -===，则（）A.b a c <<B.a c b<<C.a b c<< D.b c a<<4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥P ABCD -是阳马，PA 上平面ABCD ，且2EC PE = ，若AB a =，AC b = ，AP c = ，则DE = （）A.122333a b c -+B.122333a b c ++C.2233a b c-+ D.2233a b c+- 5.若直线30x y a +-=是曲线214ln 2y x x =-的一条切线，则实数=a （）A.12B.32 C.52D.726.抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则PA PF +的最小值为（）A.8B.6C.5D.97.《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，SAB △、SCD 是直角圆锥SO 的两个轴截面，且1os 3c BOC =∠，则异面直线SA 与BC 所成角的余弦值为（）A.13B.66C.64D.638.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为53，左､右焦点分别为12,F F ，设过2F 的直线l 与C 的右支相交于,A B 两点，若()()112112220,F A F F F A F F BF AF λ+⋅-==，则λ=（）A.3- B. C. D.2-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AC AA ===，若1BD A C ⊥，则D 可能为（）A.1AC 的中点B.AC 的中点C.1CC 的中点D.ABC 的重心10.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（）A.若()4,4A ，则5AF =B.若()2,3E ，则AE AF +的最小值为5C.以线段AB 为直径的圆与直线1y =-相切D.若3AF FB =，则直线AB 的斜率为11.已知动点P 到原点O 与(2,0)A 的距离之比为2，动点P 的轨迹记为C ，直线:3430l x y --=，则下列结论中正确的是（）A.C 的方程为2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B.动点P 到直线l 的距离的取值范围为17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.直线l 被C 截得的弦长为3D.C 上存在三个点到直线l 的距离为1312.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()32g x f x --=，()()1f x g x ''=-，且()2g x +为奇函数，()11g =，则（）A.()()13g g -= B.()()244f f +=-C.()20221g = D.()202214043k f k ==-∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线1:460l mx y +-=与直线()2:2230l x m y +++=平行，则m =_______.14.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左或向右平移(0π)ϕϕ<<个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ的一个取值可能为__________.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6b =，30B =︒，22a c +=，则ABC 的面积为______．16.设椭圆C 的上顶点为(0,1)D ，且长轴长为C 的标准方程为___________；过D 任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 过定点___________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a n +-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}lg n S 的前n 项和n T ．18.已知ABC 的顶点分别为(2,3)A -，(4,5)B -，(1,4)C ．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）直线:34280l x y -+=上有一动点P ，过点P 作ABC 外接圆的一条切线，切点为Q ，求PQ 的最小值，并求点P 的坐标．19.如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，AD BE，22AD AC BE ===，AB BC ==（1）求五面体ABCDE 的体积；（2）求二面角A CE D --的正弦值．20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,6AB AD AA ===.（1）求1C 到平面1A BD 的距离；（2）求直线AC 与平面1A BD 所成角的正弦值.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程.（2）设O 为坐标原点，过点(),0(0)t t >的直线l （斜率不为0）交椭圆C 于不同的两点,A B （异于点P ），直线,PA PB 分别与直线x t =-交于,M N 两点，MN 的中点为Q ，是否存在实数t ，使直线PQ 的斜率为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.22.已知双曲线222:1(0)5y x C a a -=>的上､下顶点分别为,,A B M 为虚轴的一个顶点，且MA .1MB = （1）求C 的方程；（2）直线l 与双曲线C 交于不同于B 的,E F 两点，若以EF 为直径的圆经过点B ，且BG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使GH 为定值.衡水市第十三中学2022~2023学年高三第一学期质检考试（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，复数，平面向量，数列占30%，立体几何，解析几何占70%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AC 【11题答案】【答案】AD 【12题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】π12（或5711,,1212πππ12）（只需从57πππ11,,,121212π12中写一个答案即可）【15题答案】【答案】332【16题答案】【答案】①.2212x y +=②.10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）()lg 2lg 1n T n n =-+【18题答案】【答案】（1）2222230x y x y +-+-=；（2）PQ 的最小值为，点P 的坐标为1623,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【19题答案】【答案】（1（2）3【20题答案】【答案】（1）1222 11（2）311 11【21题答案】【答案】（1）221 82x y+=（2）4t=【22题答案】【答案】（1）221 45y x-=（2）证明见解析。

2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，均为的子集，且，则( )A.B.C.D.2. 命题“，，”的否定为( )A.，，B.，，C.，，D.，，3. 设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，，则"”是""的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 下列关系正确的是( )A.B.C.M N R M ⊆N ∁R M ∩N =∁R ∅M NR∀a b >0a +b >ab ∀a b ≤0a +b ≤ab∀a b >0a +b ≤ab∃a b ≤0a +b ≤ab∃a b >0a +b ≤abαβl m m ⊥αl//βl//m α⊥β()1∈{0,1}1∉{0,1}1⊆{0,1}{1}∈{0,1}D.5. 函数的最小值是( )A.B.C.D.6. 下列命题中，真命题是（ ）A.，B.，C.，D.，7. 不等式的解集为 A.B.C.D.8. 设，则满足条件的集合共有( )个．A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）A.若，则B.若，则{1}∈{0,1}y =2x +(x >2)2x −210864∀x ∈R ln ≥0x 2∀x ∈R −1≤≤11sin x ∃∈R x 0≤1e x 0∃∈R x 0cos =2x 0−+x <−6x 2(){x|x <−2或x >3}{x|−2<x <3}{x|x <−3或x >2}{x|−3<x <2}A ∪{−1,1}={0,−1,1}A 1234A ={x ∈R|−3x −18<0}x 2B ={x ∈R|+ax +−27<0}x 2a 2A =B a =−3A ⊆B a =−3B =∅C.若，则或D.若，则10. 若正实数，满足，则下列结论中正确的有( )A.B.C.D.11. 下列说法中正确的是( )A.""是""的充分条件B.""是""的充分不必要条件C."是实数”的充分必要条件是“是有理数”D.若，则12. 已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，，，则________．14. 将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为________．B =∅a ≤−6a ≥6a =3A ∩B ={x|−3<x <6}x y x >y xy <y 2>x 2y 2>1x y<1x 1x −y|x|=2019x =2019x =−1−2x −3=0x 2m m b <a <0<1a 1b0<α<β<π2tan αtan β−kx +2=0x 2tan α+tan β=−ktan(α+β)=−kk >22–√k +tan α≥4a >b >0c <d <0e <0e a −c e b −d15. 在 中， ，则的取值范围是________.16. 集合，则集合的非空真子集的个数是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同．求实数，值；若实数， ，满足，求的最小值．18. 已知.若，且和都为真，求实数的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19. 已知集合，集合.若，求；若，求实数的取值范围．20. 利剑扫黑，扫出清风正气；铁拳除恶，守护平安中国．年，为期三年的扫黑除恶专项斗争迎来“船到中流浪更急”的深水区．某省公安厅对甲、乙两地投入专项资金，若甲、乙两地可以给人民群众带来的经济利润分别是百万元和百万元，它们与投入的资金百万元的关系满足公式，，现将百万元资金投入甲、乙两地，且投入乙地的资金为百万元，给人民群众带来总的经济利润为百万元．用表示，并指出函数的定义域；当为何值时，有最大值？请求出这个最大值．21. 已知关于的不等式：．若不等式的解集为，求的值；若不等式的解集为，求的取值范围．22. 已知，且，求：的最小值；的最小值．△ABC AB =,BC =m ,AC =x +1+x +1x 2−−−−−−−−√x −√m A ={1,2,3}A |2x −3|<1x −−px +q >0x 2(1)p q (2)a b ∈(0,+∞)a +b =−2p −q +1a 4b p :−6x +5≤0,x 2q :−2x +1−≤0(m >0)x 2m 2(1)m =2p q x (2)p q m A ={x|−4x +3≤0}x 2B ={x|x −m >0}(1)m =2A ∪B (2)A ∩B =A m 2019P Q t P =t 15Q =25t √3x y (1)x y (2)x y x 2k +kx −3<0x 2(1)(−,1)32k (2)R k x >0y >02x +8y −xy =0(1)xy (2)x +y参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用补集，子集间的关系，即可判断.【解答】解：∵，∴，∴.故选.2.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用命题的否定【解析】由题意，根据命题可直接写出否命题.【解答】解：已知命题“，，”的否定为“，，”.故选.3.【答案】AM ⊆N ∁R N ⊆M ∁R M ∩N =N ∁R C ∀a b >0a +b >ab ∃a b >0a +b ≤ab D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用充分条件以及直线与平面的位置关系，判断即可.【解答】解：由， ，则 ，而 ，所以;由, ， ，不能确定，所以""是""的充分不必要条件．故选.4.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】由元素与集合，集合与集合的关系进行判断即可.【解答】解：，故正确；，故错误；元素与集合的关系用，故错误;集合与集合的关系用，故错误.故选.5.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】无【解答】m ⊥αl//m l ⊥αl//βα⊥βl//βα⊥βm ⊥αl//m l//m α⊥βA 1∈{0,1}A 1∈{0,1}B ∈C ⊆D A =2x +(x >2)2解：∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴．故选．6.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：，当时，，故错误；，当时，无意义，故错误；，当时，显然成立，故正确；，，故错误.故选.7.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：化为，解得或，y =2x +(x >2)2x −2y =2x +=2(x −2)++42x −22x −2≥2+4=82(x −2)⋅2x −2−−−−−−−−−−−−−√2(x −2)=2x −2x =3=8y min B A x =12ln <0x 2A B x =01sin x B C =0x 0≤1e x 0C D cos ∈[−1,1]x 0D C −+x <−6x 2−x −6>0x 2x <−2x >3{x|x <−2或x >3}故解集为.故选.8.【答案】D【考点】子集与真子集的个数问题集合的包含关系判断及应用【解析】由题意可得 可以是 ，，，，从而得出结论．【解答】解：∵，∴可以是 ，，，，故满足条件的集合共有个.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：．由已知可得，若，则，且，解得，故正确；{x|x <−2或x >3}A A {0}{0,1}{0,−1}{0,1,−1}A ∪{−1,1}={0,−1,1}A {0}{0,1}{0,−1}{0,1,−1}A 4D A A ={x|−3<x <6}A =B a =−3−27=−18a 2a =−3A A ⊆B．若，则且，解得，故正确；．当时，，解得或，故正确；．当时， ，故错误；故选．10.【答案】B,C,D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的基本性质，逐一判断即可．【解答】解：，∵，为正实数且，∴，故错误；，∵，为正实数且，∴，，∴，即，故正确；，∵，为正实数且，∴，即，故正确；，∵，为正实数且，∴，∴，即，故正确.故选.11.【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】：结合条件“或”为假命题判断、的情况，由此即可做出判断．：分别判断“”“”与“”“”的真假，进而根据充要条件的定义可得答案．：分别判断“”与“”的真假，再根据充分必要条件进行判断.：由“实数，使”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“，B A ⊆B +a ⋅(−3)+−27≤0(−3)2a 2+6a +−27≤062a 2a =−3B C B =∅−4(−27)≤0a 2a 2a ≤−6a ≥6C D a =3A ∩B ={x|−3<x <3}D ABC A x y x >y xy >y 2A B x y x >y x −y >0x +y >0(x −y)(x +y)=−>0x 2y 2>x 2y 2B C x y x >y ⋅x >⋅y 1y 1y >1x y C D x y x >y x >x −y >0>1x −y 1x <1x 1x −yD BCD A p q p q B x =1⇒x ≥1x ≥1⇒x =1C sin x =12⇒x =π6x =π6⇒sin x =12D ∃x ≥0x 2∃x ∈A P(A)x ∈A P(A)”的否定为“，非”，可得答案．【解答】解：对于：由，可推出，故""是""的必要不充分条件，选项错误；对于：若,则一定成立，反之不一定成立，故""是""的充分不必要条件，选项正确；对于：若是有理数，则一定是实数，反之不一定成立，故"是实数”的充分不必要条件是“是有理数”，选项错误；对于：若，则有，选项正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．【解答】解：∵，是方程的两不等实根，∴，，∴.∵，∴，.∴.又，∴等号取不到，即.∵，∴，当且仅当时，等号成立.故选. 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】P(A)x ∈A P(A)A |x|=2019x =±2019|x|=2019x =2019B x =−1−2x −3=0x 2x =−1−2x −3=0x 2C m m m m D b <a <0<1a 1bBD tan αtan β−kx +2=0x 2tan α+tan β=k tan α⋅tan β=2tan(α+β)==−k tan α+tan β1−tan α⋅tan β0<α<β<π2tan α>0tan β>0k =tan α+tan β≥2=2tan α⋅tan β−−−−−−−−−−√2–√tan α≠tan βk >22–√k +tan α=2tan α+tan βk ≥2=42tan α⋅tan β−−−−−−−−−−−√2tan α=tan βBCD >不等式性质的应用【解析】通过可知，从而，求倒数可知，两边同时乘以负数即得结论．【解答】解：∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，∴．故答案为：.14.【答案】【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是的元素或的元素，且不是的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足，是的元素或的元素，且不是的元素，即是的元素或的元素，且是的补集的元素，故阴影部分所表示的集合是，故答案为：．15.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用c <d <0−c >−d >0a −c >b −d >0<<01a −c 1b −dc <d <0−c >−d >0a >b >0a −c >b −d >0<1a −c 1b −de <0>ea −c eb −d>(A ∪C)∩(B)C U A C B A C B A C B (A ∪C)∩(B)C U (A ∪C)∩(B)C U (2−,2+)3–√3–√此题暂无解析【解答】解：∵，∴若能构成三角形，只需∴，当且仅当时，取得最小值，∴.综上，.故答案为：.16.【答案】【考点】子集与真子集的个数问题【解析】对于含有个不同元素的集合的子集共有个，去掉空集和本身剩下的即为集合的非空真子集的个数为个，据此可求出答案．【解答】解：∵集合，∴集合的非空真子集为，，，，，，故集合的非空真子集的个数为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：，解得；因为即的解集为，所以和是方程的两根，由韦达定理得AB =<=AC+x +1x 2−−−−−−−−√+2x +1x 2−−−−−−−−−√{+m >x +1，+x +1x 2−−−−−−−−√x −√+x +1>m ，+x +1x 2−−−−−−−−√x −√++≥2+=2+x −√1x −√x ++11x −−−−−−−−√2+1−−−−√3–√x =1(+−)(++)=1，x −√1x −√x ++11x −−−−−−−−√x −√1x −√x ++11x −−−−−−−−√+−≤=2−x −√1x −√x ++11x −−−−−−−−√12+3–√3–√m ∈(2−,2+)3–√3–√(2−,2+)3–√3–√6n {,,...,}a 1a 2a n 2n A −22n A ={1,2,3}A {1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}A 66(1)|2x −3|<11<x <2−−px +q >0x 2+px −q <0x 2{x|1<x <2}12+px −q =0x 2{−p =1+2,−q =1×2,解得因为，所以，当且仅当，即时取等号，即，时，有最小值．【考点】一元二次不等式的解法绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：，解得；因为即的解集为，所以和是方程的两根，由韦达定理得解得因为，所以，当且仅当，即时取等号，即，时，有最小值．18.【答案】解：由，得，∴：，当时，：．∵和都为真命题，{p =−3,q =−2.(2)a +b =8+1a 4b =(+)(a +b)181a 4b=(5++)18b a 4a b≥98=b a 4a b b =2aa =83b =163+1a 4b 98(1)|2x −3|<11<x <2−−px +q >0x 2+px −q <0x 2{x|1<x <2}12+px −q =0x 2{−p =1+2,−q =1×2,{p =−3,q =−2.(2)a +b =8+1a 4b =(+)(a +b)181a 4b=(5++)18b a 4a b≥98=b a 4a bb =2a a =83b =163+1a 4b 98(1)−6x +5≤0x 21≤x ≤5p 1≤x ≤5m =2q −1≤x ≤3p q∴．由，得：,∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，∴解得，∴实数的取值范围为．【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】无无【解答】解：由，得，∴：，当时，：．∵和都为真命题，∴．由，得：,∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，∴解得，∴实数的取值范围为．19.【答案】解：，当时，，则．若，则，所以，所以实数的取值范围是．【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】1≤x ≤3(2)−2x +1−≤0x 2m 2q 1−m ≤x ≤1+mp q [1,5][1−m,1+m]m ≥4m m ≥4(1)−6x +5≤0x 21≤x ≤5p 1≤x ≤5m =2q −1≤x ≤3p q 1≤x ≤3(2)−2x +1−≤0x 2m 2q 1−m ≤x ≤1+mp q [1,5][1−m,1+m]m ≥4m m ≥4(1)A ={x|−4x +3≤0}x 2={x|(x −1)(x −3)≤0}={x|1≤x ≤3}m =2B ={x|x >m}={x|x >2}A ∪B ={x|x ≥1}(2)A ∩B =A A ⊆B m <1m (−∞,1)(1)A ={x|−4x +3≤0}2解：，当时，，则．若，则，所以，所以实数的取值范围是．20.【答案】解：由题意得：投入乙地的资金为百万元，投入甲地的资金是百万元,甲、乙两地给人民群众带来总的经济利润,需满足，即该函数的定义域是.由得，令,则，当即时，有最大值.【考点】函数模型的选择与应用二次函数在闭区间上的最值【解析】根据题意设出自变量，利用已知条件列出函数并求出函数定义域.（2）利用导数求解函数的最大值；【解答】解：由题意得：投入乙地的资金为百万元，投入甲地的资金是百万元,甲、乙两地给人民群众带来总的经济利润,需满足，即该函数的定义域是.由得，令,则，当即时，有最大值.21.【答案】(1)A ={x|−4x +3≤0}x 2={x|(x −1)(x −3)≤0}={x|1≤x ≤3}m =2B ={x|x >m}={x|x >2}A ∪B ={x|x ≥1}(2)A ∩B =A A ⊆B m <1m (−∞,1)(1)x (3−x)y =(3−x)+1525x −√x 0≤x ≤3[0,3](2)(1)y =(3−x)+(x ∈[0,3])1525x −√m =x −√y =(3−)+m 15m 225=−(m −1+(m ∈[0,])15)2453–√m =1x =1y 45(1)x (3−x)y =(3−x)+1525x −√x 0≤x ≤3[0,3](2)(1)y =(3−x)+(x ∈[0,3])1525x −√m =x −√y =(3−)+m 15m 225=−(m −1+(m ∈[0,])15)2453–√m =1x =1y 45−,1)3解：因为关于的不等式：的解集为，所以和是方程的两个实数根，由韦达定理可得：，得.因为关于的不等式的解集为，当时，恒成立，当时，由解得：，故的取值范围为．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系一元二次不等式的解法【解析】根据不等式与对应方程的关系，利用韦达定理求出的值．讨论和时，利用判别式求出的取值范围．【解答】解：因为关于的不等式：的解集为，所以和是方程的两个实数根，由韦达定理可得：，得.因为关于的不等式的解集为，当时，恒成立，当时，由解得：，故的取值范围为．22.【答案】解：∵，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为；由，得：，又，，∴(1)x 2k +kx −3<0x 2(−,1)32−3212k +kx −3=0x 2−×1=32−32kk =1(2)x 2k +kx −3<0x 2R k =0−3<0k ≠0{2k <0，Δ=+24k <0，k 2−24<k <0k (−24,0](1)k (2)k =0k ≠0k (1)x 2k +kx −3<0x 2(−,1)32−3212k +kx −3=0x 2−×1=32−32k k =1(2)x 2k +kx −3<0x 2R k =0−3<0k ≠0{2k <0，Δ=+24k <0，k 2−24<k <0k (−24,0](1)x >0y >02x +8y −xy =0xy=2x +8y ≥216xy −−−−√≥8xy −−√xy ≥64x =4y =16xy 64(2)2x +8y =xy +=12y 8x x >0y >0x +y =(x +y)⋅(+)=10++2y 8x 2x y 8y x10+2=18−−−−−−−，当且仅当时取等号，故的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由＝，变形得，利用“乘法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，且，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为；由，得：，又，，∴，当且仅当时取等号，故的最小值为．≥10+2=18⋅2x y 8y x−−−−−−−√x =2y =12x +y 182x +8y xy +=12y 8x 1(1)x >0y >02x +8y −xy =0xy=2x +8y ≥216xy −−−−√≥8xy −−√xy ≥64x =4y =16xy 64(2)2x +8y =xy +=12y 8xx >0y >0x +y =(x +y)⋅(+)=10++2y 8x 2x y 8y x ≥10+2=18⋅2x y 8y x−−−−−−−√x =2y =12x +y 18。

2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{15},{N |||2}M xx N x x =-≤<=∈≤∣，则M N =（ ）A ．{}12xx -≤≤∣ B ．{15}xx -≤<∣ C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】D【分析】求出集合N 的元素，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得{N |||2}{0,1,2}N x x =∈≤=， 故{}0,1,2MN =，故选：D2．命题“20,0x x x ∀>-≥”的否定是（ ）A ．20,0x x x ∃≤-< B ．20,0x x x ∀>-<C ．20,0x x x ∃>-≥ D ．20,0x x x ∃>-<【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可判断出答案.【详解】命题“20,0x x x ∀>-≥”为全称命题，其否定为特称命题，即20,0x x x ∃>-<，故选：D3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则2211ab a b> D ．若,a b c d >>，则ac bd > 【答案】C【分析】对于A ，B ，D 取反例即可判断结果，根据作差法即可判断C ．【详解】取1,1a b ==-，则11a b>，故A 错； 取0c ，则22ac bc =，故B 错； 由于a b >，所以2222110a bab a b a b --=>，则2211ab a b>，故C 正确； 取2,1,0,2a b c d ==-==-，则0,2ac bd ==，故D 错； 故选：C4．已知集合303x M xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭∣，且{}24120,N x x x M N =--<∣､都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{23}x x -<≤∣B ．{3xx <-∣或6}x ≥ C ．{}32x x -≤≤-∣ D ．{}36xx -≤≤∣ 【答案】A【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(,3)(3,)M =-∞-+∞，(2,6)N =-， 图中阴影部分为R(2,3]N M =-，故选：A5．[]2:2,1,0p x x a ∀∈--≥为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],4-∞【答案】A【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】由[]22,1,0x x a ∀∈--≥为真命题，等价于2a x ≤在[]2,1-上恒成立，所以()2mina x≤，[]2,1x ∈-即可.设2()f x x =，[]2,1x ∈-，则由二次函数的性质知，对称轴为0x =，开口向上， 所以()f x 在[]2,0-上单调递减，在(]0,1上单调递增.当0x =时，()f x 取得最小值为2(0)00f ==，即0a ≤，所以0a ≤的一个充分不必要条件是(],0-∞的真子集，则1a ≤-满足条件. 故选：A.6．已知全集U =R ，集合(){}40,{22}M x x x N x a x a =-≥=<<+∣∣.若()U N M N ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．[](]0,1,2∞⋃--C ．][(),01,∞∞-⋃+D ．[)2,-+∞【答案】B【分析】解不等式得M ，再由集合间关系列不等式组求解 【详解】由题意得(,0][4,)M =-∞+∞，(0,4)U M =， 而()U N M N ⋂=，则UN M ⊆，①若N =∅，则22a a ≥+，得2a ≤-，②若N ≠∅，则220224a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得01a ≤≤，综上，a 的取值范围(],2[0,1]∞--， 故选：B7．已知命题“存在{12}x x x ∈-<<∣，使得等式30x m -=成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,6- B ．()(),36,-∞-+∞C ．[]3,6-D ．][(),36,-∞-+∞【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∈-<<∣，使得等式30x m -=成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∈-<<∣，使得等式30x m -≠成立”是真命题，又因为12x -<<，所以336x -<<，要使3x m ≠，则需3m ≤-或6m ≥. 所以实数m 的取值范围为][(),36,-∞-+∞.故选：D.8．已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值．【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥， 44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.二、多选题9．设正实数,a b 满足4a b +=，则（ ）A ．19a b+有最小值4 B 2C D ．22a b +有最小值8【答案】AD【分析】利用基本不等式及变形即可求解.【详解】对于A ，()1911919110104444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9b aa b =且4a b +=即1,3a b ==时，等号成立，所以19a b+的最小值为4，故A 正确；对于B ，22a b+=，当且仅当2a b ==时，等号成立，最大值为2，故B 不正确；对于C =2a b ==时，等号成立，C 不正确；对于D ，由不等式可得222282a a b b +⎛⎫≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以22a b +的最小值为8，故D 正确.故选：AD.10．下列结论错误的是（ ）A ．满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合A 的个数是7个B ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C ．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的充分不必要条件D ．不等式11x>的解集为{1}∣<xx 【答案】CD【分析】写出满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合A ，可判断A;根据“1a <”和“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”之间的逻辑推理关系，判断B;根据“0a ≠”和“0ab ≠”之间的逻辑推理关系判断C;求得11x>的解集判断D. 【详解】对于A ，满足{},,a b c A ⊆ {},,,,,a b c d e f 的集合有{},,a b c ，{},,,a b c d ，{},,,a b c e ，{},,,a b c f ，{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a b c d e a b c d f a b c e f 共7个，A 正确；对于B ，方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件为140,00a a a ->⎧∴<⎨<⎩， 1a <推不出0a <，但0a <一定有1a <成立，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B 正确； 对于C ，,R a b ∈，当0a ≠时，0b = ，推出0ab =；当0ab ≠时，一定有0a ≠， 故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，C 错误； 对于D, 不等式11x>的解集为{01}xx <<∣，D 错误， 故选：CD .11．若不等式20ax bx c ++>的解集是()2,1-，则下列选项正确的是（ ） A ．0a < B ．0b <且0c > C ．220a b c ++<D ．不等式20ax cx b -+<的解集是{}R1x x ∈≠-∣ 【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式结合一元二次方程以及二次函数的关系判断A ；由根与系数的关系可得到,,a b c 的关系，判断B;根据0a b c ++=以及,,a b c 的关系可判断C;利用,,a b c 的关系化简20ax cx b -+<，继而解不等式可判断D.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是()2,1-，则2,1-是方程20ax bx c ++=的两根，且二次函数2y ax bx c =++图象开口向下， 故0a < ，故A 正确；则2121b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，故0,20b a c a =<=-> ，B 正确； 由1是方程20ax bx c ++=的根，可知0a b c ++= ，故2220a b c a b c b c b c a a a ++=++++=+=-=->，C 错误； 不等式20ax cx b -+<即220ax ax a ++<，而0a <， 即2210x x ++>，即2(1)0x +>，故1x ≠-，则不等式20ax cx b -+<的解集是{}R1x x ∈≠-∣，D 正确， 故选：ABD12．已知关于x 的不等式()22120ax a x +-->，其中0a ≤，则该不等式的解集可能是（ ） A ．(),2-∞B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】对于含参的不等式结合函数图像分类讨论即可得到答案. 【详解】当0a =时,不等式为20x -->,解集为{2}xx <-∣ 当0a <时,不等式为(2)(1)0x ax +->,令(2)(1)0x ax +-=,解得12x =-,或21x a=, 当102a -<<时,不等式的解集为12xx a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确； 当12a =-时,不等式的解集为∅，当12a <-时,不等式的解集为12xx a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，故B 正确. 对照其他选项可以看出AC 错误； 故选：BD.三、填空题13．已知实数,a b 满足12,a b t a b -≤≤≤=-，则实数t 的取值范围是___________.【答案】[]3,0-【分析】根据不等式基本性质求出实数t 的取值范围. 【详解】12a b -≤≤≤，所以0a b -≤，且21b -≤-≤， 所以1212a b --≤-≤+，即33a b -≤-≤， 综上：[]3,0t a b =-∈- 故答案为：[]3,0-14．已知集合{}{}2210x mx x n -+==∣，则m n -=___________. 【答案】0或12-【分析】分0m =和0m ≠，当0m ≠时，利用判别式先求m ，然后解方程可得n . 【详解】由题知，方程2210mx x -+=有唯一实数解n ， 所以，当0m =时，12n =； 当0m ≠时，440m ∆=-=得1m =，由2210x x -+=解得1x =，所以1n =. 所以，11022m n -=-=-或110m n -=-= 故答案为：0或12-15．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】[)(]2,15,6--⋃【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解即可求解.【详解】由()2220x m x m -++<，得()()20x m x --<，当2m =时，不等式的解集为∅，当2m <时，不等式的解集为}{2x m x <<， 当2m >时，不等式的解集为}{2x x m <<，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以21m -≤<-或56m <≤， 所以实数m 的取值范围为[)(]2,15,6--⋃. 故答案为：[)(]2,15,6--⋃.四、双空题16．已知集合{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .（1）若5n =，则这样的集合A 共有___________个： （2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有___________个. 【答案】 2 25【分析】第一空，根据累积值的规定，即可写出答案；第二空，先求集合M 的所有子集个数，再求出当n 为奇数时的A 的个数，即可求得n 为偶数时集合A 的个数. 【详解】（1）根据题意，{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，结合“累积值”规定可知， 当5n =时，集合A 可以为{5}或{1,5}共2个；（2）由题意知{}1,2,3,4,5,M A M =⊆，则A 的个数共有1510105132+++++=个； 当n 为奇数时，共有1,3,5,15n =四种情况， 当1n =时，{1}A =；当3n =时，{3}=A 或{1,3}；当5n =时，{5}A =或{1,5}； 当15n =时，{3,5}A =或{1,3,5}；故当n 为偶数时，A 的个数为32725-=个， 故答案为：225；五、解答题17．已知集合611A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}220B x x x m =--<． (1)当3m =时，求()RAB ；(2)若{}14A B x x ⋂=-<<，求实数m 的值． 【答案】(1){|35}x x ≤≤ (2)8m =【分析】（1）化简集合,A B ，根据补集和交集的概念运算可得结果；（2）由B ≠∅求出1m >-，再求出B ，然后根据{}14A B x x ⋂=-<<列式可求出结果. 【详解】(1)由611≥+x 得016x <+≤，得15x -<≤， 所以{|15}A x x =-<≤，当3m =时，由2230x x --<，得13x ， 所以{|13}B x x =-<<， 所以{|1B x x =≤-R 或3}x ≥， 所以()RAB {|35}x x =≤≤.(2)因为{}14A B x x ⋂=-<<， 所以B ≠∅，所以440m ∆=+>，即1m >-，由220x x m --<得2(1)1x m -<+，得11x <<，所以{|11B x x =<+，因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以14，11-， 解得8m =.18．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求 （1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 【答案】（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解.（2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y x x y x y x y x y+=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y+=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥， 当且仅当82x y=，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64.（2）由280x y xy +-=，得821x y+=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y=，即12,6x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．设集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2+2（a +1）x +a 2-5=0}. (1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)-1或-3； (2)(,3]-∞-.【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；【详解】(1)由x 2-3x +2=0得x =1或x =2，故集合A ={1，2}. 因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，将x =2代入B 中的方程， 得a 2+4a +3=0，解得a =-1或a =-3，当a =-1时，B ={x |x 2-4=0}={-2，2}，满足条件； 当a =-3时，B ={x |x 2-4x +4=0}={2}，满足条件， 综上，实数a 的值为-1或-3；(2)对于集合B ，∆=4（a +1）2-4（a 2-5）=8（a +3）. 因为A ∪B =A ，所以B ⊆A .当∆<0，即a <-3时，B 为空集，满足条件； 当∆=0，即a =-3时，B ={2}，满足条件； 当∆>0，即a >-3时，B =A ={1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系，得1+2=-2（a +1），1×2=a 2-5， 解得a =-52，且a 2=7，矛盾.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.20．已知命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,B =+∞； (2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由条件可得关于x 的方程2420mx x -+=无解，然后分0m =、0m ≠两种情况讨论即可；（2）首先由{}32A x a x a =<<+为非空集合可得1a <，然后由条件可得A B ⊆且A B ≠，然后可建立不等式求解.【详解】(1)因为命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题，所以关于x 的方程2420mx x -+=无解，当0m =时，2420mx x -+=有解，故0m =时不成立，当0m ≠时，1680m ∆=-<，解得2m >，所以()2,B =+∞(2)因为{}32A x a x a =<<+为非空集合，所以32a a <+，即1a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ⊆且A B ≠，所以32a ≥，即23a ≥， 综上：实数a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 21．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A 企业春节期间加班追产提供[]()0,20x x ∈(万元)的专项补贴.A 企业在收到政府x (万元)补贴后，产量将增加到(2)t x =+(万件).同时A 企业生产t (万件)产品需要投入成本为72(72)t x t ++(万元)，并以每件40(6)t+元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本（1）求A 企业春节期间加班追产所获收益()R x (万元)关于政府补贴x (万元)的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大？【答案】（1）238272()x x R x --=+，[]0,20x ∈；（2）即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；【解析】（1）依题意得到()R x 的函数解析式；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）依题意可知，销售金额()40406622t x t x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭万元，政府补贴x 万元，成本为()7272727222t x x x t x ++=++++万元； 所以收益()()7272()7222240623822R x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++-=-- +⎪⎢⎥+⎦=⎝+++⎭+⎣，[]0,20x ∈ （2）由（1）可知()()2727272()4242238222222R x x x x x x x ---+⎥⎡⎤===⎢++++⎣-+⎦-，[]0,20x ∈其中()4272222x x +≥=++，当且仅当()72222x x +=+，即4x =时取等号，所以()72()42422242182R x x x ⎡⎤=≤+-+-=⎢⎣⎦+⎥， 所以当4x =时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；即当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元；【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方22．已知不等式2–10mx mx -<．（1）若对x R ∀∈不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对]13[x ∀∈，不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(–4]0，（2）1(,)6-∞ 【解析】（1）讨论当0m =时不是二次函数，成立；当0m ≠时为二次函数要使2–10mx mx -<在R 上恒成立，则开口只能向下，∆<0代入计算即可。

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√23．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣15．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．11126．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√37．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则（ ）A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n +1＝2a n +nD ．a n =2n −110．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣311．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ． 15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 ． 16．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 ．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ？证明你的结论； （2）当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)解：A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝（﹣1，1），B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝（12，2），则A ∩B ＝（12，1），故选：D ．2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√2解：因为O 是正方形ABCD 的中心，所以O 为AC 的中点，所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →，因为DO →=λAB →+μAC →， 所以λ=1，μ=−12，所以λμ=1−12=−2．故选：A ．3．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i解：z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0，所以复数z 的虚部为0． 故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣1解：根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，可得f ′（x ）＝x 2﹣8x +6，因为a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，所以a 1，a 4031是方程f ′（x ）＝x 2﹣8x +6＝0的两个实数根，所以a 1a 4031＝6，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 1a 4031=a 20162=6，所以a 2016=√6，log √6a 2016=log √6√6=1． 故选：A ．5．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．1112解：公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 2，2a 5，3a 8成等差数列， 可得4a 5＝a 2+3a 8， 即为4a 1q 4＝a 1q +3a 1q 7，即3q 6﹣4q 3+1＝0，解得q 3=13（1舍去），则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3＝3•11+13=94， 故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√3解：设内切球半径为r ，由题意得4πr 2＝36π， 设正四面体棱长为a ，由三角形的性质得BE =√32a ，BO ′=23BE =23×√32a =√33a ， ∴在△ABO ′中，AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ，又AOOO′=31， ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ，∵OO ′＝3，∴√612a =3，解得a ＝6√6．∴BE =√32a =9√2，AO ′=√63a =12，在△ABE 中，S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2． 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，所得截面的面积为54√2． 故选：C ．7．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：因为π4＜1.04＜π3，x =tan1.04＜tan π3=√3，且x =tan1.04＞tan π4=1，则1＜x ＜√3，0＜a =log 3x ＜log 3√3=12，即0＜a ＜12；所以1＜b =2a ＜√2，即1＜b ＜√2，所以12=sin π6＜sin1＜c =sinb ＜1，即12＜c ＜1．所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34解：因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ)， 其中θ满足tanθ=√3b，又由任意的x1，x2均有g（x1）+g（x2）≤0成立，即任意的x1，x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立，且存在x1，x2使g（x1）+g（x2）＝0，可知f（x）最大值为2√3，所以√b2+3=2√3，又b＞0，所以b＝3，所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 )，当0＜x＜π时，π6＜2ωx+π6≤2ωπ+π6，又f（x）在（0，π）上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3，即sin(2ωx0+π6)=−12，所以7π6＜2ωπ+π6≤11π6，所以12＜ω≤56．故选：A．二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n，则（）A．a2＝3B．a3＝8C．a n+1＝2a n+n D．a n=2n−1解：将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n号圆盘移动到2号柱，需a n次操作；将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n +1＝2a n +1，故C 错误； 由此递推关系及a 1＝1可求得通项为a n =2n −1，故D 正确； 则a 2＝3，a 3＝7，故A 正确，B 错误． 故选：AD ．10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣3解：对于A 选项，由题意可知∠AOF ＝30°， 所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →，即A 选项正确；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D （1，0）、C(−√32，12)，设点E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6， 由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ，sinθ)=λ(−√32，12)+μ(1，0)，所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ，即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ，所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12)， 又因为0≤θ≤5π6，则π12≤θ+π12≤11π12，所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1， 所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1，√6+√2]， 即B 选项正确；对于C 选项，DA →=OA →−OD →，所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1， 即选项C 错误；对于D 选项，E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，B （2，0）、F(−1，√3)， 则EB →=(2−cosθ，−sinθ)，EF →=(−1−cosθ，√3−sinθ)，所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1，因为0≤θ≤5π6，则π6≤θ+π6≤π， 故当θ+π6=π2时，即θ=π3时，EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1＝﹣3，即D 选项正确．故选：ABD ．11．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 解：因为z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ， 所以|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1，则|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，对于A ，z 1•z 2＝cos αcos β﹣sin αsin β+（cos αsin β+sin αcos β）i ， 故|z 1•z 2|2＝（cos αcos β﹣sin αsin β）2+（cos αsin β+sin αcos β）2＝cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β ＝cos 2α（cos 2β+sin 2β）+sin 2α（sin 2β+cos 2β）， ＝cos 2α+sin 2α ＝1，|z 1|•|z 2|＝1，所以|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|，故A 正确； 对于B ，若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3，故B 正确； 对于C ，设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ，θ∈[0，π]， 若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则（OZ 1→+OZ 2→）2＝（OZ 3→）2， 即OZ 1→2+OZ 2→2＝1，即1+1+2cos θ＝1，所以cos θ=−12，所以θ=2π3，即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则﹣（OZ 1→+OZ 2→）=OZ 3→， 则[﹣（OZ 1→+OZ 2→）]2=OZ 3→2，即（OZ 1→+OZ 2→）2=OZ 3→2，由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3，OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3， 又|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，所以∠Z 1Z 2Z 3＝∠Z 1Z 3Z 2＝∠Z 2Z 1Z 3=π3，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 解：因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，x ＞0且x ≠1， 所以f ′（x ）=1x +2a (x−1)2， 对于A ，当a ＞0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故正确； 对于B ，因为直线x +2y ﹣5＝0的斜率为−12，又因为f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直， 令f ′（2）=12+2a ＝2，解得a =34，故正确； 对于C ，当﹣1＜a ＜0时，不妨取a =−12，则f ′（x ）=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2， 令f ′（x ）＝0，则有x 2﹣3x +1＝0，解得x 1=32−√52，x 2=32+√52， 当x ∈（0，32−√52）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（32−√52，32+√52）时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减；所以此时函数有极值，故错误；对于D ，由A 可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增， 当x ＞1时，f （e a ）＝a ﹣a （1+2e a −1）=−2ae a −1＜0， f （e 3a +1）＝3a +1﹣a （1+2e 3a+1−1）=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1＞3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上有一个零点， 又因为当0＜x ＜1时，f （e ﹣a ）＝﹣a ﹣a （1+2e −a −1）=2ae a −1＞0，f （e﹣3a ﹣1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e −3a−1−1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e 3a+11−e 3a+1）＝﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [（3a +1）+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1＜0，所以f （x ）在（0，1）上有一个零点；所以f （x ）有两个零点，分别位于（0，1）和（1，+∞）； 设0＜x 1＜1＜x 2， 令f （x ）＝0，则有lnx −a(x+1)x−1=0， 所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−（lnx −a(x+1)x−1）＝0， 所以f （x ）＝0的两根互为倒数， 所以x 1x 2＝1，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ． 解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ， 得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10． 故答案为：10． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ﹣1 ． 解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）＝0， 即ln （2x 1+x +a ）+ln （−2x1−x+a ）＝0，变形可得：a 2−(a+2)x 21−x 2=1，必有a ＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114． 解：∵M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→，AC →=AB →+AD →，∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134，AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°＝7，MN →⋅AC →=（12AD →+12AA 1→）•（AB →+AD →）=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134，∴cos ＜MN →，AC →＞=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114．∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114． 故答案为：√911416．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 8 ．解：各项均为正数的等比数列{a n }，由a 2a 6＝4＝a 42，即a 4＝2， ∵a 3＝1， ∴q ＝2，a 1=14，∴a n =14×2n ﹣1＝2n ﹣3，S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14，∴（S n +94）2＝（2n ﹣2+2）2＝22（n ﹣2）+4×2n ﹣2+4，∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4＝4+4＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为：8．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．解：（1）根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称，5π12+π3=34×2πω，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝0，求得φ=−5π6， 故函数f （x ）＝sin （2x −5π6）． （2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，可得y ＝sin （2x −π2−5π6）＝sin （2x −4π3）＝sin （2x +2π3）的图象；再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）＝sin （2x +2π3）+2的图像． 故g(π8)=sin 11π12+2＝sin π12+2＝sin （π3−π4）+2＝（sin π3cos π4−cos π3sin π4）+2＝（√32×√22−12×√22）+2=√6−√24+2．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 解：（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，∴利用正弦定理化简得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即b 2+c 2﹣a 2＝bc ， ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵x 2−2x +99100=0，解得：x 1=910，x 2=1110， ∵由sin B ≤1，得到sin B =910，可得cos B ＝±√1−sin 2B =±√1910， ∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×（±√1910）=9√3±√1920． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）函数y ＝2sin x ﹣1的最小正周期为2π， 函数y ＝2sin x ﹣1在（0，2π）上的零点分别为π6，5π6，数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，a n =π6+n−12d =nπ−5π6； 数列{a 2n } 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，a n =5π6+n−22d =nπ−7π6． 综上a n ={nπ−5π6，n 为奇数nπ−7π6，n 为偶数；（2）b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ＝4n π﹣3π， S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG？证明你的结论；（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG，证明：折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，折叠过程中，MN⊥GP，MN⊥GA，GP∩GA＝G，GP，GA⊂平面P AG，所以MN⊥平面P AG，所以BD⊥平面P AG，由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AG．（2）当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P﹣MNDB体积最大，由于平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，菱形ABCD边长为4，且∠DAB＝60°，所以BD＝4，AC=2√3，PG＝CG=√3，在Rt△O1DG中，DG=√22+(√3)2=√7，所以S△PGD=12×√7×√3=√212，S△BDG=12×4×√3=2√3，设点B到面PDG的距离为h，则由等体积法有V B﹣PDG＝V P﹣BDG，即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG，即√212ℎ=2√3×√3，所以ℎ=4√21 7，所以点B到面PDG的距离为4√21 7．（3）存在，理由如下：在点G处有GA，GM，GP两两互相垂直，则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知P(0，0，√3)，D(√3，−2，0)，B(√3，2，0)，N(0，−1，0)，A(3√3，0，0)，PA →=(3√3，0，−√3)，设PQ ＝λP A （0≤λ≤1），则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0，0，√3)+(3√3λ，0，−√3λ)=(3√3λ，0，√3−√3λ)，平面PMN 的法向量为n 1→=(1，0，0)，DQ →=(3√3λ−√3，2，√3−√3λ)，DN →=(−√3，1，0)， 设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)， 则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0，故可设n 2→=(λ−1，√3λ−√3，3λ+1)， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ， 由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929， 所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929，解得λ=12或λ＝3（舍去），所以当Q 是P A 的中点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929．21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．解：（1）由S n +a n ＝3，当n ＝1时，S 1+a 1＝3，解得a 1=32；当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1＝3，相减得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n a n−1=12，∴数列{a n }是以32为首项，12为公比的等比数列，故a n =32n ，验证n ＝1时成立， 故a n =32n ； （2）b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n （n ≥2）， b 1＝1适合上式，则b n =n+12n ． ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n ， 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1，两式相减可得： 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n ，T n +a n =3−n 2n ． 令c n =n 2n ，c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1，n ∈N *， 故c 1＝c 2，且c n+1−c n =−n+12n+1＜0，n ≥2，n ∈N *， c n 是从第二项开始单调递减数列，得(c n )max =c 1=c 2=12．故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52． 22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．解：（1）由f （x ）＝ln （2ex ﹣e ）﹣2ax +2a ，可得f ′(x)=22x−1−2a ， 由条件可得f ′（1）＝2﹣2a ＝1，即a =12，则f(x)=ln(2x −1)−x +2，f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x ＞12)，令f′（x）＝0可得x=3 2，当x＞32时，f′（x）＜0，当12＜x＜32时，f′（x）＞0．所以f（x）在(32，+∞)上单调递减，在(12，32)上单调递增，所以f（x）的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12，无极小值．（2）证明：f（x）＜1+a，即ln（2x﹣1）﹣a（2x﹣1）＜0对任意的x＞12恒成立，即a（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），其中x＞1 2，令t＝2x﹣1＞0，则at＞lnt，即at＞lnt⇒a＞lnt t，构造函数g(t)=lntt，则g′(t)=1−lnt2，令g′（t）＝0，得t＝e，列表如下：所以函数y＝g（t）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），所以g(t)max=g(e)=1 e ，所以a＞1 e ，即a＞1e时，ln（2x﹣1）＜a（2x﹣1）恒成立，取a=25，则ln(2x−1)＜2(2x−1)5对任意的x＞12恒成立，令k＝2x﹣1（k∈N*），则lnk＜2k 5，所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)＜25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5＜4n(n+1)5，所以∑2n k=154lnk＜n(n+1)，即∑ln2nk=1k54＜n(n+1)．。

2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷1. 已知集合，集合为自然对数的底数，则( )A. B. C.D.2. 已知角的终边与单位圆交于点，则( )A. B.C. D.3. 若函数在点处的切线的斜率为1，则的最小值为( )A. B.C. D.4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是( )A.B. C. D.5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C.在区间上的最小值为D.的图象关于直线对称6. 若函数的最小正周期为4，则在下列区间中单调递增的是( )A. B. C. D.7. 圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为A. B. C. D.8. 已知不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于x的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数m的可能取值为( )A. B. C. D.9.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是( )A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B. 若，则为等腰三角形C. 命题“若，则”是真命题D.若，，，则符合条件的有两个10. 已知函数，则下列说法中正确的是( )A.，若恒成立，则B. 若，则，C. 若，则D. 若，且，则11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是( )A.B.C. 若，则D. 函数的最大值为12. 已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知，则__________.14. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，则__________.15. 已知函数，若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是__________.16. 据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东，距离该市400千米的位置，预计台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为__________.17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，求的解析式；若，求实数t的取值范围．18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：求B；若D在AC上，且，求BD的最大值．19. 已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为求函数的解析式；记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若角A 的平分线AD交BC于D，求AD的长．20.记的内角所对的边分别为，已知求B；是AC边上的点，若，，求的值．21. 已知的外心为O，M，N为线段AB，AC上的两点，且O恰为MN中点．证明：；若，，求的最大值．22. 已知函数若，求的最小值；若有且只有两个零点，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合交集的运算，属于基础题.化简集合M、N，利用交集定义运算即可.【解答】解：由题意，，，所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的余弦公式，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义与二倍角的余弦公式运算即可.【解答】解：由题意得，所以故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，也考查了基本不等式求最值，属于中档题.由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值.【解答】解：由已知，所以，，当且仅当时等号成立，故选：4.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.根据诱导公式与三角函数的图象变换规律分析即可.【解答】解：因为，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，所以，故，又，所以，当时，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查由部分函数图象求解析式，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题.由图可求得，进而由正弦型函数的图象与性质分析各选项.【解答】解：由图得，且点在图象的上升部分上，则，又，所以；由五点作图法可知，则，所以对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，所以的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当时，，所以，所以在区间上的最小值为，故C错误；对于D，，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查正切型函数的单调性与周期性，属于中档题.根据正切型函数的单调性与周期性分析求解即可.【解答】解：作出函数的图象，如图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其单调递增区间为，对于函数，其最小正周期为，可得，则，由，得，所以的单调递增区间为，所以在区间上单调递减，在区间上不单调，在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解三角形，考查了正弦定理，考查了学生数学建模思想，属于基础题．先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出【解答】解：解：由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，又在中，，所以故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，属于中档题.由题意，原不等式可化为，分析得若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，进而可求解.【解答】解：不等式可化为由函数的图象可知若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，因为点，是图象上的点，所以，因为所以实数m的可能取值为故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于基础题.由正弦定理与余弦定理，结合诱导公式、充分条件与必要条件的定义等，依次分析即可.【解答】解：若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若B为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确;根据余弦定理得，即，所以，符合条件的只有一个，故D错误．故选10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查余弦型函数的图象与性质，属于中档题.依据余弦型函数的图象与性质依次分析各选项即可.【解答】解：对于A，因为，所以，，所以，故A正确;对于B，若，即，所以，或，，即，或，，故B错误；对于C，因为的图象关于点对称，又，即，所以，所以，故C正确；对于D，因为，且，由的图象在区间内的对称轴为直线可知，，所以，故D正确．故选11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查定义性函数，三角函数关系式的变换，属于中档题．直接利用定义性函数和诱导公式以及同角三角函数的基本关系，三角函数的最值，逐一分析判断即可.【解答】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：函数，当时，函数的最大值为4，故D错误；故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值点，属于较难题.由题意可得或，分类讨论，利用导数研究函数的单调性进而得到极值点个数.【解答】解：由，得，即，解得或，又，所以或当时，，所以，令，则，所以单调递增，则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上只有1个极值点，当时，令，则在区间上单调递增，又，，所以在区间上只有一个零点，因此在区间上先单调递减再单调递增.又，，所以在区间上先单调递减再单调递增．由为偶函数可知在区间上先单调递减，然后单调递增，再单调递减，最后单调递增，故在区间上共有3个极值点，综上，在区间上有1个或3个极值点．故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查两角差的正弦函数公式和同角的三角函数基本关系，关键是掌握公式的运用，属于基础题．根据题意，先利用两角差的正弦函数公式展开，整理后再运用同角的三角函数基本关系化简即可．【解答】解：，，，即14.【答案】1【解析】本题考查函数的对称性，求函数值，属于中档题.利用函数的对称性以及赋值法可得答案.【解答】解：因为，所以，所以，又的图象关于直线对称，所以，又，所以故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题.易得为偶函数，且当时，，画出函数在区间上的大致图象，数形结合可得答案.【解答】解：的定义域为R，且，故为偶函数．当时，，作出在区间上的大致图象如图所示.若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则故答案为16.【答案】小时【解析】【分析】本题考查余弦定理及一元二次不等式解法，属于中档题.B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，由即可求解；【解答】A是该市所在位置，B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，又，，所以，由，解得，小时故答案为：小时.17.【答案】解：因为为R上的奇函数，所以当时，，则，因为是奇函数，所以，所以；当时，，则在区间上单调递增，因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增，由，可得，所以，解得，故实数t的取值范围是【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.由奇函数的性质以及时，可求得的解析式；利用函数的单调性与奇偶性解不等式即可.18.【答案】解：若选①，由正弦定理得，，即，即，，，若选②，，，即，即舍或，，，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，，边上的高的最大值即BD的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：，所以AC边上的高的最大值即BD的最大值为【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、基本不等式、三角函数的性质，属于较难题．若选①，利用正弦定理与余弦定理即可得出若选②，利用三角形内角和定理并且结合诱导公式及二倍角公式即可得出由，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，利用基本不等式即可得出AC边上的高的最大值．法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得，结合和差公式并且利用三角函数的最值即可得出结论．19.【答案】解：因为，所以，设函数的周期为T，由题意可知，即，解得，因此函数的解析式；由可得，即，，解得，因为，所以，因为角A的平分线AD交BC于D，所以，即可得，由余弦定理得：，可得，因此【解析】本题考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于一般题.将函数进行化简，结合三角函数的图像和性质求出，从而求得解析式；将条件进行化简变形，求出角A，再根据题意得出，最后根据余弦定理即可求出答案.20.【答案】解：由题得，，由正弦定理，得，又，，且作为分母，所以，，所以，即，又，所以；因为，所以设，则在中，由正弦定理，得，则，在中，由余弦定理，得故，解得，即又，所以【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题.利用正弦定理化简已知等式可得，即，进而可得答案；在中，由正弦定理得，再在中，由余弦定理得，进而可得答案.21.【答案】证明：设，，，，由余弦定理知：，由O是外心知，而将代入得而，因此同理可知因此解：由知在中，由余弦定理知：，代入得设，则因此当且仅当时取到等号．因此的最大值为【解析】由已知结合余弦定理及三角形外心性质，诱导公式可证；由已知结合余弦定理及三角形的面积公式先表示，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了余弦定理，三角形外心性质，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则当时，，所以，所以又，所以，故，所以在区间上单调递增，所以的最小值为由，得，则在区间上有且只有1个零点．，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，故，当时，，则在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上单调递减，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上只有1个零点，设为当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，所以综上，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.求导，结合辅助角公式与三角函数的值域分析可得函数的单调性，进而可得最小值；因为，所以在区间上有且只有1个零点，求导，对a的取值分情况讨论，进而可得答案.。

2022-2023学年人教A版高三下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高三下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年高中高三下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 若复数，则()A.B.C.D.3. 若，，，，则( )A.B.C.D.A ={1,2,3}B ={2,3,4}A ∪B ={1,2,3,4}{1,2,3}{2,3,4}{1,3,4}z =(1+i)23+4i |z|=4535252–√50<α<π2−π<β<−π2cos(+α)=π413cos(−)=−π4β23–√3cos(α+)β2=−53–√953–√9−3–√33–√34. 人站成一排，若甲、乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有( )A.B.C.D.5. 已知双曲线的左顶点是，过点作斜率为的直线交双曲线于点，若点在轴上的射影恰好为右焦点，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.6. 直线＝与圆＝交于，两点，若＝，则的值（ ）A.B.C.D.7. ，则该数列的前项的乘积为A.B.C.D.8. 三棱锥中，是底面，，，，且这四个顶点都在半径为的球面上，，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）A.5144723612−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2A A 1P P x F 32122–√l :y kx +4O :+x 2y 24A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+x 1x 2y 1y 20k 237813=(n ∈)a n+11+a n 1−a nN ∗2020( )1−1−33P −ABC △ABC PA ⊥PB PA ⊥PC PB ⊥PC 2PA =2PB 164B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 将函数＝的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（ ）A.周期为B.图象关于直线＝对称C.图象关于点（，对称D.在，）上单调递增10. 若直线＝与曲线＝有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.11. 已知，下列说法正确的是()A.在处的切线方程为B.单调递增区间为C.的极大值为D.方程有两个不同的解12. 给出下列四个结论，其中正确的结论是 A.函数的最大值为4570−−√1570−−√32f(x)cos 2x g(x)g(x)πx 0)(0y x +b y 3−b f (x)=ln xx f (x)x =1y =x −1(−∞,e)f (x)1ef (x)=−1()y =(12)−+1x 212y =(2−ax)log (0,1)(1,2)B.已知函数在上是减函数，则的取值范围是C.已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为D.已知函数是定义域为的奇函数，且是偶函数，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下等马各一匹，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率是________.14. 如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是________.15. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________．16. 在长方体中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知，，则________．18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即…，求；（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值． 19. 某市举办数学知识竞赛活动，共名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共道题，其中道单选题，道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得分，答错得分，答对多选题得分，答错得分，答完道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于分的人数；y =(2−ax)log a (0,1)a (1,2)R f(x)(−∞,0)1010f(x)2021f(x)R f(x +5)f(2000)+f(2010)+f(2020)=0+=1x 216y 24(1,1)f (x)=+85e x 125e −x y =f (x)(0,f (0))ABCD −A 1B 1C 1D 1DA =DC =4D =3D 1B A 1C B 1=(1,)a →3–√=(0,−1)b →+⋅= a →||a →b →||b →b →{}A n =A A n+12n {}A n {}a n =9a 1{,}a n a n+1f(x)=+2x x 2n {+1}a n {lg(+1)}a n n T n =(+1)(+1)T n a 1a 2(+1)a n lgT n =b n lgT n lg(+1)a n {}b n n S n >2014S n n 500032120303(1)X N (μ,)σ2μ=66,=144σ29021已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为，求的分布列及数学期望.附：，. 20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．求直线与平面的距离；若，求二面角的平面角的余弦值．21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，，分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，，与，均不重合，直线和直线的斜率分别记为和，且满足.求椭圆的标准方程；若直线，的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上？若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由．22. 已知函数.讨论函数的单调性；当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围．(2)2312Y Y P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9974P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD PA =AB =6–√E PB (1)AD PBC (2)AD =3–√A −EC −D C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A (−2,0)B (2,0)F 1F 2F 2C P Q P Q A B PA PB k PA k PB =−k PA k PB 34(1)C (2)AP BQ T l T l l f (x)=ln x −a (−1)(a ∈R)x 2(1)f (x)(2)x ≥1f (x)≥0a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】集合，，求，可并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵，，∴.故选．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ，∴.故选.3.A ={1,2,3}B ={2,3,4}A ∪B A ={1,2,3}B ={2,3,4}A ∪B ={1,2,3,4}A z ====(1+i)23+4i 2i 3+4i 2i (3−4i)(3+4i)(3−4i)8+6i 25|z|===+()8252()6252−−−−−−−−−−−−−−√102525CD【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵，，∴，∴.∵，，∴，∴，∴．故选.4.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先全排，再插空即可.sin(+α)π4sin(−)π4β2α+=(+α)−(−)β2π4π4β20<α<π2cos(+α)=π413+α∈(,)π4π43π4sin(+α)==π41−(+α)cos 2π4−−−−−−−−−−−−−√22–√3−π<β<−π2cos(−)=−π4β23–√3−∈(,)π4β2π23π4sin(−)==π4β21−(−)cos 2π4β2−−−−−−−−−−−−−−√6–√3cos(α+)β2=cos[(+α)−(−)]π4π4β2=cos(+α)cos(−)+sin(+α)sin(−)π4π4β2π4π4β2=×(−)+×133–√322–√36–√3=3–√3D解：将其余三个人进行排列，排列方法有种，再在产生的四个空中，找两个空插入即可，即有种，故甲、乙彼此不相邻，共有种排法.故选.5.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】由题意知，，又轴，故，根据的斜率为得，得到方程，再由，，的关系和离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：由题意知，，因为轴，所以，根据直线的斜率为得，即，，，，故，解得或，又，所以．故选．6.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由＝可得，转化为圆心到直线的距离，列出方程求得的值．=6A 33=12A 246×12=72B A (−a,0)F (c,0)PF ⊥x P (c,)b 2a PA 1|PF|=|AF|=a +c b 2a a b c A (−a,0)F (c,0)PF ⊥x P (c,)b 2a PA 1|PF|=|AF|=a +c b 2a =+ac b 2a 2−=+ac c 2a 2a 2−ac −2=0c 2a 2−e −2=0e 2e =−1e =2e >1e =2B +x 1x 2y 1y 20OA ⊥OB k由条件可得，圆的圆心为，半径为，由＝，可得，故，故点到直线的距离为，即＝，解得＝．7.【答案】A【考点】数列递推式数列的应用【解析】由题意得到该数列为周期数列，周期为，且，故.【解答】解：设，则，，，，……由此可知，该数列为周期数列，周期为，且，故.故选.8.【答案】B≠7x 1x 2O (02+x 7x 2y 1y 30OA ⊥OB O l k 224=1a 1a 2a 2a 4……==1a 1a 2a 3a 4a 2020()a 1a 2a 3a 4505=a ≠1a 1=a 21+a 1−a ===−a 31+1+a 1−a 1−1+a 1−a 2−2a 1a ==a 41−1a 1+1a a −1a +1===a a 51+a −1a +11−a −1a +12a 24=1a 1a 2a 3a 4……==1a 1a 2a 3a 4a 2020()a 1a 2a 3a 4505A棱台的结构特征球内接多面体【解析】由已知，三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，且，，两两垂直，球直径等于以，，为棱的长方体的对角线，得到，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值．【解答】解：∵，，两两垂直，又∵三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，∴以，，为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴，又，∴，设，，则这个三棱锥的三个侧棱长的和．则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为，故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数＝的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】将函数＝的图象向右平移个单位后得到函数＝，则的周期为＝；令＝，求得＝，故错误；令＝，求得＝；P −ABC 2PA PB PC PA PB PC 5P +P =16B 2C 2PA PB PC P −ABC 2PA PB PC 16=P +P +P A 2B 2C 2PA =2PB 5P +P =16B 2C 2PB =4cos α5–√PC =4sin αPA +PB +PC =3PB +PC =cos α+4sin α=sin(α+∅)≤125–√4570−−√4570−−√4570−−√B y A sin(ωx +φ)f(x)cos 2x g(x)cos(5x−g(x)πx g(x)0B x g(x)当，），，），）上单调递增．10.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】曲线即 ＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线＝的距离等于半径，解得 ＝，＝．结合图象可得的范围．【解答】如图所示：曲线＝，即＝-，平方可得＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆．由圆心到直线＝的距离等于半径，可得＝，∴＝，或＝．结合图象可得，故选：．11.【答案】A,C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值根的存在性及根的个数判断x ∈(02x ∈(0(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3)A(2,3)2y x +b 2b 1+2b 1−2b y 3−y −3(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3,0≤x ≤4)A(2,3)2y x +b 22b 1+2b 1−21−2≤b ≤3C【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，则函数的定义域为，所以，则，，所以在点处的切线方程为，即，故正确.因为在上，，单调递增，在上， ，单调递减，所以单调递增区间为，故错误.由的极大值也是最大值为，故正确.方程解的个数为的解的个数，即为函数与图象交点的个数，所以作出函数与的图象，如图所示，由图象可知，方程只有一个解，故错误.故选．12.【答案】C,D【考点】复合函数的单调性函数的零点函数的周期性【解析】f (x)=ln x x (0,+∞)(x)=f ′1−ln x x 2(1)=1f ′f (1)=0f (x)(1,0)y −0=(1)(x −1)f ′y =1⋅(x −1)=x −1A (0,e)(x)>0f ′f (x)(e,+∞)(x)<0f ′f (x)(0，e)B f (x)f (e)==ln e e 1e C f (x)==−1ln x x ln x =−x y =ln x y =−x y =ln x y =−x f (x)=−1D AC A举出反例可说明选项错误，由函数的单调性得到关于的不等式组可得实数的取值范围，由奇函数的性质可得函数的零点个数，由题意首先确定函数的周期性，然后计算的值即可．【解答】解：，当时，，函数的最大值不是，故错误；，由可得函数单调递减，若要使函数在上是减函数，则解得，故错误；，由奇函数的性质可得函数在内有个零点，且，所以函数的零点个数为，故正确；，因为函数是奇函数，是偶函数，所以，所以，所以函数的周期为，所以即，，所以，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数＝＝，田忌的马获胜包含的基本事件有：＝种，由此能求出田忌的马获胜的概率．【解答】解：设齐王的上、中、下三匹马分别记为，田忌的上、中、下三匹马分别记为，齐王与田忌赛马，其情况有：共种；其中齐王的马获胜的有共种，则齐王获胜的概率为.故答案为：.14.【答案】A a a f(2000)+f(2010)+f(2020)A x =1y =112A B a >0y =2−ax y =(2−ax)log a (0,1){a >1,2−a 0,a ∈(1,2]B C f(x)(0,+∞)1010f(0)=0f(x)2021C D f(x)f(x +5)f(x +5)=f(−x +5)=−f(x −5)f(x +20)=−f(x +10)=f(x)f(x)20f(2000)=−f(2010)f(2000)+f(2010)=0f(2020)=f(0+20×101)=f(0)=0f(2000)+f(2010)+f(2020)=0D CD 23n 3×39m 3,,a 1a 2a 3,,b 1b 2b 3(,),(,),(,),(,),a 1b 1a 1b 2a 1b 3a 2b 1(,),(,),(,),(,),(,)a 2b 2a 2b 3a 3b 1a 3b 2a 3b 39(,),a 1b 1(,),a 1b 2(,),a 1b 3(,),a 2b 2(,),a 2b 3(,)a 3b 36=692323【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程．【解答】解：设这条弦的两个端点分别为，，则 得因为点，均在椭圆上，则两式相减得，整理，得，即，所以直线的斜率为，所以这条弦所在直线的方程为，即．故答案为：．15.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】本题考查导数的几何意义，考查考生直观想象，逻辑惟理，数学运算的核心素养．【解答】x +4y −5=0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 =1,+x 1x 22=1,+y 1y 22{+=2,x 1x 2+=2.y 1y 2A B +=1x 216y 24 +=1,x 2116y 214+=1,x 2216y 224+=0−x 21x 2216−y 21y 224=−−y 21y 22−x 21x 2214=−(−)(+)y 1y 2y 1y 2(−)(+)x 1x 2x 1x 214AB ==−k AB −y 1y 2−x 1x 214y −1=−(x −1)14x +4y −5=0x +4y −5=0y =−x +445x)=−812x解：．故，，故所求切线方程为，即 .故答案为： .16.【答案】【考点】余弦定理异面直线及其所成的角【解析】连接，由 得为异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．【解答】解：连接，∵，∴为异面直线与所成的角．连接，在中，，，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.(x)=−f ′85e x 125e −x (0)=−f ′45f (0)=4y −4=−x 45y =−x +445y =−x+445925D A 1D//C A 1B 1∠B D A 1B A 1C B 1B A 1C B 1D A 1D//C A 1B1∠B D A 1B A1C B 1BD △DB A 1B =D =5A 1A 1BD =42–√cos ∠B D =A 1+−B A 1B 2A 1D 2D 22⋅B ⋅DA 1A 1==25+25−322×5×5925B A 1C B 1925925【答案】【考点】平面向量数量积平面向量的坐标运算向量的模【解析】根据题意可求得及，然后得到，进而利用向量的数量积公式即可求得结果．【解答】解：，，因此， ．故答案为：．18.【答案】（1）证明：由题意得：，即 ，则是“平方递推数列”，…又有，得是以为首项，为公比的等比数列．…（2）解：由（1）知，…∴…．…（3）解：，…，…又，即，，1−3–√2||a →||b →+a →||a →b →||b →||==2a →+(123–√)2−−−−−−−−−√||==1b →+(−102)2−−−−−−−−−√+=+=(,)+(0,−1)=(,−1)a →||a →b →||b →(1,)3–√2(0,−1)1123–√2123–√2∴+⋅=×0+(−1)×(−1)=1− a →||a →b ||b →b →123–√23–√21−3–√2=+2a n+1a 2n a n +1=(+1a n+1a n )2{+1}a n lg(+1)=2lg(+1)a n+1a n {lg(+1)}a n lg(+1)a 12lg(+1)=lg(+1)⋅=a n a 12n−12n−1lg =lg(+1)(+1)T n a 1a 2(+1)a n =lg(+1)+lg(+1)+...+lg(+1)a 1a 2a n ==−11−2n 1−22n ===2−(b n lgT n lg(+1)a n −12n 2n−112)n−1=2n −=2n −2+S n 1−12n 1−1212n−1>2014S n 2n −2+>201412n−1n +>100812n <<11又 ，∴．…【考点】数列与不等式的综合等比关系的确定数列的求和【解析】（1）由已知条件推导出，由此能证明是“平方递推数列”，由，能证明是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，由此能求出的值．（3）由，利用分组求和法能求出数列的前项和，并求出使的的最小值．【解答】（1）证明：由题意得：，即 ，则是“平方递推数列”，…又有，得是以为首项，为公比的等比数列．…（2）解：由（1）知，…∴…．…（3）解：，…，…又，即，，又 ，∴．…19.【答案】解：因为，所以，所以，所以估计不低于分的人数为0<<112n=1008n min =+2a n+1a 2n a n {+1}a n lg(+1)=2lg(+1)a n+1a n {lg(+1)}a n lg(+1)a 12lg(+1)=a n 2n−1lgT n ===2−(b n lgT n lg(+1)a n −12n 2n−112)n−1{}b n n S n >2014S n n =+2a n+1a 2n a n +1=(+1a n+1a n )2{+1}a n lg(+1)=2lg(+1)a n+1a n {lg(+1)}a n lg(+1)a 12lg(+1)=lg(+1)⋅=a n a 12n−12n−1lg =lg(+1)(+1)T n a 1a 2(+1)a n =lg(+1)+lg(+1)+...+lg(+1)a 1a 2a n ==−11−2n 1−22n ===2−(b n lgT n lg(+1)a n −12n 2n−112)n−1=2n −=2n −2+S n 1−12n 1−1212n−1>2014S n 2n −2+>201412n−1n +>100812n 0<<112n =1008n min (1)=144,μ=66σ2μ+2σ=66+2×12=90P(X 90)=P(X μ+2σ)=(1−0.9544)=0.02281290(人).的所有可能取值为，则故的分布列为所以数学期望.【考点】正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】解：因为，所以，所以，所以估计不低于分的人数为(人).【解答】解：因为，所以，所以，所以估计不低于分的人数为(人).的所有可能取值为，则0.0228×5000=114(2)Y 0,2,3,4,5,7P(Y =0)=××=,121313118P(Y =2)=×××==,C 1223131241829P(Y =3)=××=,131312118P(Y =4)=××==,23231241829P(Y =5)=×××==,C 1223131241829P(Y =7)=××==,23231241829Y E(Y )=0×+2×+118293×+1184×+295×+297×29=256(1)=144,μ=66σ2μ+2σ=66+2×12=90P(X 90)=P(X μ+2σ)=(1−0.9544)=0.022812900.0228×5000=114(1)=144,μ=66σ2μ+2σ=66+2×12=90P(X 90)=P(X μ+2σ)=(1−0.9544)=0.022812900.0228×5000=114(2)Y 0,2,3,4,5,7P(Y =0)=××=,121313118P(Y =2)=×××==,C 1223131241829(Y =3)=××=,1111故的分布列为所以数学期望.20.【答案】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，，所以．设平面的法向量为，P(Y =3)=××=,131312118P(Y =4)=××==,23231241829P(Y =5)=×××==,C 1223131241829P(Y =7)=××==,23231241829Y E(Y )=0×+2×+118293×+1184×+295×+297×29=256(1)A AB AD AP x y z A −xyz D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x 13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2(,,−)−→−–√–√(−,0,0)−→−因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角点、线、面间的距离计算【解析】本题主要考查了点，线，面的距离计算．无【解答】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x 23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x 2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3(1)A AB AD AP x y z A −xyz D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ =0,–√–√所以令，得，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．21.【答案】解：设点的坐标为，因为，，，所以，解得.由，是椭圆的左、右顶点，所以椭圆的标准方程为．如图所示，已知，，设，，，由，可得①，由，可得②，上述两式相除得.又 +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x 13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x 23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x 2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3(1)P (x,y)=−k PA k PB 34A (−2,0)B (2,0)⋅=−y x +2y x −234+=1(x ≠±2)x 24y 23A (−2,0)B (2,0)C C +=1x 24y 23(2)A (−2,0)B (2,0)T (x,y)P (,)x 1y 1Q (,)x 2y 2=k TA k PA =y x +2y 1+2x 1=k TB k QB =y x −2y 2−2x 2=⋅x −2x +2y 1+2x 1−2x 2y 2⋅=y 1+2x 1y 1−2x 1y 21−4x 21=−−(−4)32，所以，所以③.设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得，恒成立，由韦达定理得，，代入③得，得，故点在定直线上．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设点的坐标为，因为，，，所以，解得.由，是椭圆的左、右顶点，所以椭圆的标准方程为．如图所示，==−−(−4)34x 21−4x 2134=−⋅y 1+2x 134−2x 1y 1=⋅x −2x +2y 1+2x 1−2x 2y 2=−⋅34(−2)(−2)x 1x 2y 1y 2PQ x =my +1C (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2⋅=−y 1y 293+4m 2=−⋅x −2x +234(m −1)(m −1)y 1y 2y 1y 2=−⋅34−m(+)+1m 2y 1y 2y 1y 2y 1y 2=−⋅34=(−)−m ⋅(−)+1m 293+4m 26m 3+4m 2−93+4m 213x =4T x =4(1)P (x,y)=−k PA k PB 34A (−2,0)B (2,0)⋅=−y x +2y x −234+=1(x ≠±2)x 24y 23A (−2,0)B (2,0)C C +=1x 24y 23(2)已知，，设，，，由，可得①，由，可得②，上述两式相除得.又，所以，所以③.设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得，恒成立，由韦达定理得，，代入③得，得，故点在定直线上．22.【答案】解：函数的定义域为．．①时，，故在区间上单调递增；A (−2,0)B (2,0)T (x,y)P (,)x 1y 1Q (,)x 2y 2=k TA k PA =yx +2y 1+2x 1=k TB k QB =y x −2y 2−2x 2=⋅x −2x +2y 1+2x 1−2x 2y 2⋅=y 1+2x 1y 1−2x 1y 21−4x 21==−−(−4)34x 21−4x 2134=−⋅y 1+2x 134−2x 1y 1=⋅x −2x+2y 1+2x 1−2x 2y 2=−⋅34(−2)(−2)x 1x 2y 1y 2PQ x =my +1C (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2⋅=−y 1y 293+4m 2=−⋅x −2x +234(m −1)(m −1)y 1y 2y 1y 2=−⋅34−m(+)+1m 2y 1y 2y 1y 2y 1y 2=−⋅34=(−)−m ⋅(−)+1m 293+4m 26m3+4m 2−93+4m 213x =4T x =4(1)f (x)(0,+∞)(x)=−2ax =f ′1x 1−2ax 2x a ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)<x <−−−>−−−②当，令，得，令得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，由知函数在区间上单调递增，所以，所以恒成立，即符合题意．当时，令，解得：，令 ，解得．①当时，，所以结合，知函数在上单调递增，在区间上单调递减，且．令，恒成立.又，所以在区间上单调递增，所以存在，使得，即存在，使得，即当时，不符合题意．②当时，，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，所以，显然不符合题意．综上所述，实数的取值范围为．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性a >0(x)>0f ′0<x <12a −−−√(x)<0f ′x >12a −−−√f (x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a−−−√a ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a −−−√(2)a ≤0(1)y =f(x)[1,+∞)f(x)≥f(1)=0f (x)≥0a ≤0a >0(x)=−2ax =0f ′1x x =12a −−−√=112a −−−√a =120<a <12>>11a 12a −−−√(1)f (x)(1,)12a −−−√(,+∞)12a −−−√f()=ln −a [−1]=−ln a −+a 1a 1a ()1a 21a h (a)=−ln a −+a 1a (a)=−++1=>0h ′1a 1a 2−a +1a 2a 20<a <12h(a)(0,)12a ∈(0,)12h (a)<h ()=−ln −2+=ln 2−<012121232a ∈(0,)12f ()<01a 0<a <12a ≥12≤112a −−−√(x)≤0f ′[1,+∞)f (x)[1,+∞)f (x)≤f (1)=0a ≥12a {a|a ≤0}【解析】（1）函数的定义域为．对分类讨论，明确函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可．【解答】解：函数的定义域为．．①时，，故在区间上单调递增；②当，令，得，令得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．当时，由知函数在区间上单调递增，所以，所以恒成立，即符合题意．当时，令，解得：，令 ，解得．①当时，，所以结合，知函数在上单调递增，在区间上单调递减，且．令，恒成立.又，所以在区间上单调递增，所以存在，使得，即存在，使得，即当时，不符合题意．f (x)(0,+∞)(x)=−2ax =f ′1x 1−2ax 2x a x ≥1f (x)≥0f (x)(1)f (x)(0,+∞)(x)=−2ax =f ′1x 1−2ax 2x a ≤0(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a >0(x)>0f ′0<x <12a −−−√(x)<0f ′x >12a −−−√f (x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a−−−√a ≤0f (x)(0,+∞)a >0f (x)(0,)12a −−−√(,+∞)12a −−−√(2)a ≤0(1)y =f(x)[1,+∞)f(x)≥f(1)=0f (x)≥0a ≤0a >0(x)=−2ax =0f ′1x x =12a −−−√=112a −−−√a =120<a <12>>11a 12a −−−√(1)f (x)(1,)12a −−−√(,+∞)12a−−−√f()=ln −a [−1]=−ln a −+a 1a 1a ()1a 21ah (a)=−ln a −+a 1a (a)=−++1=>0h ′1a 1a 2−a +1a 2a 20<a <12h(a)(0,)12a ∈(0,)12h (a)<h ()=−ln −2+=ln 2−<012121232a ∈(0,)12f ()<01a 0<a <121−−−②当时，，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，所以，显然不符合题意．综上所述，实数的取值范围为．a ≥12≤112a−−−√(x)≤0f ′[1,+∞)f (x)[1,+∞)f (x)≤f (1)=0a ≥12a {a|a ≤0}。

2022-2023年河北省某校初三 (上)月考数学试卷(含答案)051149

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2022-2023年河北省某校初三 (上)月考数学试卷试卷考试总分：130 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）1. 如果是一元二次方程，则 A.B.C.D.2. 抛物线，，为常数， 经过两点，，下列四个结论：；若点， 在抛物线上，则；的解集为或；方程的两根为，．其中结论正确的个数是( )A.个B.个C.个D.个3. 用配方法解方程，则方程可变形为( )A.B.C.D.4. 一元二次方程的求根公式是( )A.B.C.D.5. 将抛物线向右平移个单位后所得抛物线的解析式是（ ）A.B.(m−1)+2x−3=0x 2()m≠±1m≠1m≠−1m=1y =a +bx+c(a x 2b c a >0)A(−2,0)B(4,0)①b +2a =0②(−2020,m)(2021,n)m<n ③y >0x <−2x >4④a +bx+c =−x (x+1)2=−3x 1=3x 212343−6x+2=0x 2(x−3=)2233(x−1=)223(3x−1=1)2(x−1=)213a +bx+c =0(a ≠0)x 2=x 1,2−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a=x 1,2b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a=x 1,22b ±−4ac b 2−−−−−−−√a=x 1,2−a ±−4ac b 2−−−−−−−√2b 1D.6. 若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数的值为 （ ）A.B.C.或D.或7. 如图，平面直角坐标系中，在轴上， , ，点与点关于轴对称，则过,,三点的抛物线是（ ）A.B.C.D.8. 如图所示，当时，函数＝与＝在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B.C.D.9. 某品牌手机三月份销售万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到万部，求月平均增长率．设月平均增长率为，根据题意列方程为（ ）A.＝B.＝C.＝x x(x+1)+ax =0x −11−22−31OB x ∠ABO =90∘OB =1,OA =5–√A C y A O C y =−2x 2y =2x 2y =x 2y =−x 2b <0y ax+b y a +bx+c x 2400900x 400(1+)x 2900400(1+2x)900900(1−x)2400D.＝10. 一条抛物线与轴的交点为，则其对称轴是直线（ ）A.B.C.D.11. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是( )A.B.C.D.12. 设计师以二次函数的图象为灵感设计杯子如图所示，若，，则杯子的高( )A.B.C.D.13. 三角形两边的长是和，第三边满足方程＝，则三角形周长为（ ）A.B.C.或D.以上都不对14. 已知 关于的方程 的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根400(1+x)2900x (2,0),(4,0)x =2x =4x =0x =3200m 235m 49m 1m AB xm x(49+1−x)=200x(49−2x)=200x(49+1−2x)=200x(49−1−2x)=200y =2−4x+8x 2AB =4DE =3CE =17118768−24x+140x 2024282428k ≠0X k −x−k +1=0x 2C.有两个实数根D.没有实数根15. 如图，和都是边长为的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，当点与点重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随着变化的函数图象大致为( ) A. B.C.D.16. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为 A.和B.和C.和D.和二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17. 把方程化为一般形式是________．18. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程．已知（为常数）是“和谐”方程，则的值为________________.19. 对于抛物线，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线；④点在抛物线上.其中正确的有________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）△ABC △DEF 2BC EF l C E △ABC l B F C x y y x y =−(x−h +4)2h x 1≤x ≤4y 0h ()−1626−13232−1=5x x 2a +bx+c =0(a ≠0)x 2a −b +c =0+(m−1)x−2m−5=0m 2x 2m m y =4x−4+7x 2(2,−3)x =12(−2,−17)20. 解方程：（1）；（2）． 21. 如图，已知抛物线（为常数），顶点为，直线与轴交于点．当时，求抛物线的解析式和顶点的坐标；用分别表示顶点的横坐标和纵坐标，并求与的函数关系式；如图，若抛物线的顶点恰好落在直线上的点处，求的值和点的坐标；若抛物线与中的射线（含端点）没有公共点，请直接写出的取值范围．22. 用公式法解方程：．23. 已知抛物线经过两点．求的值；当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；若方程的两实根满足，且，求的最大值． 24. 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件(每件售价不能高于元)．设每件商品的售价上元(为正整数)，每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量戈的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元? 25. 某超市销售一种电子计算器，其进价为每个元，计划每个售价不低于成本，且不高于元.这种计算器每天的销售量(个)与销售单价(元)的关系为.设这种计算器每天的销售利润为元求与之间的函数解析式(利润售价一进价)；若该超市销售这种计算器每天要获得元的销售利润，则销售单价应定为多少元？26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．求抛物线的表达式和点的坐标；点是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．−6x+8=0x 2−4x−3=0x 21L :y =−2hx++h x 2h 212h M y =−2x+9y A (1)h =−2M (2)h M x y y x (3)2L M y =−2x+9B h B (4)L (3)AB A h +4x−2=0x 2y =+bx+c x 2A(−3,n),B(2,n)(1)b (2)−1<x <1x c (3)+bx+c =0x 2,x 1x 23≤−<9x 2x 1p =−3x 21x 22p 405021011065x x y y x 22003045y x y =−x+60(30≤x ≤60)ω.(1)ωx =(2)200y =+bx+c x 2x A(−1,0)B y C(0,−3)(1)B (2)M N M N A B参考答案与试题解析2022-2023年河北省某校初三 (上)月考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）1.【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】认真审题，首先需要了解一元二次方程的定义(只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为的方程为一元二次方程)．【解答】解：∵是一元二次方程，∴，∴．故选．2.【答案】B【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】求得对称轴即可判断；根据点距离对称轴的的大小即可判断；根据图象即可判断；根据平移的规律即可判断．【解答】解：抛物线(，，为常数，)经过两点，，抛物线开口向上，对称轴为直线，，，故正确；，，故错误；抛物线(，，为常数，)经过两点，，且开口向上，的解集为或，故正确；把抛物线向左平移个单位得到，此时抛物线与轴的交点为和，∴方程即方程的两根不是，，故错误．综上所述，正确的是共个．故选．3.【答案】D2(m−1)+2x−3=0x 2m−1≠0m≠1B ①②③④∵y =a +bx+c x 2a b c a >0A(−2,0)B(4,0)∴x ==1−2+42∴−=1b 2a ∴2a +b =0①∵1+2020>2021−1∴m>n ②∵y =a +bx+c x 2a b c a >0A(−2,0)B(4,0)∴y >0x <−2x >4③y =a +bx+c x 21y =a +b(x+1)+c (x+1)2x (−3,0)(3,0)a +bx+c =−x (x+1)2a +(b +1)x+c =0(x+1)2=−3x 1=3x 2④①③2B解一元二次方程-配方法【解析】先移项得到，再把方程两边都除以，然后把方程两边加上即可得到．【解答】解：移项得，二次系数化为得，方程两边加上得，所以．故选．4.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】熟记求根公式，进行选择即可．【解答】解：当时，一元二次方程的求根公式为.故选.5.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律【解析】利用抛物线的平移规律计算即可．【解答】将向右平移个单位，则故选：．6.【答案】A【考点】3−6x =−2x 231(x−1=)2133−6x =−2x 21−2x =−x 2231−2x+1=−+1x 223(x−1=)213D x =−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2aa ≠0x =−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a A y =+2x 21y =+2(x−1)2D【解析】【解答】解：将方程化为一般式可得.∵方程有两个相等的实数根，∴,解得.故选.7.【答案】B【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】由题意，得抛物线关于轴对称，定点为原点，设抛物线方程为,由勾股定理得,代入求解.【解答】解：由题意，设抛物线方程为,,,,,,代入抛物线方程得,则抛物线方程为.故选.8.【答案】B【考点】一次函数的图象二次函数的图象【解析】本题可先由一次函数＝象得到字母系数的正负，再与二次函数＝的图象相比较看是否一致．【解答】、由一次函数的图象可知，二次函数对称轴，错误；、由一次函数的图象可知，二次函数对称轴，正确；、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，错误；、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，错误；9.【答案】D【考点】x(x+1)+ax =0+(a +1)x =0x 2Δ=(a +1−4∗1∗0=0)2a =−1A y y =a (a ≠0)x 2A(1,2)y =a (a ≠0)x 2∵OB =1OA =5–√∠ABO =90∘∴AB ==2O −O A 2B 2−−−−−−−−−−√∴A(1,2)a =2y =2x 2B y ax+b y a +bx+c x 2A a >0b >0x =−<0b 2a B a >0b <0x =−>0b 2a C a >0b <0a <0D a <0b >0a >0由实际问题抽象出一元二次方程【解析】设月平均增长率为，根据三月及五月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】设月平均增长率为，根据题意得：＝．10.【答案】D【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】C【考点】一元二次方程的应用——几何图形面积问题【解析】设一边长为时，则另一边的长度为 ，根据花园的面积为，列出方程并解答.【解答】解：由题意得，当试验田垂直于墙的一边长为时，另一边的长度为，依题意得：.故选.12.【答案】B【考点】二次函数的应用【解析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．x x x 400(1+x)2900xm (49+1−2x)m 200m 2xm (49+1−2x)m x(49+1−2x)=200C y =2−4x+8x 2D (1,6)AB =4B x =3y =2−4x+8x 2y =14CD =14−6=8DE =3解：∵，∴抛物线顶点的坐标为.∵，∴点的横坐标为.把代入，得到，∴，∴．故选．13.【答案】A【考点】三角形三边关系解一元二次方程-因式分解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】C【考点】根的判别式【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握根的判别式并能熟练运用.先根据确定方程为一元二次方程，然后再根据判别式来解答即可.【解答】解：∵∴关于的方程 为一元二次方程，∵且 ，∴，∴方程有两个实数根，故选15.【答案】A【考点】动点问题函数的图象【解析】y =2−4x+8=2(x−1+6x 2)2D (1,6)AB =4B x =3x =3y =2−4x+8x 2y =14CD =14−6=8CE =CD+DE =8+3=11B k k ≠0x k −x−k +1=0x 2Δ=−4ac =(−1−4k(−k +1)=1+4−4k =(2k −1b 2)2k 2)2k ≠0Δ=(2k −1≥0)2C.分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得与的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解答】解：如图所示：当时，过点作于．∵和均为等边三角形，∴为等边三角形，由勾股定理可得，，∴．此时当时，，且抛物线的开口向上.如图所示：当时，过点作于．，∴函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.综上，只有选项的函数图象符合题意.故选.16.【答案】A【考点】二次函数的最值【解析】分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：时，随着的增大而减小， 时，随着的增大而增大,①若 ,则 时，取得最大值,, (舍去）,;②若 ,则 时，取得最大值,,(舍去）,,综合上述，的值为和.故选.二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】0<x ≤22<x ≤4y x 10<x ≤2G GH ⊥BF H △ABC △DEF △GEJ GH =EJ =x 3–√23–√2y =EJ ⋅GH =123–√4x 2x =2y =3–√22<x ≤4G GH ⊥BF H y =FJ ⋅GH =(4−x 123–√4)2A A h <22≤h ≤5h >5h <2h 2≤h ≤50h >5h x >h y x x <h y x h <1≤x ≤4x =1y 0−(1−h +4=0)2=−1,=3h 1h 2∴h =−11≤x ≤4<h x =4y 0−(4−h +4=0)2∴=6,=2h 1h 2∴h =6h −16A【考点】一元二次方程的一般形式【解析】一元二次方程，，是常数且的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：化为一般形式是，故答案为：．18.【答案】或.【考点】一元二次方程的解解一元二次方程-因式分解法【解析】根据“和谐方程”的定义知是一元二次方程 的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得的值．【解答】解：根据“和谐方程”的定义知是一元二次方程的根；当时， ,,,解得或.∴的值是或.故答案为：或.19.【答案】③④【考点】二次函数的性质抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征【解析】①根据二次项系数的符号即可判断出抛物线的开口方向；②根据便可求出对称轴方程；③将②中对称轴方程横坐标代入解析式即可求出点的纵坐标，从而得到顶点坐标；④将点代入抛物线解析式，若等式成立则点在抛物线上，否则点不在抛物线上；⑤根据抛物线交点个数与根的判别式的关系，求出的值即可判断．【解答】2−5x−1=0x 2a +bx+c =0(ax 2b c a ≠0)a b c 2−1=5x x 22−5x−1=0x 22−5x−1=0x 2−14x =−1a +bx+c =0(a ≠0)x 2m x =−1+(m−1)x−2m−5=0m 2x 2x =−1−(m−1)−2m−5=0m 2−3m−4=0m 2(m+1)(m−4)=0m=−1m=4m −14−14x =−b 2a (−,−9)12△解：∵中，二次项系数，∴抛物线开口向下，故①错误；∵，，，∴对称轴为，故③正确，②错误；将代入解析式得，故④正确.故答案为：③④．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）20.【答案】解：，则，，解得：，；（2），∵，，，∴，∴，则，．【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-公式法【解析】（1）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，进而可得，，再解即可；（2）首先确定、、的值，然后可得，再利用求根公式进行计算即可．【解答】解：，则，，解得：，；（2），∵，，，∴，∴，则，．21.【答案】解：将代入，得，顶点．，，，．由得，点的坐标满足解析式，即点始终在直线上．把与直线联立，y =4x−4+7x 2−4<0a =−4b =4c =7x =−=42×−412x =−2y =−8−16+7=−17(1)(x−2)(x−4)=0x−2=0x−4=0=2x 1=4x 2−4x−3=0x 2a =1b =−4c =−3△=−4ac =16+12=28b 2x ===2±−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a 4±28−−√27–√=2+x 17–√=2−x 27–√0(x−2)(x−4)=0x−2=0x−4=0a b c △(1)(x−2)(x−4)=0x−2=0x−4=0=2x 1=4x 2−4x−3=0x 2a =1b =−4c =−3△=−4ac =16+12=28b 2x ===2±−b ±−4ac b 2−−−−−−−√2a 4±28−−√27–√=2+x 17–√=2−x 27–√(1)h =−2y =−2hx++h x 2h 212y =+4x+3=−1x 2(x+2)2∴M(−2,−1)(2)∵y =−2hx++h =+h x 2h 212(x−h)212∴x =h y =h 12∴y =x 12(3)(2)M y =x 12M y =x 12y =x 12y =−2x+9得 解得 ，．或.①当抛物线对称轴右侧部分经过点时，有，解得（已舍去正值）；②当抛物线与直线只有一个交点时，消去，得，则，解得，结合图形，当抛物线与射线（含端点）没有公共点时，或.【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征二次函数的三种形式二次函数综合题【解析】本题考查二次函数的图象和性质、抛物线顶点坐标、动点轨迹的判断、直线的交点坐标、抛物线与射线公共点等问题，考查学生的数学运算能力、数学建模思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．本题考查二次函数的图象和性质、抛物线顶点坐标、动点轨迹的判断、直线的交点坐标、抛物线与射线公共点等问题，考查学生的数学运算能力、数学建模思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．本题考查二次函数的图象和性质、抛物线顶点坐标、动点轨迹的判断、直线的交点坐标、抛物线与射线公共点等问题，考查学生的数学运算能力、数学建模思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．本题考查二次函数的图象和性质、抛物线顶点坐标、动点轨迹的判断、直线的交点坐标、抛物线与射线公共点等问题，考查学生的数学运算能力、数学建模思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．【解答】解：将代入，得，顶点．，，，．由得，点的坐标满足解析式，即点始终在直线上．把与直线联立，得 y =x ，12y =−2x+9， x =，185y =，95∴h =185B(,)18595(4)h <−1−145−−−√4h >4A(0,9)+h =9h 212h =−1−145−−−√4y =−2x+9 y =−2x+9，y =−2hx++h ，x 2h 212y −(2h−2)x++h−9=0x 2h 212Δ=(2h−2−4(+h−9)=−10h+40=0)2h 212h =4AB A h <−1−145−−−√4h >4(1)h =−2y =−2hx++hx 2h 212y =+4x+3=−1x 2(x+2)2∴M(−2,−1)(2)∵y =−2hx++h =+h x 2h 212(x−h)212∴x =h y =h 12∴y =x 12(3)(2)M y =x 12M y =x 12y =x 12y =−2x+9 y =x ，12y =−2x+9，解得 ，．或.①当抛物线对称轴右侧部分经过点时，有，解得（已舍去正值）；②当抛物线与直线只有一个交点时，消去，得，则，解得，结合图形，当抛物线与射线（含端点）没有公共点时，或.22.【答案】解：，，所以，．【考点】解一元二次方程-公式法【解析】先计算判别式的值，然后根据求根公式求解．【解答】解：，，所以，．23.【答案】解：抛物线经过，两点，抛物线的对称轴为直线，，．由得，抛物线的解析式为，对称轴为直线，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，①当公共点是顶点时，，解得；②当公共点不是顶点时，当时，，当时，，解得， x =，185y =，95∴h =185B(,)18595(4)h <−1−145−−−√4h >4A(0,9)+h =9h 212h =−1−145−−−√4y =−2x+9 y =−2x+9，y =−2hx++h ，x 2h 212y −(2h−2)x++h−9=0x 2h 212Δ=(2h−2−4(+h−9)=−10h+40=0)2h 212h =4AB A h <−1−145−−−√4h >4(1)△=−4×1×(2)=2442x ==−2±−4±24−−√26–√=−2+x 16–√=−2−x 26–√(1)△=−4×1×(2)=2442x ==−2±−4±24−−√26–√=−2+x 16–√=−2−x 26–√(1)∵A(−3,n)B(2,n)∴x =−12∴−=−b 212∴b =1(2)(1)y =+x+c x 2∵x =−12−1<x <1x ∴Δ=1−4c =0c =14∴x =−11−1+c ≤0x =11+1+c >0综上所述，的取值范围是或．由知，设．方程的两个实根为，，抛物线与轴交点的横坐标为，，，，即．，，．，∴当时，随的增大而增大，当时，最大值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数在给定区间上的最值二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质根的判别式二次函数的最值【解析】暂无．暂无．暂无．【解答】解：抛物线经过，两点，抛物线的对称轴为直线，，．由得，抛物线的解析式为，对称轴为直线，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，①当公共点是顶点时，，解得；②当公共点不是顶点时，当时，，当时，，解得，综上所述，的取值范围是或．由知，设．方程的两个实根为，，抛物线与轴交点的横坐标为，，，，即．，，．c c =14−2<c ≤0(3)(1)b =1y =+x+c x 2∵+x+c =0x 2x 1x 2∴y =+x+c x 2x x 1x 2∴=−+x 1x 2212∴+=−1x 1x 2=−1−x 2x 1∵3≤−<9x 2x 1∴3≤(−1−)−<9x 1x 1∴−5<≤−2x 1∴p =−3x 21x 22=−3(−1−x 21x 1)2=−2(++x 132)232−5<≤−2x 1p x 1∴=−2x 1p −1(1)(2)(3)(1)∵A(−3,n)B(2,n)∴x =−12∴−=−b 212∴b =1(2)(1)y =+x+c x 2∵x =−12−1<x <1x ∴Δ=1−4c =0c =14∴x =−11−1+c ≤0x =11+1+c >0−2<c ≤0c c =14−2<c ≤0(3)(1)b =1y =+x+c x 2∵+x+c =0x 2x 1x 2∴y =+x+c x 2x x 1x 2∴=−+x 1x 2212∴+=−1x 1x 2=−1−x 2x 1∵3≤−<9x 2x 1∴3≤(−1−)−<9x 1x 1∴−5<≤−2x 1∴p =−3x 21x 22=−3(−1−x 21x 1)2，∴当时，随的增大而增大，当时，最大值．24.【答案】解：由题意得：，且为整数解：由中的与的解析式配方得：．∵，∴当时，有最大值．∵且为整数，当时，，(元)；当时，，(元)，∴当售价定为每件或元时，每个月的利润最大，最大的月利润是元 。

河北省衡水市桃城区武邑中学2022高二数学10月月考试题(含解析)

河北省衡水市桃城区武邑中学2022高二数学10月月考试题(含解析)
22.在直角坐标系xOy中，曲线 与x轴交于A，B两点，点C的坐标为 .当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
【详解】延长 到 ，使得 ，则 为平行四边形，
∠ 就是异面直线 与 所成的角，
又 ，则三角形 为等边三角形， ，
因此，异面直线 与 所成的角为 ，故选：A.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，一般利用平移直线的方法，构造出异面直线所成的角，并选择合适的三角形进行计算，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
19.某工厂生产的某种产品，当年产量在 吨至 吨之间时，年生产总成本 （万元）与年产量 （吨）之间的关系可近似地表示成 ，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．
【答案】年产量为 吨时，每吨的平均成本最低，最低为 万元．
【解析】
分析：利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
3.已知双曲线 的一条渐近线方程是y= ,它的一个焦点是 ，则双曲线的方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线的方程可得 ，再利用双曲线的焦点得 及 即可得出．
【详解】解： 双曲线 的一条渐近线方程是y= ，
， 双曲线的一个焦点是 ， ，
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【详解】若 ， ，则直线 与平面 相交，或直线 在平面 内，或直线 与平面 平行，所以选项A不正确；
若 ， ，则直线 与平面 相交，或直线 在平面 内，所以选项B不正确;
若 ， ，则 或 与 相交，所以选项D不正确,

河北省石家庄市河北正中实验中学2022-2023学年高二上学期月考一(10月)数学试题

河北省石家庄市河北正中实验中学2022-2023学年高二上学期月考一(10月)数学试题

1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过右焦点 F2 且斜率
为1的直线交椭圆于 A，B 两点，N 为弦 AB 的中点，且 ON 的斜率为 3 . 4
(1)求椭圆 C 的离心率 e 的值；
(2)若 a2 4c ，l 为过椭圆 C 的右焦点 F2 且斜率不为零的直线，直线 l 交椭圆 C 于点 P， Q，求 F1PQ 内切圆面积的最大值.
C．{x∣1 x 3}
D．{x∣2 x 3}
2．若复数
a 4
bi 3i
（i
为虚数单位，a，
b
R
且
b
0
）为纯虚数，则
a b

（
）
A． 4 3
B． 4 3
C． 3 4
D． 3 4
3．已知平面内两定点 F1 3, 0 ， F2 3, 0 ，下列条件中满足动点 P 的轨迹为双曲线的是
（）
A． PF1 PF2 7
三、填空题
13．已知向量 a (3 m, 2), b (1, m) ，
若a b，
则m
.
14．已知
ABC
中，若角
B
π 4
，
AC
2 ， AB
3 则角 C
．
15．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比
为
.
16．椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0
的左、右焦点分别为
A．若 m ， n ， ，则 m n B．若 m∥ ，n ∥ ， ，则 m n 或
m∥n
C．若 m∥ ， ∥ ，则 m ∥ 或 m D．若 m ， m n ，则 n∥ 或 n
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2022-2023学年河北省衡水市部分中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{2，m }，且A ∩B 有4个子集，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（0，2）∪（2，4） C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）∪（4，+∞）2．（5分）若a ∈R ，则关于x 的不等式4x 2﹣4ax +a 2﹣1＜0的解集为（ ） A ．{x|x ＜a−12或x ＞a+12} B ．{x|x ＜a+12或x ＞a−12}C ．{x|a−12＜x ＜a+12} D ．{x|−a+12＜x ＜−a−12} 3．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ） A ．180B ．200C ．128D ．1624．（5分）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m 大，一个比m 小的概率为514，已知m 为上述数据中的x %分位数，则x 的取值可能为（ ）A ．50B ．60C ．70D ．805．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（1，0），将点A 绕原点按逆时针方向旋转角α1得到点A 1，再将点A 1绕原点按逆时针方向旋转角α2得到A 2，⋯，如此继续下去，得到前10个点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10.若{αn }是公差为π6的等差数列，且点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10在同一函数图像上，则角α1的取值可以是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π56．（5分）某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的，已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（ ） A ．0.999B ．0.9C ．0.5D ．0.17．（5分）函数f （x ）的定义域为R ，f （3x ﹣1）为是奇函数，且f （x ﹣1）的图像关于x ＝1对称．若曲线f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2，则曲线f （x ）在x ＝2023处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣2x +4046B ．y ＝2x +4046C ．y ＝2x ﹣4046D ．y ＝﹣2x ﹣40468．（5分）数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝3a n ﹣a n 2﹣1，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ≠1，则数列{a n }单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得a n +1＝a n ，则a ＝1C ．当a ＞1时，{a n }的最小值不存在D ．当a ＝3时，1a 1−2+1a 2−2+⋯+1a n −2＞12恒成立二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）若m ＞n ＞1，0＜t ＜1，则（ ） A ．log m t ＜log n t B ．me n ＜ne mC ．mn t ＞nm tD ．m log n t ＜n log m t（多选）10．（5分）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ） A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35B ．第二次取到1号球的标率1930C ．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D ．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种（多选）11．（5分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n =a n 2+2a n，则（ ）A ．a n +1≥2a nB ．{a n }是递增数列C ．{a n +1﹣4a n }是递增数列D ．a n ≥n 2﹣3n +3（多选）12．（5分）已知函数f （x ）=e x x −m(x ＞0)，g(x)=xlnx−m （x ＞1），则（ ） A ．若函数f （x ）≥0恒成立，则m ≤1B ．若函数g （x ）有两个不同的零点，记为x 1，x 2，则x 1+x 2＞2eC ．若函数f （x ）和g （x ）共有两个不同的零点，则m ＝eD ．若函数f （x ）和g （x ）共有三个不同的零点，记为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则x 1•x 3＝x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若(3x +1x)n 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 .（只要写出一个符合条件的即可）14．（5分）函数f(x)={(2a −1)x +2a ，(x ＜1)log a x ，(x ≥1)在R 上单调递减的一个充分不必要条件是 ．（只要写出一个符合条件的即可）15．（5分）已知函数f(x)=sin(x+π6)+x+12+cosx，f′(x)为f （x ）的导函数，则f （﹣2023）+f ′（﹣2023）+f （2023）﹣f ′（2023）＝ ．16．（5分）新型冠状病毒肺炎（COVID ﹣19）疫情暴发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A ，B ，C ，D 四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A 地区，那么第6周也抽到A 地区的概率是 （用最简分数表示）．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x 的方程log 12(t −2x )=x −2有解，设满足题意的实数t 构成的集合为T ．（1）求集合T ；（2）若m ＞1，n ＞1且∃t ∈T 使得不等式log 3m ⋅log 3n ≥t 成立，求m +n 的最小值． 18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到如表：时间x /每周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每周普及的人数：y8098129150203190258292310并计算得：y =19∑ 9i=1y i =190，∑ 9i=1(x i −x)2=60，∑ 9i=1(y i −y)2=55482，∑ 9i=1(x i −x)(y i −y)=1800．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以X 表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的䟽忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y 关于周数x 的线性回归方程． 附：线性回归方程y =b x +a 中，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．19．（12分）在①f （x +2）＝f （2﹣x ），②f （x ）+f （4﹣x ）＝0，③f （﹣x ）﹣f （x +4）＝1这三个条件中任选一个，补充在横线处，解答下列问题：定义在R 上的函数f （x ），当x ≤2时，f （x ）＝xe x ，且对任意x ∈R ，都有_____． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求f （x ）的单调区间．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，2S n ＝n +na n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }，{c n }，{d n }满足b n =a n+12(a n +1)2−1，c n ＝b 1n b 2n ﹣1…b n ﹣12b n ，且d n =c nn⋅2n ，求数列{d n }的前n 项和T n ．21．（12分）学校篮球队30名同学按照1，2，⋯，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m （1≤m ≤28，m ∈N ）号同学得到球后传给m +1号同学的概率为23，传给m +2号同学的概率为13，直到传到第29球（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同球投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第n （2≤n ≤30，n ∈N ）号的概率为P n ．（1）求P 4的值；（2）证明：{P n +1﹣P n }（2≤n ≤28）是等比数列；（3）比较29号和30号投篮命中的概率大小．22．（12分）已知函数f（x）＝e x•cos x﹣sin x﹣1（e为自然对数的底数）．（1）证明：当x∈[0，π2]时，f（x）≤0；（2）①证明：f（x）在区间（0，5π）内有4个零点；②记①中的4个零点为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求证：x1+x4＞x2+x3．2022-2023学年河北省衡水市部分中学高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{2，m }，且A ∩B 有4个子集，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（0，2）∪（2，4） C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）∪（4，+∞）【解答】解：集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{2，m }， 又A ∩B 有4个子集，则A ∩B 中有两个元素， 即m ∈A ，则m 的取值范围为（0，2）∪（2，4）， 故选：B ．2．（5分）若a ∈R ，则关于x 的不等式4x 2﹣4ax +a 2﹣1＜0的解集为（ ） A ．{x|x ＜a−12或x ＞a+12} B ．{x|x ＜a+12或x ＞a−12}C ．{x|a−12＜x ＜a+12} D ．{x|−a+12＜x ＜−a−12} 【解答】解：由不等式4x 2﹣4ax +a 2﹣1＜0，可得[2x ﹣（a +1）][2x ﹣（a ﹣1）]＜0， 解得a−12＜x ＜a+12，∴不等式4x 2﹣4ax +a 2﹣1＜0的解集为{x |a−12＜x ＜a+12}． 故选：C ．3．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ） A ．180B ．200C ．128D ．162【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n ＝2n 2．则此数列第20项＝2×102＝200． 故选：B ．4．（5分）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m 大，一个比m 小的概率为514，已知m 为上述数据中的x %分位数，则x 的取值可能为（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【解答】解：从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有C 82=28种，一个数比m 大，一个数比m 小的不同结果有（m ﹣2）（9﹣m ）， 于是得(m−2)(9−m)28=514，整理得：m 2﹣11m +28＝0，解得m ＝4或m ＝7，当m ＝4时，数据中的x %分位数是第3个数，则2＜x %⋅8＜3，解得25＜x ＜37.5，所有选项都不满足；当m ＝7时，数据中的x %分位数是第6个数，则5＜x %⋅8＜6，解得62.5＜x ＜75，选项A ，B ，D 不满足，C 满足． 故选：C ．5．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（1，0），将点A 绕原点按逆时针方向旋转角α1得到点A 1，再将点A 1绕原点按逆时针方向旋转角α2得到A 2，⋯，如此继续下去，得到前10个点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10.若{αn }是公差为π6的等差数列，且点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10在同一函数图像上，则角α1的取值可以是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π5【解答】解：点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10在同一函数图像上，则根据函数定义可得点A 1，A 2，A 3，⋯，A 10所对应的角度不能终边一样或者角度相加等于2k π；点A 1对应角度α1，点A 2对应角度为α1+α2＝2α1+π6； 点A 3对应角度为α1+α2+α3＝2α1+π6+α1+2π6=3α1+π2； 点A 4对应角度为α1+α2+α3+α4＝3α1+π2+α1+3π6=4α1+π； 点A 5对应角度为α1+α2+α3+α4+α5＝4α1+π+α1+4π6=5α1+5π3； 点A 6对应角度为α1+α2+α3+α4+α5+α6＝5α1+5π3+α1+5π6=6α1+5π2；点A7对应角度为α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7＝6α1+5π2+α1+π＝7α1+7π2；点A8对应角度为α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7+α8＝7α1+7π2+α1+7π6=8α1+14π3；点A9对应角度为α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7+α8+α9＝8α1+14π3+α1+8π6=9α1+6π；点A10对应角度为α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7+α8+α9+α10＝9α1+6π+α1+9π6=10α1+15π2；点A1与点A9可得：10α1+6π≠8π，α1≠π5，D错误；点A7与点A1可得：6α1+7π2≠4π，α1≠π12，A错误；点A5与点A6可得：11α1+5π3+5π2≠6π，α1≠π6，B错误；故选：C．6．（5分）某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的，已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（）A．0.999B．0.9C．0.5D．0.1【解答】解：正常人被诊断出肝癌的概率为（1﹣0.001）×0.001＝0.000999，肝癌被诊断出的概率为0.001×0.999＝0.000999，某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是0.0009990.000999+0.000999=0.5．故选：C．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（3x﹣1）为是奇函数，且f（x﹣1）的图像关于x＝1对称．若曲线f（x）在x＝1处的切线斜率为2，则曲线f（x）在x＝2023处的切线方程为（）A．y＝﹣2x+4046B．y＝2x+4046C．y＝2x﹣4046D．y＝﹣2x﹣4046【解答】解：∵f（3x﹣1）为奇函数，∴f（﹣3x﹣1）＝﹣f（3x﹣1），则f[﹣3（−x3−13）﹣1]＝﹣f[3（−x3−13）﹣1]，即f（x）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（﹣x﹣2）＝﹣f（x），则f（﹣2+x）＝f（﹣x），又f（x﹣1）的图像关于x＝1对称，∴f（x）的图象关于y轴对称，即f（﹣x）＝f（x），则f（﹣2+x）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是以2为周期的周期函数，∴f′（2023）＝f′（2×1011+1）＝f′（1）＝2，由f（﹣3x﹣1）＝﹣f（3x﹣1），取x＝0，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即f（1）＝﹣f（1），得f（1）＝0，∴f（2023）＝0．∴曲线f（x）在x＝2023处的切线方程为y＝2（x﹣2023），即y＝2x﹣4046．故选：C．8．（5分）数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝3a n﹣a n2﹣1，则下列说法正确的是（）A．若a≠1，则数列{a n}单调递减B．若存在无数个自然数n，使得a n+1＝a n，则a＝1C．当a＞1时，{a n}的最小值不存在D．当a＝3时，1a1−2+1a2−2+⋯+1a n−2＞12恒成立【解答】解：由a n+1＝3a n﹣a n2﹣1，得a n+1﹣a n＝2a n﹣a n2﹣1＝﹣（a n﹣1）2，对于A：若数列{a n}单调递减，则a n≠1，即各项不为1，∴a1≠1且a n+1＝3a n﹣a n2﹣1≠1，∴a n≠1且a n≠2，故a≠1且a≠2，故A错误；对于B：当a＝1或a＝2时，a2＝1，存在无数个自然数n，使得a n+1＝a n，故B错误；对于C：当a＝2＞1时，a2＝a3＝a4＝…＝1，所以{a n}的最小值为l，故C错误；对于D：n＝1时，1a1−2=1＞12，a2＝3×3﹣32﹣1＝﹣1＜0，又由以上推理知{a n}递减，所以a n＜0（n≥2），设T=12−a2+12−a3+12−a4+...+12−a n，2﹣a n＝3﹣3a n﹣1+a n﹣12＞2﹣3a n﹣1+a n﹣12＝（1﹣a n﹣1）（2﹣a n﹣1）＞0，1 2−a n ＜1(1−a n−1)(2−a n−1)=11−a n−1−12−a n−1，12−a n−1+12−a n＜11−a n−1，11−a n−1+12−a n−2=12−3a n−2+a n−22+12−a n−2=1(1−a n−2)(2−a n−2)+12−a n−2=11−a n−2，依次类推，T＜11−a2=12，所以1a1−2+1a2−2+...+1a n−2=1﹣T＞12，综上，对任意n∈N*，1a1−2+1a2−2+⋯+1a n−2＞12恒成立，D正确．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）若m ＞n ＞1，0＜t ＜1，则（ ） A ．log m t ＜log n t B ．me n ＜ne mC ．mn t ＞nm tD ．m log n t ＜n log m t【解答】解：对于A ．∵m ＞n ＞1，∴lnm ＞lnn ＞0，∴1lnm＜1lnn，又0＜t ＜1，∴lnt ＜0，∴lntlnm＞lnt lnn，因此A 不正确；对于B ．构造函数f （x ）=e x x ，x ∈（1，+∞），f ′（x ）=e x (x−1)x 2＞0，∴函数f （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，∵m ＞n ＞1，∴f （m ）＞f （n ），∴e m m＞e n n，即me n ＜ne m ，因此B 正确；对于C ．由函数g （x ）＝x t ﹣1，x ∈（1，+∞），t ﹣1＜0，则函数g （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递减，∵m ＞n ＞1，∴n t ﹣1＞m t ﹣1，即mn t ＞nm t ，因此C 正确；对于D ．构造函数h （x ）=xlnx lnt ，x ∈（1，+∞），0＜t ＜1，h ′（x ）=lnx+1lnt ＜0，∴函数h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递减，∵m ＞n ＞1，∴h （m ）＜h （n ），∴mlnm lnt＜nlnn lnt，即m log m t＜n log n t，即m log n t ＞n log m t ，因此D 不正确．综上可得：只有BC 正确． 故选：BC ．（多选）10．（5分）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ） A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35B ．第二次取到1号球的标率1930C ．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D ．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种【解答】解：对于A 选项，记事件A i ，B i 分别表示第一次、第二次取到i 号球，i ＝1，2，3，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率P （B 1|A 3）=36=12，故A 错误；对于B 选项，记事件A i ，B i 分别表示第一次、第二次取到i 号球，i ＝1，2，3， 依题意A 1，A 2，A 3 两两互斥，其和为Ω，并且P （A 1）=24，P （A 2）＝P （A 3）=14， 所以P （B 1|A 1）=24，P （B 1|A 2）=24，P （B 1|A 3）=36， P （B 2|A 1）=14，P （B 2|A 2）=14，P （B 2|A 3）=26， P （B 3|A 1）=14，P （B 3|A 2）=14，P （B 3|A 3）=16，应用全概率公式，有P （B 1）=∑ 3i=1P （A i ）P （B 1|A i ）=24×24+24×14+14×36=12，故B 错误；对于C 选项，依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， 则：P （A 1|B 1）=P(A 1)⋅P(B 1|A 1)P(B 1)=24×24×2=12；P （A 2|B 1）=P(A 2)⋅P(B 1|A 2)P(B 1)=24×14×2=14； P （A 3|B 1）=P(A 3)⋅P(B 1|A 3)p(B 1)=14×36×2=14； 故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1 的口袋的概率最大．故C 正确； 对于D 选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有（C 51C 41C 33A 22+C 52C 32C 11A 22）•A 33=150，故D 正确．故选：CD ．（多选）11．（5分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n =a n 2+2a n，则（ ）A ．a n +1≥2a nB ．{a n }是递增数列C ．{a n +1﹣4a n }是递增数列D ．a n ≥n 2﹣3n +3【解答】解：对于A ，由a 1=1，a n+1a n =a n 2+2a n，可得a n +1=a n 22+2≥2，故a n+1a n=a n 2+2a n≥2√a n2⋅2a n=2，即a n +1≥2a n ， 当且仅当a n 2=2a n即a n ＝2时取等号，故A 正确；对于B ，由A 可得{a n }为正数数列，且a n +1≥2a n ，则a n +1＞a n ， 故{a n }为递增数列，故B 正确；对于C ，由a n +1﹣4a n =a n 22−4a n +2，由题意a 1＝1，a 2a 1=a 12+2a 1，即a 2=52，所以a 2﹣4a 1=−32，a 3﹣4a 2=−398＜−32， 可知{a n +1﹣4a n }不是递增数列，故C 错误；对于D ，由C 可得a 1＝1，a 2=52，满足a n ≥n 2﹣3n +3， 当n ≥2时，因为{a n }是递增数列，所以a n ＞a 2＞2，即a n 2＞1，所以由a n +1−a n 22=2可得a n+12−a n 24=a n+12−（a n 2）2＝1＜a n+12−an 2，所以a n 2＞a 22+（n ﹣2）＞n ﹣1，即a n ＞2n ﹣2，假设n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥k 2﹣3k +3，所以a k +1≥2a k ＝a k +a k ＞k 2﹣3k +3+2k ﹣2＝k 2﹣k +1＝（k +1）2﹣3（k +1）+3， 所以当n ＝k +1时，命题也成立，故D 正确， 故选：ABD ．（多选）12．（5分）已知函数f （x ）=e xx −m(x ＞0)，g(x)=xlnx −m （x ＞1），则（ ） A ．若函数f （x ）≥0恒成立，则m ≤1B ．若函数g （x ）有两个不同的零点，记为x 1，x 2，则x 1+x 2＞2eC ．若函数f （x ）和g （x ）共有两个不同的零点，则m ＝eD ．若函数f （x ）和g （x ）共有三个不同的零点，记为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则x 1•x 3＝x 22【解答】解：对于A ，由f （x ）≥0恒成立得m ≤e xx 在（0，+∞）上恒成立，令h （x ）=e xx （x＞0），则m ≤h （x ）min ，h ′（x ）=(x−1)e xx 2，令h ′（x ）＜0，得0＜x ＜1；令h ′（x ）＞0，得x ＞1， 故h （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以h （x ）min ＝h （1）＝e ，即m ≤e ，故A 错误； 对于B ，令φ(x)=xlnx （x ＞1），则φ′(x)=lnx−1(lnx)2，令φ′（x ）＜0，得1＜x ＜e ；令φ′（x ）＞0，得x ＞e ，故φ（x ）在（1，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，所以φ（x ）min ＝φ（e ）＝e ，因为g （x ）有两个不同的零点x 1，x 2，所以φ（x ）与y ＝m 有两个交点，其横坐标为x 1，x 2，且φ（x 1）＝φ（x 2）＝m ，不妨设x 1＜x 2，易知1＜x 1＜e ＜x 2，故2e ﹣x 1＞e ，要证x 1+x 2＞2e ，即证x 2＞2e ﹣x 1，注意到2e ﹣x 1＞e ，故x 2＞2e ﹣x 1＞e ， 所以φ（x 2）＞φ（2e ﹣x 1），即证φ（x 1）＞φ（2e ﹣x 1），其中1＜x 1＜e ， 令u （x ）＝φ（x ）﹣φ（2e ﹣x ），则u ′（x ）=lnxln(2e−x)[ln(2e−x)−lnx]−ln 2(2e−x)−ln 2x ln 2xln 2(2e−x)，因为1＜x ＜e ，所以1e＜1x＜1，即2e−x x=2e x−1＜2e ﹣1＜e 2，所以u ′（x ）＜2lnxln(2e−x)−ln 2(2e−x)−ln 2x ln 2xln 2(2e−x)=−[lnx−ln(2e−x)]2ln 2xln 2(2e−x)＜0，所以u （x ）在（1，e ）上单调递减，故u （x ）＞u （e ）＝φ（e ）﹣φ（2e ﹣e ）＝0， 所以x 1+x 2＞2e ，故B 正确；对于C ，由选项AB 可知h （x ），φ（x ）的单调性，且具有相同的极小值e ，可作出大致图象如图，若函数f （x ）和g （x ）共有两个不同的零点，即h （x ），φ（x ）与y ＝m 共有两个交点， 显然，当且仅当m ＝e 时，满足题意，故C 正确；对于D ，右函数f （x ）和g （x ）共有三个不同的零点，则y ＝m 经过h （x ）与φ（x ）的交点，如上图所示，因为h （x ）=e x x =e xlne x=φ(e x )，所以φ(e x 1)=ℎ(x 1)=φ(x 2)， 因为0＜x 1＜1，所以1＜ex 1＜e ，又1＜x 2＜e ，且φ（x ）在（1，e ）上单调递减，故e x 1=x 2，同理：ex 2=x 3，即x 2＝lnx 3，又由h （x 1）＝φ（x 3）得e x 1x 1=x 3lnx 3，故x 1•x 3＝ex 1lnx 3＝x22，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若(3x +1x )n 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 34•C 84 .（只要写出一个符合条件的即可）【解答】解：由已知条件可得2n ＝256，解之得n ＝8， 则二项式(3x +1x)n 的通项公式为：T r +1＝38﹣r ∁8r x8﹣2r，令8﹣2r ＝0，得r ＝4，展开式的常数项为34•∁84．故答案为：34•∁84．14．（5分）函数f(x)={(2a −1)x +2a ，(x ＜1)log a x ，(x ≥1)在R 上单调递减的一个充分不必要条件是（13，12），（或区间[14，12）其它的真子集） ．（只要写出一个符合条件的即可）【解答】解：要使原函数单调递减，只需{0＜a ＜12a −1＜0(2a −1)+2a ≥log a 1，解得14≤a ＜12，不妨取13＜a ＜12．故答案为：（13，12）（或区间[14，12）其它的真子集）．15．（5分）已知函数f(x)=sin(x+π6)+x+12+cosx，f′(x)为f （x ）的导函数，则f （﹣2023）+f ′（﹣2023）+f （2023）﹣f ′（2023）＝ 1 ．【解答】解：已知函数f(x)=sin(x+π6)+x+12+cosx =√32sinx+x+12cosx+12+cosx =√32sinx+x 2+cosx +12， 则g(x)=f(x)−12=√32sinx+x 2+cosx为奇函数，则g ′（x ）＝f ′（x ）为偶函数，则g （﹣2023）+g （2023）＝0，g ′（﹣2023）﹣g ′（2023）＝0，即f （﹣2023）−12+f(2023)−12=0，f ′（﹣2023）﹣f ′（2023）＝0， 则f （﹣2023）+f ′（﹣2023）+f （2023）﹣f ′（2023）＝1， 故答案为：1．16．（5分）新型冠状病毒肺炎（COVID ﹣19）疫情暴发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A ，B ，C ，D 四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A 地区，那么第6周也抽到A 地区的概率是2027（用最简分数表示）．【解答】解：由题意第1周抽到A 地区，第二周一定没有A ，共有3种情况； 第六周是A ，第五周一定没有A ，共有3种情况，则第四周有A 时， 则第三周不是A ，有3种情况，若第四周不是A 时，第四周共有3种结果，综上所述：第六周抽到A 的结果为（3×3×3﹣6）×2+6×3＝60， 共有34＝81， 所以概率为6081=2027，故答案为：2027．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知关于x 的方程log 12(t −2x )=x −2有解，设满足题意的实数t 构成的集合为T ．（1）求集合T ；（2）若m ＞1，n ＞1且∃t ∈T 使得不等式log 3m ⋅log 3n ≥t 成立，求m +n 的最小值． 【解答】解：（1）关于x 的方程log 12(t −2x )=x −2有解，即为t ﹣2x ＝22﹣x有解，由t ＝2x +22﹣x ≥2√2x ⋅22−x =4，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以T ＝[4，+∞）；（2）若m ＞1，n ＞1且∃t ∈T 使得不等式log 3m ⋅log 3n ≥t 成立， 由（1）可得log 3m ⋅log 3n ≥4，又m ，n ＞1，可得log 3m ＞0，log 3n ＞0，则log 3m +log 3n ≥2√log 3m ⋅log 3n ≥4， 即mn ≥81，当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．所以m+n≥2√mn≥2×9＝18．即m+n的最小值为18．18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到如表：时间x/每周123456789每周普及的人数：y8098129150203190258292310并计算得：y=19∑9i=1y i=190，∑9i=1(x i−x)2=60，∑9i=1(y i−y)2=55482，∑9i=1(x i−x)(y i−y)=1800．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以X表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求X的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的䟽忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程．附：线性回归方程y=b x+a中，b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解答】解：（1）由表格数据知：每周普及宣传人数不少于240人的周数3周，则X所有可能的取值为0，1，2，3，∴P(X=0)=C64C94=15126=542；P(X=1)=C63C31C94=60126=1021；P(X=2)=C62C32C94=45 126=514；P(X=3)=C61C33C94=6126=121；∴X的分布列为：X0123P5421021514121∴数学期望E(X)=0×542+1×1021+2×514+3×121=43；（2）去掉第5周的数据可得统计表如下：时间x/周12346789每周普8098129150190258292310及的人数y∴x=18(1+2+3+4+6+7+8+9)=5，y=18(190×9−203)=15078，∑8i=1(x i−x)(y i−y)=1800−0×13=1800，∑8i=1(x i−x)2=60，∴b=∑8i=1(x i−x)(y i−y)∑8i=1(x i−x)2=180060=30，a=y−b x=15078−5×30=3078，∴剩下的数据求得的回归直线方程为：y=30x+307 8．19．（12分）在①f（x+2）＝f（2﹣x），②f（x）+f（4﹣x）＝0，③f（﹣x）﹣f（x+4）＝1这三个条件中任选一个，补充在横线处，解答下列问题：定义在R上的函数f（x），当x≤2时，f（x）＝xe x，且对任意x∈R，都有_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【解答】解：若选①：（1）由f（x+2）＝f（2﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x），设x＞2，则4﹣x＜2，∵当x≤2时，f（x）＝xe x，∴f（x）＝f（4﹣x）＝（4﹣x）e4﹣x，∴f（x）={xe x，x≤2(4−x)e4−x，x＞2．（2）当x≤2时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，可得x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由f（x+2）＝f（2﹣x）对任意x∈R都成立，∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称．∴x∈（5，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递增；x∈（2，5）时，函数f（x）单调递减．若选②：（1）由f（x）+f（4﹣x）＝0，∴f（x）＝﹣f（4﹣x），设x＞2，则4﹣x＜2，∵当x≤2时，f（x）＝xe x，∴f（x）＝﹣f（4﹣x）＝（x﹣4）e4﹣x，∴f（x）={xe x，x≤2(x−4)e4−x，x＞2．（2）当x≤2时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，可得x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由f（x）+f（4﹣x）＝0，对任意x∈R都成立，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称．∴x∈（5，+∞）时，函数f（x）单调递减；x∈（2，5）时，函数f（x）单调递增．若选③：（1）由f（﹣x）﹣f（4+x）＝1，可得f（x）＝f（4﹣x）+1，设x＞2，则4﹣x＜2，∵当x≤2时，f（x）＝xe x，∴f（x）＝f（4﹣x）+1＝（4﹣x）e4﹣x+1，∴f（x）={xe x，x≤2(4−x)e4−x+1，x＞2．（2）当x≤2时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，可得x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由x＞2，f（x）＝（4﹣x）e4﹣x+1，f′（x）＝（x﹣5）e4﹣x，，可得x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x∈（2，5）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S3＝6，2S n＝n+na n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}，{c n}，{d n}满足b n=a n+12(a n+1)2−1，c n＝b1n b2n﹣1…b n﹣12b n，且d n=c nn⋅2n，求数列{d n}的前n项和T n．【解答】解：（1）在2S n＝n+na n①中，令n＝1，得2S1＝1+a1＝2a1，即a1＝1，令n＝3，有2S3＝3+3a3＝12，即a3＝3，又S3＝a1+a2+a3＝1+a2+3＝6，所以a2＝2，当n≥2时，有2S n﹣1＝n﹣1+（n﹣1）a n﹣1②，①②两式相减得，2a n＝1+na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1＝﹣1（n≥2），两边同除（n﹣1）（n﹣2）得，a nn−1−a n−1n−2=−1(n−1)(n−2)=1n−1−1n−2（n≥3），所以a nn−1=（a nn−1−a n−1n−2）+（a n−1n−2−a n−2n−3）+…+（a33−1−a23−2）+a2＝（1n−1−1n−2）+（1n−2−1n−3）+…+（13−1−1）+2=1n−1−1+2=n n−1（n≥3），所以a n＝n（n≥3），因为a1＝1，a2＝2满足上式，所以a n＝n（n∈N*）．（2）b n=a n+12(a n+1)2−1=(n+1)2(n+1)2−1=(n+1)2n(n+2)，所以b1b2…b n﹣1b n=221×3•322×4•423×5•……•(n+1)2n(n+2)=(n+1)!⋅(n+1)!n!⋅12(n+2)!=2(n+1)n+2，当n≥2时，c nc n−1=b1n b2n−1⋅⋅⋅b n−12bnb1n−1b2n−2⋅⋅⋅b n−22b n−1=b1b2…b n﹣1b n=2(n+1)n+2，所以c n=c nc n−1•c n−1c n−2•…•c2c1•c1=2(n+1)n+2•2nn+1•…•2×45•2×34•43=2n−1n+2•4=2n+1n+2，所以d n=c nn⋅2n=2n(n+2)=1n−1n+2，所以T n＝（1−13）+（12−14）+（13−15）+…+（1n−1−1n+1）+（1n−1n+2）＝1+12−1n+1−1 n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)．21．（12分）学校篮球队30名同学按照1，2，⋯，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m（1≤m≤28，m∈N）号同学得到球后传给m+1号同学的概率为23，传给m +2号同学的概率为13，直到传到第29球（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同球投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第n （2≤n ≤30，n ∈N ）号的概率为P n ．（1）求P 4的值；（2）证明：{P n +1﹣P n }（2≤n ≤28）是等比数列； （3）比较29号和30号投篮命中的概率大小．【解答】（1）解：依题意，篮球传到4号有以下三种途径：1号传2号传3号传4号其概率为23×23×23=827；1号传2号传4号其概率为23×13=29；1号传3号传4号其概率为13×23=29，因此P 4=827+29+29=2027；（2）证明：依题意篮球传到第n ﹣2号，再传给n 号其概率为13P n−2；篮球传到第n ﹣1号，再传给n 号其概率为23P n−1，因此有P n =23P n−1+13P n−2，可得P n −P n−1=−13(P n−1−P n−2)，且P 3−P 2=(13+23×23)−23=19， 所以{P n +1﹣P n }是首项为19，公比为−13的等比数列；（3）解：P 2=23，P 3=79，P n+1−P n =19(−13)n−2，P n −P n−1=19(−13)n−3(n ≥2)， …P 4−P 3=19(−13)，P 3−P 2=19，由累加法，可得P n =P 2+[19+19(−13)1+19(−13)2+⋯+19(−13)n−3]=23+19×1−(−13)n−21−(−13)=34+14×(−13)n−1， 所以P 29=34+14×(−13)28，P 30=P 28×13=13[34+14×(−13)27]， 所以29号投篮命中的概率为[34+14×(13)28]×1330号投篮命中的概率为[34+14×(−13)27]×13×67＜[34+14×(−13)27]×13，第21页（共23页）因为14×(−13)28＞0＞14×(−13)27，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x •cos x ﹣sin x ﹣1（e 为自然对数的底数）．（1）证明：当x ∈[0，π2]时，f （x ）≤0；（2）①证明：f （x ）在区间（0，5π）内有4个零点；②记①中的4个零点为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，求证：x 1+x 4＞x 2+x 3．【解答】解：（1）证明：f ′（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ﹣cos x ，设g （x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ﹣cos x ，g ′（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ﹣e x sin x ﹣e x cos x +sin x ＝sin x （1﹣2e x ），所以在[0，π2]上，g ′（x ）≤0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）≤g （0）＝0，即f ′（x ）≤0，所以f （x ）在[0，π2]上单调递减， 所以f （x ）≤f （0）＝0，得证．（2）①证明：由（1）知g ′（x ）＝sin x （1﹣2e x ），令g ′（x ）＝0得x ＝π，2π，3π，4π，所以在（0，π）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，在（π，2π）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，在（2π，3π）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，在（3π，4π）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，在（4π，5π）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，又g （0）＝0，g （π）＝1﹣e π＜0，g （2π）＝e 2π﹣1＞0，g （3π）＝1﹣e 3π＜0，g （4π）＝e 4π﹣1＞0，g （5π）＝1﹣e 5π＜0，所以存在s ∈（π，2π），t ∈（2π，3π），e ∈（3π，4π），f ∈（4π，5π）使得g （s ）＝g （t ）＝g （e ）＝g （f ）＝0，所以在（0，s ）上，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在（s ，t ）上，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（t ，e ）上，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在（e ，f ）上，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（f ，5π）上，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，第22页（共23页）所以f （s ）＜f （0）＝0，f （t ）＞f （2π）＞0，f （e ）＜f （3π）＜0，f （f ）＞f （4π）＞0，f （5π）＜0，所以存在x 1∈（s ，t ），x 2∈（t ，e ），x 3∈（e ，f ），x 4∈（f ，5π），使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）＝0，所以f （x ）在（0，5π）上有4个零点．②证明：由①知x 1∈（a ，2π），又f （3π2）＝0 所以x 1=3π2，因为x 3∈（x 3，4π），又f （7π2）＝0，所以x 3=7π2， 所以要证明x 1+x 4＞x 2+x 3，即证x 4﹣x 2＞2π，所以需证x 4﹣2π＞x 2，因为f （4π+π3）＝e4π+π3×12−√32−1＞0， f （4π+π2）＝﹣2＜0，所以x 4∈（4π+π3，4π+π2），又f （2π+π3）＝e 2π+π3×12−√32−1＞0， f （2π+π2）＝﹣2＜0，所以x 2∈（2π+π3，2π+π2），所以x 4﹣2π∈（2π+π3，2π+π2），又x ∈（2π+π3，2π+π2），f ′（x ）单调递减，所以f ′（x ）＜f ′（2π+π3）＝e2π+π3×12−e 2π+π3×√32−12＜0， 所以f （x ）在（2π+π3，2π+π2）单调递减，所以只需证明f （x 4﹣2π）＜f （x 2），又f （x 4﹣2π）＝ex 4−2πcos （x 4﹣2π）﹣sin （x 4﹣2π）﹣1＝e x 4−2πcos x 4﹣sin x 4﹣1， 由f （x 4）＝0，得ex 4cos x 4＝sin x 4+1， 所以f （x 4﹣2π）＝ex 4−2π•cos x 4﹣e x 4cos x 4＝cos x 4•（e x 4−2π−x x 4）＜0＝f （x 2），所以x4﹣2π＞x2，所以x4﹣x2＞2π．第23页（共23页）。

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