新北师大版第一章《预备知识》综合测试(一) 数学试卷
高中数学第一章预备知识质量评估卷练测评含解析北师大版第一册
第一章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝｛1,2,3}，B＝{2,3},则（)A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知全集U＝R,集合M＝{x｜0＜x≤1｝，N＝{x｜x≤0｝，则M∩(∁U N）＝(）A．｛x|0≤x＜1｝B．｛x|0＜x≤1｝C．｛x｜0≤x≤1} D．｛x|x＜1｝3．已知集合M＝{1,a2｝,P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝()A．｛0,1｝B．{0，－1｝C．{0｝D．｛－1}4．命题“∀x≥0，|x|＋x2≥0”的否定是(）A．∃x＜0，|x｜＋x2＜0 B．∃x≥0，|x｜＋x2≤0C．∃x≥0，|x｜＋x2＜0 D．∃x＜0，|x|＋x2≥05．已知a＜0，－1＜b＜0，则（)A．－a＜ab＜0 B．－a＞ab＞0C．a＞ab＞ab2D．ab＞a＞ab26．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝错误!，则A∩（∁R B）＝(）A．(－1，2) B．（－1，1）C．（－1，2］D．（－1,1］7．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是（)A．0＜a＜1 B．0＜a＜错误!C．0≤a≤1 D．a＜0或a＞错误!8．若正数a,b满足2a＋错误!＝1，则错误!＋b的最小值为(）A．4 2 B．82C．8 D．9二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分,选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有（）A．∃x∈N*，使x为29的约数B．∀x∈R，x2＋x＋2＞0C．存在锐角α，sin α＝1。
5D．已知A＝{a|a＝2n｝，B＝｛b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N＊，都有A∩B＝∅10．已知错误!＜错误!＜0，下列结论中正确的是(）A．a＜b B．a＋b＜abC．|a|＞|b| D．ab＜b211．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0），则下面结论中正确的是()A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c＜0C．b2－4ac＞0 D．当y＜0时，x＜－1或x＞412．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P,都有a＋b，a－b,ab，错误!∈P(除数b≠0）,则称P是一个数域．则关于数域的理解正确的是（)A．有理数集Q是一个数域B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域D．数域必为无限集第Ⅱ卷(非选择题，共90分）三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．不等式－x2＋6x－8＞0的解集为________．14．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是________．15．若错误!＋错误!＝错误!(a＞0，b＞0），则4a＋b＋1的最小值为________．16．已知非空集合A，B满足下列四个条件：①A∪B＝{1,2,3，4，5,6,7｝；②A∩B＝∅;③A中的元素个数不是A中的元素;④B中的元素个数不是B中的元素．（1)若集合A中只有1个元素，则A＝________；（2）若两个集合A和B按顺序组成的集合对（A，B)叫作有序集合对，则有序集合对(A,B）的个数是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分)已知全集为实数集R,集合A＝｛x｜1≤x≤7｝，B＝{x｜－2m＋1＜x＜m}．(1)若m＝5，求A∪B，（∁R A)∩B；(2)若A∩B＝A，求m的取值范围．18.(本小题满分12分）已知不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x｜－3＜x＜1｝．（1)求a的值；（2）若不等式ax2＋mx＋3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．19．（本小题满分12分）已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x ＋9－m2≤0,若p是q的充分条件，求m的取值范围．20．（本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－40x＋1 600，x∈[30，50］，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．（1)判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润;如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?21．（本小题满分12分）若集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝｛x｜|x＋2|＞3},C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0,m∈R}．(1）若A∩C＝∅，求实数m的取值范围．(2)若（A∩B）⊆C,求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求错误! 2＋错误!2的最小值．第二部分阶段测试第一章单元质量评估卷1．解析：由真子集的概念,知B A，故选D.答案：D2．解析:∵∁U N＝{x｜x＞0}，∴M∩（∁U N）＝｛x｜0＜x≤1}．故选B。
高中数学 第一章 预备知识章末综合测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
章末综合测评(一) 预备知识(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，使得x 2≥0”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＜0 B ．∀x ∈R ，x 2≤0 C ．∃x ∈R ，x 2≥0D ．∃x ∈R ，x 2＜0D [命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式是∃x ∈R ，x 2＜0，故选D.]2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{2，3，4，5}A [图中阴影部分所表示的集合为A ∩(∁UB )，故选A.]3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3}A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．]4．设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解不等式x 3＞8，得x ＞2，解不等式|x |＞2，得x ＞2或x ＜－2， 所以“x 3＞8”是“|x |＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]5．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}C [∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}． 故选C.]6．满足条件M ∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M 的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 A [∵M ∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M ，且可能含有元素1，2， ∴集合M 的个数为集合{1，2}，子集的个数4.故选A.]7．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，c －b ＝a 2－4a ＋4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞bA [∵c －b ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ； 又b ＋c ＝3a 2－4a ＋6， ∴2b ＝2a 2＋2， ∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －12＋34＞0， ∴b ＞a ， ∴c ≥b ＞a .]8．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m3a ＋b ≤a ＋3b ab 恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．4B ．16C ．9D ．3B [m3a ＋b≤a ＋3b ab ，即m ≤（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ；又（a ＋3b ）（3a ＋b ）ab ＝3a b ＋3ba ＋10≥23a b ·3ba＝6＋10＝16，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴m ≤16，故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集不可能是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32D ．∅BCD [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D.]10．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中其中假命题的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b >0，c >d ，则ac >bdABD [若a >b ，c <0时，ac <bc ，A 错；B 中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，B 错；C 正确；D 中，只有c >d >0时，ac >bd ，D 错，故选ABD.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }． 又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.]12．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4ABCD [x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝(x －2)(x －a )＝0，解得x ＝2或x ＝a ，则A ＝{2，a }．x 2－5x ＋4＝(x －1)(x －4)＝0，解得x ＝1或x ＝4，则B ＝{1，4}．当a ＝0时，A ＝{0，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a ＝1时，A ＝{1，2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝2时，A ＝{2}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝4时，A ＝{2，4}，B ＝{1，4}，A ∪B ＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a 的取值集合为{0，1，2，4}．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]14．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值X 围________．(－∞，1][用数轴表示集合A ，B ，若A ∪B ＝R ，则a ≤1，即实数a 的取值X 围是(－∞，1].] 15．“∃x ∈[0，3]，x 2－a ＞0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．[9，＋∞)[由题意得“∀x ∈[0，3]，x 2－a ≤0”是真命题，即a ≥x 2，所以a ≥(x 2)max ＝9. ] 16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B).(2)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[解](1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，则∁U B＝{x|3≤x＜4}，∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x＜4}．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，由A∩B＝A得A⊆B，∴m≥4，即实数m的取值X围是[4，＋∞).18．(本小题满分12分)解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为(a，1).19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，某某数a的取值组成的集合P.[解]由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4，0}，故此时必有B＝{－4，0}，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是⎩⎪⎨⎪⎧－4＋0＝－2（a ＋1），（－4）×0＝a 2－1，得a ＝1.即P ＝{1}．20．(本小题满分12分)已知a ＞b ＞0，求证：a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b . [证明]a ＋b ＋3－ab －2a －b ＝12(2a ＋2b －2ab －4a －2b )＋3 ＝12(a －4a ＋b －2b ＋a ＋b －2ab )＋3 ＝12(a －4a ＋4＋b －2b ＋1＋a ＋b －2ab －5)＋3 ＝12[(a －2)2＋(b －1)2＋(a －b )2－5]＋3 ＝12(a －2)2＋12(b －1)2＋12(a －b )2＋12， ∵(a －2)2≥0，(b －1)2≥0，(a －b )2＞0， ∴a ＋b ＋3－ab －2a －b ＞0， ∴a ＋b ＋3＞ab ＋2a ＋b .21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值； (2)若A ⊆∁U B ，某某数m 的取值X 围．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁U B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ⊆∁U B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1， 即m ＞5或m ＜－3.22．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x 使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由.[解] 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数y ＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数y ＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，其图象需满足开口向下且与x 轴没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m （1－m ）＜0，不等式组的解集为空集，即m 不存在． 综上可知，不存在这样的实数m 使不等式恒成立．。
2021年高一数学单元测试定心试卷：第一章 预备知识(能力提升)(解析版北师大版必修一)
精品资源教育学院2021年高一单元测试定心试卷学校：姓名：班级：学号：老师：分数：第一章 预备知识注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题：①若a b >，0c ≠，则ac bc >；①若a b >，则22ac bc >；①若22ac bc >，则a b >；①若a b >，则11a b<. 其中正确命题的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明． 【详解】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误；若0c，则22ac bc =，①错误；若22ac bc >，则20c >，①a b >，①正确；a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，①错误．正确的只有1个． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．2．对于集合A ，B ，定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，()()⊕=--A B A B B A .设{}1,2,3,4,5,6M =，{}4,5,6,7,8,9,10N =，则M N ⊕中元素的个数为（ ）.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义，先计算差集，再计算M N ⊕． 【详解】由已知{}{}1,2,3,7,8,9,10M N N M -=-=，①()(){1,2,3,7,8,9,10}M N M N N M ⊕=-⋃-=.故选：C. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，解题关键是理解新定义运算，把新定义转化集合的交并补等已知运算求解．3．已知a ，b ∈R ，若0a b +<，则（ ）A ．22<0a b -B ．>0a b -C ．0a b +<D ．>0+a b【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值判断ABD 选项，根据不等式的性质判断C 选项. 【详解】当1,0a b =-=时，2210a b -=>，100a b -=--<，100a b +=-+<，则ABD 错误； 当0b 时，0a b +<；当0b <时，0a b -<，即0a b <<，则0a b +< 综上，0a b +<，则C 正确；故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题.4．在R 上的定义运算*：2,a b ab a b *=++则满足(2)0*-<x x 的解集为（ ）A ．(0，2)B ．(-2，1)C ． (,2)(1,)-∞-+∞D ．(-1，2)【答案】B 【解析】 【分析】根据运算*：2,a b ab a b *=++将(2)0*-<x x ，转化为220x x +-<，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为运算*：2,a b ab a b *=++所以(2)=(2)+220*--+-<x x x x x x ，即220x x +-<，解得21x -<<.所以(2)0*-<x x 的解集为：(-2，1). 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．方程组221{9x y x y +=-=的解集是（ ）A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-【答案】D 【解析】由1x y +=，()()229x y x y x y -==+-，得9x y -=.210x y x y x ++-==，解得5x =.代入得4y =-.所以方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集(){}5,4-. 故选D.点睛：集合的表示法：描述法，列举法，图示法，用列举法描述集合和，需要将元素一一列举，本题中，元素为二元方程组，元素为点集.6．“a b >”是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】先化简后面的条件，然后通过重要不等式说明前者推出后者成立；反之通过举反例说明不成立． 【详解】22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭＞①a 2+b 2＞2ab ①a ≠b ； 所以若a ＞b 成立，则a ≠b ，即22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭＞； 反之若22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭＞成立，即a ≠b 则a ＞b 不一定成立，还可能a <b ；所以“a ＞b ”是“22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭＞”的充分不必要条件； 故选A ． 【点睛】本题考查了充要条件的定义及应用；考查了重要不等式成立的条件及举反例的方法，属于基础题． 7．若“”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】由x 2-3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的充分不必要条件． 解答：解：由x 2-3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1， 而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．8．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ）A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a ＞b 的关系，可得答案． 【详解】B 选项1a b >+是a b >的充分不必要的条件； A 选项1a b >-是a b >的必要不充分条件；C 选项a b >是a b >的即不充分也不必要条件；D 选项22a b >是a b >的充要条件； 故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题． 9．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是 （ )A ．对于实数,a b R ∈，有222220a b a b +--+<B .梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．函数1y kx =+的图象过定点()0,1 【答案】D【解析】 【分析】由于命题A,B 为假命题，故排除A,B ，选项C 含存在量词，故排除C. 【详解】选项A 是全称量词命题，()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≤，故A 是假命题；B 是假命题；“存在小于1的自然数”，C 是存在量词命题；D 项，对于所有k ∈R ，函数1y kx =+的图象过定点()0,1，所以正确选项为D. 【点睛】本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件. 10．已知集合(){},1,,A x y x y x y R =+=∈，(){}22,5,,B m n mn m n Z =+=∈，则A B ⋂=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 得到(){}()()()()()()()(){}22,5,,1,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1B m n mn m n Z =+=∈=--------，即可求出答案. 【详解】 因为(){},1,,A x y x y x y R =+=∈(){}()()()()()()()(){}22,5,,1,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,1B m n mn m n Z =+=∈=--------所以()(){}1,2,2,1A B ⋂=--所以2A B ⋂=故选：C 【点睛】本题考查的是集合的表示方法，较简单.11．若0a b >>，则下列不等式成立的是 （ )A ． 2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>>C ． 2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>> 【答案】B 【解析】 【分析】特殊值法；或作差法比较 【详解】特殊值法：令3,1,=222a b a ba b a b ++==∴>>>则作差法：022a b a ba b +--=>=>，又均值不等式2a b+>所以正确选项为B 【点睛】本题考查不等式，选择题一般采用特殊值法．属于简单题．12．已知全集U =R ，集合{|02}M x x =<<，N={x|1<x<3}，则图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(2,3)D ．[2,3)【答案】D 【解析】 【分析】阴影部分为集合M 的补集与集合N 的交集． 【详解】 由题意(M)N [2,3)U⋂=，故选：D . 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合运算的Venn 图表示，属于基础题．第II 卷（非选择题）二、填空题19．若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a < 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ①3a <． 故答案为：3a <． 【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．已知关于x 的不等式11axx <-的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则不等式11x ax-≥的解集为______. 【答案】()[),02,-∞+∞【解析】 【分析】由题意可知2是方程11axx =-的根，求出a 的值，代入不等式11x ax-≥，化简变形后解此不等式可得出结果. 【详解】已知关于x 的不等式11ax x <-的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则2是方程11axx =-的根，则21a =，解得12a =， 代入不等式11x ax-≥得221x x -≥，即20x x -≥，解此不等式得0x <或2x ≥. 因此，不等式11x ax-≥的解集为()[),02,-∞+∞. 故答案为：()[),02,-∞+∞.本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.21．若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的元素关系确定集合即可． 【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}，①x ①A ，y ①B ，①x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2，则z ＝x +y ＝﹣1，1，3，即为{﹣1，1，3}．故答案为：3． 【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础． 22．下列命题：① 命题“若2320x x -+=，则1x =” 的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”① “1x =” 是 “2320x x -+=”的充分不必要条件 ①若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题①对于命题:R p x ∃∈，使得210x x ++<，则:R p x ⌝∀∈，均有210x x ++≥，说法错误的是______． 【答案】①命题“若2320x x -+=，则1x =” 的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”,① 正确；因为232012x x x x -+=⇒==或，所以“1x =” 是 “2320x x -+=”的充分不必要条件，① 正确；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，①错误；对于命题:R p x ∃∈，使得210x x ++<，则:R p x ⌝∀∈，均有210x x ++≥，①正确；因此说法错误的是①. 三、解答题17．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值. 【答案】（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m = 【解析】 【分析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数. 【详解】（1）()()2320120x x x x ++=⇒++=即1x =-或2x =- ，{}1,2A =--；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件， 则B A ⊆ ，()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=解得1x =- 或x m =-，当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，所以1m =或2m =. 【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.18．已知{||2|3}A x x =-≤,3|0x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭,若B A ⊆,求a 的取值范围. 【答案】15a -≤≤ 【解析】 【分析】解不等式可求得集合A .对a 进行讨论,可解得集合B .根据B A ⊆画数轴分析问题,可得关于a 的不等式,从而可得a 的范围. 【详解】由|2|3x -≤可解得15x -≤≤,所以集合15{|}A x x =-≤≤;由30x x a--＜可得(3)()0x x a --<; 当3a <时,{|3}B x a x =<<,又因为B A ⊆,所以1a ≥- 故13a -≤<; 当3a =时,B =∅,B A ⊆成立;当3a >时,{|3}B x x a =<<,又因为B A ⊆所以5a ≤, 故35a <≤; 综上所述,a 的取值范围为15a -≤≤.【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,分析问题时还需借助数轴分析问题. 19．已知函数2()3f x x ax a =-++.（1）当7a =时，解不等式()0f x >；（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.【解析】 【分析】（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集. （2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，24(3)0a a ∴∆=-+≤，即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.20．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值；（2）求x y +的最小值 【答案】（1）4；（2）4. 【解析】 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值. 【详解】解：（1）①0x >，0y >，①8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0+≤，解得：02<≤，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），①xy 的最大值为4. （2）①0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥，整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ①()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，①4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号）， 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力. 21.(1)已知0x >，求42y x x=--的最大值； (2)已知112x -<<，求()()112y x x =+-的最大值． 【答案】（1）2-；（2）98【解析】 【分析】(1)提负号，使用均值不等式． (2)构造和为定值，使用均值不等式． 【详解】(1)因为0x >，所以44x x+≥， 所以4422242y x x x x ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭， 所以当且仅当4x x=，即20x =>，函数42y x x =--的最大值为2-.(2)因为112x -<<，所以10,120x x +>->， 所以()()()()()()2221211911222122228x x y x x x x ⎛⎫++-=+-=+-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当2212x x +=-，即111,42x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭时，()()112y x x =+-的最大值为98【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式． 22.已知关于x 的一元二次方程kx 2+（1﹣2k ）x +k ﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值． 【答案】（1）k ＞﹣14且k ≠0；（2）2020. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k ≠0且①＝（1﹣2k ）2﹣4k （k ﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）k ＝1．方程变为x 2﹣x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值． 【详解】（1）根据题意得k ≠0且①＝（1﹣2k ）2﹣4k （k ﹣2）＞0， 解得k ＞﹣14且k ≠0；（2）①k取满足（1）中条件的最小整数，①k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，①α+β＝1，αβ＝﹣1，①α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，①β2＝β+1，α2＝α+1①α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，α3+β2+β+2016＝2α+1+β+1+β+2016＝2（α+β）+2018＝2×1+2018＝2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了根的判别式．。
北师版七年级数学上册第一章综合测试卷含答案
北师版七年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列图形中，属于立体图形的是()2．如图所示，下列几何体中能同时堵住图中三个空洞的几何体是()3．【2022·自贡】如图，将长方形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是()4．【2022·永州】我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小，如图为类似“长鼓”的几何体，其从上面看得到的平面图形的大致形状是()5．用一个平面截圆柱，截面形状不可能是()A．圆B．三角形C．长方形D．椭圆6．下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是()7．【2023·成都金牛区月考】如图是一个几何体从上面看到的形状图，则这个几何体的形状可能是()8．【2023·北京门头沟区月考】下面四个图形中，是三棱锥的平面展开图的是()9．如图，这是由4个完全相同的正方体搭成的几何体，关于这个几何体下列说法中正确的是()A．从正面、左面和上面看都相同B．从上面看与从左面看相同C．从正面看与从上面看相同D．从正面看与从左面看相同10．如图是某几何体从三个方向看所得到的形状图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为()A．236πB．136πC．132πD．120π二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，属于柱体的是__________，属于锥体的是________，属于球体的是________．(填序号)12．【跨学科】诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是______________．13．一个直棱柱有18条棱，则它的底面是________边形．14．如图是某几何体的展开图，则该几何体是__________．15．用一个平面分别去截长方体、三棱柱和圆柱，都能截出的一个截面是__________．16．【2022·枣庄】某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是________．17．【母题：教材P18习题T2】已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么3和4所在面的对面数字分别是__________．18．【母题：教材P20复习题T8】一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，从正面和上面看到的形状图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最多是________．三、解答题(19题9分，20，22题每题12分，21，24题每题10分，23题13分，共66分)19．【母题：教材P11习题T1】写出如图所示的平面展开图折叠后所得几何体的名称．20．如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来．21．【母题：教材P20复习题T7】由几个小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图如图所示，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，请你画出这个几何体从正面、左面看到的形状图．22．用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形，用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形．试根据以上结论，猜测用一个平面去截n(n为大于2的自然数)棱柱，最多可以截得几边形？23．如图是一个立体图形从三个不同方向看所得到的形状图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积和侧面积(结果保留π).24．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B 分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．答案一、1.C【点拨】若图形上的所有点都在同一个平面内，则这个图形是平面图形；若图形上的点不都在同一个平面内，则这个图形是立体图形．根据平面图形与立体图形的含义即可完成．2．B3．A【点拨】将长方形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱．4．B5．B【点拨】判断截面的形状时，首先找出截面和几何体的面相交所成的线，其次判断由这些线围成的截面的形状．据此可得答案．6．D【点拨】正方体展开图的11种情况可分为“1－4－1型”6种，“2－3－1型”3种，“2－2－2型”1种，“3－3型”1种，因此选项D符合题意．7．D【点拨】A.圆锥从上面看到的形状图是一个圆，有圆心，故选项不符合题意；B.圆台从上面看到的形状图是一个圆环没有圆心，故选项不符合题意；C.圆柱从上面看到的形状图是一个圆，没有圆心，故选项不符合题意；D.该图从上面看到的形状图是一个圆环，有圆心，故选项符合题意．故选D.8．B【点拨】A.此图形可以围成三棱柱，故此选项不符合题意；B.此图形可以围成三棱锥，故此选项符合题意；C.此图形可以围成四棱锥，故此选项不符合题意；D.无法围成立体图形，故此选项不符合题意．故选B.9．D【点拨】从正面、左面和上面看，所得的图形如图：所以从正面看与从左面看相同，故选D.10．B【点拨】根据给出的几何体从三个方向看到的形状图可知该几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据从三个方向看到的形状图的数据得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．二、11.①③⑤⑥；④⑦；②【点拨】根据球体、柱体、锥体的特点进行分类即可．12．点动成线【点拨】“密雨如散丝”中把雨滴看作点，散丝看作线，所以蕴含的数学原理是点动成线．13．六【点拨】熟记一般规律：n棱柱有2n个顶点，3n条棱和(n＋2)个面是解题关键．14．四棱锥【点拨】由展开图判断几何体形状的方法有两种：一是制作模型，动手操作；二是发挥空间想象能力，根据特殊立体图形的组成和特征来判断．15．长方形【点拨】用一个平面去截长方体可以得到三角形、四边形(包括长方形)、五边形、六边形；用一个平面去截三棱柱可以得到三角形、长方形等；用一个平面去截圆柱可以得到圆、长方形等．故用一个平面分别去截长方体、三棱柱和圆柱，都能截出的一个截面是长方形．16．想【点拨】在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是想，与“点”字所在面相对的面上的汉字是春，与“青”字所在面相对的面上的汉字是梦．17．1和5【点拨】由图①知，1对面的数字可能是3，4，6，再由图②③知，4和1相邻，6和1也相邻，则1对面的数字只可能是3，同理可得，4对面的数字是5.18．5【点拨】根据从上面看到的形状图可得该几何体最底层有3个小正方体，再根据从正面看到的形状图可得该几何体第二层最多有2个小正方体，所以这个几何体中最多有3＋2＝5(个)小正方体．三、19.【解】(1)圆锥；(2)五棱柱；(3)圆柱．20．【解】1连c，2连a，3连b，4连d.(连线略)21．【解】如图所示．22．【解】猜测用一个平面去截n棱柱，最多可以截得(n＋2)边形．11 点拨：先从所给的特殊情形入手，经过猜想归纳，找出内在规律．23．【解】这个立体图形是圆柱．体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫822×10＝160π(cm 3)， 侧面积为π×8×10＝80π(cm 2)．24．【解】最短路线有2条，如图①②所示．。
新教材高中数学第一章预备知识测评试题北师大版必修第一册
第一章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“∀x∈N+,a≤x”的否定是()A.∀x∈N+,a>xB.∀x∉N+,a>xC.∃x∈N+,a>xD.∃x∉N+,a>x2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.t>sB.t≥sC.t<sD.t≤s3.(2022河北邢台期末)设集合M={x|x2-3x≤0},N=x|12<x<4,则M∩N=()A.x|0≤x≤12B.x|12<x≤3C.{x|3≤x<4}D.{x|0≤x<4}4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合为()A.{x|0<x<3}B.{x|x<0,或x>3}C.{x|x>3}D.{x|-2<x<1}5.命题“∀x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥9B.a≥8C.a≥10D.a≤106.(2022黑龙江哈尔滨道里期末)若x>0,y>0且x+y=1,则下列结论正确的是()A.√x+√y的最大值是√2B.xy的最小值是14 C.x2+y2的最小值是2D.2x +1y的最小值是4√27.(2022河南焦作期末)已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是()A.[2,4]B.(0,2]∪[4,+∞)C.[4,16]D.(0,4]∪[16,+∞)8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为()A.10B.12C.14D.16二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac2>bc2,则a>bC.若a>b,则1a <1bD.若a>b,c>d,则a-d>b-c10.下列结论正确的是()A.“xy>0”是“xy>0”的充要条件B.√x2+9√x2+9的最小值为2C.命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x≤1,x2-x≤0”D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件11.若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是()A.-8B.-5C.1D.412.当一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,ab∈G”时,我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法,其中正确的是()A.0是任何数域的元素B.若数域G有非零元素,则2 022∈GC.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域D.任何一个数域的元素个数必为奇数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为.14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=,p+q=.15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是.16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x +4y的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x +4y=2+4xy+4yx+8≥18,乙:z=(x+2y)2x +4y≥2√2xy·2√8xy=16.①你认为甲、乙两人解法正确的是.②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb ≤c+dd.18.(12分)(2022四川资阳高一期末)已知全集U=R,集合A={x|a<x≤a+2,a∈R},B={x|-1<x<3}.(1)若a=1,求(∁U A)∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.19.(12分)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知集合A={x|x2-4x-12≤0},B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.若x∈A是x∈B成立的,判断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值;(2)若b=2a,求该不等式的解集.21.(12分)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.(x>0)的最小值;(1)若a=2,试求函数yx(2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围.第一章测评1.C2.D t-s=4b-b 2-4=-(b-2)2≤0,故t ≤s.3.B 因为M={x|x 2-3x ≤0}={x|0≤x ≤3},N=x |12<x<4,所以M ∩N=x |12<x ≤3.4.B ∵不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},∴-1和2是方程ax 2+bx+c=0的两根且a<0,∴-b a =-1+2=1,c a =-2,∴b=-a ,c=-2a , 由a (x 2+1)+b (x-1)+c<2ax ,得a (x 2+1)-a (x-1)-2a<2ax ,得ax 2-3ax<0,∵a<0,∴x 2-3x>0,∴x<0或x>3,∴不等式a (x 2+1)+b (x-1)+c<2ax 的解集为{x|x<0,或x>3}.5.C 当该命题是真命题时,只需当1≤x ≤3时,a ≥(x 2)max .因为1≤x ≤3时,y=x 2的最大值是9,所以a ≥9.因为a ≥9推不出a ≥10,a ≥10⇒a ≥9,所以C 符合要求.A 为充要条件,B 为必要不充分条件,D 为既不充分也不必要条件.6.A 由基本不等式得xy ≤x+y 22=14,当且仅当x=y=12时,等号成立,故xy 有最大值14,故B 错误; ∵(√x +√y )2=x+y+2√xy =1+2√xy ≤1+2×√14=2,∴√x +√y 的最大值是√2,故A 正确;∵x 2+y 2=(x+y )2-2xy=1-2xy ≥1-2×14=12,∴x 2+y 2有最小值12,故C 错误; ∵2x +1y=2x +1y (x+y )=3+2y x +x y ≥3+2√2,当且仅当2y x =x y ,即x=2-√2,y=√2-1时,等号成立, ∴2x +1y 有最小值3+2√2,故D 错误.7.D 因为a ,b 为正实数,则0=ab-3(a+b )+8≤ab-6√ab +8,当且仅当a=b 时,等号成立,即(√ab -2)(√ab -4)≥0,所以0<√ab ≤2或√ab ≥4,所以0<ab ≤4或ab ≥16,故ab 的取值范围是(0,4]∪[16,+∞).故选D .8.A 根据条件,A 的元素个数不是A 中的元素,B 的元素个数不是B 中的元素.可知(1)当集合A 只有1个元素时,集合B 中有5个元素,1∉A 且5∉B ,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6};(2)当集合A 有2个元素时,集合B 中有4个元素,2∉A 且4∉B ,此时集合A 中必有1个元素为4,集合B 中必有1个元素为2,故有如下可能结果:①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能;(3)当集合A 中有3个元素时,集合B 中有3个元素,3∉A ,3∉B ,不符合条件;(4)当集合A 中有4个元素时,集合B 中有2个元素,此情况与情况(2)相同,只需A ,B 互换即可,共计4种可能;(5)当集合A 中有5个元素时,集合B 中有1个元素,此情况与情况(1)相同,只需A ,B 互换即可,共计1种可能.综上所述,有序集合对(A ,B )的个数为10.9.BD A 选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A 不正确;B 选项:因为ac 2>bc 2成立,则c 2>0,那么a>b ,B 正确;C 选项:2>-3,但是12>-13,C 不正确;D 选项:因为c>d ,所以-c<-d ,又a>b ,所以a-d>b-c ,D 正确.10.AD xy>0⇔x y >0,故A 正确; y=√x 2+9√x 2+9,令t=√x 2+9≥3,则y=t+1t ,且在区间[3,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大,最小值为3+13=103,故B 错误;命题“∀x>1,x 2-x>0”的否定是“∃x>1,x 2-x ≤0”,故C 错误;一元二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1,0)显然有a+b+c=0,反之亦可,故D 正确.11.ACD 由x 2+3x-4<0,解得-4<x<1,令A={x|-4<x<1}. x 2-(2k+3)x+k 2+3k>0即(x-k )[x-(k+3)]>0,解得x<k ,或x>k+3,令B={x|x<k ,或x>k+3}. 由题意知A ⫋B ,所以k ≥1或k+3≤-4,即k ∈(-∞,-7]∪[1,+∞).12.ABD 当a=b 时,由数域的定义可知,若a ,b ∈G ,则有a-b ∈G ,即0∈G ,故A 正确;当a=b ≠0时,由数域的定义可知,a ,b ∈G ,则有a b ∈G ,即1∈G ,若1∈G ,则1+1=2∈G ,则1+2=3∈G ,…,则1+2021=2022∈G ,故B 正确;当a=2,b=4时,a b =12∉G ,故C 不正确;由0∈G ,当b ∈G 且b ≠0时,则-b ∈G ,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个数必为奇数,所以D 正确.13.3 A={-1,1},B={0,2},∵x ∈A ,y ∈B ,∴x=1或x=-1,y=0或y=2,则z=x+y 的值可能是-1,1,3.故答案为3.14.-2 3 由A ∩B={-1},知-1∈B ,∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2,∴B={x|x 2-x-2=0}={-1,2},又A ∪B={-1,2},A ∩B={-1},∴A={x|x 2+px+q=0}={-1},即方程x 2+px+q=0有两个相同的实数根-1,∴Δ=p 2-4q=0,且(-1)2+p (-1)+q=0,解得p=2,q=1.所以p+q=3.15.[3,5] 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t 万亩,则税收收入为20-52t ×24000×t %.由题意20-52t ×24000×t %≥9000,整理得t 2-8t+15≤0,解得3≤t ≤5.∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.∴t 的范围是[3,5].16.①甲②答案不唯一,合理即可.如:已知a>0,b>0,求z=(a+b )1a +1b 的最小值. 甲:z=(a+b )1a +1b =1+b a +a b +1≥4, 乙:z=(a+b )1a+1b ≥2√ab ·2√1a ·1b =4. 17.证明∵bc-ad ≥0,bd>0,∴bc ≥ad ,1bd >0,∴bc ·1bd ≥ad ·1bd ,即c d ≥a b ,∴c d +1≥a b +1,∴c+dd ≥a+bb ,即a+bb ≤c+dd .18.解(1)当a=1时,集合A={x|1<x ≤3},B={x|-1<x<3}.∴∁U A={x|x ≤1或x>3},故(∁U A )∩B={x|-1<x ≤1}.(2)∵A ∪B=B ,∴A ⊆B ,∴{a ≥-1,a +2<3,解得-1≤a<1. ∴实数a 的取值范围是[-1,1).19.解由x 2-4x-12≤0得-2≤x ≤6,故集合A={x|-2≤x ≤6},由x 2-2x+1-m 2=0得x 1=1-m ,x 2=1+m ,因为m>0,故集合B={x|1-m ≤x ≤1+m ,m>0}.若选择条件①,即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件,则集合A 是集合B 的真子集,则有{1-m ≤-2,1+m >6或{1-m <-2,1+m ≥6,解得m ≥5, 所以,实数m 的取值范围是[5,+∞).若选择条件②,即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件,则集合B 是集合A 的真子集,则有{1-m ≥-2,1+m <6,m >0或{1-m >-2,1+m ≤6,m >0,解得0<m ≤3,所以实数m 的取值范围是(0,3].若选择条件③,即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件,则集合A 等于集合B ,则有{1-m =-2,1+m =6,方程组无解, 所以不存在满足条件的实数m.20.解(1)由不等式的解集为(-1,2),可知方程x 2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,得{a +2=-1+2,b =-1×2,解得a=-1,b=-2.(2)若b=2a ,原不等式可化为x 2-(a+2)x+2a<0;因此(x-a )(x-2)<0.①当a<2时,原不等式等价于a<x<2;②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0,解集为空集;③当a>2时,原不等式等价于2<x<a.综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a ,2);当a=2时,原不等式的解集为空集;当a>2时,原不等式的解集为(2,a ).21.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x )(500-x )≥1.5×500,整理得x 2-300x ≤0,解得0≤x ≤300, 又x>0,故0<x ≤300,即x 的取值范围为(0,300].(2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x )x 万元,技术改进后A 生产线的利润为1.5(1+0.005x )(500-x )万元,则1.5(a-0.013x )x ≤1.5(1+0.005x )(500-x )恒成立,又x>0,∴a ≤x 125+500x +1.5恒成立,又x 125+500x ≥4,当且仅当x=250时,等号成立,∴0<a ≤5.5,即a 的最大值为5.5.22.解(1)依题意得y x =x 2-4x+1x =x+1x -4.因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x ,即x=1时,等号成立.所以y x ≥-2.故当x=1时,y x 的最小值为-2.(2)因为y-a=x 2-2ax-1,所以要使得对于任意的x ∈[0,2],不等式y ≤a 成立,只要x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立.不妨设z=x 2-2ax-1,则只要z ≤0在[0,2]上恒成立.所以{0-0-1≤0,4-4a -1≤0,解得a ≥34.所以a 的取值范围是[34,+∞).。
七年级数学下册-第一章综合检测试卷1-北师大版(含答案)
第一章综合检测试卷(满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列运算中，正确的是( C )A ．7a ＋a ＝7a 2B ．a 2·a 3＝a 6C ．a 3÷a ＝a 2D ．(ab )2＝ab 2 2．计算(a 2)3＋a 2·a 3－a 2÷a－3的结果是( D ) A ．2a 5－aB ．2a 5－1aC ．a 5D ．a 63．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是( C )A ．(x ＋y )2＝x 2＋y 2B ．(x －y )2＝x 2－y 2C ．(－x ＋y )2＝x 2－2xy ＋y 2D ．(－x －y )2＝x 2－2xy ＋y 24．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米＝0.000 000 001米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为( B )A ．6.88×10－11米B ．6.88×10－7米C ．0.688×10－3米D ．0.688×10－6米 5．小亮在计算(6x 3y －3x 2y 2)÷3xy 时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( C )A ．2x 2－xyB ．2x 2＋xyC ．4x 4－x 2y 2D ．无法计算6．要使(x 2－3x ＋4)(x 2－ax ＋1)的展开式中含x 2项的系数为－1，则a 应等于( A )A ．－2B ．2C ．－1D ．－47．已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a 、b 、c 的大小关系是( A )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a8．计算⎝⎛⎭⎫ －32 2020·⎝⎛⎭⎫ 23 2021的结果是( D ) A ．－1 B ．－23C ．1D ．23 9．如图所示，用边长为c 的一个小正方形和直角边长分别为a 、b 的四个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a 、b 、c 满足等式c 2＝a 2＋b 2，由此可验证的乘法公式是( A )A ．a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2B ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2C ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2D ．a 2＋b 2＝(a ＋b )210．已知a ＝120x ＋20，b ＝120x ＋19，c ＝120x ＋21，那么代数式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值是( B )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题(每小题4分，共28分)11．计算：(a 2b 3－a 2b 2)÷(ab )2＝ b －1 .12．若x 2－4x －4＝0，则2(x －1)2－(x ＋1)(x －1)的值为 7 .13．已知x ＋1x ＝2，则x 2＋1x2＝ 2 . 14．利用完全平方公式计算：1022＋982＝ 20 008 .15．已知x 满足22x ＋2－22x ＋1＝32，则x ＝ 2 . 16．四个数a 、b 、c 、d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝ 1 . 17．如图，两个正方形的边长分别为a 和b ，如果a －b ＝4，ab ＝32，那么阴影部分的面积是 24 .三、解答题(一)(每小题6分，共18分)18．计算：(1)(2a 2b )3－3(a 3)2b 3；解：原式＝5a 6b 3. (2)(x ＋y )m ＋n ·(x ＋y )m＋2n ÷(x ＋y )m －n ； 解：原式＝(x ＋y )m ＋4n .(3)⎝⎛⎭⎫12－x ⎝⎛⎭⎫14＋x 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＋x 4；解：原式＝116. (4)(π－3.14)0＋2－2＋(－3)2－⎝⎛⎭⎫12－2.解：原式＝614. 19．已知a 、b 满足(a ＋b )2＝1，(a －b )2＝25，求a 2＋b 2＋ab 的值．解：因为(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，(a ＋b )2－(a －b )2＝1－25，所以4ab ＝1－25，所以ab ＝－6，所以a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝1－(－6)＝1＋6＝7.20．先化简，再求值：(x 2y 3－2x 3y 2)÷⎝⎛⎭⎫－12xy 2－[2(x －y )]2，其中x ＝3，y ＝－12. 解：原式＝－2xy ＋4x 2－4x 2＋8xy －4y 2＝6xy －4y 2.当x ＝3，y ＝－12时，原式＝6×3×⎝⎛⎭⎫－12－4×⎝⎛⎭⎫－122＝－9－1＝－10. 四、解答题(二)(每小题8分，共24分)21．有一道题：“化简求值：(2a ＋1)(2a －1)＋(a －2)2－4(a ＋1)(a －2)，其中a ＝2.”小明在解题时错误地把“a ＝2”抄成了“a ＝－2”，但显示计算的结果是正确的，你能解释一下，这是怎么回事吗？解：(2a ＋1)(2a －1)＋(a －2)2－4(a ＋1)(a －2)＝4a 2－1＋a 2－4a ＋4－4a 2＋4a ＋8＝a 2＋11.当a ＝－2时，a 2＋11＝15；当a ＝2时，a 2＋11＝15.所以当a ＝2或a ＝－2时，结果相等．22．已知3a ＝4,3b ＝10,3c ＝25.(1)求32a 的值；(2)求3c ＋b －a 的值；(3)试说明：2b ＝a ＋c .(1)解：32a ＝(3a )2＝42＝16.(2)解：3c ＋b －a ＝3c ·3b ÷3a ＝25×10÷4＝62.5.(3)证明：因为32b ＝(3b )2＝102＝100,3a ＋c ＝3a ×3c ＝4×25＝100，所以32b ＝3a ＋c ，所以2b ＝a ＋c .23．观察以下等式：(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1；(x ＋3)(x 2－3x ＋9)＝x 3＋27；(x ＋6)(x 2－6x ＋36)＝x 3＋216；……(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)．解：(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3.(3)原式＝(x3＋y3)－(x3＋8y3)＝－7y3.五、解答题(三)(每小题10分，共20分)24．如图1，我们在2020年5月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”(将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)．该十字星的十字差为12×14－6×20＝48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48.(1)如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24；(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论；(3)如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”．若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2019，求这个十字星中心的数．(直接写出结果)解：(2)“十字差”为k2－1＝(k＋1)(k－1)．证明如下：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x－1、x＋1，上下两数分别为x－k、x＋k(k≥3)．故“十字差”为(x－1)(x ＋1)－(x－k)(x＋k)＝x2－1－x2＋k2＝k2－1.(3)设正中间的数为a，则上下两数分别为a－62、a＋64，左右两数分别为a－1、a＋1.根据题意，得(a－1)(a＋1)－(a－62)(a＋64)＝2019，即2a＝1948，解得a＝974.即这个十字星中心的数为974.25．图1是由4个长为m、宽为n的长方形拼成的，图2是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙(阴影部分)恰好是一个小正方形．(1)用m、n表示图2中小正方形的边长；(2)用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积；(3)观察图2，利用(2)中的结论，写出代数式(m＋n)2、(m－n)2、mn之间的等量关系；(4)根据(3)中的等量关系，解决如下问题：已知a＋b＝7，ab＝5，求(a－b)2的值．解：(1)图2中小正方形的边长为m－n.(2)(方法一)S阴影＝(m－n)(m－n)＝(m－n)2；(方法二)S阴影＝(m＋n)2－4mn.(3)因为图中阴影部分的面积不变，所以(m－n)2＝(m＋n)2－4mn.(4)由(3)知，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.因为a＋b＝7，ab＝5，所以(a－b)2＝72－4×5＝49－20＝29.。
新教材高中数学第一章预备知识1集合 集合的概念与表示第2课时集合的表示素养作业北师大版必修第一册
第一章 §1 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}[解析] 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2．用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ,则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2} B ．{x |x ＝1或x ＝－2} C ．{x |x ＝1}D ．{1,－2}[解析] 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2．由于x ∈N ,所以x ＝－2舍去．故选C ．4．若A ＝{－1,3},则可用列举法将集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3),(3,－1)}D ．{(－1,3),(3,3),(－1,－1),(3,－1)}[解析] 因为集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }是点集或数对构成的集合,其中x ,y 均属于集合A ,所以用列举法可表示为{(－1,3),(3,3),(－1,－1),(3,－1)}．5．下列集合中,不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] 因为{x |x ＝1}＝{1},{x |x 2＝1}＝{－1,1},{y |(y －1)2＝0}＝{1},所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图象交点组成的集合为{x ＝2,y ＝4},正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由x 3＝x ,得x (x －1)(x ＋1)＝0,解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1．因为－1∉N ,故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1},故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义,而“R ”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ,故②不正确．联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴一次函数与y ＝－2x ＋8的图象交点为(2,4),∴所求集合为{(x ；y )|x ＝2且y ＝4},故③不正确．二、填空题7．已知A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝4,x ∈N ,y ∈N },用列举法表示A 为__{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}__．[解析] ∵x ＋y ＝4,x ∈N ,y ∈N , ∴x ＝4－y ∈N ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0.∴A ＝{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．8．集合{1,2,3,2,5,…}用描述法表示为．[解析] 注意到集合中的元素的特征为n ,且n ∈N *,所以用描述法可表示为{x |x ＝n ,n ∈N *}．9．已知集合A ＝{x |2x ＋a ＞0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是__(－∞,－2]__． [解析] 因为1∉A ,则应有2×1＋a ≤0, 所以(－∞,－2]． 三、解答题10．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝143x ＋2y ＝8,的解集；(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2，,也可用列举法表示为{(4,－2)}． (2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1,因此可用列举法表示为{1},也可用描述法表示为{x |x 2－2x ＋1＝0}．(3)集合的代表元素是点,可用描述法表示为{(x ,y )|x ＜0且y ＞0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为点,可用描述法表示为{(x ,y )|y ＝x 2＋2x －10}．(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y ,是实数,可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．B 组·素养提升一、选择题 1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1,y ＝－1}B ．{1}C ．{(1,－1)}D ．{(x ,y )|(1,－1)}[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D 的集合表示方法有误,排除D ．2．用列举法可将集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1),(2,2)}D ．{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}[解析] x ＝1,y ＝1；x ＝1,y ＝2；x ＝2,y ＝1；x ＝2,y ＝2．∴集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1,k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3,k ∈N }D ．{x |x ＝2k ＋5,k ∈N }[解析] 选项A,C 中,集合内的最小奇数不大于4． 4．(多选题)下列各组中M ,P 表示不同集合的是( ABD ) A ．M ＝{3,－1},P ＝{(3,－1)} B ．M ＝{(3,1)},P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1,x ∈R },P ＝{x |x ＝t 2＋1,t ∈R } D ．M ＝{y |y ＝x 2－1,x ∈R },P ＝{(x ,y )|y ＝x 2－1,x ∈R }[解析] 选项A 中,M 是由3,－1两个元素构成的集合,而集合P 是由点(3,－1)构成的集合；选项B 中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M ≠P ；选项D 中,M 是二次函数y ＝x 2－1,x ∈R 的所有因变量组成的集合,而集合P 是二次函数y ＝x 2－1,x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0,a ∈R }中只有一个元素,则实数a 的值是__0或1__． [解析] 集合A 中只有一个元素,有两种情况：当a ≠0时,由Δ＝0,解得a ＝1,此时A ＝{－1},满足题意；当a ＝0时,x ＝－12,此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12,满足题意．故集合A 中只有一个元素时,a 的值是0或1．6．设A ,B 为两个实数集,定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若A ＝{1,2,3},B ＝{2,3},则集合A ＋B 中元素的个数为__4__．[解析] 当x 1＝1时,x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时,x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时,x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6．∴A ＋B ＝{3,4,5,6},共4个元素． 三、解答题7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪86－x ∈N ,试用列举法表示集合A ．[解析] 由题意可知6－x 是8的正约数,当6－x ＝1时,x ＝5；当6－x ＝2时,x ＝4；当6－x ＝4时,x ＝2；当6－x ＝8时,x ＝－2,而x ≥0,∴x ＝2,4,5,即A ＝{2,4,5}．8．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 中只有一个元素,求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集,则当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,符合题意；当a ≠0时,方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根,则Δ＝9－8a ＝0,解得a ＝98,此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43,符合题意．综上所述,当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,当a ＝98时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43．(2)由(1)可知,当a ＝0时,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23符合题意；当a ≠0时,要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根, 则Δ＝9－8a ≥0,解得a ≤98且a ≠0．9 8．综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤。
新教材高中数学第一章预备知识综合测试北师大版必修第一册
第一章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·全国新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( B ) A ．{2} B ．{2，3} C ．{3，4}D ．{2，3，4}[解析] 由题设有A ∩B ＝{2，3}，故选B ． 2．命题“∀x ＞0，x 2－2x ＋1＞0”的否定是( A ) A ．∃x 0＞0，x 20－2x 0＋1≤0 B ．∀x ＞0，x 2－2x ＋1≤0 C ．∃x 0≤0，x 20－2x 0＋1≤0D ．∀x ≤0，x 2－2x ＋1≤0[解析] 含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“＞”改为“≤”，条件不变，故选A ．3．设a ∈R ，则a ＞3是|a |＞3的( D ) A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．充分不必要条件[解析] 由“a ＞3”能推出“|a |＞3”，充分性成立；反之由|a |＞3无法推出a ＞3，必要性不成立．故选D ．4．下列命题正确的是( D ) A ．若a ＞b ，则1a ＜1bB ．若a ＞b ＞0，c ＞d ，则a ·c ＞b ·dC ．若a ＞b ，则a ·c 2＞b ·c2D ．若a ·c 2＞b ·c 2，则a ＞b[解析] 由题意，对于选项A 中，当a ＞0＞b 时，此时1a ＞1b，所以A 是错误的；对于选项B 中，当0＞c ＞d 时，此时不等式不一定成立，所以B 是错误的；对于选项C 中，当c ＝0时，不等式不成立，所以C 是错误的．根据不等式的性质，可得若ac 2＞bc 2时，则a ＞b 是成立的，所以D 是正确的． 5．已知2x ＋3y ＝3，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( C )A ．53B ．83C ．8D ．24[解析] 因为2x ＋3y ＝3，x ，y 均为正数， 则3x ＋2y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y (2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9y x ＋4x y ≥12＋29y x ·4xy 3＝8，当且仅当9y x ＝4xy且2x ＋3y ＝3，即x ＝34，y ＝12时取等号，所以3x ＋2y的最小值是8．6．集合{y ∈N |y ＝－x 2＋6，x ∈N }的真子集的个数是( C ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6[解析] x ＝0时，y ＝6；x ＝1时，y ＝5；x ＝2时，y ＝2；x ＝3时，y ＝－3． 所以{y ∈N |y ＝－x 2＋6，x ∈N }＝{2，5，6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C ．7．若不等式4x 2＋ax ＋4＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( D ) A ．{a |－16＜a ＜0} B ．{a |－16＜a ≤0} C ．{a |a ＜0}D ．{a |－8＜a ＜8}[解析] 不等式4x 2＋ax ＋4＞0的解集为R ， 所以Δ＝a 2－4×4×4＜0，解得－8＜a ＜8， 所以实数a 的取值范围是{a |－8＜a ＜8}．8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( C )A ．4 5B ．415C ．8 5D ．815[解析] 由题意，p ＝10，S ＝10(10－a )(10－b )(10－c )＝20(10－a )(10－b )≤20·10－a ＋10－b2＝85，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为85．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列命题中，是全称量词命题的有( BC ) A ．至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立 B ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立C ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立 D ．存在x 使x 2＋2x ＋1＝0成立[解析] A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题．故选BC ．10．下列命题中真命题的是( AB ) A ．“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分条件 B ．“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充要条件 C ．“a ＞b ”是“|a |＞|b |”的充分条件 D ．“a ＞b ”是“ac 2≤bc 2”的必要条件[解析] 当a ＞b ＞0时a 2＞b 2，A 正确；B 正确；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但|a |＜|b |，故C 不正确；对于D ，“a ＞b ”与“ac 2≤bc 2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB ．11．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2，则下列结论正确的是( BCD )A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞0[解析] 因为不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2，故相应的二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a ＜0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1＜0，－b a ＝32＞0，又a ＜0，故b ＞0，c ＞0，故BC 正确；由二次函数的图象可知当x ＝1时y ＝a ＋b ＋c ＞0，故D 正确，故选BCD ．12．设a 、b 是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) A ．ab ＞2aba ＋bB ．a ＞|a －b |－bC ．a 2＋b 2＞4ab －3b 2D ．ab ＋2ab＞2[解析] 对于A ，ab ＞2ab a ＋b ⇒1＞2ab a ＋b ⇒a ＋b2＞ab ，当a ＝b ＞0时，不等式不成立，故A 中不等式错误；对于B ，a ＋b ＞|a －b |⇒a ＞|a －b |－b ，故B 中不等式正确；对于C ，a 2＋b 2＞4ab －3b 2⇒a 2＋4b 2－4ab ＞0⇒(a －2b )2＞0，当a ＝2b 时，不等式不成立，故C 中不等式错误；对于D ，ab ＋2ab≥22＞2，故D 中不等式正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若x ＞1，则y ＝3x ＋1x －1的最小值是． [解析] ∵x ＞1，∴x －1＞0，因此y ＝3x ＋1x －1＝3(x －1)＋1x －1＋3≥23(x －1)·1x －1＋3＝3＋23， 当且仅当3(x －1)＝1x －1，即x ＝33＋1时取等号，因此y ＝3x ＋1x －1的最小值是3＋23． 14．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ＝__－6__，c ＝__－1__．[解析] 由题意知a ＜0，且不等式对应方程的两个根分别为13，12，根据根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝13×12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.15．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |－3x ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅，则a 的值为__3或6或9__．[解析] 由题意可知B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝a 3．若A ∩B ≠∅，则a 3＝1或a 3＝2或a3＝3，得a ＝3或6或9．16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件．[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件，因此正确；(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件，因此正确；(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件，因此正确；(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件，因此错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{x ∈N |1＜x ≤4}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}．(1)用列举法表示集合A 与B ； (2)求A ∩B 及∁U (A ∪B )．[解析] (1)由题知，A ＝{2，3，4}，B ＝{x ∈R |(x －1)(x －2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A ∩B ＝{2}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，所以∁U (A ∪B )＝{0，5，6}． 18．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}． (1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若命题“B ∩(∁R A )中只有一个整数”是真命题，求实数m 的取值范围．[解析] (1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则B ⊆A ．由题知，A ＝{x |－1≤x ≤2}． ①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ＜1，解得－12≤m ＜12；②当m ≥12时，B ＝∅，B ⊆A 成立．综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞． (2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}． ①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， 得－32≤m ＜－1；②当m ≥12时，B ＝∅，(∁R A )∩B ＝∅，不符合题意．综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1． 19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0．[解析] (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)结合(1)可知，原不等式可化为x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0．所以 ①当c ＞2时，不等式的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅．20．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R ． (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)，试探究集合B 能否为有限集．若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．[解析] (1)当k ＝0时，A ＝(－∞，4)；当k ＞0时，A ＝(－∞，4)∪⎝⎛⎭⎪⎫k ＋4k，＋∞；当k ＜0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋4k，4．(2)由(1)知，当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k ＜0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k ＋4k ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－k )＋4－k ≤－4，当且仅当k ＝－2时，等号成立，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝(－4，4)，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x (x ≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R (x )万元，且R (x )＝74000x －400000x2． (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数关系式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解析] (1)由题意，可得年利润W 关于年产量x 的函数关系式为W ＝xR (x )－(160x ＋400)＝x ⎝⎛⎭⎪⎫74000x －400000x 2－(160x ＋400)＝74000－400000x －160x －400 ＝73600－400000x－160x (x ≥40)．(2)由(1)可得W ＝73600－400000x－160x≤73600－2400000x·160x＝73600－16000＝57600，当且仅当400000x＝160x ，即x ＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大值57600万元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝0，解关于x 的不等式y ≥x (结果用含m 式子表示)；(2)若存在实数m ，使得当x ∈{x |1≤x ≤2}时，不等式x ≤y ≤4x 恒成立，求负数n 的最小值．[解析] (1)由题得：x ≤x 2＋mx －m ，即(x ＋m )(x －1)≥0； ①m ＝－1时可得x ∈R ；②m ＜－1时，－m ＞1，可得不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥－m }； ③m ＞－1时，－m ＜1，可得不等式的解集为{x |x ≤－m 或x ≥1}． (2)x ∈{x |1≤x ≤2}时，x ≤x 2＋mx ＋n ≤4x 恒成立， 即为1≤x ＋nx＋m ≤4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，即存在实数m ，使得－x －n x ＋1≤m ≤－x －n x＋4对x ∈{x |1≤x ≤2}恒成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －n x＋1max ≤m ≤⎝⎛⎭⎪⎫－x －nx ＋4min ，即⎝⎛⎭⎪⎫－x －n x＋1max ≤⎝⎛⎭⎪⎫－x －nx ＋4min ． 由y ＝－x －nx (n ＜0)在[1，2]上递减，所以－n ≤2－n2，即n ≥－4，所以负数n 的最小值为－4．。
第一章 预备知识 期末综合复习测评卷-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
第一章 预备知识 期末综合复习测评卷一、单选题1．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≤2．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ∈C ∈B 的集合C 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =（ ） A ．{}1234，，， B ．{}2C ．{}1，2，3，5D ．{}1,34．某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为m 克，则下列结论正确的是（ ）． A ．20m > B ．20m < C ．20m =D ．以上都可能5．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．22x y +有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 46．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g7．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =8．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．对任意a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集D ．对任意a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 不是2Q 的子集二、多选题9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知{}32,N A x x n n +==+∈，{}53,N B x x n n +==+∈，{}72,N C x x n n +==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为（ ）A ．8B ．128C ．37D ．2310．设集合{}2|8150,{|10}A x x x B x ax =-+==-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15B ．0C ．3D ．1311．已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12 C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy+最小值为4 12．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( ) A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -=三、填空题13．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{}2A B ⋂=，则B =______．14．已知集合{}|37B x b x b =-<<+，{}|45M x x =-<<，全集U =R ，若()UB M =R ，则实数b 的取值范围为______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里300=步）________ 里.16．高二某班共有60人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.四、解答题17．已知集合{}23,4,31A m m =--，{}2,3B m =-，若{}3A B =-，求实数m 的值和A B ．18．（1）设0b a >>，0m >，证明：a a mb b m+<+； （2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y z x y y z z x<++<+++.19．已知二次函数()f x 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值为12． （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的解析式．20．已知集合A ={y |y =x 2-2x }，B ={y |y =-x 2+2x +6}． （1）求A ∩B ．（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A ∩B ．（3）若集合A 变为A ={x |y =x 2-2x }，其他条件不变，求A ∩B ．（4）若集合A ，B 分别变为A ={(x ，y )|y =x 2-2x }，B ={(x ，y )|y =-x 2+2x +6}，求A ∩B ．21．某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产x (0x >)万件，该产品需另投入流动成本W 万元.在年产量不足6万件时，212W x x =+；在年产量不小于6万件时，81740W x x=+-.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完. （1）写出年利润P (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.22．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈（1）若集合{}1,3A =，直接写出集合S ，T .（2）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+（3）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.参考答案1．A 【分析】根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a 的范围判断作答. 【解析】集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，因A B ⊆， 于是得(1,2),x x a ∀∈<，因此有2a ≥， 所以a 的取值范围是2a ≥. 故选：A 2．B 【分析】分别求解集合A ，B ，根据集合的基本运算即可求． 【解析】解：集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0，x ∈R}＝{1，2} 集合B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}＝{1，2，3，4}， 由A ∈C ∈B ，可知集合C 一定包含：1，2这两个元素，但有且仅有3或4中一个． ∈集合C 的个数为2个 故选：B ． 3．B 【分析】根据补集以及交集的概念直接计算即可. 【解析】由题可知：{}2,4UA =，所以(){}2U AB =故选：B 4．A 【分析】设天平的左臂长为b ，右臂长为a ，且b a ≠，设第一次第二次分别称得的中药为x 克，y 克，根据杠杆原理即可得出等量关系，进而结合均值不等式即可求出结果.【解析】设天平的左臂长为b ，右臂长为a ，且b a ≠，设第一次第二次分别称得的中药为x 克，y 克，则10b xa =，10yb a =，从而101020b a m x y a b =+=+≥=，当且仅当1010b a a b =，即a b =时，等号成立，由于b a ≠，所以20m >， 故选：A.5．A 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【解析】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥所以1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥=，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，4，所以D 错误， 故选：A 6．A 【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案. 【解析】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b am m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab-+-=+-=， 因为ab ，所以()250b a ab->，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A 7．D【分析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可.【解析】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2bx =-，只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根， 当240b c ->时，方程有2个或3个实数根， 当0a b c ===时，||1S =且||0T =， 当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =， 当1,2a c b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解， 且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解，∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠，0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->， 20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立， 故选：D . 【点睛】本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题. 8．B 【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推导出2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断1Q 与2Q 的关系.【解析】解对于集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，可得当1m P ∈即210m am ++>可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；当5b =时，{}2150Q x x x R =++>=，{}22250Q x x x R =++>=可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，{}2110Q x x x R =++>=，{}{}22210|1Q x x x x x x R =++>=≠-∈且可得1Q 不是2Q 的子集；综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选：B 【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题. 9．BD 【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答. 【解析】对于A ，因8711=⨯+，则8C ∉，选项A 错误；对于B ，1283422=⨯+，即128A ∈；又1285253=⨯+，即128B ∈；而1287182=⨯+，即128C ∈，因此，128A B C ∈⋂⋂，选项B 正确；对于C ，因373121=⨯+，则37A ∉，选项C 错误；对于D ，23372=⨯+，即23A ∈；又23543=⨯+，即23B ∈；而23732=⨯+，即23C ∈，因此，23A B C ∈⋂⋂，选项D 正确. 故选：BD 10．ABD 【分析】先求出集A ，B ，再由A B B =得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可 【解析】解：{3,5},{|1}===A B x ax ， ∈A B B =，∈B A ⊆，∈∈B =∅时，0a =；∈B ≠∅时，13a =或15a =，∈13a =或15.综上0a =，或13a =，或15a =故选：ABD. 11．AB 【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解. 【解析】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确； 对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．AD 【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可； B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可；【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∈()1f x ，∈当1a b <<时，不等式23344ax x b -+的解集为∅，所以A 正确； 对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a ，且1b >； 若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b ，因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b ，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD 13．{}0,2## 【分析】由题设知2是220x x m -+=的一个解，即可求参数m ，再解一元二次方程求集合B . 【解析】由题设知：2是220x x m -+=的一个解， ∈440m -+=，即0m =.∈{}220B x x x =-=，即{0,2}B =.故答案为：{0,2} 14．21b -≤≤- 【分析】根据题目条件，求出U M ，再由()U B M =R 列不等式求解.【解析】由题知，{}|37B x b x b =-<<+，{}|45M x x =-<<，{|4U M x x =≤-或}5x ≥，若()U B M =R ，则34,75b b -≤-⎧⎨+≥⎩， 解得21b -≤≤-，所以实数b 的取值范围为21b -≤≤-.故答案为：21b -≤≤-.15．【分析】 根据题意得出EF GF AG BE ⋅=，进而可得出54102EF GF AG BE ⋅=⋅=⨯=，结合基本不等式求()4EF GF +的最小值即可.【解析】因为1里300=步，由图可知，1200BE =步4=里，750AG =步52=里， //FG OB ，则AFG FBE ∠=∠，且90AGF FEB ∠=∠=， 所以，AFG FBE △△，所以，AG FG EF BE =，则54102EF GF AG BE ⋅=⋅=⨯=，所以，该小城的周长为()4EF GF +≥=.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．8【分析】把学生60人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ，选择化学科的人数组成集合B ，选择生物科的人数组成集合C ，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【解析】把学生60人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合A ，选择化学科的人数组成集合B ，选择生物科的人数组成集合C ，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合D要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人，单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人，以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图，故D 区域至多8人，所以单选物理、化学的人数至多8人，故答案为：8【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.17．1m =，{}3,2,3,4A B ⋃=-．【分析】由题可得3A -∈，可求得1m =或2m =，再结合条件及并集的运算即得.【解析】∈{}3A B =-，∈3A -∈．又{}23,4,31A m m =--， ∈2313m m --=-，解得1m =或2m =．当1m =时，{}2,3B =-，{}3,4,3A =-，满足{}3A B =-，∈{}3,2,3,4A B ⋃=-．当2m =时，B ={}4,3-，{}3,4,3A =-，不满足{}3A B =-，舍去．综上可知，1m =，{}3,2,3,4A B ⋃=-．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；（2）由于x x x y x y z >+++，故1x y z x y y z z x <+++++，再结合（1）的结论易证2x y z x y y z z x++<+++. 【解析】证明：（1）因为0b a >>，0m >，所以0a b -<，0b m +>。
2021年高一数学单元测试定心试卷：第一章 预备知识(基础过关)(解析版北师大版必修一)
精品资源教育学院2021年高一单元测试定心试卷学校：姓名：班级：学号：老师：分数：第一章 预备知识注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}2*2240,M x x x x N=+-=∈，{}6,0,4N =-，则集合M 与N 的关系是（ ） A ．M NB ．NM ⊂≠C ．NM ⊂≠D ．N M ⊆【答案】C 【解析】 【分析】首先解方程22240x x +-=，求出M ，根据元素即可判断M 与N 的关系. 【详解】首先解方程22240x x +-=，由*x ∈N 可得4x =或6x =-（舍）所以{}4M =，可得NM ⊂≠.故选：C.【点睛】本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.2．已知}3{1A =，，5{}34B =，，，则集合A B =（ ）A ．{}3B ．{4}5，C ．15}2{4，，， D ．{345}，， 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】}3{1A =，，5{}34B =，，，∴{}3A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题. 3．已知集合{}2*|1,P x x n n N ==+∈，{}2*|45,M x x mm m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ） A ．P ⊂M B ．P MC ．M ⊆PD ．M ⊂P【答案】A 【解析】 【分析】根据{}(){}22**|45,2,1|M x x m m m N x x m m N ==-+∈=+=-∈，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为{}{}2*222|1,11,21,31,......P x x n n N==+∈=+++，{}(){}{}22**222|45,|2,1,11,21,31,...1...M x x m m m N x x m m N ==-+∈==-∈=++++即集合M 比集合P 多一个元素1， 因此P ⊂M . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合间的关系，熟记集合间的包含关系即可，属于基础题型. 4．函数2()24f x x x =-+在[2,3]-上的最大值是（ ） A ．3 B ．10 C ．12 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】函数2()24f x x x =-+对称轴方程为1x =，可得函数()f x 在[2,3]-上的单调性，从而可得出函数的最大值. 【详解】二次函数2()24f x x x =-+对称轴方程为1x =，开口向上.所以函数()f x 在[2,1]-上单调递减，在[1,3]上单调递增.又()244412f -=++=，()39647f =-+=，()()23f f ->. 函数()f x 在[2,3]-上的最大值是()212f -=. 故选：C 【点睛】本题考查求函数的最大值，属于基础题.5．已知集合{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，则()A B =R（ ）A ．{}|46x x <<B ．{}{}43||46x x x x -<<-⋃<<C ．{} 6|4x x ≤< D ．{}{}43||46x x x x -<≤-⋃≤<【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解. 【详解】因为{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，所以(){}{}|43|46B x x x A x ⋂=-<≤-⋃≤<R.故选：D 【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.6．已知全集U =R ，集合91A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果. 【详解】因为91(0,9)A xx ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选：B 【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列叙述正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+= D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】A ，利用基本不等式分析判断；B ，举反例判断得解；C ，利用全称命题的否定分析判断得解；D ，举反例判断得解. 【详解】对于A: 222222()22222f x x x x x =+=++-≥++，但是22222x x +=+没有实数解，所以等号不成立，所以A 错；对于B ：当0m =时，210mx mx ++≥也成立，所以B 错；对于C ，命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=，由全称命题的否定得该命题正确； 对于D:当1,23x y ==时, 1xy <也成立，所以原命题错误，所以其逆否命题也错误，所以D 错； 故选：C. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定和基本不等式，考查充要条件和逆否命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知1x >-，求函数11y x x =++的最小值是 （ ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】整体代换，构造均值不等式． 【详解】由1x >-，即10x +>，所以()11111111y x x x x =+=++-≥=++，0x =时取“=”，所以正确选项为D 【点睛】本体考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可． 9．若a ，b ，c ，d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c< 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用排除法和不等式的基本性质判断即可. 【详解】由1,2a b ==-，得22a b <，可判断A 错误；由1,2,1,2a b c d ==-==-，得ac bd <，可判断B 错误；由2,1a b =-=-，11a b>，可判断C 错误； 由不等式的性质， 1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，所以0a b d c->->，即a b d c <，可判断D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，利用带特殊值排除法是解题的关键，是基础题.10．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【答案】A【解析】【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)1xt⎛⎫-⎪⎝⎭>0的解集是（）A．1x x tt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B．1x xt⎧>⎨⎩或}x t<C．1x xt⎧<⎨⎩或}x t>D．1x t xt⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】判断出1t t>，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】∵0<t <1，∵1t >1，∵1t>t .∵(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ >0∵(x －t )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ <0∵t <x <1t .故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12．已知函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．(),2-∞C ．(][),62,-∞-+∞D ．(][),62,-∞-⋃-+∞【答案】D 【解析】 【分析】要使得函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，转化为函数()f x 在区间()2,6为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()22x x x m f k +-=的图象开口向上，对称轴的方程为x k =-，要使得函数()22x x x m f k +-=在区间()2,6上既没有最大值也没有最小值，可得函数()f x 在区间()2,6为单调函数，则满足2k -≤或6k -≥， 解得2k ≥-或6k ≤-，即实数k 的取值范围是(][),62,-∞-⋃-+∞. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知正实数,x y 满足39x y +=______.【答案】【解析】 【分析】92≤，再计算218≤即可得到答案.【详解】正实数,x y ，则39x y +=≥92≤， 2318x y =++≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的应用能力.属于较易题. 14．“1x >”是“0x >”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1x >时一定能得出0x >，故是充分的，但0x >时不一定有1x >，因此是不必要的．、所以就是充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分条件、必要条件的定义是解题关键．15．1:03p x <-，2:450q x x --<，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是__________. 【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】 【分析】化简命题p :3x <，q :15x -<<，转化条件得p ，q 中至少有一个为假命题，即可得解. 【详解】p 为真时，3x <；q 为真时，15x -<<.“p 且q ”为假命题，∴p ，q 中至少有一个为假命题，∴3x ≥或1x ≤-或5x ≥，整理得3x ≥或1x ≤-.故答案为：(,1][3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.16．已知函数()248f x x kx =--在区间()5,20上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________【答案】40160k << 【解析】 【分析】先求得函数的对称轴，要使函数()248f x x kx =--在区间()5,20不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可． 【详解】解：由已知函数()248f x x kx =--的对称轴为8k x =， 又函数()f x 在区间()5,20上不是单调函数，则必有5208k<<，解得40160k <<， 故答案为：40160k <<． 【点睛】本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题． 三、解答题17．已知{0,2,4,6,8},{0,1,2,3,4,5},{4,5,6}A B C ===，求： （1）A B C ⋂⋂；（2）AB C ；（3）()A B C ⋂⋃；（4）()AB C .【答案】（1）{}4；（2）{0,1,2,3,4,5,6,8}；（3）{}0,2,4,5,6；（4）{4,5,6}. 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求解． 【详解】∵{0,2,4,6,8},{0,1,2,3,4,5},{4,5,6}A B C ===，∵{0,2,4}A B =，{0,1,2,3,4,5,6,8}A B =，∵（1）{4}A B C =．（2）{0,1,2,3,4,5,6,8}A B C =． （3）(){0,2,4,5,6}AB C =；（4）(){4,5,6}A B C =．【点睛】本题考查交集和并集的运算，属于基础题． 18．已知0a >，0b >.（1）若0c >，证明24a b c ++≥+；（2）若a b >，证明：22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由基本不等式可得：4a b +≥，2a c +≥，24b c +≥，三个式子相加可得到结论；（2）经过变形，不等式左边2123()a ab =+--，故证明212()3()a b a b -+≥-即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论. 【详解】（1）依题意，4a b +≥4a b =时等号成立.2a c +≥，当且仅当2a c =时等号成立.24b c +≥，当且仅当24b c =时等号成立.三式相加可得，2282a b c ++≥+，即24a b c ++≥+，当且仅当24a b c ==时等号成立. （2）因为a b >，所以0a b ->.而2222222163313()122232()()ab a b a b a a a a ab b a b a b +----+=+=+--+--. 要证21232()a b a b +-≥-，即证212()3()a b a b -+≥-， 即证21()()3()a b a b a b -+-+≥-，而21()()3()a b a b a b -+-+≥=-，当且仅当21()a b a b =--，即1a b -=时等号成立，所以22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.19．已知A ＝{x |x 2﹣6x +8≤0}，B ＝{x |21x - ≥0}，C ＝{x |x 2﹣mx +6＜0}且“x ∵A ∩B ”是“x ∵C”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】112m > 【解析】 【分析】首先求解集合,A B ，和AB ，根据条件可知()A BC ≠⊂，结合二次函数()26f x x mx =-+的图像，将端点值代入建立不等关系得到m 的取值范围. 【详解】解：A ＝{x |x 2﹣6x +8≤0}＝[2，4]； B ＝{x |21x -≥0}＝[1，+∞）； ∵A ∩B ＝[2，4]．∵“x ∵A ∩B ”是“x ∵C”的充分不必要条件， ∵A ∩B ∵C ．设f （x ）＝x 2﹣mx +6，则f （2）＝4﹣2m +6＜0，f （4）＝16﹣4m +6＜0， 解得112m >．∵m 的取值范围是112m > 【点睛】本题考查了充分必要条件求参数取值范围，涉及不等式的解法，以及利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，涉及一元二次不等式给定区间恒成立的问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题型.20．已知二次函数243y x x =-+，非空集合{|0}A x x a =≤≤. (1) 当x A ∈时，二次函数的最小值为-1，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在整数a 的值，使得 “x A ∈”是“二次函数的大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a 的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)2a ≥； (2)0，1，2，3，4. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象判断a 的取值范围；（2）根据图象确定a 的取值范围，然后考虑a 的具体取值. 【详解】(1)画出二次函数243y x x =-+的图象，如图当0x a ≤≤，二次函数的最小值为-1,则a 的取值范围为2a ≥；(2）“x A ∈”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,同理由图象二次函数的 最大值为3，得04a ≤≤，所以a 可以取的整数值为0、1、2、3、4均可. （答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可）【点睛】本题考查充分条件与二次函数图象的结合，难度较易.判断过程中对于二次函数的值域可借助函数图象来分析.21．已知关于x 的不等式220x x a a -+-≤． (1)求不等式的解集A ； (2)若12a >，()1,1A ⊆-，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ，当1 2a <时，{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时， 12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时， {|1}A x a x a =-≤≤；(2)112a <<.【解析】 【分析】（1）通过因式分解得，()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，然后分3种情况，当1a a <-，1a a ，1a a 时，分别求出不等式的解集；（2）根据()1,1A ⊆-，列出不等式组，可确定实数a 的取值范围． 【详解】(1) ()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-； 当1a a （12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤； 当1a a （12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =. 所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-； 当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤. (2)由上(1)，12a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<. 【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围． 22．已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-（2）6k <-（3）k ≥【解析】【分析】(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k 的值； (2)跟据题意24240,0k k ∆=-<<解得即可, (3)根据题意,得0∆≤且0k >,由此求出k 的取值范围 【详解】(1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}|32x x x <->-或,∵k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,由根与系数的关系,得2(3)(2)k-+-=,所以25k =-；(2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ∆=-<<,解得k <(3)不等式的解集为∅,得24240,0k k ∆=-≤>,解得k ≥ 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目．。
(新教材适用)2023-2024学年高中数学第1章预备知识复习课北师大版
第1课时预备知识课后训练巩固提升一、A组1.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是().A.∁U A={x|x<1或3<x<4或x>6}B.∁U B={x|x<2或x≥5}C.A∩(∁U B)={x|1≤x<2或5≤x<6}D.(∁U A)∪B={x|x<1或2<x<5,或x>6}解析:因为集合A={x|1≤x≤3或4<x<6},所以∁U A={x|x<1或3<x≤4或x≥6},故A错误.因为B={x|2≤x<5},所以∁U B={x|x<2或x≥5},故B正确.由∁U B={x|x<2或x≥5}可得A∩(∁U B)={x|1≤x<2或5≤x<6},故C正确.由∁U A={x|x<1或3<x≤4或x≥6}可得(∁U A)∪B={x|x<1或2≤x<5或x≥6},故D错误.答案:BC2.若命题p:∃x∈R,使2x2+1≤2,则该命题的否定是().A.∃x∈R,使2x2+1>2B.∃x∈R,使2x2+1≥2C.∀x∈R,有2x2+1≤2D.∀x∈R,有2x2+1>2解析:由存在量词命题的否定,可知命题p的否定是“∀x∈R,有2x2+1>2”.答案:D3.已知集合A={x|x22x+1>0},B={y},则A∩B=().A. B.(1,+∞)C. D.∪(1,+∞)解析:∵A={x|x22x+1>0}={x|x≠1},B={y}={y},∴A∩B={x,且x≠1}.答案:D4.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.解析:由基本不等式得xy≥2+6,令=t,得不等式t22t6≥0,解得t≤(舍)或t≥3,故xy≥18,即xy的最小值为18.答案:185.已知全集U=R,集合A={x|x23x10<0},B={x|m+1≤x≤2m1}.(1)当m=3时,求集合(∁U A)∩B;(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.解:(1)集合A={x|x23x10<0}={x|(x+2)(x5)<0}={x|2<x<5},当m=3时,B={x|4≤x≤5},所以∁U A={x|x≤2,或x≥5},所以(∁U A)∩B={5}.(2)因为A∩B=B,所以B⊆A.①当B=⌀时,有m+1>2m1,解得m<2,此时满足B⊆A.②当B≠⌀时,要使B⊆A,应满足解得2≤m<3.二、B组B.5C.6D.9解析:由题意得,N={2,3,4,5,6},∴集合N中的元素个数为5.故选B.答案:B2.(多选题)以下四个命题正确的有().A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件D.设a,b∈R,且ab≠0,若<1,则>1解析:选项A为假命题,如2>322>(3)2;选项B,由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|,故B为真命题;选项C,a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b,故C为真命题;选项D,可举反例,当ab<0时,<1,但<0.故D为假命题.答案:BC3.若正实数x,y满足=1,且不等式x+<m23m有解,则实数m的取值范围是().A.(1,4)B.(4,1)C.(∞,1)∪(4,+∞)D.(∞,0)∪(3,+∞)解析:=2+≥2+2=4,则x+≥4,所以不等式x+<m23m有解,可转化为4<m23m,解得m<1,或m>4,选C.答案:C4.已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.解析:当B=⌀时,显然B⊆A,此时有m+1≥2m1,解得m≤2.当B≠⌀时,要使B⊆A,在数轴上表示出集合A,B,如图.则有解得2<m≤4.综上,实数m的取值范围为{m|m≤4}.答案:{m|m≤4}5.已知关于x的不等式ax2+(12a)x2<0(a≠0).(1)当a=3时,求不等式的解集;(2)当a<0时,求不等式的解集.解:(1)当a=3时,不等式为3x25x2<0,即(3x+1)(x2)<0,解得<x<2.所以不等式的解集为.(2)由不等式ax2+(12a)x2<0(a≠0),可得(ax+1)(x2)<0.又方程(ax+1)(x2)=0的两根为x1=,x2=2.①当>2,即<a<0时,原不等式的解集为;②当a=时,原不等式的解集为{x|x≠2};③当<2,即a<时,原不等式的解集为.。
2021_2022学年新教材高中数学第1章预备知识单元复习课第1课时预备知识巩固练习含解析北师大版必
第1课时 预备知识课后训练·巩固提升1.若全集U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A=()A.{1,4}B.{0,4}C.{2,4}D.{0,2}U={0,1,2,4},且∁U A={1,2},则集合A={0,4},故选B .2.若命题p :∃x ∈R ,使2x 2+1≤2,则该命题的否定是()A.∃x ∈R ,使2x 2+1>2B.∃x ∈R ,使2x 2+1≥2C.∀x ∈R ,有2x 2+1≤2D.∀x ∈R ,有2x 2+1>2,可知命题p 的否定是“∀x ∈R ,有2x 2+1>2”.3.已知集合A={x|x 2-2x+1>0},B={y |y =x 2+12},则A ∩B=()A.[12,+∞)B.(1,+∞)C.[12,1)D.[12,1)∪(1,+∞)A={x|x 2-2x+1>0}={x|x ≠1},B={y |y =x 2+12}={y |y ≥12}, ∴A ∩B={x |x ≥12,且x ≠1}.4.若x ∈(1,+∞),则y=3x+1x -1的最小值是.x ∈(1,+∞), ∴y=3x+1x -1=3(x-1)+1x -1+3≥2√3+3,当且仅当x=1+√33时取等号.故所求最小值为2√3+3.√3+35.已知全集U=R ,集合A={x|x 2-3x-10<0},B={x|m+1≤x ≤2m-1}.(1)当m=3时,求集合(∁U A )∩B ;(2)若A ∩B=B ,某某数m 的取值X 围.集合A={x|x 2-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},当m=3时,B={x|4≤x ≤5},所以∁U A={x|x ≤-2,或x ≥5},所以(∁U A )∩B={5}.(2)因为A ∩B=B ,所以B ⊆A.①当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2,此时满足B ⊆A.②当B ≠⌀时,要使B ⊆A ,应满足{m +1≤2m -1,m +1>-2,2m -1<5,解得2≤m<3.综上所述,实数m 的取值X 围是{m|m<3}.1.设集合M={1,2,3},N={z|z=x+y ,x ∈M ,y ∈M },则集合N 中的元素个数为()A.3B.5C.6D.9,N={2,3,4,5,6}, ∴集合N 中的元素个数为5.故选B .2.下列说法正确的是()A.若x>y>z,则|xy|>|yz|B.若1a <1b<0,则ab>b2C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a2x>a2y,则x>y中,取x=1,y=-2,z=-3,则1>-2>-3,但|1×(-2)|<|(-2)×(-3)|,所以A错误;B中,若1a <1b<0,则b<a<0,则b2>ab,所以B错误;C中,取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则-1>-2,-3>-4,但-1×(-3)<-2×(-4),所以C错误; D中,若a2x>a2y,则a2(x-y)>0,则x-y>0,则x>y,所以D正确.3.若正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,则实数m的取值X围是()A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)(1 x +4y)(x+y4)=2+y4x+4xy≥2+2√y4x·4xy=4,则x+y4≥4,所以不等式x+y4<m2-3m有解,可转化为4<m2-3m,解得m<-1,或m>4,选C.4.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值X围是.B=⌀时,显然B⊆A,此时有m+1≥2m-1,得m≤2.当B≠⌀时,要使B⊆A,在数轴上表示出集合A,B,如图.则有{m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2<m≤4.综上,实数m的取值X围为m≤4.m|m≤4}5.已知关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2<0.(1)当a=3时,求不等式的解集;(2)当a<0时,求不等式的解集.当a=3时,不等式为3x2-5x-2<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-13<x<2.所以不等式的解集为{x|-13<x<2}.(2)由不等式ax2+(1-2a)x-2<0,可得(ax+1)(x-2)<0.又方程(ax+1)(x-2)=0的两根为x1=-1a,x2=2.①当-1a >2,即-12<a<0时,原不等式的解集为{x|x<2,或x>-1a};②当a=-12时,原不等式的解集为{x|x≠2};③当-1a <2,即a<-12时,原不等式的解集为{x|x>2,或x<-1a}.6.某批发站全年分批购入每台价值为3 000元的电脑共4 000台,每批都购入x台,且每批均需付运费360元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运费和保管费共43 600元.现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.120台时,可以使资金够用.理由如下:设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比的比例系数设为k,每批购入x台,则共需分4000x批,每批价值3000x元.由题意知y=4000x×360+3000kx,当x=400时,y=43600,解得k=130,所以y=4000x ×360+100x≥2√4000x×360×100x=24000(元),当且仅当4000×360=100x,即x=120时等号成立.x故当每批购入电脑120台时,可以使资金够用.。
专题1第一章预备知识知识点与基础巩固题(原卷版)高二数学复习巩固练习(北师大版2019)
专题1北师大版（2019）第一章预备知识/1知识点与基础巩固题——寒假作业1（原卷版）集合12、集合的表示方法有：（1； （2；3 45、集合分类：（1（2（3 6、常用数集及其记法： （1）自然数集{}0,1,2,3,：记作N ； （2）正整数集{}1,2,3,：记作N N *+或；（3）整数集{}3,2,1,0,1,2,3,---：记作Z ；（4）有理数（包括整数和分数）集：记作Q ； （5）实数（包括有理数和无理数）集：记作R ；7⊆））=）；8、子集的概念：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B9、真子集的概念：若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B （真子集是除本身以外的子集）10、子集、真子集的性质： （1）传递性：若B A ⊆，C B ⊆（2（3（在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身）11、集合相等：（1）若集合A 中的元素与集合B A 等于集合B,（2。
12、n )(N n ∈；试卷第2页，总8页非空子集有21n-个；非空的真子集有22n -个；13、集合的运算：（1）交集（公共元素） ：A ∩B ＝{x|x ∈且x ∈B}； （2）并集（所有元素） ：A ∪B ＝{x|x ∈或x ∈B}； （3）补集（剩余元素） ：A C U ＝{x|x A ∉ 且x ∈U}，U 为全集。
14、集合运算中常用的结论: ①A B A B A⊆⇔= ； ②A B A B B ⊆⇔=；③A A A =；A A A =； ④;A A A ∅=∅∅=。
注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.常用逻辑用语一．知识点回顾：1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： ⑴ 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3、复合命题⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）. ⑵复合命题的真假判断“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：全假为假； “p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：全真为真； “非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 4、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.5、充分条件、必要条件与充要条件p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件; ③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件; ④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：A B ⊆,则p 是q 充分条件； ②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件; ④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件; ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件.不等式的基本知识不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5) 倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 基本不等式2a bab +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;试卷第4页，总8页如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
高中数学 专题强化训练1 预备知识(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
专题强化训练(一) 预备知识(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．0∈∅ B ．3∈Q C ．∅⊆∅ D ．A ∪∅＝∅[答案]C2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [通解 A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.优解 因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.] 3．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－2x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{3}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{3，－1} C ．{1，3}D ．{－3，－1}B [∵A ∩B ＝{3}，∴3是方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根，∴9－6＋m ＝0，解得m ＝－3，∴B ＝{3，－1}，故选B.]4．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 C [A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故选C.] 5．若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A ，1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1，0，1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B ，1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A ，故选C.]二、填空题6．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值X 围为________． (5，6] [因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3，4，5}，故k 的取值X 围为5<k ≤6.] 7．已知集合A ＝{－1，2，2m －1}，集合B ＝{2，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________． 1 [由题意得m 2＝2m －1⇒m ＝1，验证满足条件．]8．在下列结论中：①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件； ④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．正确的是________． [答案] ①③ 三、解答题9．已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋1}，B ＝{x |0＜x ＜1}，若A ∩B ＝∅，某某数a 的取值X 围．[解] 因为A ∩B ＝∅，(1)当A ＝∅时，有2a ＋1≤a －1⇒a ≤－2， (2)当A ≠∅时，有2a ＋1＞a －1⇒a ＞－2，又∵A ∩B ＝∅，则有2a ＋1≤0或a －1≥1⇒a ≤－12或a ≥2，∴－2＜a ≤－12或a ≥2，由以上可知a ≤－12或a ≥2.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，集合B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m －2＜0}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值X 围．[解] 由3－xx ＋1＞0得：－1＜x ＜3，∴A ＝{x |－1＜x ＜3}．由x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m －2＜0，得m －1＜x ＜m ＋2. ∴B ＝{x |m －1＜x ＜m ＋2}， ∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1m ＋2≤3，∴0≤m ≤1， 经检验符合题意，∴m 的取值X 围为[0，1].11．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]12．若集合M ＝{x ∈N |x 2－8x ＋7＜0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x3N ，则M ∩P 等于( )A ．{3，6}B ．{4，5}C ．{2，4，5}D ．{2，4，5，7}C [因为M ＝{x ∈N |x 2－8x ＋7＜0}＝{x ∈N |1＜x ＜7}＝{2，3，4，5，6}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 3N ，所以M ∩P ＝{2，4，5}，故选C.]13．已知集合A ＝{x |x ＞a }，B ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值X 围是( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＞3D ．a ≥3B [集合B ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，则a ≤1，故选B.]14．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是_________________．①④ [当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12Z 不满足条件，故可知②不正确；当M 中多一个元素i 则会出现1＋i M ，所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确，故答案为①④.]15．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}． (1)当m ＜12时，化简集合B ；(2)若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围；(3)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，某某数m 的取值X 围． [解] ∵不等式x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0⇔(x －1)(x －2m )＜0. (1)当m ＜12时，2m ＜1, ∴集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{x |－1≤x ≤2} ，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ＜1⇔－12≤m ＜12；②当m ＝12时，B ＝∅，有B ⊆A 成立；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时1＜2m ≤2⇔12＜m ≤1；综上所述：所求m 的取值X 围是－12≤m ≤1.(3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2⇔－32≤m＜－1；②当m ＝12时，不符合题意；③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4⇔32＜m ≤2；综上所述：所求m 的取值X 围是－32≤m ＜－1或32＜m ≤2.。
2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识单元素养测评练习含解析北师大版必修第一册
单元素养测评第一章一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解析】选B.集合A与集合B的公共元素有3，5，所以A∩B＝{3，5}．2．x＝2是x2＋x－6＝0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【解析】选A.首先x＝2⇒x2＋x－6＝0，其次x2＋x－6＝0⇔x＝2或x＝－3，则x2＋x－6＝0D⇒/x＝2，所以x＝2是x2＋x－6＝0的充分不必要条件．3．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则p为()A．∀x∈R，x2＋1>0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为∃x0∈R，x2＋1≤0.4．已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x<1}【解析】选D.由集合A中不等式解得：－1<x<1，即A＝{x|－1<x<1}，由集合B中不等式变形得：x(x－1)≤0，解得0≤x≤1，即B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x<1}．5．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B ．若a<b<0，则a 2>ab>b 2C ．若a<b<0，则1a <1bD ．若a<b<0，则b a >a b【解析】选B.对于A 选项，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 不成立；对于B 选项，因为a<b<0，在不等式a<b 两边同时乘以a(a<0)，得a 2>ab ，另一方面在不等式a<b 两边同时乘以b ，得ab>b 2，所以a 2>ab>b 2，故B 成立；对于选项C ，在a<b 两边同时除以ab(ab>0)，可得1b <1a，所以C 不成立； 对于选项D ，令a ＝－2，b ＝－1，则有a b ＝－2－1 ＝2，b a ＝12 ，b a <a b，所以D 不成立． 6．若不等式x 2－2ax ＋a>0对x ∈R 恒成立， 则实数a 的取值范围为( )A ．{a|1<a<2}B ．{a|－2<a<1}C ．{a|0<a<2}D ．{a|0<a<1}【解析】选D.由不等式对应的二次函数图象可知，需满足Δ<0，所以4a 2－4a<0，所以0<a<1.7．若x ，y 是正数，且9x ＋1y＝1，则xy 有( ) A ．最大值36 B ．最小值136C ．最小值36D ．最大值136【解析】选C.因为9x ＋1y＝1≥29xy， 所以xy≥36，当9x ＝1y， 即x ＝18，y ＝2时等号成立．所以xy 有最小值36.8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m【解析】选C.设两直角边分别为a ，b ，直角三角形框架的周长为l ，则12ab ＝2， 所以ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2 ≥2ab ＋2ab＝4＋2 2 ≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故应选择7 m 长的铁丝．二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．小王同学想用一段长为l 的细铁丝围成一个面积为s 的矩形边框，则下列四组数对中，可作为数对(s ，l )的有( )A ．(1，4)B ．(6，8)C ．(7，12)D ．(3，1)【解析】选AC.设矩形的边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，s ＝xy ， 根据基本不等式xy ≤x ＋y 2， 即s ≤l 4 ，即s≤116l 2， 对于选项A ：s ＝1，l ＝4，符合s≤116l 2，故选项A 正确； 对于选项B ：s ＝6，l ＝8，不符合s≤116l 2，故选项B 不正确； 对于选项C ：s ＝7，l ＝12，符合s≤116l 2，故选项C 正确； 对于选项D ：s ＝3，l ＝1，不符合s≤116l 2，故选项D 不正确． 10．若命题“∀x ∈R ，x 2＋2>m”是真命题，则实数m 的值可能为( )A ．－1B ．2C ．0D ．3【解析】选AC.由题意知m<x 2＋2对于x ∈R 恒成立，即m<(x 2＋2)min ，因为x 2＋2≥2，所以(x 2＋2)min ＝2，所以m<2.所以m 可能的值为－1，0.11．下列不等式不正确的是( )A ．⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2B ．x 2＋y 2xy ≥2C ．x 2＋y 22 ＞xyD ．|x ＋y|2≥|xy| 【解析】选BCD.因为x 与1x同号， 所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2， 当且仅当x ＝±1时，等号成立，A 正确；当x ，y 异号时，B 不正确；当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，C 不正确； 当x ＝1，y ＝－1时，D 不正确．12．给定数集M ，若对于任意a ，b ∈M ，有a ＋b ∈M ，且a －b ∈M ，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是( )A ．集合M ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合M ＝{n|n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合D ．若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合【解题提示】明确闭集合的定义，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可．【解析】选ABD.A.当集合M ＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M ，而2＋4∉M ，所以集合M 不为闭集合．B ．设a ，b 是任意的两个正整数，当a<b 时，a －b<0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．C.当M ＝{n|n ＝3k ，k ∈Z }时，设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a ＋b ＝3(k 1＋k 2)∈M ，a －b ＝3(k 1－k 2)∈M ，所以集合M 是闭集合．D.设A 1＝{n|n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n|n ＝2k ，k ∈Z }由C 可知，集合A 1，A 2为闭集合，2，3∈A 1∪A 2，而2＋3∉A 1∪A 2，此时A 1∪A 2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知数集{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且有下列说法：①a ＝1；②c>2；③d≠4，则满足(a ，b ，c ，d)的数值有______组．【解析】因为a ＝1，c>2，d≠4，则c 的取值可以是3或4.①c ＝3时，b ＝4，d ＝2，即数组为(1，4，3，2)；②c ＝4时，则b ＝2，d ＝3或b ＝3，d ＝2，即数组为(1，2，4，3)或(1，3，4，2).因此符合题中条件的数组(a ，b ，c ，d)有3组．答案：314．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|m≤x≤m ＋34 ，N ＝{x|n －23 ≤x≤n}，且M ，N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，那么集合M∩N 的长度的最小值是________．【解题提示】根据题意，得出M ，N 的长度，且M ，N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集，当M∩N 的长度取最小值时，m 与n 应分别在区间[0，1]的左右两端，得出m ＝0，n ＝1，求出集合M ，N ，从而得出M∩N 的长度的最小值．【解析】由题可知，M 的长度为34 ，N 的长度为23，因为M ，N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集， 当M∩N 的长度取最小值时，m 与n 应分别在区间[0，1]的左右两端，即m ＝0，n ＝1，则M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0≤x≤34 ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|13≤x≤1 ，故此时M∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|13≤x≤34 的长度的最小值是34 －13 ＝512 . 答案：51215．已知关于x 的不等式－3x 22＋(5－m)x>0的解集为{x|0<x<2}，若对于∀x ∈R ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋m)<0恒成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】不等式－3x 22＋(5－m)x>0可化为3x 2－2(5－m)x<0，因为不等式的解集为{x|0<x<2}， 所以0，2为方程3x 2－2(5－m)x ＝0的根，将x ＝2代入方程得12－4(5－m)＝0，解得m ＝2， 即对于∀x ∈R ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，当a ＝0时，显然成立，当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a<0，4a 2＋4a （a ＋2）<0，解得－1<a<0，综上可得：实数a 的取值范围为(－1，0].答案：[]－1，016．∀x ∈[0，3]，a≥x 2－2x ＋5，则a 的范围是________；∃x ∈[0，3]，a≥x 2－2x ＋5，则a 的范围是________．【解析】因为二次函数y ＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4在区间[0，1]上y 随x 的增大而减小，在区间[1，3]上y 随x 的增大而增大，所以当x ＝1时，y 有最小值为4，当x ＝3时，y 有最大值为8.因为∀x ∈[0，3]，a≥x 2－2x ＋5，所以a≥8.因为∃x ∈[0，3]，a≥x 2－2x ＋5，所以a≥4.答案：[8，＋∞) [4，＋∞)四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1，7}且A∩B ＝C.(1)求x ，y 的值；(2)A ∪B.【解析】(1)因为集合A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1，7}，A∩B ＝C ，所以x 2－x ＋1＝7，解得：x ＝－2或x ＝3.当x ＝－2时，x ＋4＝2，此时2∈A∩B ，不满足要求；当x ＝3时，x ＋4＝7，此时2y ＝－1，满足要求．故x ＝3，y ＝－12. (2)集合A ＝{2，－1，7}，B ＝{－1，－4，7}，所以A ∪B ＝{2，－1，－4，7}．18．(12分)已知命题p ：“∀－1≤x≤1，不等式x 2－x －m<0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值范围；(2)若q ：－4<m －a<4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解题提示】(1)根据命题p 是真命题，得不等式恒成立，将不等式恒成立转化为最大值成立，即可得到m 的取值范围；(2)先化简命题q ：a －4<m<a ＋4，再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得．【解析】(1)由题意m>x 2－x 在－1≤x≤1恒成立，所以m>(x 2－x)max (－1≤x≤1).因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －12 2－14 ，所以－14 ≤x 2－x≤2，即(x 2－x)max ＝2，m>2，所以实数m 的取值范围是(2，＋∞).(2)由q 得a －4<m<a ＋4，因为q ⇒p ，所以a －4≥2，即a≥6，所以实数a 的取值范围是[6，＋∞).19．(12分)设a 1>0，且a 1≈ 2 ，令a 2＝1＋11＋a 1.(1)证明： 2 介于a 1，a 2之间；(2)求a 1，a 2中哪个更接近于 2 ；(3)你能设计一个比a 2更接近于 2 的a 3吗？并说明理由.【解析】(1)(a 1－ 2 )(a 2－ 2 )＝(a 1－ 2 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋a 1－2 ＝（a 1－2）2（1－2）1＋a 1<0，故 2 介于a 1，a 2之间．(2)| 2 －a 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（1－2）（2－a 1）1＋a 1 ＝2－11＋a 1| 2 －a 1|<| 2 －a 1|，故a 2比a 1更接近于 2 . (3)a 3＝1＋11＋a 2更接近于 2 ，根据题意知：1<a 2<2. | 2 －a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（1－2）（2－a 2）1＋a 2 ＝ 2－11＋a 2 | 2 －a 2|<| 2 －a 2|，故a 3比a 2更接近于 2 .20．(12分)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，过点C 的直线l 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N.(1)若△AMN 的面积不小于50，求线段DN 的长度的取值范围；(2)在直线l 绕点C 旋转的过程中，△AMN 的面积S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的AM ，AN 的长度；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设DN ＝x(x>0)，△AMN 的面积为S ，因为△NDC ∽△NAM ，所以x 4＋x ＝6AM， 所以AM ＝6（x ＋4）x， 所以S ＝12 AM·AN ＝12 ·6（x ＋4）x·(x ＋4) ＝3·（x ＋4）2x. 由S ＝3·（x ＋4）2x≥50， 得0<x≤83或x≥6. 所以，线段DN 的长度的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，83 ∪[6，＋∞).(2)S ＝3·（x ＋4）2x＝3·⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋8 ，因为x>0， 所以S ＝3·⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋8 ≥3⎝⎛⎭⎫2x·16x ＋8 ＝48，当且仅当x ＝16x ， 即x ＝4时，等号成立，此时AM ＝12，故当AM ＝12，AN ＝8时，△AMN 的面积S 有最小值48.21．(12分)经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)，在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x－38(万元).通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(2)当产量为多少时利润最大？并求出最大值．【解题提示】(1)根据利润、销售额、成本关系，分0<x<8和x≥8两种情况，得到L 与x 的分段函数关系；(2)利用二次函数的性质、基本不等式分别求出分段函数的最大值，最后综合，即可求出最大值．【解析】(1)L(x)＝5x －W －3＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－x －100x ，x≥8. (2)当0<x<8时，L(x)＝－13 x 2＋4x －3＝－13(x －6)2＋9，所以当x ＝6时，L max1＝9. 当x≥8时，L(x)＝35－x －100x＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2100 ＝15， 当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，等号成立， 所以L max2＝15.综上，当总产量达到10万件时利润最大，且最大利润为15万元．22．(12分)已知不等式2x 2＋bx ＋c<0的解集是{x|0<x<5}．(1)求b ，c 的值；(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋bx ＋c>0，2（x ＋k ）2＋b （x ＋k ）＋c<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意实数x ∈{x|－1≤x≤1}，不等式t(2x 2＋bx ＋c)≤2恒成立，求实数t 的取值范围．【解题提示】(1)解方程⎩⎨⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2即得解； (2)化简不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x<0或x>5，－k<x<5－k ，由题得6<5－k≤7，解不等式即得解；(3)化为tx 2－5tx －1≤0在x ∈{x ∣－1≤x≤1}上恒成立，对t 分类讨论，结合二次函数的图象即得解．【解析】(1)因为不等式2x 2＋bx ＋c<0的解集是{x ∣0<x<5}，所以0，5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0.(2)由题得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x>0，2（x 2＋2kx ＋k 2）－10（x ＋k ）<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x<0或x>5，－k<x<5－k.因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6<5－k≤7， 解得－2≤k<－1，所以k 的取值范围是{k ∣－2≤k<－1}．(3)t(2x 2＋bx ＋c)≤2，即t(2x 2－10x)≤2，- 11 - 即tx 2－5tx －1≤0.当t ＝0时，显然成立； 当t≠0时，tx 2－5tx －1≤0中二次函数y ＝tx 2－5tx －1的对称轴为x ＝52 ，又－1≤x≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14 ≤t≤16 且t≠0，综上，t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|－14≤t≤16 .。
第1章预备知识 综合检测-【新教材】北师大版(2019)高中数学必修第一册期末复习
北师大新版数学必修第一册第一章预备知识综合检测题一、单选题1．命题“20,20x x x ∀>->”的否定是（ ）A ．20,20x x x ∃≤-≤B ．20,20x x x ∀≤-≤C ．20,20x x x ∃>-≤D ．20,20x x x ∀>-≤2．设全集{}0,1,2,3,4U =，已知集合{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，则如图所示的阴影部分的集合等于（ ）A ．{}0,2B ．{}3C ．{}3,4D ．{}1,43．若二次函数()221f x ax ax =++在区间[]2,3-上的最大值为6，则a =（ ）A ．13B ．13-或5 C ．13或-5 D ．13-4．若2x >，则42y x x =+-的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．85．已知集合U ={}1234567，，，，，，，A ={}245，，，B ={}1357，，，，则()UA B =（ ）A ．{}246，，B ．{}24，C ．{}245，，D ．{}2456，，， 6．命题“04a ≤<”是命题“函数21y ax ax =++R ”的（ ）C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0,0a b >>，那么“4b a ab +≤”是“9a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．如果0x R ∃∈，使20010x ax ++<成立，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞C ．[)2,+∞D ．∅9．已知实数0a >，0b >，且1111a b +=+，则2+a b 的最小值为（ ）A ．3+B ．1C ．4D ．32+10．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<<B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或11．已知2:0-<p x x ，那么命题p 的一个必要条件是（ ）A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 12．已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1(,2]0,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(2,0)(1,)-+∞D ．[2,0)[1,)-+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．二次函数()222f x x x =-+在区间[]0,3上的最大值为________．14．已知12(2)36y x x x =+>-，则y 最小值为___________． 15．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值是________．16．若不等式21x m -<成立的一个充分不必要条件为1<x <2，则实数m 的取值范围为________．三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{3B x x =<-或}1x > 求：（1）A B ；（2）()()UU A B ⋂.18．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值. 19．已知0x >，a 为大于2x 的常数. （1）求函数()2y x a x =-的最大值；（2）求12y x a x=--的最小值.20．已知二次函数22y ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{}12x x -<<，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≥，2b =，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>．21．已知集合{22}A x a x a =-≤≤+∣，{16}=≤≤∣B x x ．（1）当3a =时，求AB ，()()R RA B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知二次函数 ()f x 的值域为[4,)-+∞，且不等式0( )f x <的解集为(1,3)-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[2,2]x ∈-，都有2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，并将结论加以否定， 【详解】根据全称命题否定的定义，“20,20x x x ∀>->”的否定是“20,20x x x ∃>-≤”， 故选：C 2．B 【分析】 根据韦恩图得解 【详解】因为{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，阴影部分表示的集合为(){}3U C A B =，故选：B 3．C 【分析】讨论二次项系数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】显然0a ≠，有()()211f x a x a =+-+，当0a >时，()f x 在[]2,3-上的最大值为()3151f a =+，由1516a +=，解得13a =，符合题意； 当0a <时，()f x 在[]2,3-上的最大值为()11f a -=-， 由16a -=，解得5a =-， 所以a 的值为13或-5. 故选：C 4．C 【分析】442222y x x x x =+=-++--，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为2x >，所以20x ->，所以44222622y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立， 故42y x x =+-的最小值为6， 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5．B 【分析】利用集合补集和交集的定义运算即可． 【详解】由题意可知{}246UB =，，，所以(){}24U B A ⋂=，，故选：B 6．A 【分析】求出命题“函数y =R ”的充要条件即可判断出答案.【详解】若函数y =R ，则有210ax ax ++≥恒成立当0a =时10≥成立，当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04a <≤ 所以04a ≤≤所以命题“04a ≤<”是命题“函数y =R ”的充分不必要条件故选：A 7．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及基本不等式判断可得；【详解】解：因为0,0a b >>，若4b a ab +≤，则1401a b<+≤所以()144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+≥++=++≥+=⎪⎝⎭即当且仅当3a =，6b =时取等号；若9a b +≥，当1a =，8b =时，4b a ab +> 则“4b a ab +≤”是“9a b +≥”的充分不必要条件； 故选：A 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8．B 【分析】由题意知，只需使判别式∆大于0即可. 【详解】解：0x R ∴∃∈，使20010x ax ++<成立，240a ∴∆=->，解得：2a <-或2a >， 即a 的取值范围为()(),22,-∞-+∞.故选：B. 9．B 【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】22(1)2a b a b +=++-=()11()[21]21a b a b +++-=+()21311b a a b +++≥+，当且仅当1a =+b =故选：B. 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值． 10．B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->，因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<，即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 11．B 【分析】首先解不等式20x x -<，得到不等式的解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到结果. 【详解】2001x x x -<⇔<<，运用集合的知识易知，A 中01x <<是p 的充要条件；B 中11x -<<是p 的必要条件；C 中1223x <<是p 的充分条件； D 中122x <<是p 的既不充分也不必要条件. 故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判段，正确解题的关键是理解充分必要条件的定义.12．B【分析】分别讨论0a >和0a <，利用不等式之间的关系，求解集，利用条件33(,)44A -⊆，确定不等式关系，即可求实数a 的取值范围．【详解】由()()f x a f x +<得()[()1](1)x a a x a x ax ++-<-，即222(1)0a x a a +-<，①若0a >，则不等式等价为22(1)2a a x a -<，即212a x a-<， 若33(,)44A -⊆，则21324a a -， 即22320a a +-，解得122a -， 0a >，102a∴<． ②若0a <，则不等式等价为2210ax a +->，即212a x a -<，若33(,)44A -⊆，则21324a a -， 0a <，22320a a ∴+-， 解得2a -或12a ， 2a ∴-． 综上：102a <或2a -． 故选：B【点睛】 关键点点睛：由()()f x a f x +<化简不等式为222(1)0a x a a +-<，可得212a x a -<， 由33(,)44A -⊆得到21324a a-，为解不等式分0a >和0a <，属于中档题. 13．5【分析】 由二次函数的图象与性质，得到函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增,即可求得在区间[]0,3函数的最值得解．【详解】由题意，函数()222f x x x =-+，可得函数()f x 在区间(,1]-∞递减[1,)+∞递增 []0,3，所以函数()f x 在[0,1]递减,[1,3]递增(1)1,(3)5f f ∴==所以max (3)5y f ==故答案为：5【点睛】熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．6【分析】1244223622y x x x x x x =+=+=-++---，利用基本不等式即可求最值. 【详解】124422263622y x x x x x x =+=+=-++≥=---， 当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立， 故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．32【分析】由2x y xy +=可得112x y +=，所以()122112x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，展开后利用基本不等式即可求解.【详解】 因为0x >，0y >，且2x y xy +=， 所以112x y+=， 所以()1123122122x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+13322⎛≥+==+ ⎝故答案为：32【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.解：由题意不等式21x m -<的解为2121m x m -<<+，且1<x <2是2121m x m -<<+的充分不必要条件，所以211212m m -≤⎧⎨+≥⎩，且等号不能同时取得，则112m ≤≤， 故答案为：112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的范围，一般可根据如下规则建立不等式组：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．17．（1）{}12x x <≤；（2）{}30x x -≤≤.【分析】（1）直接求集合的交集运算解题即可；（2）先求集合A B ，的补集，再求交集即可解题.【详解】（1）因为全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{3B x x =<-或}1x > 所以A B ={}12x x <≤（2）{|0U A x x =≤，或}2x >；{}31U B x x =-≤≤()()U U A B ⋂={|0x x ≤，或}2x >{}31x x ⋂-≤≤{}30x x =-≤≤.本题考查求集合交集和补集的运算，属于基础题.18．（1）{}1,2A =--；（2）1m =或2m =【分析】（1）解方程求集合A ，（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，然后求解集合B ，根据子集关系求参数.【详解】（1）()()2320120x x x x ++=⇒++= 即1x =-或2x =- ，{}1,2A =--；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，则B A ⊆ ，()()()21010x m x m x x m +++=⇒++=解得1x =- 或x m =-，当1m =时，{}1B =-，满足B A ⊆，当2m =时，{}1,2B =-- ，同样满足B A ⊆，所以1m =或2m =.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.19．（1）28a ；（22a . 【分析】（1）利用基本不等式可求得函数()2y x a x =-的最大值；（2）将函数解析式变形为12222a x a y a x -=+--，利用基本不等式可求得函数12y x a x=--的最小值. 【详解】（1）0x ，2a x >，()()2211222222228x a x a y x a x x a x +-⎛⎫∴=-=⋅-≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当22x a x =-时，即当4a x =时，等号成立， 因此，函数()2y x a x =-的最大值为28a ； （2）2a x >，则20a x ->，112222222a x a a a y x a x a x -∴=-=+-≥=--.当且仅当1222a x a x -=-时，即当2a x =时，等号成立，因此，函数12y x a x =--2a . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．（1）2,2a b =-=；（2）见详解．【分析】（1）根据三个二次之间的关系，由不等式的解集，结合根与系数关系列出方程求解，即可得出结果；（2）讨论0a =，01a <<，1a =，1a >四种情况，分别求解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式220ax bx a +-+>的解集是{}12x x -<<， 所以1-，2一元二次方程220ax bx a +-+=的两实数根， 由一元二次方程根与系数关系，得12,212,b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩（2）由题意，得2220ax x a +-+>，所以()()120x ax a +-+>．（*）（i ）当0a =时，不等式（*）的解为1x >-．（ii ）当0a >时，不等式（*）化为()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，（**） ①当01a <<，即2a a --<时，解不等式（**）得2a x a-<或1x >-； ②当1a =，即21a a--=时，不等式（**）的解为1x ≠-； ③当1a >，即21a a--<时，解不等式（**）得1x <-或2a x a ->． 综上述，当0a =时，所求不等式的解集为{}1x x >-； 当01a <<时，所求不等式的解集为22a x x ⎧-<⎨⎩或}1x >-； 当1a =时，所求不等式的解集为{}1x x ≠-； 当1a >时，所求不等式的解集为22a x x ⎧->⎨⎩或}1x <-． 【点睛】方法点睛：求解含参数一元二次不等的一般方法为：先求不等式对应的一元二次方程的根，通过比较根的大小，进行分类讨论，分别求解，即可得出结果.21．（1）{}15A B x x ⋂=≤≤，()(){1R R A B x x ⋃<或}5x >；（2）1a ≤【分析】（1）先由3a =求出集合A ，再根据集合间的基本关系计算即可.（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，即可得出A B ，再根据集合间的基本关系计算即可.【详解】解：（1）3a =，{15}A x x ∴=-≤≤∣，{1U A x x =<-∣或}5x >，{1UB x x =<∣或}6x >， {}15A B x x ∴⋂=≤≤，()(){1R R A B x x ⋃<或}5x >；（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件， A ∴ B ，若A 是空集，则22a a +<-，解得：0a <，若A 不是空集，即：222126a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩或222126a a a a -≤+⎧⎪->⎨⎪+≤⎩， 解得：01a ≤≤.综上所述：1a ≤.【点睛】 易错点点睛：当A B 时，易忽略A 是空集的情况. 22．（1）2()23f x x x =--；（2）7m <-.【分析】（1）运用待定系数法，设2()f x ax bx c =++，由题意建立方程组，解之可得函数的解析式；（2）由（1）将问题转化为243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，令()22()4327g x x x x --=--=，运用二次函数的性质求得其最值，再由不等式恒成立的思想可求得m 的取值范围.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意可知： (1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即2()23f x x x =--； （2）由（1）得243m x x <--对[2,2]x ∈-恒成立，令()22()4327g x x x x --=--=，当[2,2]x ∈-， ()[7,9]g x ∈-， 故7m <-.【点睛】常用的不等式恒成立的思想：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于()min f x a >；()f x a <对一切x I ∈恒成立，等价于()max f x a >.。
新教材第1章 预备知识章末复习 练习(2)-北师大版高中数学必修第一册
第一章预备知识单元检测题（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，，那么（)A. B. C. D.答案：D详细分析：，，所以正确选项为D。
2.集合的真子集个数是( )A．2 B．3 C.D．255答案：B详细分析：，真子集有3个，所以正确选项为B。
3.已知满足且，下列选项中不一定．．．成立的是( )A．B．C.D．答案：C详细分析：若，则不成立，所以正确选项为C。
4.将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数式为，则的值为（）A. B.C. D.答案：C详细分析：反过来平移，的图象，，所以正确选项为C。
5.命题“对任意实数，恒成立”的否定为（）A.存在实数，B.存在实数，C.对任意实数，D.对任意实数，答案：B详细分析：命题“对任意实数，恒成立”的否定为“存在实数，”，所以正确选项为B。
6.某同学从甲地到乙地往返的速度分别为和（），其全程的平均速度为，则（)A. B.C. D.答案：A详细分析：设两地距离为，则平均速度。
因，故即；又，所以正确选项为A。
7.若，，则的最小值是( )A. B. C. D.答案：D详细分析：由，得，由均值不等式，则，所以正确选项为D。
8.“”是“一元二次不等式恒成立”的( )A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：B详细分析：由一元二次不等式恒成立，则且，所以正确选项为B。
9.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.答案：A详细分析：“”是假命题，则成立，即不等式解集非空，即解集非空，则或，解得，所以正确选项为A。
10.图中阴影表示的集合是( )A. B.C. D.答案：C详细分析：阴影部分是的一部分，并且在集合的补集中，即，所以正确选项为C。
11.正实数，满足，则的( )A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为3D. 最大值为3答案：A详细分析：，所以的最小值为，所以正确选项为A。
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新北师大版必修第一册第一章综合测试（一）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置粘贴好条形码。
2.答题要求：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题使用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x∈R|x≤3}，B={x∈R|x2-x-2>0}，则A∩B=（）.A.{x|2<x≤3}B.{x|x<-1或2<x≤3}C.{x|-1<x≤3}D.{x|x<-1}2.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）.A.命题p的否定是真命题B.命题p是存在量词命题C.命题p是全称量词命题D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题3.在直角三角形ABC中，“∠A=60°”是“sin A）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若关于x的不等式x2-x+m>0在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）.A.m>14B.m<14C.m<1D.m>15.已知命题p：∃x∈N，3x≤1，则（）.A.p是假命题；p的否定为∀x∈N，3x≤1B.p是假命题；p的否定为∀x∈N，3x>1C.p是真命题；p的否定为∀x∈N，3x≤1D.p是真命题；p的否定为∀x∈N，3x>1 6.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1}，则不等式ax2+(a+b)x+c-a<0的解集为（）.A.{x|xx} B.{x|-3<x<1}C.{x|-1<x<3}D.{x|x<-3或x>1}7.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为14500-5x kx⎛⎫+⎪⎝⎭L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则欲使每小时的油耗不超过9 L，速度x的取值范围为（）.A.40≤x≤60B.50≤x≤80C.40≤x≤80D.60≤x≤1008.已知x，y均为正实数，且111226x y+=++，则x+y的最小值为（）.A.24B.32C.20D.28二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合A={x|x≤2}，集合B={-1，0，1，2}，则下列结论正确的是（）.A.B⊆AB.A∪B=AC.A∩B={-1，0，1，2}D.A∪B=B10.已知p：x≥m，q：2+x-x2<0，下列给出的实数m的值，能使p是q的充分不必要条件的是（）.A.m=2B.m=52C.m=3D.m=-111.下列说法正确的是（）.A.∀x∈R，x2-2x+3>0均成立B.命题“∃x∈R，x2-x>0”的否定是“∀x∈R，x2-x<0”C.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件D.四边形的对角相等是全称量词命题12.已知x，y是正数，且2x+y=1，下列结论正确的是（）.A.xy的最大值为18B.4x2+y2的最小值为1C.x(x+y)的最大值为14D.2x yxy+的最小值为9第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.不等式2x2+2x-4≤12的解集为.14.若关于x的不等式mx2+mx+1>0在R上恒成立，则实数m的取值范围为.15.给出下列存在量词命题：①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2+x+1<0；③存在实数a，使函数y=ax+b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身.其中是真命题的是.(填序号)16.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93平方米，且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x=；横断面外周长的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知全集U=R，集合A={x|-1<x<1}，B=3|02x x⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，C={x|-4<x≤2a-7}，（1）求A∩(U B)；（2）若A∩C=A，求实数a的取值范围.18.（12分）在①x+1-1x(x>1)的最小值是a，②不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，再进行求解.已知.（1）解不等式2x2+(2-a)x-a>0.（2）当b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R?19.（12分）设a>0，b>0，且a+b=11a b+.证明：0<a<1与0<b<1不可能同时成立.20.（12分）已知命题甲：二次函数y=x2+2(a-1)x+a2图象与x轴无交点.命题乙：一次函数y=(a-1)x+2a+1在第一、二、四象限内有图象.请分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题.21.（12分）已知y=x2+ax+3.（1）若a=-3，试求yx(x>0)的最小值；（2）当-1≤x≤1时，y>a恒成立，求a的取值范围.22.（12分）随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段.为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售.根据测算，该企业每月生产该种玩具的成本p由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数x无关），总计2万元；②生产所需成本为5x+1200x2.（1）该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?（2）因疫情防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产x套，售价（单位：元）定为30+100x，且每月生产出的玩具能全部售出.若企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，则该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元?必修第一册 第一章综合测试（一） 数学试卷参考答案1.【答案】B【解析】∵集合A ={x ∈R|x ≤3}，B ={x ∈R|x 2-x -2>0}={x |x <-1或x >2}， ∴A ∩B ={x |x <-1或2<x ≤3}. 2.【答案】C【解析】命题p ：实数的平方是非负数，是全称量词命题，且是真命题，故p 的否定是假命题. 3.【答案】A【解析】在直角三角形ABC 中，由∠A =60°可得sin A =√32，同理由sin A =√32可得∠A =60°. 4.【答案】A【解析】关于x 的不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立，则Δ=(-1)2-4m =1-4m <0，解得m >14.5.【答案】D【解析】当x =0时，3x =0<1，故p 是真命题.p 的否定为∀x ∈N ，3x >1.故选D. 6.【答案】D【解析】由已知得方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1=-2，x 2=1且a <0，∴ba=1，ca=-2，∴不等式ax 2+(a +b )x +c -a <0可化为x 2+(1+b a )x +ca -1>0，即x 2+2x -3>0，解得x <-3或x >1. 7.【答案】D【解析】因为汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，所以15(120-k +4500120)=11.5，解得k =100，故每小时的油耗为15(x +4500x)-20L.依题意，15(x +4500x)-20≤9，解得45≤x ≤100.又因为60≤x ≤120，所以60≤x ≤100. 8.【答案】C【解析】∵x ，y 均为正实数，且1x+2+1y+2=16，∴x +y =(x +2+y +2)-4=6(1x+2+1y+2)·(x +2+y +2)-4=6×(2+x+2y+2+y+2x+2)-4≥6×(2+2√x+2y+2·y+2x+2)-4=20，当且仅当x =y =10时取等号. 9.【答案】ABC【解析】∵集合A ={x |x ≤2}，集合B ={-1，0，1，2}，∴A ∩B ={-1，0，1，2}，B ⊆A ，A ∪B =A ，故A ，B ，C 正确，D 错误.10.【答案】BC【解析】记A ={x |x ≥m }，对于q ：2+x -x 2<0，记B ={x |x <-1或x >2}.由p 是q 的充分不必要条件，得A 是B 的真子集，所以m >2，故B ，C 成立. 11.【答案】ACD【解析】A 正确，∀x ∈R ，x 2-2x +3=(x -1)2+2>0； B 错误，应为∀x ∈R ，x 2-x ≤0；C 正确，若x >1，则|x |>0，若|x |>0，则x 不一定大于1；D 正确，该命题是全称量词命题. 12.【答案】AD【解析】因为x >0，y >0，所以1=2x +y ≥2√2x ·y ，所以xy ≤18，当且仅当x =14，y =12时等号成立，所以xy 的最大值为18，故A 正确；因为4x 2+y 2=4x 2+(1-2x )2=8x 2-4x +1=8x -142+12，又y =1-2x >0，即0<x <12，所以当x =14时，4x 2+y 2取得最小值12，故B 不正确；x (x +y )=x (x +1-2x )=-x 2+x =-(x -12)2+14，因为0<x <12，所以由二次函数的图象(图略)可知-x 2+x <14，即x (x +y )<14，故C 不正确；x+2y xy=1y+2x=(2x +y )1y+2x=5+2x y+2yx ≥5+2√2x y·2yx=9，当且仅当x =y =13时等号成立，故D 正确.13.【答案】{x|-√10+12≤x ≤√10-12} 【解析】由4x 2+4x -8≤1，得4x 2+4x -9≤0，解得-1+√102≤x ≤√10-12. 14.【答案】0≤m <4【解析】因为关于x 的不等式mx 2+mx +1>0在R 上恒成立，所以分以下两种情况讨论： ①当m =0时，可得1>0，符合题意； ②当m ≠0时，有{m >0，Δ=m 2-4m <0，解得0<m <4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m <4. 15.【答案】①③④【解析】①为真命题，等底等高的两个三角形，面积相等，但不一定相似；②为假命题，对任意x ∈R ，x 2+x +1=(x +12)2+34>0，所以不存在实数x ，使x 2+x +1<0；③为真命题，当a >0时，结论成立；④为真命题，如1的倒数是它本身.故填①③④.16.【答案】2√3 6√3 【解析】设横断面的高为h ， 由题意得AD =BC +2·x2=BC +x ，h =√32x ， ∴9√3=12(AD +BC )h =12(2BC +x )·√32x ， 故BC =18x −x2，由{ℎ=√32x ≥√3，BC =18x-x2>0，得2≤x <6， ∴y =BC +2x =18x+3x 2(2≤x <6)，从而y =18x +3x 2≥2 √18x ·3x2=6√3，当且仅当18x =3x 2(2≤x <6)，即x =2√3时等号成立.17.【解析】(1)∵A ={x |-1<x <1}，B ={x|0≤x ≤32}， ∴U B ={x|x <0或x >32}，∴A ∩(U B )={x |-1<x <0}. (2)∵A ∩C =A ，∴A ⊆C ， ∴2a -7≥1，解得a ≥4， ∴实数a 的取值范围为[4，+∞).18.【解析】若选①，因为x >1，所以x +1x -1=(x -1)+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3， 当且仅当x -1=1x -1，即x =2时等号成立. 故最小值为3.所以a =3.(1)不等式2x 2+(2-a )x -a >0，即2x 2-x -3>0，解得x <-1或x >32，所以所求不等式的解集为{x |x <-1或x >32}. (2)ax 2+bx +3≥0，即3x 2+bx +3≥0，若此不等式的解集为R ，则Δ=b 2-4×3×3≤0，所以-6≤b ≤6.若选②，由题意知1-a <0且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根，所以{ 1-a <0，41-a =-2，61-a =-3，解得a =3.(1)不等式2x 2+(2-a )x -a >0，即2x 2-x -3>0，解得x <-1或x >32，所以所求不等式的解集为{x |x <-1或x >32}.(2)ax 2+bx +3≥0，即3x 2+bx +3≥0，若此不等式的解集为R ，则Δ=b 2-4×3×3≤0，所以-6≤b ≤6.19.【解析】由a +b =1a+1b=a+b ab，a >0，b >0，得ab =1.假设0<a <1与0<b <1同时成立， 则由0<a <1，0<b <1，得ab <1， 这与ab =1矛盾.故0<a <1与0<b <1不可能同时成立.20.【解析】当命题甲为真命题时，Δ=4(a -1)2-4a 2<0，即a >12. 当命题乙为真命题时，{a -1<0，2a +1>0，即-12<a <1.(1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围取并集，故a 的取值范围是{a |a >-12}.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，a ≥1；甲假乙真时，-12<a ≤12.综上可知，当甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为-12<a ≤12或a ≥1. 21.【解析】(1)当a =-√3时，yx=x +3x −√3≥2√3−√3=√3，当且仅当x =3x，即x =√3时，等号成立.∴yx(x >0)的最小值为√3.(2)当-1≤x ≤1时，不等式x 2+ax +3>a ⇔x 2+3>a (1-x ). ∵-1≤x ≤1，∴0≤1-x ≤2.当x =1时，1-x =0，x 2+3>a (1-x )对一切a ∈R 恒成立； 当x ≠1时，0<1-x ≤2，则a <x 2+31-x ，∵x 2+31-x=(1-x )2-2(1-x )+41-x =(1-x )+41-x -2≥2√(1-x )·41-x -2=2，当且仅当1-x =41-x，即x =-1时，取到等号，∴(x 2+31-x)min=2，从而a <2.综上所述，a 的取值范围为a <2.22.【解析】(1)依题意，p =20000+5x +1200x 2，则px =20000x+1200x +5≥2√20000x·1200x +5=25，当且仅当20000x=1200x ，即x =2000时取等号，所以每月生产2000套玩具时，可使平均每套所需的成本费用最少，此时每套玩具的成本费用为25元.(2)设月利润为s 元，则s =x (30+x 100)-20000+5x +1200x 2=x 2200+25x -20000≥100000， 所以x 2+5000x -24000000≥0，即(x +8000)(x -3000)≥0， 所以x ≥3000，所以30004000=75%，所以该企业的复工率至少达到75%时，才能确保月利润不少于10万元.。