第一章 电磁现象的普遍规律
[理学]第一章 电磁现象的普遍规律
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E ds dV
S 0 V
1
V
( E
1
0
)dV 0
f ds fdV
S V
1 E 0
0
E ds EdV
S V
V
EdV dV
0 V
1
0 1 严格说来： E(x) (x) 0
瞬间作用。 局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有 关，而和其他地点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元
是面元dS与球面元dS0间的夹角
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 2π d cos r r l l l
弧度
0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
dS0 d 2 4π r S S
球面度
(2)静电场的散度（divergence of electrostatic field)
z
1 qq F r 3 4 0 r
x
q’
x
o
r
x
q y
r x x
同理，q’受到q的作用力:
注意:
F F 1. 库仑定律只是从现象上给出两电 荷之间作用力的大小和方向。
2. 静止电荷对静止电荷的作用力
可有如下两种物理解释: 1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个 电荷把作用力直接施加于另一电荷上。(错误) 2. 相互作用是通过电场来传递的，而不 是直接的超距作用。(正确)
本章主要内容
电荷和电场 电流和磁场
麦克斯韦方程组
13(1)第一章_电磁现象的普遍规律
L1
I1dl1 r12 r12 3
0 J1 ( x)dV1 r12 0 dB1 ( x ) = ;B1 ( x ) = 3 4 r12 4
电流区域（闭合导体）V1产生的磁感强度B1——
年伽里略去世，牛顿出生。
麦克斯韦方程组积分、微分形式
S
D dS q0
B E dl t dS C S B dS 0 D H dl I 0 t dS C S
动方程，它在电动力学中占有重要的地位。
电荷守恒定律： 一个封闭系统的总电荷不随时间改变，这是电磁 现象的基本定律之一。实验表明，电荷不仅在一般的 物理过程﹑化学反应过程和原子核反应过程中守恒； 而且在基本粒子转化过程中也是守恒的。
洛伦兹力公式：
麦克斯韦方程组给出了电磁场运动变化的规律，
包括电荷电流对电磁场的作用。而电磁场对电荷电流
•若全空间电荷守恒，则S为无穷远界面，其上无电流流出流入：
J 0 dS 0
d J 0 dS dt dV 0
0 t
对任意变化 电流均成立
•若是稳恒电流，则要求电流不随时间 变化，进一步要求电荷分布不随时间 变化，即—— 上式表示稳定电流线是闭合的，稳恒 电流即直流电，只能通过闭合回路。 要维持电流稳恒，必须在电路中存在 非静电力，如原子力、化学力、磁力 及光子力，把电荷源源不断通过内部 从B 送往A，保持UAB不变。
但需补充的是，媒质中会出现怎样的宏观电荷电流，
以及如何确定它们。
在电磁场作用下，静止媒质中一般会发生3种过程： 极化﹑磁化和传导，其都会使媒质中出现宏观电流。在 电动力学中，处理有媒质的电磁问题时﹐需将麦克斯韦
1-电磁现象的普遍规律
E j ' dS E j ' dS cos
S
4 0 E dS ∴ n S Ei dS E j ' dS Qi / 0 Qenc / 0.
S
S i S j
0
V
9
注意这里的函数关系： E(r) , (r’) , j k , i j k , ' i x ' y ' z ' x y z
q R
在上式 [1] 中，让S面趋于一个点，得： E(r ) (r ') / 0 (r ) / 0 , O 这里， E / 0 [2]
0 2 1 J ( x ') dv ' 0 J ( x ). 4 V r
4 ( x x '),
0 J ( x ') A dv ', 4 V r
1 4 (r ) 4 ( x x) r
全空间的总电荷守恒。 2、Biot－Savart定律
dF Idl B
S
dt
V
实验表明， 电流元 Idl 在磁场中受到的作用力为：
B 为磁感应强度。
0 B 4
恒定电流产生的磁场为： V 这个式子称为Biot－Savart定律。 若电流集中在一条细导线上，导线的横截面面积为 Sn
r a
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散度的局域性质：虽然对任一个包 围着电荷的曲面都有电通量，但是散
度只存在于有电荷分布的区域内，在 没有电荷分布的空间电场的散度为零。
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§2、电流和磁场
《电动力学》郭硕鸿_第三版_答案.
1. 根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式B A B A A B A B B A rr r r r r r r r r )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇ AA A A A r r r r r )(21)(2∇⋅−∇=×∇×解1BA B A A B A B B A vv v v v v v v v v )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题∇将作用于BA vv 和又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式b a c b c a b a c vv v v v v v v v )()()(⋅−⋅⋅=××可得上式其中右边前两项是∇作用于Av 后两项是∇作用于Bv2根据第一个公式令AvB v可得证2. 设u 是空间坐标xy z 的函数证明.)()()(duA d u u A du Ad u u A u dudf u f rr rr ×∇=×∇⋅∇=⋅∇∇=∇证明1ududfe z u du df e y u du df e du df e z u f e y u f e x u f u f z y x x u z y x ∇=∂∂⋅+∂∂⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂r r r r r r )()()()(2du A d u zu dz u A d y u du u A d x u du u A d z u z A y u A x u A u A z y x z y x rr r r r r r r ⋅∇=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()()()()(3=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇z x yy z x x y z z y u x z y xe y A x A e x A z A e z A y A u A u A A zy x e e e u A r r r r rr r r r r r r r r rr )()()()()()()(duA d u e y u du A d x udu A d e x u du A d z u du A d e z u du A d y u du A d z x y y z x x y z r r r r r r r r r r ×∇=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=)()()(3. 设2'2'2')()()(z z y y x x r −+−+−=为源点'x 到场点x 的距离r 的方向规定为从源点指向场点1 证明下列结果并体会对源变数求微商(''''ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 与对场变数求微商)(ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 的关系 )0.(0,0,11,3'333''≠=−∇=⋅∇=×∇−=−∇=∇=−∇=∇r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人r 0点不成立见第二章第五节)2求均为常矢量及其中及000,)],sin([)]sin([),(,)(,,E k a r k E r k E r a r a r r rr r r r r r r r r r r r r r ⋅×∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅×∇⋅∇证明3)()()('''=∂−∂+∂−∂+∂−∂=⋅∇z z z y y y x x x r r 0'''=−−−∂∂∂∂∂∂=×∇z z y y x x z y x e e e r z y xr r r r ])'()'()')][(()[()(z y x z y x z z y y x x e z z e y y e x x e ze y e x e a e a e a r a v r v v v v v v v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂⋅++=∇⋅ ])'()'()')[((z y x z yxe z z e y y e x x za y a x a v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂= ae a e a e a z z y y x x vvvv=++=ar a r r a r a r a vv v r v v v v v v ⋅∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)()()()()( a a r a r r a v r v v v v v ⋅⋅+×∇×+∇⋅=)()()( ar a r a vvv v v ⋅∇⋅+×∇×+=)()())(sin()](sin([)]sin([000E r k E r k r k E rr r r r r r r r ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇0])sin()sin()sin([E e r k z e r k y e r k x z y x r r r r r r r r r ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ))(cos())(cos(0E k r k E e k e k e k r k z z y y x x r r r r rr r r r r ⋅⋅=++⋅=000)sin()]sin([)]sin([E r k E r k r k E rr r r r r r r r ×∇⋅+×⋅∇=⋅×∇4. 应用高斯定理证明∫∫×=×∇SVfS d f dV r r r 应用斯托克斯Stokes 定理证明∫∫=∇×LSl d S d φφr r证明1)由高斯定理∫∫⋅=⋅∇SVgS d g dV r r r即∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂S zz y y x x V zy x dS g dS g dS g dV z g y g x g )( 而dVk f yf x j f x f z i f z f y dV f x y z x y z V ])()()[(r r r r ∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=×∇∫∫ ∫−∂∂+−∂∂+−∂∂=dVi f j f zk f i f y j f k f x y x x z z y )]()()([r r r r r r 又])()()[(k S d f dS f j dS f dS f i dS f dS f f S d y Sx x y x z z x z y y z Sr rr r r ∫∫−+−+−=× ∫−+−+−=zy x y x z x z y dS i f j f dS k f i f dS j f k f )()()(rr r r r r 若令if j f H k f i f H j f k f H y x Z x z y z y x rr r r r r −=−=−=,, 则上式就是∫∫⋅=⋅∇SVH S d dV H r r r,高斯定理则证毕2)由斯托克斯公式有∫∫⋅×∇=⋅SlSd f l d f r r r r∫∫++=⋅lz z y y x x ldl f dl f dl f l d f )(rr ∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=⋅×∇S zx y y z x x y z S dS f y f x dS f x f z dS f z f y S d f )()()(r r 而∫∫++=lz k y j x i ldl dl dl l d )(φφφφr∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∇×S y x x z z y S k dS x dS y j dS z dS x i dS y dS z S d r r r r )()()(φφφφφφφ ∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=zy x dS i yj x dS k x i z dS j z k y )()()(rr r r r r φφφφφφ若令k z j y i x f f f φφφ===,,则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为,),()('''∫=VdV x t x t P r r r ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tJ ρr 证明P r 的变化率为∫=V dV t x J dtPd ''),(r r r证明∫∫∇−=∂∂=∂∂V V dV x j dV x t tP '''''''r r r r r ρ ∫∫∫⋅∇−=⋅∇−⋅∇−=∇−=∂∂V x V x dVj x j dV j x j x dV x j tP '''''''''''''''')((])()([)(r r r r r∫∫⋅−=Sx Sd j x dV j r r '若)0(,0)(,==⋅∞→∫S j S d j x S rr r 则 同理∫∫=∂∂=∂∂'')(,)(dVj t dV j t z z y y ρρr r 即∫=V dV t x j dtPd ''),(r r r6. 若m r是常矢量证明除R 0点以外矢量3R R m A r r r ×=的旋度等于标量3RR m r r ⋅=ϕ的梯度的负值即ϕ−∇=×∇A r其中R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明mr m r r m r m R m R R m A vv v v v v v v ])1[()]1([1)(1)()]1([)(3∇⋅∇−∇⋅∇−∇∇⋅+∇⋅∇=∇××−∇=××∇=×∇)0(,1)(≠∇∇⋅=r rm vr m m r r m r m R R m 1)()()1()]1([)]1([)(3∇∇⋅−×∇×∇−∇×∇×−=∇⋅−∇=⋅∇=∇vv v v v v ϕ rm m r 1)(])1[(∇∇⋅−=∇⋅∇−vvϕ−∇=×∇∴A v7有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷f ρ求1 空间各点的电场2极化体电荷和极化面电荷分布解1∫∫=⋅dV S d D f Sρrr , (r 2>r>r 1)f r r r D ρππ)(3443132−=⋅即)(,3)(123313r r r r r r r E f >>−=∴rr ερ 由)(,)(342313200r r r r Q S d E f f S >−==⋅∫ρεπεr r )(,3)(2303132r r r rr r E f >−=∴r r ρε 01时E r r r <2)EE E P e r r r r )(00000εεεεεεχε−=−=)(3]3)([)()(3310331300r rr r r r r r E P f f P r r r r r −⋅∇−−=−⋅∇−−=⋅∇−−=⋅−∇=∴ρεεερεεεεερ f f ρεεερεεε)()03(300−−=−−−=nn P P P 21−=σ考虑外球壳时r r 2 n 从介质1指向介质2介质指向真空2=n Pfr r f n P r r r rr r r P ρεερεεεσ32313203313013)1(3)(2−−=−−===r 考虑到内球壳时r r 23)(133130=−−−==r r f P rrr r rρεεεσ8内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流J f 导体的磁导率为µ求磁感应强度和磁化电流解fS f I S d D dtd I l d H =⋅+=⋅∫∫rr r r 当0,0,1===<B H I r r f rr 故时 当r 2>r>r 1时)(2212r r j S d j rH l d H f Sf l−=⋅==⋅∫∫ππr r r r r j r r r r r r j B ff rr v ×−=−=22122122)(2)(µµ 当r>r 2时)(22122r r j rH f −=ππ r j r r r B frr r ×−=2212202)(µ )2()1())()(2212000rr r r j H H M J f M M−××∇−=−×∇=×∇=×∇=r r r r r µµµµµχ )(,)1()1(2100r r r j H f <<−=×∇−=r r µµµµ指向介质从介质21(),(12n M M n Mr r rr−×=α 在内表面上0)2)1(,012212021=−−===r r rr r M M µµ故)(,012r r M n M ==×=rr rα在上表面r r 2时)1(22)(0212221211222−−−=×−×−=×−=−×===µµαr f r r fr r Mj rr r r j r r r r r M n M n rr r rrr r r rf j rr r r 2212202)1(−−−=µµ9证明均匀介质内部的体极化电荷密度P ρ总是等于体自由电荷密度f ρ的倍)1(0εε−−证明ff P E E P ρεεερεεεεεερ)1()()()(0000−−=−−=⋅∇−−=−⋅−∇=⋅−∇=r r r 10证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明1线圈1在线圈2的磁场中的受力 ∫×=23121222024l r r l d I B v v v πµ21112B l d I F d v v v×=∫∫∫∫××=××=∴12123121221210312122211012)(4)(4l l l l r r l d l d I I r r l d I l d I F v r vvv v v πµπµ )()(41221312123121212210∫∫⋅−⋅=l l l d l d r r r r l d l d II v v v v v v πµ12线圈2在线圈1的磁场中受的力同1可得∫∫⋅−⋅=21)()(41232121321212121021l l l d l d r r r r l d l d I I F v v v v v v v πµ2分析表达式1和21式中第一项为0)1()(21221212221212231212123121212=−⋅==⋅=⋅∫∫∫∫∫∫∫l l l l l l r l d r dr l d r r l d l d r r l d l d 一周v v v v v v v v 同理对2式中第一项 ∫∫=⋅210)(3212121l l r r l d l d v v v ∫∫⋅−==∴12)(421312122102112l l l d l d r r II F F v v rv v πµ11. 平行板电容器内有两层介质它们的厚度分别为l 1和l 2电容率为21εε和今再两板接上电动势为Ε的电池求1 电容器两板上的自由电荷密度f ω2 介质分界面上的自由电荷密度f ω若介质是漏电的电导率分别为21σσ和当电流达到恒定时上述两问题的结果如何解在相同介质中电场是均匀的并且都有相同指向则,)00f 2211212211==−=−Ε=+σεε介质表面上E E D D E l E l n n故122112122121,εεεεεεl l E l l E +Ε=+Ε=又根据fn n D D σ=−21 n 从介质1指向介质2在上极板的交面上 121f D D σ=− D 2是金属板故D2即12212111εεεεεσl l D f +== 而02=f σ)0(,'1'1'2'2'13=−=−=D D D D D f 是下极板金属故σ 13122121ff l l σεεεεεσ−=+−=∴ 若是漏电并有稳定电流时222111,σσjE j E r r r r == 又 ===Ε=+积稳定流动电荷不堆,2121222111j j j j j l j l n nrrr σσ 得+Ε==+Ε==+Ε==1221122212212111221121:,σσσσσσσσσσl l j E l l j E l l j j 即12212`13σσσεσl l D f +Ε==上1221122σσσεσl l D f +Ε−=−=下Ε+−=−=1221121232σσσεσεσl l D D f 中12. 证明1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时电场线的曲折满足1212tan tan εεθθ=其中21εε和分别为两种介质的介电常数21θθ和分别为界面两侧电场线与法线的夹角2当两种导电介质内流有恒定电流时分界面上电场线曲折满足1212tan tan σσθθ=其中21σσ和分别为两种介质的电导率证明(1)根据边界条件112212sin sin ,0)(θθE E E E n ==−×即vv 由于边界面上0=fσ故)(12=−⋅D D n v vv 即111222cos cos θεθεE E = 12121122,εεθθεθεθ==∴tg tg tg tg 即有(2)根据E J vv σ=可得电场方向与电流密度同方向由于电流I 是恒定的故有1221cos cos θθj j =即122211cos cos θσθσE E =而0)(12=−×E E n v vv 即 1122sin sin θθE E = 故有2121σσθθ=tg tg 13试用边值关系证明在绝缘介质与导体的分界面上在静电情况下导体外的电场线总是垂直于导体表面在恒定电流的情况下导体内电场线总是平行于导体表面证明1导体在静电条件下达到静电平衡01导体内E v∴ 而 0)(12=−×E E n v vv 02=×∴E n vv故0E v垂直于导体表面3导体中通过恒定电流时导体表面0=fσ∴导体外0,022==D E vv即 而 0:,0)(10112=⋅=⋅==−⋅E n D n D D n f v vv v v v v εσ即 01=⋅∴E n vv 导体内电场方向和法线垂直即平行于导体表面14内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器单位长度电荷为fλ板间填充电导率为σ的非磁性物质1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场2求f λ随时间的衰减规律3 求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度4求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率并证明它等于这段的静电能减少率1 证明由电流连续性方程0=∂∂+⋅∇t J f ρr 据高斯定理 D f r⋅∇=ρ 0=∂⋅∂∇+⋅∇∴tDJ rr 即0=∂∂⋅∇+⋅∇tDJ rr 0.0)(=∂∂+∴=∂∂+⋅∇∴t DJ t D J r r r r 即传到电流与位移电流严格抵消(2)解由高斯定理得∫∫=⋅dl dl r D f λπrr 2 rf r f e r E e r D rr r r πελπλ2,2==∴ 又ED E J t D J rr r r rr εσ===∂∂+,,0 t e E E tEE εσεσ===∂∂+∴0,0r r r r rt r r f e e re r r rεσπελπελ−=∴220电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律tf f e εσλλ−=∴03解re r t t D J ft f πλεσπλεσ2)2(0⋅=∂∂−=∂∂−=−r r 能量耗散功率密度σπελσρ222)2(1rJ J f ==5解 单位体积rdrl dV π2⋅= ∫==b a f f abl rdr l r P ln22)2(222πεσλπσπελr 静电能 abl dr r l dV E D W f b a f baln2212212122⋅⋅==⋅=∫∫πελπελr r 减少率 ab l t a b l t W f ff ln2ln 222πεσλλπελ=∂∂⋅−=∂∂−1. 一个半径为R 的电介质球极化强度P=K2r r电容率为(1) 计算束缚电荷的体密度和面密度(2) 计算自由电荷体密度(3) 计算球外和球内的电势(4) 求该带电介质球产生的静电场总能量解(1)2222/)11(rK r rr r K r r K P P −=⋅∇+⋅∇−=⋅∇−=⋅−∇=r r r r ρ RP P P n )(12rr r −⋅−=σ 又球外无极化电荷02=P r RK rr K n P n RRp /21=⋅=⋅=r r rr σ(2) 由公式 E D rr ε= PE D rr r +=0εεεε−=P D r r200)(rKP D f εεεεεερ−=⋅∇−=⋅∇=r r`(3)对于球外电场由高斯定理可得∫=⋅0εQs d E rr外 022002sin )(4εϕθθεεεερπ∫∫∫∫⋅−==⋅∴d drd r r KdV r E f 外r r r )(300r rεεεε−∴KRE 外同理可得球内电场20r rK Er r ⋅−εε内球外电势外外r)(rd 00εεεεϕ−⋅∴∫∞∞KRE r rrR ln)(rd rd 000rεεεεεεϕ−+−⋅⋅∫∫∞K KE E RR球内电势内外内rr r r42022020r2rr r r 2121内内内εεεεεεεεωK K K E D rr r r ⋅⋅⋅⋅⋅∴ ∫∫∫∫−⋅−⋅∴2022202)2d drd sin r r )(21d εεπεϕθθεεεωK R K V W 内内∫∫∫∫−⋅⋅−⋅=2002224200222)(2d drd sin r r 1)(21dεεεπεϕθθεεεεωRK R K V W R 外外200))(1(2εεεεπε−+=∴K R W W W 外内2 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球试用分离变数法球下列两种情况的电势1导体球上接有电池使球与地保持电势差;0φ2 导体球上带总电荷Q.解1当导体球上接有电池与地保持电势差0φ时以地为电势零点本问题的定解条件如下φφ内R=0R02外ϕ∇R>0R 且 =−==∞→0000cos φϕϕθϕR R R R E 外外0ϕ是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识可解得)cos R Ran 1n nnnn θϕ外P b ∑∞由于00cos ϕθϕ外R E R −=∞→即021210210cos )(cos cos )(cos cos a ϕθθθθθϕ+−=+++++∞→∞=+∞=∑∑R E P RbR b R b P R a R a R n n n n n n nn 外故而有)1(0),1(0,,0100>=>=−==n b n a E a a n n ϕθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又020100000cosb cos ,0φθθϕϕφϕ=+−====R b R R E R R R R 即外外故而又有=+−=+∴0cos cos 201000000θθφϕR b R E R b 得到 20010000,)(R E b R b =−=ϕφ最后得定解问题的解为)(cos )(cos 03000000R R RR E R R R E >+−++−=θϕφϕθϕ外2当导体球上带总电荷Q 时定解问题存在的方式是=∂∂−+>∇<∇∫∞→→)(ds (Rcos )(0)(00s0R 000R 0R 02020R R Q R E R R R R R 原点的电势是未置入导体球前坐标有限外外内外内外内φεφφϕϕθφφφφ解得满足边界条件的解是∑=0n n n n cos R 内θϕP a ∑=0n n1n n00cos R Rcos 外θθϕϕP b E由于∞→R 外ϕ的表达式中只出现了)1(0cos cos (1>=n b P n 项故θθθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又有0R R =外ϕ是一个常数导体球是静电平衡C R b R R E R R =+−==θθϕϕcos b cos 201000000外301201000cos cos R E b R b R E ==+−∴即θθθθϕϕcos cos 230000RR E R b R E ++外 又由边界条件Q 外∫∂∂−sds rφε 004πεQ b =∴,000R 4R R Q <−∴ϕπεϕ内023000Rcos cos R 4R R E RR E Q>+外θθπεϕ3均匀介质球的中心置一点电荷fQ 球的电容率为ε球外为真空试用分离变数法求空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较提示空间各点的电势是点电荷f Q 的电势RQ πε4f与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程解一. 高斯法在球外0R R >,由高斯定理有fP f Q Q Q Q s d E =+=⋅∫总rr 0ε对于整个导体球而言束缚电荷)0=P Q 204R Q E f πε=∴r积分后得是积分常数外C C RQ .(40f +πεϕ又由于0,0=∴=∞→C R 外ϕ)(400R R RQ f >=∴πεϕ外在球内0R R <,由介质中的高斯定理∫=⋅fQ s d D r r 又24,R Q E E D f πεε=∴=rrr积分后得到是积分常数内22f.(4C C RQ +πεϕ由于20f 44,0C R Q R Q f R R +==πεπεϕϕ故而有外内).(4400002R R R Q R Q C f f<−=∴πεπε)(44400f0ff R R R Q R Q RQ <−∴πεπεπεϕ内二. 分离变量法本题所求的电势是由点电荷f Q 与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加且有着球对称性因此其解可写作'4ϕπεϕ+=R Qf 由于'φ是球对称的其通解为R b a+='ϕ由于球心有f Q 的存在所以有∞→内R ϕ 即a4内RQ f πεϕ在球外有外0R ∞→ϕ 即Rb 4f 外R Q πεϕ 由边界条件得0f 0fRb4a 4,0R R Q R Q R ++πεπεϕϕ即外内20f20020f 0R4b 4,RR 0R Q R R Q R πεεεπεεϕεϕε−=−∂∂∂∂即外内)11(4a),11(400f 0εεπεεπε−−=∴R Q Q b f<−>∴00f00f f 00f ,444,R 4R R R Q R Q R Q R R Q πεπεπεϕπεϕ内外4 均匀介质球电容率为1ε的中心置一自由电偶极子fP r球外充满了另一种介质电容率为2ε求空间各点的电势和极化电荷分布提示同上题'431φπεφ+⋅=RR P f r r ,而'φ满足拉普拉斯方程解RR∂∂=∂∂外内φεφε21又内∑+−=∂∂l 1l 0l 31f 11l 4cos 2(0P R A R P R R πεθεφε∑−−=∂∂外l2l 0l301f 221l (4cos 2(0P R B R P RR πεθεφε比较系数)(cos θl P B00A30113012312113,24242R B A R B R A R ff=−−=+及επερεεπρ得)2(4)(2,)2(4)(22112113211211εεπερεεεεπερεε+−=+−=f fB R A 比较的系数)(cos 2θP 40224221,32R B A R B R A=ε及011(012=+R A ε所以0,022==B A 同理)3,2(,0L ===l B A l l 最后有)(,)2(4)(24cos )2(4)(2403211213132112131R R R RR R R R R R f f f f <+⋅−+⋅=+−+⋅εεπερεεπερθεεπερεεπερφrrr rr r内)(,)2(43)2(4)(24cos )2(4)(2403213211213122112131R R RR RRRRRRR f f f f f >+⋅=+⋅−+⋅=+−+⋅εεπρεεπερεεπερθεεπερεεπερφr r rrr r r r 外球面上的极化电荷密度n P P n n P r,21−=σ从2指向1如果取外法线方向则nn n n p P P )])[()])[(0102内外球外φεεφεεσ∇−−∇−=−= 0)()(0102R RRR内外∂∂−+∂∂−−=φεεφεε]cos )2(4)2(2)(2)2(4cos )(6)[()2(4cos 6)(32112121321200132102θρεεπεεεεεεεπθρεεεεεεπθρεεf f f R R R ++−−−+−−−+−−= θρεεπεεεεθρεεπεεεεεεεcos )2(2)(3cos )2(4)(6)(632112103211012201f f R R +−−=+−+−=求极化偶极子l q P f r r=可以看成两个点电荷相距l 对每一个点电荷运用高斯定理就得到在每个点电荷旁边有极化电荷 ))(1(,)1(1010f P f P q q q q −−=−−=εεεε两者合起来就是极化偶极子 f P P P r r )1(1−=εε5.空心导体球壳地内外半径为R 1和R 2球中心置一偶极子Pr球壳上带电Q 求空间各点电势和电荷分布解+⋅=∞====∇→→∞→为有限值0'1'1301022332,4,0,0r r r r r P C φφπεφφφφφr r=∂∂+∂∂−+⋅====∫∑∫∑===−+013301223131212)(cos 4,),(cos εφφθπεφφφφθφQdS rdS r P r A r r P CC CP r B R r R r l ll f R r R r l l l rr2φ=+++=+++CR A A R P C P R B R B R B f L L θπεθθcos 4cos cos 110210232222120即)4.3.2(0),3.2.1(0,0cos )4(,2111200L L =====+==l A l B R P R A C R B A l l f θπε∑∑+−−=−−=∂∂++−=+−=∂∂+−L L θφθπεθπεθφcos 2)1(cos 2cos 4cos 2311210231310113101R B R B P r B l r A R P P R lA R P r l l l f L l l f 又则∫∫∫====∂∂−02121210210344B R B R dS R B dS R B dS r ππφ000sin cos 4sin cos 22002131020*******=+=−+−=∂∂∫∫∫∫∫ππππϕθθθπεϕθθθπεφd d R R P d d R R P dS r f f 故∫∫==∂∂+∂∂−00134επφφQB r dS r 3101200004,4,4R P A R Q A Q B f πεπεπε−===最后有<<=>=<+⋅−⋅=)(,4)(,4)(,44421202203120310201R r R R QR r r Q R r R QR r P r r P f πεφπεφπεπεπεφr r r r 电荷分布在r R 1的面上313131104cos 4cos 2cos 1R P R P R P r f f f Pπθπθπθφεσ−=−+−=∂∂=在r R 2面上223042R Qr P πφεσ=∂∂−=6在均匀外电场0E r中置入一带均匀自由电荷f ρ的绝缘介质球ε求空间各点的电势解=∇++∑+061)(cos )('2'21φφρεφθφr P r B r A f l l l ll内外内φ是由高斯定理解得的f ρ的作用加上0E r的共同作用'0,cos →∞→−=r r r E φθφ外有限++∑∑+)(cos 61)(cos cos 210θρεφθθφl l e f l l l P r c r P r B r E 内外:)0R r =外内φφ++++23022010000cos P R BR B R B R E θ ++++22020120cos 610P R c R c c R f θρε即000206R B c R f =+ερ012100R c R B R E =+20232R c R B =rr ∂∂=∂∂外内φεφε∑+−−+−=∂∂)1(cos (200l l l R P B l E rθεφ外]L +++= +=∂∂∑−202101002cos 3)(cos 3P R c c R P R lc R r f l l l f εθερθερφ内LL+−−−−2423123cos2cos PRBRBRBEεθεεθε即23RBRfερ−=3112RBECεεε−−=LL42232RBRCεε−=解方程得fRBρε303−=)6131(20εερ+−=fRC33123REREB++−=εεε123εεε+−=EC及2232CRRCεε−=即0)32(2=+RRCεε022==BC同理0==llBC LL3,2=l得<+±>+−+±22223233,cos236131(6,cos)2(3cos3cosRrrERrRrrRErRErRrEfffθεεεεερερφθεεεθερθφ内外7在一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体使其中流着均匀的电流0fδ今在液体中置入一个电导率为1σ的小球求稳衡时电流和电荷分布讨论21σσ>>及12σσ>>两种情况的电流分布特点先求空间电势∇∇22外内φφ外内φφRr=因为)(Rrnn=外内δδ稳恒电流认为表面无电流堆积即nn流出流入=故rr222221外内φσφσ=并且δδ=∞→r外即θφcosrEr−=∞→外()02Ej fσ=有限内∞→rφ可以理解为在恒流时0→r的小封闭曲面流入流出这时的解即为>+−+<022121300000212,cos )2(cos ,cos 23R r rR E r E R r r E θσσσσθφθσσσφ外内求内外电场)22sin 12222(φθφθθφφφe r e r e E r rr rΦ++−=−∇=)sin (cos 23)22122(0212θθθθσσσθφφe e E e r re E r r r r rr r−+=+内内内ze E r021223σσσ+=[]θθθθσσσσθθe e r R E e e E E r r rr r r sin cos 2)2()sin (cos 212133000++−+−外[]θθθθθσσσσθθe e e rR E e e E r r r rr r r r sin cos cos 3)2()sin (cos 212133000+−+−+−−+−+30302121300cos 3)2(r E e r E R E r v v θσσσσ求电流 根据内内E j vr1σ 外外E j v v2σ 及 =⋅=r f f e r r r E rr r j E j r vr v v v5025020cos )(0θσσ得])(3[2,2335302121211000rj rrr j R j j j j f f f r rr r r r −⋅=σσσσσσσ内外内)(2cos 3)()(2121000120σσσσθεεεω−+=−=−=E E E E E n n n n f 内外8.半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质ε导体球接地离球心为a 处)(0R a >置一点电荷f Q 试用分离变数法求空间各点电势证明所得结果与镜像法结果相同提示).()(cos )(1cos 211022a R P aR a aR a R rn n n>=−+=∑∞=θθ解1分离变数法由电势叠加原理球外电势''f,4φφπεφ+RQ 外是球面上感应电荷产生的电势且满足定解条件 ==>=∇=∞→00)(,00''2R r r R r 外φφφ根据分离变数法得)(,)(cos 001'R r P r B l l l l>=∑∞=+θφ ∑∞=++−+∴0122f )(cos cos 214l l l lP rB ar r a Q θθπεφ外*)(,)(cos )(cos )(14010a r P rB P a r a Q l ll ln n n f <+=∑∑∞=+∞=θθπε 又0)(cos ])(4[100=+=∑∞=+=n l l oll fR r P R B a R a Q θπεφ外即 0)(4,...,04,0410201000=+=+=++l ll f f fR B a R a Q R B a R a Q R B a Q πεπεπε,4,4,41203100aQ a R B a Q a R B a Q R B fl l l f O fπεπεπε+−=−=−=∴代入*式得解2镜像法如图建立坐标系本题具有球对称性设在球内0r 处有像电荷'Q ,'Q 代替球面上感应电荷对空间电场的作用由对称性'Q 在O f Q 的连线上先令场点P 1在球面上根据边界条件有常数即=−==+fQ Q Q Q f Q Q r r r Q r Q f f'''',0将'Q 的位置选在使∆'Q P 1O∆f Q P 1O,则有常数aR r r fQ Q 0'=为达到这一目的令'Q 距圆心为r 0则 aR r a R R r 200000,==并有aQ R Q aR Q Q r r f f Q Q f0'0''−===−=常数这样满足条件的像电荷就找到了空间各点电势为).(],cos 2)(cos 2[414422020222'1a r aR r a R r aQ R ar r a Q r Qr Q fff >++−−+=+=θθπεπεπεφ外将分离变数法所得结果展开为Legend 级数可证明两种方法所求得的电势相等9接地的空心导体球的内外半径为R 1和R 2在球内离球心为a(a<R 0)处置一点电荷Q 用镜像法求电势导体球上的感应电荷有多少分布在内表面还是外表面解球外的电势及导体内电势恒为0而球内电势只要满足即可内01r =R φ因此做法及答案与上题同解略cos 2cos 2[412124121220θθπεφa R R aR R a QR Ra a R Q−+−−+=内因为球外0=φ故感应电荷集中在内表面并且为Q.R 1R2P210.上题的导体球壳不接地而是带总电荷Q 0,或使其有确定电势0ϕ试求这两种情况的电势又问0ϕ与Q 0是何种关系时两种情况的解是相等的解由于球壳上有自由电荷Q 0并且又是导体球壳故整个球壳应该是等势体其电势用高斯定理求得为2004R Q Q πε+所以球壳内的电势将由Q 的电势像电荷aQR 1−的电势及球壳的电势叠加而成球外电势利用高斯公式就可得故>+=<++−+−−+==)(,4)].(cos 2cos 2[412001202124121220R R RQ Q R R R Q Q a R R aR R a QR Ra a R Q πεφθθπεφφ外内或>=<+−+−−+==)(,).(cos 2cos 2[41202102124121220R R r R R R a R R a R R a QR Ra a R Q φφφθθπεφφ外内当20004R Q Q πεφ+=时两种情况的解相同11在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部如图半球的球心在导体平面上点电荷Q 位于系统的对称轴上并与平面相距为bb>a 试用电象法求空间电势解如图利用镜像法根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型可确定三个镜像电荷的电量和位置rb r Q Q rba r Qb a Q rb a r Q b a Q rr r−=−=−===−=33222211,,,θθθπεφcos 2cos 21cos 21[4224222220R b a ba Rb aRb b R Rb b R Q +++++−−+=O),20(],cos 22242a R R b a ba Rb a><≤−++πθθ12. 有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内它到两个平面的距离为a 和b 求空间电势解可以构造如图所示的三个象电荷来代替 两导体板的作用−++−+−−−+−+−=222022200)()()(1)()()(1[4b z a y x x b z a y x x Q πεφ )0,()()()(1)()()(122202220>++++−+−+++−−z y b z a y x x b z a y x x 13.设有两平面围成的直角形无穷容器其内充满电导率为的液体取该两平面为xz 面和yz 面在x 0,y 0,z 0和x 0,y 0,-z 0两点分别置正负电极并通以电流I 求导电液体中的电势解本题的物理模型是由外加电源在A B 两点间建立电场使溶液中的载流子运动形成电流I,当系统稳定时是恒定场即0=∂∂+⋅∇t j ρr 中对于恒定的电流可按静电场的方式处理于是在A 点取包围A 的包围面∫=⋅nQ s d E εr r 而又有σ⋅=⋅=∫E i s d i I rr r r }∫⋅=⇒sd E I r r σ1∴有σεεσ111I Q QI =⇒=对BQ σε1I Q Q B −=−=又在容器壁上,0=n j r即元电流流入容器壁由Ej r rσ=有0=n j r时=n E r∴可取如右图所示电像B(x 0,y 0,z 0)y14.画出函数dx x d )(δ的图说明)()(x P rr δρ∇⋅−=是一个位于原点的偶极子的电荷密度解=∞≠=0,0,0)(x x x δx x x x dx x d x ∆−∆+=→∆)()(lim )(0δδδ10)(0=≠dxxd x δ时2=∆∞−=>∆=→∆x dxx d x x 0lim )(,0x a 00δ时 +∞=∆∞−=<∆→∆xdx x d x b x 0lim )(,0)0δ15证明1)0).((1)(>=a x a ax δδ若a<0,结果如何20)(=x x δ证明1根据∑−=)(()](['kk x x x x φδφδ所以ax ax )()(δδ=2从)(x δ的定义可直接证明有任意良函数f(x),则)()(x F x x f =⋅也为良函数∫=⋅==0)()()(0x x x f dx x x x f δ16一块极化介质的极化矢量为)('x P r r 根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的静电势为∫⋅=V dV r rx P '3'4)(πεϕr r r 另外根据极化电荷公式,)(''P n x P P P r r r r r r ⋅=⋅−∇=σρ及极化介质所产生的电势又可表为∫∫⋅+⋅∇−=S V r Sd x P dV r x P 0'''0''4)(4)(πεπεϕr r r r r 试证明以上两表达式是等同的证明∫∫∇⋅=⋅=VVdV rx P dV r r x P '''0'3'01)(41)(41r r rr r πεπεϕ 又有r P r P r P p 11)1('''∇⋅+⋅∇=∇r r r 则][41])([41'''''''''0∫∫∫∫⋅+⋅∇−=⋅∇+⋅∇−=S V V V S d r P dV r P dV r P dV r P r r r r r πεπεϕ ][41][41'0'''0∫∫∫∫+=⋅+⋅∇−=S P V P S V dS r dV rdS r n P dV r P r s rr r σρπεπε刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和17证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化1 在面电荷两侧电势法向微商有跃变而电势是连续的2 在面偶极层两侧电势有跃变 P n rr ⋅=−0121εϕϕ而电势的法向微商是连续的各带等量正负面电荷密度σ±而靠的很近的两个面形成面偶极层而偶极矩密度.)lim 0l P l r rσσ→∞→=证明1如图可得,20εσss E ∆⋅=∆⋅ 022,200210=−=−=∴z z E εσεσφφεσ面z e E n r r 01112εσφ==∂∂ )(20222z e E nr −==∂∂εσφ 02211εσφφ=∂∂−∂∂∴n n 2)可得ze E r r 0εσ= 00012limlim εεσφφP n l n l E l l r r r r r r ⋅=⋅=⋅=−∴→→ 又EnE n r r =∂∂=∂∂21,φφ++z12lr.012=∂∂−∂∂∴nn φφ18.一个半径为R 0的球面在球坐标20πθ<<的半球面上电势为0ϕ在πθπ<<2的半球面上电势为0ϕ−求空间各点电势提示=−===+−=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−+∫)(,)1()(,0)0(1)1(,12)()()(642)1(531211011偶数奇数n n P P n x P x P dx x P n n n n n n n 解=∞<=∇∇∞→→0022r r 外内外内φφφφ≤<−<≤===πθπφπθφθφ2,20,)(000f R r ∑=)(cos θφl l l P r A内 这是内φ按球函数展开的广义傅立叶级数l l r A 是展开系数∫∫⋅−+=+==−πθθθφθθφ011]sin )(cos [212]cos )(cos [21200d P l d P l f R A l R l R l ll 内内]sin )(cos sin )(cos [21220200∫∫+−+=πππθθθφθθθφd P d P l l l ])()([212100010∫∫−−+=dx x P dx x P l l l φφ ∫∫+−+=−10010)()([212dxx P dx x P l l l φ由)()1()(x P x P l ll −=−则])()()1[(2121010100∫∫+−+=+dx x P dx x P l R A l ll φ∫+−+=+1010)(]1)1[(212dxx P l l l φ当l 为偶数时00=ll R A 当l 为奇数时有101101010012)()()12()(]1)1[(212+−+=+−+=−++∫l x P x P l dx x P l R A l l l l ll φφ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−+l l l ll l φ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l ll l φ )12()1(642)2(531)1()11()1(642)2(531)1(210210++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=++−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l l ll l l l φφ则 )12()1(642)2(531)1(2100++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−l l l R A l ll φ∑<++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(00210R r l P R rl l l l l l 取奇数内θφφ∑+)(cos 1θφl l lP r B 外又)12()1(642)2(531)1(])(cos [212211110++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+=−−+∫l l l P l r B l l R l lφθφ外即∑>++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(01021R r l P rR l l l l l l 为奇数外θφ。
电磁现象的普遍规律
Q
ε0
证毕
2. 多个点电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在多个点电荷时， 在封闭曲面内，存在多个点电荷时，封闭曲面的电通量
r r r r ∫∫ E • dS = ∫∫ (∑ Ei ) • dS
S S i
r r Q 1 = ∑ ∫∫ Ei • dS = ∑ i =
i S i
ε0
ε0
∑Q
i
i
3.连续分布电荷的高斯公式 连续分布电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为ρ(r), 封闭曲面的电通量为： 封闭曲面的电通量为：
求散度 当r<=a时， 时
r r Qr Q r r r E= = ( xex + yey + zez ) 3 3 4πε 0 a 4πε 0 a
r ∂Ex ∂E y ∂Ez 3Q ρ ∇•E = + + = = 3 ∂x ∂y ∂z 4πε 0 a ε0
当r>a时， 时
r r Q r ∇•E = ∇• 3 = 0 4πε 0 r
r
r r r r r ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ 4πε 0 r − r ′
2.高斯定理和电场的散度 高斯定理和电场的散度
一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。 一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。
r r Q ∫∫ E • dS =
r r r 1 lim ∫∫ E • dS = V ⋅ ∇ • E = ρ (r )V
V →0 S
ε0
r ρ (r ) ∇•E =
ε0
高斯定理的微分形式
对于电力线来说，正电荷点相当于源点， 对于电力线来说，正电荷点相当于源点，负电荷 相当于漏点。只有电荷才激发电场。 相当于漏点。只有电荷才激发电场。
第一章电磁现象的普遍规律
习题：第45页, 1，3，4，7，8，9，11，12，14
44
E
B
H
t
Jf
D t
D f
B 0
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
21
法向分量的跃变
由于柱体的厚度d趋于零，只需要考虑集中分布在界面处的面电荷
D2n
D1n
Qf S
f
P2n P1n P
E2n
E1n
D2n
D1n (P2n
0
P1n )
f
P 0
22
同理
B2n B1n 0
引入电位移矢量D和磁场强度H
D 0E P,
H
B
M
0
介质中微分形式的麦氏方程就表述为
18
E
B
H
t
Jf
D t
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
D f , B 0
P e0E, M M H
B 0(H M ) 0(1 M )H 0r H H
D 0E P 0(1 e )E 0r E E 19
这种不变性称为规范不变性．
(1)库仑规范 A 0
1
(2)洛仑兹规范 A c2 t 0
31
例 1：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场的散度。（第10页）
32
33
例2：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点 的磁场强度，并由此计算磁场的旋度． （第18页）
E dS
1
dV
S
0 V
SB dS 0
微分形式
E
B
B
t
0 J
0 0
E t
电磁现象的普遍规律
第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F为()'3''41r r rr Q Q F --=πε（1.1.1）式中0ε是真空介电常数。
（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E为()'3''41r r rr QE--=πε（1.1.2）（3）电场的叠加原理N个分立的点电荷在r处产生的场强为()'13'0'4iNi iir r r r Q E--=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''41r r rr dVr E V--=⎰ρπε（1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r为场点的坐标。
2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。
用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形）（1.1.6） 其中V 为S 所包住的体积，Sd为S 上的面元，其方向是外法线方向。
应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E（1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。
对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅VSdV dtd S d J ρ （1.2.1）或0=∂∂+⋅∇tJ ρ（1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。
电磁现象普遍规律
第四节 介质的麦克斯韦方程组
介质的概念 从电磁学的观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内
部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。研究宏观电磁 现象时，所讨论的物理量是一个包含大数目分子的小体积内 的平均值，称为宏观物理量。
在外场下，介质的带电粒子受到作用，分子电偶极矩的 取向以及分子电流的取向呈现一定的规则性，即介质的极化 和磁化。由于极化或磁化，介质内部及表面出现宏观电荷、 电流分布，称为束缚电荷、磁化电流；它们又反过来激发附 加的宏观电磁场，外场与附加电磁场叠加即为总电磁场。
▪（电）介质的极化
电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得很紧，
即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原子核有一微观的位
移，而不象导体中的电子能够脱离所属原子作宏观运动。因而电
介质亦称绝缘体。在外电场作用下达到静电平衡时，电介质内部
的场强也可以不等于零。
1. 电介质的分类
a) 有极分子：如氯化氢(HCl)、水(H2O)、氨(NH3)、甲醇
位移电流的实质是电场 的变化率，由麦克斯韦 首先引入
vv
vv
B 0J 0(J JD )
r JD
0
r E t
r JD
0
r E t
r
洛仑兹公式
场对处于其内的电荷体系的作用：
库仑定律 安培定律
v
v
dFe dV E 电荷系统单 v
v vv
v v v 位体积所受 f E J B
S
V
对任意体积V均成立，则 被积函数相等，有：
v
E 0/0
高斯定理微分形式的物理意义：静电场中，电荷是电场的源，在没有电荷分 布的地点，既无电场线发出，也无电场线终止，但可以有电场线连续通过该 处。而对于运动电荷，即非静电场，远处的场不能再用库仑定律，但高斯定 理微分形式仍然适用。
电动力学总结1-3
第一章 电磁现象的普遍规律§1电荷和静电场1.库伦定律（真空中静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力）r r Q Q F 304πε'= ；两种解释：1）超距作用：一个电荷的作用力直接施加于另一电荷；2）场传递：两电荷的作用通过电场传递——实践证明为正确的。
2.电场的描述1).点电荷电场强度30()4F Q r E x Q r πε=='；与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，是一个矢量场——静电场。
2)．场的叠加原理 n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4n ni i i i i iQ r E x E r πε====∑∑。
3).连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx rE x dV rρπε''=⎰3. 高斯定理和散度 1)0SQ E dS ε⋅=⎰；微分形式： 0E ρε∇⋅=2)旋度()01SVV E d S E d V x d V ρε'⋅=∇⋅=⎰⎰⎰⇒0E ρε∇⋅=。
4. 静电场的旋度(场的环流性质） 由环路定理()0LSE dl E dS ⋅=∇⨯⋅=⎰⎰⇒0E ∇⨯=§2.电流和静磁场1.电荷守恒定律1）电流强度和电流密度（矢量）I ：单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）；Q I t=∆；若是一个小面元，则用dI 表示，dQdI t=∆J：方向：沿导体内一点电荷流动方向；大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
cos dQ J tdS θ=∆ c o s dIJ dS θ=，cos J dI J dS J dS θ==⋅I 与J 的关系 S S I dI J dS ==⋅⎰⎰，2）电荷守恒的实验定律 积分形式： SVJ dS dV t ρ∂⋅=-∂⎰⎰；微分形式： 0J tρ∂∇⋅+=∂（恒定电流：0=∙∇J ）2.毕—萨定律闭合导线：034L Idl r B r μπ⨯=⎰；闭合导体: 034VJ rB dV r μπ⨯=⎰3.安培环路定理和磁场的旋度 1)环路定理0LB d l I μ⋅=⎰（SI J dS =⋅⎰为L 中所环连的电流强度()J J x =）。
第一章 电磁现象的普遍规律
本章要点概述1.1麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式以电荷守恒定律、库仑定律、安培定律、毕奥一萨伐尔定律和法拉第定律为主要实验基础的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式,集中地反映了电磁相互作用的普遍规律,是电动力学最主要的理论基础.电荷守恒定律电荷守恒是物理和化学过程都遵从的基本规律,其微分形式(1.1)称为电流连续性方程.其中电荷体密度ρ表示单位体积内的净电量,电流密度矢量J 的方向表示电流的流向,其数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量.在稳恒情形下，(1.1)式变为,即稳恒电流(直流电流)是无源的,其流线是连续、闭合的曲线.库仑定律与静电场库仑定律是关于静电力的实验定律——两个静止点电荷的互作用力与它们的电量乘积(1.2)是电荷在电场中受到的作用力, 是所在点的电场强度.在国际单位制中,孤立的点电荷在其周围空间任一点激发的电场强度为(1.3)是真空电容率.电场遵从叠加原理,若体积V 内电荷密度函数为,则任一点的电场强度,是所有电荷元在该点的电场强度之矢量和,即(1.4)r是电荷分布点到场点的矢径,是两者的距离,积分遍及全部电荷分布区域V .从(1.4)式可导出静电场两个微分方程，(1.5)散度方程表示电荷只直接激发它附近的电场,其积分形式是电场的高斯定理；旋度方程表示静电场是无旋场,线始发于正电荷并终止于负电荷,即线无涡旋状结构,这方程的积分形式表示静电场是保守力场.安培定律、毕奥一萨伐尔定律与静磁场安培定律是关于稳恒电流之间互作用力的实验定律.电流之间的互作用实质上通过电流的磁场传递,稳恒电流中一个电流元(或)在磁场中受到的力为(1.6)是电流元所在处的磁感应强度.毕奥一萨伐尔定律是稳恒电流激发磁场的规律,若体积V 内电流密度函数为,则任一点χ的磁感应强度为(1.7)为真空磁导率,r是电流分布点到场点的矢径,r 是两者的距离,积分遍及全部电流分布区域V ,这意味着磁场也遵从叠加原理.从(1.7)式可导出静磁场两个微分方程，(1.8)旋度方程表示电流只直接激发它附近的磁场,线在电流分布点周围形成涡旋状结构,其积分形式为安培环路定理；散度方程及其积分形式表明静磁场的线总是连续的,即磁通有连续性.由于迄今仍未找到自由磁荷(磁单极)存在的可靠证据,电荷是电磁场唯一的激发源,因此方程对于时变磁场也成立.法拉第定律与感应电场法拉第定律的物理本质是随时间变化的磁场激发电场,感应电场强度沿任意闭合回路L 的积分,正比于通过该回路所围面积S 的磁通量之时变率:(1.9)其微分形式(1.10)表示变化磁场激发的电场是有旋场,线呈涡旋状结构,这一性质与电荷直接激发的电场有明显差别.麦克斯韦方程组麦克斯韦将上述实验定律推广到普遍情形,并引入位移电流假设,得出一组描述电磁现象普遍规律的方程.这组方程现在写成，，(1.11)在的旋度方程中,就是“位移电流密度”,其实质是随时间变化的电场激发磁场.在激发源之外的真空中,这组方程表现为，，(1.12)它揭示了变化的电场与磁场互相激发转化的规律,这是时变电磁场可以脱离作为激发源的电荷电流,并以波的形式独立运动的原因.从这组方程可以导出和的齐次波动方程.电磁波在真空中的传播速度为(1.13)若将,代入(1.12)中的散度和旋度方程,将给出的散度和旋度方程,这表明,变化的电场与磁场本质上存在着对称性和统一性.洛伦兹力公式洛伦兹将库仑定律和安培定律推广到普遍情形，给出带电粒子在电磁场中受力的规律(1.14)q是粒子的电量,ν是其运动速度.电荷系统在电磁场中受到的力密度为(1.15)为电流密度.电磁场对电荷系统作的功率密度为(1.16)这表明磁场并不直接对电荷做功.麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式所描写的电磁相互作用理论,是一个线性理论,而且是局域作用理论——即电荷电流只与其所在处的和直接发生作用.1.2 电磁场的能量和动量经典理论把电磁场描述成连续分布的物质,它以波的形式运动.设想体积V 内存在电荷,电磁场通过V 的界面S 向V 内运动,由麦克斯韦方程组(1.11)和洛伦兹力公式(1.15),可以导出电磁场与电荷系统相互作用的能量守恒表达式(1.17)和动量守恒表达式(1.18)相应的微分形式为(1.19)(1.20)电磁场的能量密度,能流密度S ,动量密度g 和动量流密度张量分别是(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)(1.21)式表明,电磁场的能量密度与和的平方成正比.从(1.22)和(1.23)两式可看出,电磁场的能流密度S 与动量密度g 不仅空间取向一致,而且数值上也紧密关联,即 .事实上,真空中电磁波的能量和动量都以光速c沿着波的传播方向转移.从(1.18)式看到,电磁场动量流密度张量与作用在单位面积上的力有相同的量纲,因此也称之为电磁场应力张量,其表达式(1.24)中的是(1.21)式表示的电磁场能量密度,为单位张量. 的分量(1.25)表示单位时间通过垂直于坐标系轴的单位面积上电磁场动量流的分量,即作用在单位面积上的电磁场应力,当电磁场作用于宏观物体时,它描写物体表面受到的电磁场应力,包括法向应力和切向应力,例如静电场对导体表面施加的法向张力,磁场对磁性体表面的压力(磁压),电磁波对物体表面的辐射压力(光压).1.3 介质中的场方程与介质的电磁性质电磁场作用于介质,是场与介质内大量微观带电粒子相互作用相互制约的过程.经典电磁理论对介质极化与磁化的描述,并未涉及其中的微观动力学机制,仅以两个唯象模型——分子电偶极矩和分子电流磁矩为基础.介质极化强度和磁化强度分别定义为，(1.26)表示介质内任意一个小体积,和分别表示这体积内总的分子电偶极矩和分子磁矩.介质内束缚(极化)电荷体密度和磁化电流密度分别由下述两式描述，(1.27)当电磁场随时间变化时,将引起介质分子内束缚电荷的振动而形成极化电流.由电流连续性方程(1.1)和(1.27)的第一式,得极化电流密度(1.28)一般地,介质内电荷体密度电流密度 ,,是自由电荷密度,是传导电流密度.为使不容易被实验直接测量的,和不出现在麦克斯韦方程组中,定义辅助场量——电位移矢量和磁场强度:，(1.29)即、和有相同的量纲,、和有相同的量纲.将(1.27)、(1.28)和(1.29)代入(1.11),得介质中的麦克斯韦方程组，，(1.30)这组方程虽然形式上与真空中的麦氏方程组(1.11)相似,但它出现四个场量,,和，即使给定和的分布函数,以及一定的初条件和边界条件,从这组方程也无法解出电磁场,因而它不是完备的.原因是介质内与,与的关系没有给定,这些关系需由实验测量.在各向同性的线性介质内,实验给出，(1.31)，(1.32)介质的极化率和相对电容率均为无量纲的比例系数,是介质的电容率.介质的磁化率和相对磁导率也是无量纲的比例系数,是介质的磁导率.在电磁场作用下,导体内大量自由电子漂移运动的宏观效应使它显示出导电性.各种介质的导电性能由实验测定.线性均匀导体的导电规律由欧姆定律(1.33)描述,是导体的电导率.电磁场还使导体分子中的束缚电荷极化和磁化,因此导体也有其电容率和磁导率.各向异性介质,例如晶体,即使作用电磁场的强度相同,若和的方向不同,其极化与磁化的取向也不同,极化率和磁化率表现为张量.铁磁质和的关系是非线性而且是非单值的,需由实验测定磁化曲线和磁滞回线才能确定两者的函数关系.非线性介质的极化与磁化效应,不仅与场强和的一次幂有关,与场强的二次幂甚至高次幂也有关.从介质中的场方程(1.30),以及自由电荷受到的力密度,可以导出如同(1.19)那样的能量关系式(1.34)这里是场对介质内自由电荷作的功率密度,这部分能量通常转化成介质的热损耗.介质中的能流密度S 和能量密度的时变率分别为(1.35)(1.36)将,代入(1.36)式,得线性均匀介质内的电磁能量密度(1.37)由和的定义(1.29),上式为(1.38)右方第一项是介质内电磁场的能量密度,第二项是极化能量密度,第三项是磁化能量密度.1.4 电磁场的边值关系微分形式的麦氏方程组(1.30)适用于连续的介质内部.由于不同介质有不同的电磁性质,介质分界面上一般会出现面电荷和面电流分布,使得界面两边的场量发生跃变,因而微分形式的麦氏方程组在界面上不再适用.将这组方程的积分形式，，(1.39)应用于两种介质的分界面上,可得到电磁场的边值关系，，(1.40)是从介质1指向介质2的法向单位矢量, 为界面上的自由电荷面密度,为传导电流面密度.第一式表示界面两边的法向分量跃变由界面上的引起,第二、三式分别表示界面两边的切向分量和的法向分量连续,第四式表示界面两边的切向分量跃变由界面上的引起.将(1.27)两式相应的积分形式，，( 1.41)应用到界面上,可得界面两边极化强度与磁化强度的跃变关系，(1.42)是界面束缚(极化)电荷面密度,是磁化电流面密度.将电流连续性方程(1.1)的积分形式应用于界面,可得边值关系(1.43)σ是界面上包括自由电荷与极化电荷的面密度.电流稳恒时,(1.43)式成为 .。
第一章 电磁现象的普遍规律
三、高斯定理与静电场的散度
(3)注意电场散度的局域性 电场中某点的电场强度的散度，只与该点的电荷
密度有关，即散度只存在于有电荷分布的区域内。 (4)高斯定理的微分形式及积分形式在非稳恒情况下 也成立。
§1 电荷和电场
库仑定律 电场 高斯定理和静电场的散度 静电场的环路定理和旋度 小结
一、库仑定律
1、库仑定律的内容 在真空中，静止点电荷Q对
另一个静止点电荷Q′的作用力 F为
F
1
4 0
QQ r3
r
一、库仑定律
F
1
4 0
QQ r2
e
r
其中F 是Q′受到的力。r 是由Q指向Q′的矢量，r是
B 0
(2.12)
(1)静磁场是有旋无源场 磁场的散度方程和旋度方程各自从一个侧面反映
了静磁场的性质
三、磁场
B 0 ，说明B 的散度处处为零，磁场为
无源场。这说明不存在自由磁荷（磁单极），磁感 线总是闭合的。
B 0J ，说明磁场是涡旋场，稳恒电流激
发了静磁场。 （2）安培环路定理相当于静磁场的旋度方程
二、电荷守恒定律的数学表达式
（2）若
t
0 ，即电荷的体密度在减小，J 表 0示
该点有散发通量之正源。有电流线散发，即有电流
线从内向外穿出。
d dt
V
dV
0
表示在全空间的总电荷守恒。
二、电荷守恒定律的数学表达式
在稳恒电流场中，一切物理量不随时间变化，因 而 0 ，因此得
t
J 0
二、电荷守恒定律的数学表达式
第一章电磁现象的普遍规律
∇⋅B = 0 (1.1.23) 这个结果显示，恒定磁场是无散场，这与静电场不相同。从 恒定磁场的无散特性可以推断，它的场线必定是闭合的，由 此导致恒定磁场的旋度必定与静电场的不相同。事实上，利 用安培环路定理和斯托克斯公式就可以导出恒定磁场的旋 度满足的微分方程。安培环路定理说，静磁场对任意闭合曲 线的环路积分只与曲线所围的总电流有关：
如果导线的截面很小， 而所研究的范围又较广， 那 图 1.1.6 导线 么， 导线截面的大小可以忽略， 对导线截面积分近 似地不涉及源的位置。在这种情况下，单独对截面积分后， 就可以将上述磁感应强度积分表达式中的 jdτ ′ 用 Idl 代 替，并只对导线的长度积分：
静止的带电粒子会产生电场， 运动的带电粒子还会产生 磁场。不随时间改变的电场和磁场叫做静电场和静磁场，静 磁场也称恒定磁场。静电场和恒定磁场遵从四条重要规律：
L
∫ E ⋅ dr = −磁场强度两个辅助物理量， 麦克斯韦方程 组的其中两个方程可以改写成如下形式：
L
∫ B ⋅ dr = μ ∫∫ ⎢ j + ε ⎣
0 S
0
∂E ⎤ ⋅ dσ ∂t ⎥ ⎦
(1.2.1)
∫∫ D ⋅ dσ = ∫∫∫ ρ dτ
0 S V
∫∫ E ⋅ dS = ε
Q
0
，
∫ E ⋅ dr = 0
0
∫∫ B ⋅ dS = 0 ， ∫ B ⋅ dr = μ I
积分形式的规律反映了带电粒子对电磁场的作用的整体关 系。对应的局域关系则由它们的微分形式给出：
B (r ) =
μ0 4π
∫∫∫
j ( r ′ ) dS n dl × ( r − r ′ ) r − r′
E (r ) =
第一章 电磁现象的普遍规律
理、库仑定律、毕奥萨伐尔定律、电磁感应定律）的基础出发，进行概括提高，得到时变的所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组（描述电磁场的质的电磁性质及电磁场的能量。
r为由Q指向'Q的矢径，在静电学范围两者都能给出相同的结果。
但在运动电荷情况下，特别是电荷的对于点电荷的情形，点电荷定律指出点电荷激发的电场强度为r 为由源点（电荷Q 实验才能认为是正确的，不要想当然认为它是正确的。
式中i r 为由电荷i Q 指向场点如图取坐标系，设()'r x dV ρ'其中(-',-',r x x y y z 则坐标为(x x ,y ,z P 处的电场强度为04Vr πε⎰）。
根据库仑定律和场的叠加原理，即高斯定理和静电场环路定理。
S⎰由库仑定律可推出关于电通量的高斯定理0SQE dS ε⋅=⎰， 我们仅对点电荷Q 的场证明上式包围此点电荷．．．．．．， 所在处为坐标原点，计算通过面元2第一章 电磁现象的普遍规律220000cos 444S S S S r r πεπεεπε===⎰⎰⎰⎰若闭合曲面．．．．．S ．不包围电荷．．．．．Q ．，从物理上看，则Q 发出的电力线穿入该曲面后再穿出来，因而对电通量没有贡献。
从数学上看，两个小面积元对源点所张的立体角为零（大小相等，一正一负）。
即是公式等号两边都等于零，高斯定理得证。
0S ε=∑⎰0SVdV ρε=⎰⎰SVE dS EdV ⋅=∇⋅⎰⎰dV是任意取的闭曲面，因而V 是任意体积（这点很重要，否则无法得出被积函数相等），这就是高斯定理的微分形式。
过，无发起无终止。
体现出散度概念的局域性。
虽然对任一个包围电荷的曲面高斯定理的积分形式给出了计算对称分布电场的一个简单办法。
对于不对304LL r πε=⋅⎰⎰cos r dl rdr θ== 2001()44LL L dr Q d r r πεπε==-⎰⎰⎰ 一周时，1r回到原值1()0d r =⎰L⎰容易看出对于点电荷系上述结论成立若是电荷的连续分布，每一电荷元(可看成点电荷叠加后总电场的环量也是零。
第一章 电磁现象的普遍规律
0
Retur12n
§2 电流和磁场
电流强度：单位时间通过某一截面的电量。 I lim Q dQ t0 t dt
电流密度：方向为正电荷运动方向，大小为单位时间垂直通过 单位面积的电量。
电流强度与电流密度的关系： dI J dS
I S J dS
J 是对空间点定义的，I 是对一有限面定义的。 J 是矢量，I 是标量。
积分形式只能用于静电场；微分形式能用于随时间变化的 电场。
散度表空间某点是否有源。 8
静电场的电力线不能闭合。
E dl 0
L
单个点电荷情形，
L
E dl
Q
4 0
L
r dl r3
Q r cos dl
40 L r3
Q
4 0
L
dr r2
Q
主要性质:
x x
x a
xa
x2
x
a
dx
1
x1
0
ax 1 x
a
x2
a2
1 2a
x
a
电荷，电流（运动电荷） 电场、磁场相互激发
散度、旋度
1
§1 电荷和电场
描述电场的物理量： 电场强度。 E F q
上式给出实验上直接测量电场的方法。 要求q 是“检验电荷”（体积足够小、电量足够小的带电体）。
2
Coulomb定律：
F QQ r
4 0 r 3
F r
Q’
Q
对静电力的认识由超距作用到发展为通过电场传递的观点。 Coulomb定律的适用范围：点电荷，静电场。
1章 电磁现象的普遍规律new
§3 麦克斯韦方程组
一、麦克斯韦之前的电动力学 1、静电场（两个方程） 2、稳恒磁场（两个方程） 3、感生电场（一个方程） 4、电荷守恒（一个方程） 二、麦克斯韦之贡献：位移电流
三、电磁现象的普遍规律：麦克斯韦方程组
1、真空麦克斯韦方程组 2、讨论 正确性 完备性 自洽性 适用范围 3、关系图
四、洛伦兹力公式
连续电荷分布 F QE dF J BdV
对于连续分布电荷 f 和电流J , f 中包括 f , 和J 激发的电磁场 .
f E J B
力密度
运动点电荷
F qE qv B
对于点电荷情况 F中的E, B不包含q激发的场 , .
第一章：电磁现象的普遍规律
§1 电荷和电场 §2 电流和磁场 §3 麦克斯韦方程组 §4 介质的电磁性质 §5 电磁场边值关系 §6 电磁场的能量和能流
§1 电荷和电场
一、库仑定律 1、定义式
静止
⑤叠加原理 ⑦点电荷电荷密度 ⑧电荷分布未知，求静电场
2、几点说明
适用范围
平方反比向心力
④非超距作用
⑥电荷连续分布
二、高斯定理和电场的散度 1、积分形式 2、微分形式 3、微分形式的证明
三、环路定理和电场的旋度
1、积分形式 2、微分形式
3、微分形式的证明
说明：静电场的性质 静电势
例题：电荷Q均匀分布于半径为a的球体 内，求各点场强的散度和旋度。
§2 电流和磁场
一、电荷守恒定律
1、电流 2、电流强度 3、体电流密度 4、面电流密度 5、电荷守恒定律（积分、微分）
二、毕奥-萨伐尔定律 1、磁场的描述-磁场力-磁感应强度 2、毕奥萨伐尔定律（体、面、线分布）
第一章电磁现象普遍规律
况两种观
场传递：相互作用通过场来传递。
点等价
2. 点电荷电场强度
电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自 己周围空间激发电场。
电场的基本性质：对电场中的电荷有力的作用
电荷
电场
电荷
F Qr E(x)
Q 40 r3
描述电场的函 数----电场强度
它的方向沿试探电荷受力的方向，大小与试 探点电荷无关。给定Q，它仅是空间点函数， 因而静电场是一个矢量场。
• 它适用求解对称性很高情况下的静电场。 • 它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内
的关系，不反应电场的点与点间的关系。 • 电场是有源场，源为电荷。
高斯定理的证明（不要求掌握）
SE dS4 1 0V xSdSrr3 dV
1 E
40
V
r3xrdV
问题可利用该定理求解。
L
2、旋度方程 B0J
1）稳恒磁场为有旋场。 2）应用该公式必须在电流连续分布区域，
不连续区只有用环路定理； 3）该方程可直接由毕萨定律推出（可查阅 相应的参考书）； 4）它是讨论磁场的重要方程之一； 5）它只对稳恒电流磁场成立。
四、磁场的通量和散度方程
1、磁场的通量 BdS0 S
2、电荷守恒的实验定律
• 语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对 于开放系统，单位时间流出的总电流等于V内电量
的减少率。 全空间总电量不随时间变化
dQ dt
0
QC
一般情况积分形式
JdS
dV
流出为正， 流入为负
S
V t
一般情况微分形式
J 0
t
毕奥--萨伐尔 定律
BdS
第1章 普遍规律
r r r 对于静磁场： ∇ × B = μ 0 J 与 ∇ ⋅ J = 0 相一致
位移电流假设
r ∂ρ r r 对变化场它与电荷守恒发生矛盾 ∇⋅ J = − ≠ 0 J ≠ J (t) ∂t r r r 麦克斯韦假设存在位移电流 J D 总电流： J + J D
(
)
r r ∇ ⋅ J + JD = 0
P
∑
r E2
n
i =1
r Ei
r E
Q1
v r1 1
Qn
r E1
Qi
平行四边型法则
电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系 的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和
对连续电荷分布--电荷密度
体电荷
ΔQ dQ r = ρ ( x′ ) = lim dV ′ ΔV →0 ΔV ′
dQ= ρ dV dQ= σ ds
电动力学理论建立的主要代表人物
1785年 库仑 （Coulomb）
1820年 奥斯特（Oersted）安培（Ampere） 1831年 法拉第（Faraday）
1888年
赫兹（Hertz）
1864年 麦克斯韦（Maxwell）
1905年 爱因斯坦（Einstein）
§1. 电荷和电场
一、 库仑定律-- 静电现象的基本实验定律
v ⎧ ρ 〉 0 → ∇ ⋅ E 〉 0 ~ 正点荷为源（电力线由 此发出） v ⎪ ⎨ ρ 〈 0 → ∇ ⋅ E 〈 0 ~ 负电荷为漏（电力线由 此终结） v v ⎪ ρ = 0 → ∇ ⋅ E = 0，但E ≠ 0，电力线连续 ⎩
2、电荷对电场的作用是局域的
3、基本微分方程的普遍性
三、静电场的旋度
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第一章 电磁现象的普遍规律在《电磁学》已经学习了许多电磁现象，在那里的数学语言比较简单，比如，通常只利用到积分运算，不涉及微分运算。
在《电动力学》中，我们将使大量使用矢量微分运算等较为复杂的数学工具。
本章中，我们将利用矢量运算的语言简要回顾一下 Maxwell 方程组，为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打下基础。
§1.1 电荷与电场一、库仑定律（Coulomb ’s law)关于静电力理论的发展：1767年，普利司特利（英国）第一次提出r -2成正比；1769年，罗比生（苏格兰）验证吸引力n 略小于2，排斥力 2.06n =；1772-1773，卡文迪许验证平方反比定律；1785年，库仑发表电力平方反比定律。
卡文迪许静电学实验① 先给外球充电；② 取下外球后，测量内球带电为零；③ 给内球充一部分电，反复充放电，直至电位计刚好不偏转，此时的充电量为误差电量.结论：内球带电量不会超过外球的1/60.()21/501F r ±∝ (1.1)其中，+表示内球为正电，-表示为负电。
其理论依据：如果粒子间的吸引力随着它们之间的距离平方成反比，那么一个质量分布均匀的空心球壳对其内部的任意一质点引力合力为零（牛顿）。
卡文迪许生前未发表的电学手稿：① 关于电作用定律和电荷沿导体表面分布；② 关于电容量的确定和表示；③ 关于电介常数的测定；④ 关于导电能力的研究。
库仑定律库仑定律是描写真空中两个静止的点电荷q’和q 之间相互作用力的定律。
201ˆ4qq F r F r πε''==- (1.2)意义：使人们对电现象由定性的研究过渡到定量的研究。
其物理意义包括了：牛顿第三定律、向心力、平方反比、同性相斥异性相吸。
以下定理或事实与2r-密切相关： 高斯定理光子的静止质量为零导体内部没有净电荷……现代物理实验证实：精确程度：如果把库仑定律写成：21/F r ε+，ε的值（极限）为（2.7±3.1)×10-16. 适用尺度：r >10-16m 时，F ~r -2成立；r <10-16m 时，F ~r -2有偏差，原因：电子和质子不再是点电荷. 参见费曼、Jackson 的书讨论：库仑力① 强度：如果两个人有1%的电荷不平衡，相距1m ，他们之间的作用力多大？（1026N ）② 原子的稳定性：电子为何不落入原子核（后叙）③ 原子核的稳定性：核力短程力，下降比1/r 2更急剧. 如果核子数过多，原子核变成不稳定。
“核能”是电力足以克服核力而释放出来的“电”能.④ 电子的稳定性：电子各个部分相互排斥（自能），如果保持在一起？（不存在核力了） ⑤ 表现形式：摩擦力、肌肉张力、化学力…二、叠加原理（principle of superposition)库仑定律是针对一对点电荷成立的，若同时存在多个点电荷会如何呢？另外，自然界存在的带电体大多数为连续带电体，对这种情况，静电力又如何描述呢？实验发现，当同时存在多个电荷时，某一特定电荷所受的作用力为其他所有电荷独立施与其上的作用力的线性叠加： 31014n j i j ji i ji q q F r r πε==∑ (1.3)原理是假设性的，它并不能从理论本身中产生，其可靠性由实验来检验。
迄今为止，在经典范围内和我们可以达到的场强下还没有找到一个反例显示线性叠加原理的失效。
这个原理的核心在于：电荷之间的相互作用为两体相互作用，与第3者的存在与否、大小、正负号都没有关系。
有了这个定律，我们可以非常容易地计算连续带电体之间的相互作用力。
可以写成：三、电场（electric field ）点电荷q 在空间中所受的力由两个因素决定：① 点电荷本身的位置及其电量的大小；② 给定电荷的分布和电量的大小。
设放置电荷q 时，其余电荷保持原先的分布。
作用在电荷q 上的力仅与该电荷的电量q 及其位置有关，即与Coulomb’s law 比较：电荷连续分布时引入场量 E 以后，可认为电荷之间的相互作用不再是“超距”的，它们之间正是通过场E 的传递才发生相互作用的，电场可以在空间的无源区域存在。
四、电势§1.3 麦克斯韦方程组一、电磁感应定律的发现从1820年奥斯特发现电流的磁效应，到1825年安培完整用数学表示出电流的磁现象，物理学家认为这就是电与磁全部内容。
按照安培的观点：静止的电荷会对电荷产生作用，运动的电荷会对磁铁产生作用，磁的本质也是一种电流，磁力是电流对电流的一种电动力。
至此，人们关于电和磁的知识具备完备性。
对称思维方法：如果自然界有某一现象，一定存在这一现象对称的现象。
在法拉第看来，电和磁是一对和谐的对称现象，如果把其中一种实体约化为另一种实体的某种特殊形式，就破坏了自然的对称性。
法拉第：既然磁是电流产生的，按照对称性，电流也应该是磁产生的。
Faraday 总结大量实验建立了描述磁产生电的电磁感应定律．对一个闭合的线圈，Faraday 的实验表明：（1） 仅当通过这个线圈的磁通量产生变化时，线圈之中才会产生感应电流；（2） 电流的大小与线圈材料的电导成正比（同样形状的线圈，线圈材料的导电性越好，电流越大）这第二个性质预示着电磁感应效应中更基本的物理量应当是电动势，而不是电流。
总结了大量的实验，Faraday 给出了感应电动势的定量表达式 S d B dS dt ε=⋅⎰ (1.4)感生电动势（电流）的方向是由楞次给出的，用物理的语言表示，即“感生电流的产生是用来抵消磁通量的改变的” 。
这条规律其实正是能量守恒的必然要求 （思考一下假如感生电流的产生是增强磁通量的改变，则世界会变成什么样子？） ！总结法拉弟和楞次的贡献，完整的电磁感应定律是S d B dS dt ε=-⋅⎰ (1.5)显然，磁通量的改变可以由两种机制产生：（1）磁场本身发生变化（B 变，称之感生电动势） ；（2）回路相对磁场发生变化（ds 变，称之为动生电动势） 。
注意到电动势的定义为外力将单位电量的电荷在环路上驱动一周所提供的能量，即 1K W F dl q qε==⋅⎰其中K F 为电荷受到的力），则可以将电动势改写成 K E dl ε=⋅⎰ (1.6) 其中/K K E F q =具有和静电场同样的量纲，对电荷来讲，它既能感受到静电场的静电力， 也能感受到非静电起源的这个场的作用力，因此后者也称为一种电场，尽管其为“非静电来源的电场”。
(1.5)式可改写成K L S d E dl B dS dt ⋅=-⋅⎰⎰ (1.7) 利用斯托克斯定理: K L S E dl E dS ⋅=∇⨯⋅⎰⎰。
因为线圈回路是任意的故积分曲面是任意的，所以得到K B E t ∂∇⨯=-∂ (1.8) 此即是电磁感应定律的微分形式, 式中的K E 和B 是相对于同一参考系定义的。
第二种情况要复杂许多，因为此时线圈在运动，此时线圈内的电荷受到的驱动电场是在一个相对于实验室运动的坐标系中的电场，用E '表示。
E '与B 的关系是两个相对运动的坐标系中场的关系。
对这个问题的深入理解，我们将推迟到学习相对论时进行。
(1.8)式显示：当磁场发生变化时，1）空间中会激发出类似静磁场的（这里0/B μ-等价于电流密度）蜗旋电场；2）这种电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场产生的；3）它们的存在并不依赖于有没有线圈，线圈中产生电流只是一个探测手段；4） 和静电场一样对电荷产生驱动力()S K F q E E =+，因此对电荷来讲，它感知到的就是空间的总场S K E E E =+，无论来源。
0 0SE E ρε⎫∇⋅=⎪⎬⎪∇⨯=⎭S 纵场0 E B E t ⎫∇⋅=⎪⎬∂∇⨯=-⎪∂⎭K K 横场 电场基本方程 0()()()()r E r B r E r t ρε⎧∇⋅=⎪⎪⎨∂⎪∇⨯=-⎪∂⎩ (1.9)佯谬：圆盘转动吗？当某种原因，电池供电断电（或超导的温度升高超过临界温度），电流停止，圆盘会转动吗？① 电流I ↓→磁场减少→产生E →小球受力→圆盘转动；② 整个系统合力矩为零，角动量为守恒量→圆盘不动.二、麦克斯韦方程组前面几节中，我们讲述了电磁现象的基本实验定律，现总结如下： 0 0S E E ρε⎫∇⋅=⎪⎬⎪∇⨯=⎭S 静止电荷 00 S S B B j μ⎫∇⋅=⎪⎬∇⨯=⎪⎭稳定电流K B E t ∂∇⨯=-∂ 它们分别都有自己的适用条件和范围。
在一般的情况下，所有的场量及激发它们的源（,j ρ）都可能随时间变化，此时描述它们行为的电磁规律是什么呢？从物理层面看，这些方程有变化的磁场产生电场，但缺少变化的电场产生磁场的对称性；从数学层面看，有B E t ∂∇⨯=-∂项，但缺少对称项E B t∂∇⨯=∂。
Maxwell 仔细研究了这个问题，总结出了Maxwell 方程组。
让我们假设自己就是当年的Maxwell ，面对已经建立的实验定律思考一下一般的规律应当是怎样的。
第一条方程0E ρε∇⋅=S 是由库仑定律导出的．它的直观物理图像是单位电荷激发01/ε根电场线。
在普遍情况下，电场可以随时间变化，电场的变化有两种可能的起源：1）源电荷运动； 2）总电场中含有感应电场K E .对第一个可能，电荷运动是其发出的电力线将跟随它运动，因此在 t 时刻在 r 位置处做一无限小的闭合区间，可以预期此时刻电场线通过表面的总数仍然与其中的电量成正比。
对第二个可能，注意到K E 与静磁场非常类似，是围绕着磁场变化产生的蜗旋场，而这种电场场线显然是连续无源的，可以预期0K E ∇⋅=。
综合这两个考虑，对空间的总电场来说，()()0,,S K r t E r t E E ρε∇⋅=∇⋅∇⋅=+ (1.10)注：直接从电磁感应定律的原始形式不能推出感应电场为无源场0K E ∇⋅= 的结论的。
这应当是 Maxwell 做的合理推广，正确与否被后来的无数实验所验证。
有机会查查历史上Maxwell 当时是怎样得到这个结论的。
第二条方程在普遍情况下电场应当是总场，故其旋度为 ()S K B E r t E E t ∂∇⨯+=∇⨯∇⨯=-∂+ (1.11) 第三条方程 虽然0B ∇⋅= 是对静磁场推出的，我们注意到在推导的过程中并没有利用到电流必须稳恒的条件（即()0j r ''∇⋅=）。
从物理上讲，散度刻画的是场线是否有奇点（源），自然界不存在磁荷，可以想象即使在物理量随时间变化时磁场线仍然连续。
综合以上考虑，在一般情况下的一个大胆而合理的推论是磁场的高斯定理仍成立：(),0B r t ∇⋅≡ (1.12) 但这个推广必须与其他定律（注意这里我们已经推广了2条方程！）不互相矛盾，不妨对与磁场关联的法拉第定律两边取散度()()B E B t t ∂∂∇⋅∇⨯=-∇⋅=-∇⋅∂∂ 因为()0E ∇⋅∇⨯=，故()0B t ∂∇⋅=∂，即B ∇⋅= 常数（与时间无关），此常数决定于初始时刻的值。