第七章_玻耳兹曼统计 热力学统计物理

热统

13
3. 熵
由 得
积分因子 1/T
dQ dU Ydy dS T T
dQ dU Ydy
应用7.1.4 和7.1.6式
ln Z1 1 ln Z1 Nd ( ) N dy y
等式两边同乘β：
(dU Ydy ) N d (
ln Z1 lwenku.baidu.com Z1 ) N dy y
fl l y
而
Z1 l e l
l 0

且 每个粒子受力：
所以
Z1 Z1 ( , y )
热统

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求全微分
ln Z1 ln Z1 d ln Z1 d dy y
y
d (
ln Z1 ln Z1 ln Z1 ) d d( )
应用6.6.4式
S k ln
玻尔兹曼关系
热统
l ln
l
al

16
S k ln
某个宏观态对应的微观状态数越多，它的混乱度越大，熵也越大。
说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数 2、满足经典极限条件的不可分辨（玻色，费米）系统
ln Z1 U N
熵
1 其中令 kT
k是玻耳兹曼常量
ln Z1 S Nk (ln Z1 ) 热统

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三、熵的统计意义
S Nk (ln Z1 ln Z1 )
e
ln Z1 U N
N Z1
Nk ln Z1 kU
ln Z1 ln N
热统

2
4、与经典描述之间的关系 对于宏观大小的容积， 是很小的量，量子描述趋近于
经典描述。
以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为 xp 。
p
p p
h 由于不确定关系， xp 。 即在体积元 h 内的各运动状态， 它们的差别都在测量误差之内， 即被认为是相同的！
一个量子态对应粒子相空间的
热统
能级变 分布不变

10
dU a l d l l dal
l 0 l 0


能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。
l 每个粒子受力：f l y
能级变 分布不变
外界对系 统的力
经典极限条件
e 1
3 2

e

N Z1
V 2 mkT e N h2
1
经典条件下： 1、N/V愈小，即气体愈稀薄 2、温度愈高
热统
3、分子的质量愈大

22
德布罗意波长
h h p 2m
3
V 2 mkT e N h2
之前求得 (dU Ydy ) Nd ( ln Z1 ) N ln Z1 dy
d ( N ln Z1 N ln Z1 )
由 得到
dQ dU Ydy dS T T
β 与1/T都是积分因子
ln Z1 N dS d (ln Z1 ) T ln Z1 Nkd (ln Z1 )
粒子数
a
l
l
N,
a
l l
l
E;
a1
a2
al
N! M . B {a l } lal A. 玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） al ! l
B. 玻色分布 B.E C. 费米分布
分布对应的微观态数
(l al 1)! a !( 1)! l l l
l
l al 功 Ydy dy y l
广义力统计表达式
热统
al d l
l

11
热统

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dU a l d l l dal
l 0 l 0


能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。
e (

l 0

l e )
l
N Z 1 ln Z 1 内能的统计表达式 ( ) N Z1
2. 功
l
dU dW dQ
l

1
0
al '
能级不变 分布变
al
1
0
l'

U
al
al l
l 0

1'
0'

Nk ln N Nk kU
k[ N ln N N U ]
N al
l 0
k[ N ln N ( l )al ]
l
U al l
l 0
k[ N ln N al lnl al ln al ]
l l
a l l e l
2m 3 / 2 Z1 V ( 2 ) h
热统

21
三、物态方程
N ln Z 1 p V
2m 3 / 2 Z1 V ( 2 ) h
N 3 2m [lnV ln( 2 )] V 2 h
NkT p V
四、内能
U N ln Z1 3 2m 3 N [lnV ln( 2 )] U NkT 2 h 2
l
a
l
l
N,
a
l l
l
E;
al l e
l
热统

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§7.1 热力学量的统计表达式
一、玻耳兹曼分布
a l l e l
N a l l e l
l 0 l 0


U
令
al l
l 0 l 0
热统

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h0对经典统计结果的影响 对经典分布
e N Z1
al
l l e h0r
Z1 e
d r h0
al
N l l e Z1 h0r
不含有
h0r
ln Z1 U al l N l
ln Z1 S Nk (ln Z1 ) k ln N !
NkT ln Z1 kT ln N !
热统

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四、经典统计表达式
所有热力学量都可以通过配分函数表示。 经典表达式

l l r h0
Z1 l e
l 0
l
l l r e l 0 h0

Z1
e

d [ q , p ] dq1 dqr dp1 dpr e r r h0 h0
能级不变 分布变
Y
l
l a l l l e l y y l
e (
1 l e l ) y l
N 1 1 ln Z1 Z1 N Z 1 y y
N ln Z 1 p V
对于定域系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk (ln Z1 )
NkT ln Z1
满足经典极限条件的玻色、费米系统
F U TS
N ln Z1 ln Z1 TNk (ln Z1 ) kT ln N !
l 0
二、配分函数
7.1.18式
Z1 e

2m
2 2 ( px p 2 pz ) y
dxdydzdpx dp y dpz h3

1 3 h
dxdydz e

p 2 x
2m
dpx e
p 2 y
2m
dp y e

2 pz
2m
dpz
P366 附录C
a l l e l
al
e
l
l
1
热统
F .D
l ! l al !(l al )!

6
al
e
l
l
1
e 1

a l l e l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在 平衡态遵从玻尔兹曼分布。
系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。
Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量都确定。
热统

4
几何表示： μ –空间 N 个代表点。
玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。 3、 量子系统的微观状态
粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量 子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。
泡利不相容原理： 自旋半整数的粒子，在一个量子态 不可能有一个以上的粒子。
一个 h 大小的体积元（相格）。
p
o
x
x x
L
x
热统

3
二、系统微观运动的描述
1、全同和近独立粒子的宏观系统 全同粒子 近独立粒子
具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的
微观粒子 粒子之间的相互作用可以忽略不计。
系统粒子数
N
能量 E i
N i 1
2、 经典微观系统的运动状态
粒子可分辨。
热统

7
定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡 位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根 据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做 可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统（定域系统） 遵从玻尔兹曼分布。 玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）
N! M . B {a l } lal al ! l
能级变 分布不变
能级不变 分布变
dU dW dQ
Ydy al d l
l
第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改变而引起的内能变化， 代表过程中外界对系统所作的功； 第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化，代表过程中 系统从外界吸收的热量，粒子激发。也就是说在无穷小过程中系统从外界吸收的热量 等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。热量是热现象中特有的宏观量，没有 与热量相对应的微观量。
l l e
l 0

l
Z1 l e l 叫配分函数，partition function
N Z 1e

则
e
热统

N Z1

9
二、热力学量
1. 内能
l 0
e
N Z1
Z1 l e l
l 0

U ll e l
自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、 玻色粒子。
光子(自旋 1 )、声子 (自旋 1 )、等 自旋整半数粒子－费米分布、费米粒子。 电子、质子、夸克等 （自旋 1/2 ）
热统

5
4、分布的定义 能级 简并度
1
1
E , N ,V 确定的宏观态
2
2

l
l

al 表示一个分布，满足
a
2
1
1 h 2 mkT
1
2
n 3 1,
d n 1/ 3
d
经典理论的适用范围：分子德布罗意波的平均热波长远小于分子间的平均间距。 或者说在体积V内平均粒子数远小于1。量子效应不明显
热统

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§7.3 麦克斯韦速度分布率
一、思路
对于玻色、费米分布
1 ln Z1 Y N y
N ln Z 1 p V
B.E .
M .B. F . D. N!
ln Z1 S Nk (ln Z1 ) k ln N !
热统
M .B S k ln N!

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自由能
lnZ1是以β ,y为变量的特性函数，对应简单系统的F(T,V)。
与h0有关
与h0无关
l 1 ln Z1 Y al N y l y
热统
绝对熵的概念是量子理论的结果。

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§7.2 理想气体的物态方程
一、理想气体：单原子
气体分子之间的相互作用势能被忽略。
1 2 ( p x p 2 pz2 ) y 2m

r3
Z1 l e l
热统

1
第六章 回顾
一、粒子微观运动的描述
1、粒子经典运动状态 a. 代数描述
(q1 ,qr , p1 , pr )
b. 几何描述
粒子相空间（ 空间）
“代表点”
2、粒子量子运动状态 在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。
量子态由一组量子数表征。 3、简并度ω 一个能级对应的不同的量子态的数目。