量子力学chapter7-电子自旋
量子力学中的电子自旋
量子力学中的电子自旋量子力学是物理学中的一个重要分支，研究微观世界中的粒子行为。
其中，电子自旋是一个引人注目的现象，它在量子力学中扮演着重要的角色。
本文将深入探讨量子力学中的电子自旋，并解释其背后的原理和应用。
首先，我们来了解一下电子自旋的概念。
在经典物理学中，我们通常将电子视为一个带有负电荷的质点，它围绕原子核运动。
然而，在量子力学中，电子的运动方式并不是简单的轨道运动，而是由其自旋所决定的。
电子自旋是电子固有的性质，类似于地球自转的自旋。
然而，与地球的自转不同的是，电子的自旋是量子化的，只能取两个值：上自旋和下自旋，分别对应自旋量子数为1/2和-1/2。
接下来，让我们探索电子自旋的背后原理。
根据量子力学的原理，电子自旋的状态可以用一个二维的向量空间来描述，这个向量空间被称为自旋空间。
在自旋空间中，电子的自旋状态可以表示为一个复数的线性组合，其中每个复数对应于一个可能的自旋状态。
这种线性组合的形式被称为波函数，它可以用来计算电子在不同自旋状态下的概率。
除了自旋空间，电子自旋还与磁场相互作用。
当一个电子处于磁场中时，它的自旋会受到磁场的影响，从而发生偏转。
这种现象被称为自旋磁矩，它可以用来解释一系列实验观测到的现象，如自旋共振和磁共振。
自旋共振是一种基于电子自旋的实验技术，广泛应用于核磁共振成像（MRI）和电子顺磁共振（EPR）等领域。
在这些技术中，通过将样品置于恒定磁场中，并施加特定频率的射频脉冲，可以激发样品中的电子自旋翻转。
通过测量翻转过程中产生的信号，可以得到样品的结构和性质信息。
除了应用领域，电子自旋还对量子计算和量子通信等新兴技术具有重要意义。
量子计算是利用量子力学中的量子叠加和量子纠缠等特性进行计算的一种新型计算方式。
而电子自旋作为量子比特的载体，可以用来存储和处理信息。
通过对电子自旋的精确控制和测量，可以实现量子比特之间的纠缠和量子门操作，从而实现更高效的量子计算。
此外，电子自旋还在材料科学中发挥着重要作用。
量子力学 第七章 自旋与全同粒子 7.8 两个电子(费米子)的自旋函数(13P)
1.自旋角动量 设电子1、2的自旋分别为， 自旋量子数为 分别对应的状态为
两个电子的总的自旋角动量—— 对电子， s1=s2=1/2，s = 0、1（两个角动量耦合的 量子数最大为s =s1+s2=1，最小为s =s1-s2=0）
自旋波函数的构造 如无自旋相互作用时，自旋波函数
无耦合基矢
耦合基矢
——对称态 ——对称态
用 可构成对称和反对称自旋函数 对称自旋波函数——三重态
反对称自旋波函数——单态
不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数
3．
的本征值
两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向 两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向
两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴 分量平行。
两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。
例题：试写出自旋
它们所构成的对称波函数形式为
它们所构成的反对称波函数形式为 二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：
总的波函数：
证明： [证]① ②
组成正交归一系。
平行耦合结果：s =s1+s2=1，ms=-1,0,1,构成三重态 反平行耦合结果：s =s1-s2=0，ms=0,构成单态 2.两套基矢
的两个自由电子所构成的
全同体系的状态波函数。
[解]自旋 的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平 面波
例题：试写出自旋
的两个自由电子所构成的
全同体系的状态波函数。
[解]自旋
的两电子构成的是费米子体系 ，
波函数是反对称的
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波
电子自旋算符和自旋函数
得：b = c* (或c = b*)
| c |2 0 0 | c |2
0 c* x c 0
x
2
0 c 0 c c 0 c 0
* *
I
| c |2 1
令c = exp[iα ] α 为实，则
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
自旋角动量满足的对易关系是：
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
ˆ ˆ ˆ S S iS
(7.2 1)
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x
最后得 SZ 的矩阵 形式
1 0 Sz 2 0 1
（7.2-21） （7.2-22）
Pauli算符的矩阵形式 根据定义
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
2
1 0 ˆz 0 1
2 2 2 Sx Sy S z2 . 4
(7.2 3)
2
所以，
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz 4
2
(7.2 4)
令 S s(s 1) (7.2 5) 2 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2.
S z 1 2 1
2
第七章 电子自旋
（7.2-19）
亦即 故有
（7.2-20）
（7.2-21）
最后得到的表达式为：
因为：
（7.2-22）
利用厄密矩阵的性质及反 对易关系式得到(见附录IV)
所以：
（7.2-23）
（7.2-24）
此3 个矩 阵称为泡 利矩阵。
3. 电子波函数的归一化及几率密度
由
由波函数 定义的几率
密度为
表示的电子波函数的归 一化除了对空间坐标积 分之外,还要对自旋求和, 即：
这两个分量可以排成一个二行一列的矩阵: （7.2-15）
如果电子处于
的自旋态,则其波函数表示为:
（7.2-16）
如果电子处于的
自旋态,则其波函数表示为 （7.2-17）
由矩阵的乘法规则可知,自旋算符应当是二行二列的矩阵。
设 （7.2-18）
对应于本征值为 本征值方程为：
的
同样, 对应于本征值为
的本征值方程为：
(1) 每个电子均具有自旋角动量 只能取
,它在空间任何方向的投影 （7.1-1）
(2)每个电子具有自旋磁矩 ,它和自旋角动量 的关系为：
(SI) （7.1-2）
在空间任意方向上的投影只能取两个数值:
其中 为玻尔磁子。
(SI) （7.1-3）
(SI) （7.1-3）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率,它等
例题: 在σz 的表象中,求σ·n 的本征态,n=(sinθcosφ,sinθ sinφ,cosθ) 是(θ,φ)方向上的单位矢。
§ 7.3 简单塞曼效应 氢原子和类氢原子的电子由于受到外磁场的作用而引起的附加 能量为:
哈密顿算符为: 其中: 则体系的定态薛定谔方程为:
第七章 自旋汇总
| j1 , j2 , j , m | j1 , m1 , j2 , m m1 j1 , m1 , j2 , m m1 | j1 , j2 , j , m
a1 a1 a a 2 2
a1 a1 a 2 a 2 2
a1 a1 a2 0
由归一化条件确定a1
a
* 1
a1 0 0 1 | a1 | 1 a1 1
MSz
e MB 2 c
(CGS )
2.自旋算符与自旋波函数
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本 的差别
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL 自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S iS
第七章 自旋
--电子具有自转的假设
7.1 电子自旋
1.自旋的基本性质
Stern-Gerlach 实验
N
（1）实验描述
S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转， 在感光板上呈现两条分立线。
Z
S
（2）结论
I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
1.简单塞曼效应
E nlm eB E nl 2c ( m 1) E eB ( m 1) nl 2 c for for Sz 2 2 Sz
（1）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与 n, l, m 有关。原来 m 不同能量 相同的简并现象被外磁场消除了。
也两两对易，故也有共同完 备的本征函数系，记为：
量子力学第七章
①求轨道角动量 z 分量 Lˆ z 和自旋角动量 z 分量 Sˆ z 的平均值； ②求总磁矩 Mˆ e Lˆ e Sˆ
2
的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
1 2
R21
(r
)Y11
(
,
)
1 0
3 2
R21
(r)Y10
(
,
)
在本征态
h
2
上，测量
sˆz
的相应概率为
W
sz
h 2
1 cos
2
W
sz
h 2
1
cos
2
sz
1 cos
2
h 1 cos
22
h 2
h 2
cos
h
2
上，测量 sˆz
的相应概率为
W
sz
h 2
S
z
1 2
2
1 2
S
z
1 2
2
1 2
1
0
1/ 2 (sz ) 0, 1/ 2 (sz ) 1
α，β构成一组完备基sz表象，任意自旋态波函数可用其展开
(sz
)
a b
a10
自旋
自旋引入： Stern-Gerlach 实验
量子力学 自旋和全同粒子
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
第七章量子力学
ˆi 的本征 由于 S 沿任一方向的投影只能取 2 ，所以 2 2 值只能取为 1 ， i2 x y z2 1 (10)
2)泡利算符的反对易关系
用 y 分别左乘和右乘(8)-2式： y y z y z y 2i y x
y z y z y y 2i x y (11)
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm, 光谱仪仔细分辨，可见双线： 589.0nm & 589.6nm 无外场时，2P能级简并，何来两条谱线？ 3.反常塞曼效应 在若磁场中，原子光谱线的复杂分裂 （分为偶数条），如钠2P 1S， D1 (589.6nm) 4条，D2 (589.0nm) 6条
(4)
Sz 为描述自旋态的波函数，其一般形式为：
(5)
(6)
ˆ 的本征态 4. 算符S z ˆ 的表达式未知，其本征态却已由实验测出： 算符S
z
ˆ 算符的本征态 S , m S 。设 S 1 z z m z s
s
表示S z的
2
1 1 本征值，ms 。用 1 S z 分别表示S z 的 2 2 2 本征态，简记为 和： 1 1 Sz , 0 2 0 = 1 S z 1 2 (7)
二.Uhlenbeck,Goudsmit的电子自旋假设（1925） 1. 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上 的投影只能取两个数值： Sz 2 e (3)
2. 每个电子具有自旋磁矩 M s
S
(4)
所以M s 在空间任意方向上只能取两个投影值; M SZ e
2
M B
量子力学第七章自旋
第七章自旋与角动量7．1电子的自旋许多实验事实都证明电子具有自旋。
下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern —Gertach ）实验就是其中的一个，实验示意图如下：在上图中，K 为基态氢原子源，氢原子自K 射受狭缝BB 的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP 上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。
这说明了两个问题：（a ）氢原子具有磁矩。
由于实验中的氢原子处于基态（IS 态），角量子数 =0,即轨道角动量为零。
而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：L e M Lμ2-= （7.1-1）所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。
（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。
如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：θcos B M B M U s S -=⋅-=风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：θξξcos ∂∂=∂∂-=BM U F s y 如果s M可取任何方向，则cos θ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cos θ=+1和-1，可见s M的空间取向是量子化的。
应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P →1S 的谱线是由两条靠得很近的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。
鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit ）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：（1）每个电子具有旋角动量S，它在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：2hS z = （7.1-2）（2）每个电子具有自旋磁矩s M，它和S 的关系是：s M =—S me（7.1-3）其中-e 为电子的电荷，m 为电子的质量。
量子力学自旋与全同粒子
2）Pauli 算符
1. 引进Pauli 算符 对易关系：Sˆ Sˆ iSˆ
分量 形式
令 Sˆ ˆ
2
ˆ ˆ 2iˆ
S
x
2
x
S
y
2
y
Sz
2
z
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是:
磁场沿 Z 向
e
2c
( Lˆ z
2Sˆ z )B
Schrodinger方程
考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：
2
2
2
V (r)
eB
2c
( Lˆ z
2Sˆ z
)
E
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子自旋 2. 电子自旋算符和自旋波函数 3. 简单塞曼效应 4. 两个角动量耦合 5. 光谱精细结构 6. 全同粒子的特性 7. 全同粒子体系的波函数, Pauli原理 8. 两电子自旋波函数 9. 氦原子（微扰法）
1. 电子的自旋
（1）Stern-Gerlach 实验 (2）光谱线精细结构
个分量
令
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
ˆ zˆ x ˆ xˆ z
得
：
1 0
01
a c
b d
a c
b d
1 0
量子物理—电子自旋
3. 自旋算符与泡利矩阵
1 0 z 0 1
0 1 x 1 0
0 i y i 0
所有泡利矩阵的本征值都是 1 单位矩阵加上泡利自旋矩阵可以构成任何2乘2矩阵 任何2乘2矩阵
M a1 0
16
实验事实1：任何方位的正 负方向的本征态正交。此 即要求在任何方位，
0
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2。
17
若选定
x 1 2
事实2：任何两个方位， 若其正向夹角为 那发 现其中一个方位的正向 本征态是另一个方位正 负向本征态的概率分别 为 cos2 / 2 , sin2 / 2 。
F ( B) z
8
Stern Gerlach 实验 B Oven
真实观测结果
经典物理预言
S,z
据计算，z方向磁矩的两个值为，
B e /(2me )
为解释此实验结果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自 旋角动量：
9
电子自旋的基本性质： （1）电子具有自旋角动量 S ，量子数为1/2 电子自旋在空间任何方向上的投影值（分量 测量值）仅取两个值，例如 z 方向
2
z
J J 本征值为j ( j 1) m ; m j, j 1,... j
2
J 2 J J J 2 0
ˆ p ˆ， 以上对易关系可以验证 对于轨道角动量 r
28
4 在均匀静均匀静磁场中的自旋进动
进动就是指在外磁场作用下自旋态的 演化。如过去所说，我们需要哈密顿 量及其本征值与本征态。
高二物理竞赛课件：量子力学之电子自旋
掌握电子自旋的描述，同时能应用电
子自旋的理论解释原子光谱现象。
1 电子自旋的实验依据及自旋假设
• 1.1 光谱线的精细结构 在人们考虑电子轨道角动量时，量子数 l 只
能取一系列分立值0,1,2,3 … 只能初步解释原子光 谱的一些规律，后来在比较精密的实验中发现：在 无外场情况下，原有谱线存在细致的分裂现象，光 谱线的这种自然分裂现象被称为光谱线的精细结构 现象，其原因不能由电子的轨道角动量来解释，还 必须考虑其内部因素—电子存在自旋。如钠原子光 谱中有一谱线，波长为D=5893Å。但精细测量发 现，实际上，这是由两条谱线组成的。
（5）
• 其中，W1(x, y, z.t) 1 2 ，W2 (x, y, z.t) 2 2 分别表示在 t 时
刻在(x, y, z) 处单位体积内找到自旋为 sz / 2和 sz / 2
t 的电子的概率。W (x, y, z,t) 1 2 2 2表示在 时刻在(x, y, z)
处单位体积内找到电子的概率。
a*
b*
a b
a
2
b
2
1
（8）
a, b 的具体形式要在具体表象中确定。
2.2自旋算符
和所有力学量一样，在量子力学中自旋角动量也应用
算符表示。在量子力学中决定算符本质属性的是它的对易
关系，所以按一般角动量理论，自旋算符的对易关系定义
为 它的分量式为
Sˆ Sˆ iSˆ
Sx
S
yS
y
Sx
i S z
(x, y, z, sz ,t) (x, y, z.t)(sz )
（6）
式中 (sz )是描述电子自旋状态的波函数，简称为自旋波函
数，一般应表示为二分量形式
第七章 自旋与全同粒子 十九讲 ppt 量子力学教学课件
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x
量子力学课件第七章
χ
−
1 2
0 h 的本征矢量。 = 分别是 s z = ± 的本征矢量。 1 2
σ x的矩阵形式
令 a ˆ σx = c b d
ˆ ˆ ˆ ˆ 由σ zσ x = −σ xσ z
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
1 0 a b a b 1 0 0 − 1 c d = − c d 0 − 1
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
二、泡利算符
h ˆ S x = 2 σˆ v h v ˆ ˆ → S = h σˆ S = σ ˆy 2 2 ˆ S = h σˆ z 2
x y z
( 7 .2 − 2 )
(A)对易关系 对易关系
7.2式代入（7.2得到所满足的对易关系： （7.2-1）式代入（7.2-2）式，得到所满足的对易关系：
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
证明
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y −σ yσ x=σ x − σ y = 2iσ zσ x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ y − σ xσ yσ x = 2iσ xσ z
ˆ σ x右乘上式
ˆ σ x左乘上式
在把两式相加
2
r
r
h 2
2
r
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
v 于是， 于是，∫ ψ 1 d r = 自旋朝上的几率
2
∫ψ
4.
2 2
v d r = 自旋朝下的几率
波函数归一化表示为： 波函数归一化表示为：
∫ψ
+
ψ dτ =
∫ d τ (ψ
2 1
+ψ2
电子自旋
ˆ 则 S zΨ1 = Ψ1 2
ˆ S zΨ 2 = − Ψ 2 2
ˆ S z 的本征态只有 Ψ1 ,Ψ。 2
把两个分量排成一个二行一列的矩阵为：
⎛Ψ1 ( x, y, z, t ) ⎞ Ψ =⎜ ⎟ ⎜Ψ ( x, y, z, t )⎟ ⎠ ⎝ 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
Ψ = Ψ ( x, y, z, S z , t )
⎧ ⎪Ψ 1 ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , + 2 , t ) ⎪ ⎨ ⎪Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , − , t ) ⎪ 2 2 ⎩
由于 SZ 只取 ± /2 两个值，所以上式可 写为两个分量：
0 ⎞ ⎛ ⎛ 0⎞ ⎟ =Ψ 2 ( x, y, z , t )⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜1⎟ Ψ 2 ( x, y , z , t ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛1⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2
ˆ Sz χ 1 =
2
2
χ1
2
Ψ −1/ 2
⎛0⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ − ⎝ ⎠ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧σ x σ y + σ y σ x = 0 ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨σ y σ z + σ z σ y = 0 ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎩σ z σ x + σ x σ z = 0
从 反 对 易 关 系 式 出 发
证明（法一）：（以第一个式子为例）
ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y + σ yσ x
说明：
1. 若已知电子处于 S z =
2
讲稿七：量子力学电子自旋角动量
第七章电子自旋角动量实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。
本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。
在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。
换句话说，现在从Schrodinger方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger方程上。
到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。
但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理内禀性质依然并不十分了解1。
§7.1 电子自旋角动量1, 电子自旋的实验基础和其特点早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子2p1s→的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为()2l+1重，即奇数重；1922年Stern—Gerlach实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年155156一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。
由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。
于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。
从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为B ±μ，数值为Bohr 磁子。
(完整word)量子力学29
第七章 自旋与全同粒子§7—1 电子自旋一、电子自旋的实验依据玻尔的量子论的提出，使人们对光谱规律的认识深入了一大步。
后来人们又发现了光谱的精细结构和反常塞曼效应，这些新的实验结果又给理论提出了新问题.例如，在碱金属钠原子光谱中，起初看到一条波长为nm 3.589的黄光，后来由于光谱仪分辨率的提高,人们发现它是由两条谱线组成,波长分别为nm 0.589和nm 6.589，这就是碱金属光谱的双线结构。
另外，在弱磁场中,一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常塞曼效应。
原有量子理论无法解释这些新现象。
1925年，为解释上面现象，乌伦贝克和古德斯密特提出了电子自旋的假设。
最初,他们认为自旋是电子的机械转动。
实际上这种理论没有摆脱经典物理的束缚。
后来人们发现,电子的自旋是电子的一个固有性质,就像电子具有质量和电荷一样.自旋具有角动量量纲,它的存在，标志着电子又有了一个新的自由度。
1921年的斯特恩—盖拉赫实验直接证实了电子自旋的存在。
该实验的目的是测原子磁矩.实验现象是单价原子(如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束.我们以氢原子为例介绍实验现象。
电炉H 射出的处于s 态的氢原子束流通过狭缝BB 和不均匀磁场，最后射到照相底片P 上,实验结果是照片上出现两条分立线。
带有磁矩M的中性原子进入磁场后,其势能为cos z U M B MB M B θ=-⋅=-=-其中θ为M 与B （沿z 轴方向）之间的夹角；z M 是原子磁矩的z 分量。
因为0ˆz z B B ∂∂=∇(0=∂∂=∂∂yBx B ），所以原子所受的力为 zBM z U F z z ∂∂=∂∂-= 力的大小和指向要视z M 的数值和正负而定。
磁矩相对于磁场有不同取向的原子受到不同大小和指向的力的作用。
当它们在磁场中飞行时，将发生不同程度和方向的偏转，通过磁场后,磁矩有不同取向的原子将落到照相底板上不同位置。
设炉子的温度为T ，它蒸发出的原子的平均速率为mkTv π8=原子通过磁场时的平均时间为kTmlv l t 8π==其中，m 为原子质量,l 为磁极长度。
电子自旋的量子力学描述
电子自旋的量子力学描述量子力学是描述微观世界的物理学理论，是解释原子、分子和基本粒子行为的理论框架。
在量子力学理论中，电子自旋是一个重要的概念，它不仅仅是一个物理量，更是描述电子在磁场中的行为的关键。
在经典物理学中，我们通常将物体的自旋比喻为物体的自转运动。
然而，根据量子力学理论，电子的自旋并不是由其物理的转动产生的。
事实上，电子的自旋是一种固有的性质，是电子的量子态在自旋空间中的投影。
在量子力学中，电子的自旋被描述为一个二能级系统，即“自旋上”和“自旋下”。
我们可以使用一个二维的希尔伯特空间来描述这个系统，其中一个维度对应于自旋上态，另一个维度对应于自旋下态。
电子自旋的量子态可以用一个复数的两分量列向量表示，我们通常将其表示为：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中，α和β是复数，|α|^2和|β|^2分别表示电子处于自旋上与自旋下态的概率。
由于这是一个二能级系统，故满足归一化条件α^2 + β^2= 1。
电子的自旋可以通过自旋算符进行测量和描述。
自旋算符由泡利矩阵组成，分别表示自旋在x、y、z方向上的投影。
自旋在该方向上的测量结果只能是自旋上或者自旋下。
例如，自旋在x方向上的算符表示为σx，那么对于一个处于自旋态|ψ⟩的电子，测量其自旋在x方向上的投影，结果为：σx|ψ⟩= (|↑⟩- |↓⟩)/2 = (α - β)/2 |↑⟩+ (α + β)/2 |↓⟩同理，自旋在y方向上的算符σy和自旋在z方向上的算符σz也可以对电子的自旋进行测量。
利用量子力学的理论和自旋描述，我们可以对自旋系统进行研究。
例如，在磁共振成像（MRI）中，利用电子的自旋与外加磁场相互作用可以实现对生物体内部结构的成像。
总结起来，电子自旋在量子力学中得到了准确的描述。
通过使用希尔伯特空间和自旋算符，我们可以描述电子自旋系统的状态、进行测量和研究。
这不仅在理论物理学研究中具有重要意义，同时在实际科学应用中也有着广泛的应用。
量子力学第七章
d 0
0 b ˆx b* 0
而
2 0 b 0 b 0 1 0 |b| 2 ˆx * * 2 b 0 b 0 0 | b | 0 1
18
| b | 1
但是 S 作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具
有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关 系
7
ˆ ˆ ˆ S S i S
自旋角动量平方算符
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ iS ˆ S x y y x z ˆ ˆ ˆ S ˆ iS ˆ S y Sz S z y x ˆ ˆ ˆ S ˆ iS ˆ S S S x z y z x
1 1 ˆ x ˆy ˆ y ˆ x ( ˆ y ˆz ˆ z ˆ y ) ˆy ˆ y ( ˆ y ˆz ˆ z ˆ y) 2i 2i
1 2 2 ˆ y ˆ z ˆy ˆ z ˆy ˆy ˆz ˆ y ˆ z ˆy 2i
19
泡 利 矩 阵
0 1 ˆx 1 0
自旋算符矩阵
0 i ˆy i 0
0 i ˆ Sy 2i 0
1 0 ˆz 0 1
1 0 ˆ Sz 2 0 1
1 1 (S z ) 0 2
0 1 (S z ) 2 1 3 2 2 1 ˆ ˆ S 1 (S z ) 1 (S z ) S z 1 ( S z ) 1 ( S z ) 4 2 2 2 2 2
0 1 ˆ Sx 2 1 0
ˆ S ˆ y 本征函数 Sz表象中 S x
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分量形式：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z 2i ˆy z x
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 1。
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
2 S 2 s(s 1) 2 3 4
ˆ2 S
仿照
算符的本征值是
0 1 Sx 2 1 0 0 i Sy 2 i 0 1 0 Sz 2 0 1
17
ˆ x ˆ y ˆz i 1.证明：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz 证：由对易关系 ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 ， 反对易关系 ˆ x ˆ y i ˆz
左乘σy 我们从对易关系: 证： ˆ ˆ ˆ z ˆ y 2i ˆx y z 出发 σy
2=1
ˆ y ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z ˆ y 2 2i ˆ x ˆy ˆ y ˆ z ˆ y ˆ z 2i ˆ x ˆy
或
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z i ˆy z x
15
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义
0 x c 0 x c b 0 c* 0
由力学 量算符 厄密性
x
ˆ z Sz 2 0 1
1
0
ˆz 0 1
1
0
ˆ z ˆ x ˆ x ˆz
2 2
2c d
0
2
0
a 1 1 0 c 1
a 1 c 0
同理对Φ–1/2 处理，有
b 2 0 d 2 2
b 0 d 1
量子力学
1
第七章 电子自旋
§1
电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数 §3 简单塞曼效应 §4 全同粒子的特性
2
§1电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
3
（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述 S 态的氢原子束流，经非 均匀磁场发生偏转，在感光板上 呈现两条分立线。 （2）结论 I、氢原子有磁矩因在非均匀磁场 中发生偏转 II、氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
2
求 Pauli 算符的 其他两个分量 利用反对易 a b 令 关系 ˆx c d 1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1 σX 简化为：
a b 0 0 2 c d 2 (r , t ) 2 2 (r , t )
最后得 SZ 的 矩阵形式
Sz
1 0 2 0 1
SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值±/2。
12
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
Sz
a 2 c
b d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态， SZ 有确定值 /2 ，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态， 本征值为 /2，即有： a b ( r , t ) ( r 1 1 , t ) Sz 1 2 1 矩阵形式
求σy 的矩阵形式
ˆy ˆ z ˆx 由 i ˆ y i ˆ z ˆ x 出发
写成矩阵形式
1 得： y i 0
0 1
0 i e
e i 0
0 e i ( )
e i ( ) 0
9
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为 自旋角动量 轨道角动量 异同点 与坐标、动量无关 同是角动量
L2
l (l 1) 2
s 1 2
11
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函 数需写为： 1 ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) ( x, y, z, Sz , t ) 2 ( r , t ) ( x , y , z , 2 , t ) 由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 1 ( r , t ) 所以上式可写为两个分量： 写成列矩阵 ( r 2 , t )
Z
N
S
处于 S 态的 氢原子
4
（3）讨论
设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 B 中的势能为：
磁矩与磁 场之夹角
U M B MBz cos
原子 Z 向受力 分析
Bz U Fz M cos z z
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 （1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带
二式相加
ˆ y 2 ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx ˆz ˆ y ˆ z ˆ y 2i ˆ y ˆx
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0
同理可证:x, y 分量的反对易 关系亦成立. [证毕]
由对易关系和反对易关系还 可以得到关于 Pauli 算符 的如下非常有用性质：
但是实验结果是：出现的两条分立线对cos = -1 和 +1 ，处 于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电 子的固有磁矩，即自旋磁矩。
5
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å，用高分辨率的 光谱仪观测，可以看到该谱 线其实是由靠的很近的两条 谱线组成。 其他原子光谱中也可以发现 这种谱线由更细的一些线组 成的现象，称之为光谱线的 精细结构。该现象只有考虑 了电子的自旋才能得到解释
3p
58 93 Å
3p3/2 D1
58 96 Å
3p1/2 D2
58 90 Å
3s
3s1/2
6
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了电子自旋 假设 （1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向 上的投影只能取两个数值：
S Sz 2
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
0 1 x 1 0 0 i y i 0 1 0 z 0 1
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
若已知电子处于 Sz = /2 或 Sz = -/2 的自旋态，则波函数可分别写为：
1 2
1 (r , t ) 0
1
2
0 ( r , t ) 2
得：b = c* ( 或 c = b* )
x
2
0 c* 0 c* c 0 c 0
| c |2 1
σx 2 = I
16
令：c = exp[iα ] (α 为实），则
0 e i x e i 0
e MS S c
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz e MB 2 c
Bohr 磁子
(CGS )
7
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz
（2）轨道回转磁比率
e c
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ˆ z ，得 上式两边乘
ML
则，轨道回转磁比率为：
e 2 c
L
e 2 c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
8
§2
电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
13
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的引进
令
ˆ ˆ S 2