第三章资料的测度与描述-统计学
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k
k
1
(，+)
至少0
2
2.5 3
( 2， + 2 )
至少75%
( 2.5， + 2.5) 至少84% ( 3 ， + 3 ) 至少88.9%
3-40
• 二、經驗法則（empirical rule） • 設資料近似單峰對稱分配，則 • 1. 在平均數左右1個標準差之範圍內的觀 測值約佔68%。 • 2. 在平均數左右2個標準差之範圍內的觀 測值約佔95%。 • 3. 在平均數左右3個標準差之範圍內的觀 測值約佔99.7 %。 • 將謝比雪夫定理，經驗法則與實際結果整 理如下表：
• 相對離勢量數中最常用的變異係數 （coefficient of variation，C.V.）是指標準 差與平均數的比值，
3-30
即 C.V. =
S
100%……母體資料
= X 100%……樣本資料
相對離勢量數的主要功用： 1.比較幾組資料單位不同的差異情形。 2.比較幾組資料單位相同，但平均數相差懸殊之差 異情形。
N
總變異數
=
2
N 1 1 N 1 ( 1 )
2Fra Baidu bibliotek
2
N
+
N 22 2 N 2 ( 1 )
2
2
N
3-26
(4)推廣至k組母體、樣本資料，求合併後之平均數、變異數。
總母體平均數 =
N11 N k k N
k
，N = N1 + …… + Nk
2
總母體變異數 2 =
i 1
N
2
(X
i 1
N
i
A)
2
N
N
3-24
• (3) 若甲、乙二組母體資料的變異數、平均 數及大小如下表，則合併後之平均數、變 異數為何？
• 表3-16
組 別 甲 乙 大 小 N1 N2 平均數 變異數
1
2
1 2
2 2
3-25
則 總平均數 = N 1 1 N 2 2 ，N = N + N 1 2
n
=
n
Xi
2
X i i 1
n
2
i 1
n
0
n 1
3-23
變異數性質：
(1) 設X的母體變異數為
2 X
，平均數為X，
若Y = aX + b，a，b R，則 Y = aX + b，
Y = a2
2
2 X
，Y = |a|X
(2) ( X i )
次數fi
f1 f2
組中點mi
m1 m2
fimi
f1m1 f2m2
Lk～Uk
合 計
fk
mk
k
fkmk
i 1
i 1
k
fi
fimi
3-6
• (1) 母體平均數： =
i 1
fimi N
k
k
，N =
i 1
f。 i
k
• (2) 樣本平均數：
X
=
i 1
fimi n
，n =
3-11
• • • • •
四、眾數（mode）：通常以M0表示。 (三) 眾數的求法 A. 未分組資料 B. 已分組資料 普通求眾數的方法大致有：
3-12
• 1. 視察法
• 2. King’s插補法（W.I. King’s method）
• 3. Czuber’s比例法（Czuber’s proportional method） • 4. Perason’s經驗法（K. Pearson’s method）
3-3
3-1 集中趨勢量數
用來描述該組資料的中心位置所在或集中的程度，謂之集 中趨勢量勢，又稱中心位置量數（measure of central location）。 一、平均數（mean）
(一)算術平均數 • A. 未分組資料： • 1. • 2. 母體資料：母體平均數 樣本資料：樣本平均數 X 、Y 等。
1
k =
N
i 1
(X i ) fi
4
N
X
N 4 i
4
= =
i 1
fi 4 X
i 1
N
3 i
fi 6 X i fi 3N
2 2 i 1
N
4
N
4
4
4
3-36
• 1. k > 3，表示資料分布呈高狹峰（lepto kurtosis）。 • 2. k = 3，表示資料分布呈常態峰 （normal kurtosis）。 • 3. k < 3，表示資料分布呈低潤峰（platy kurtosis）。
3-4
(二)加權算術平均數：
• 母體加權算術平均數
w
N = w1 X 1 w N X =
i 1
wi X wi
N
N
i
w1 w 2 w N
i 1
樣本加權算術平均數
X w=
i 1
wi X wi
n
n
i
i 1
3-5
• B. 已分組資料：
組界
L1～U1 L2～U2
3-37
圖37 峰度不同的次數分配
3-38
3-4 平均數與標準差的應用
• 一、謝比雪夫定理（Chebyshev’s Theorem）
• 任何一組資料中，會落在平均數左右各k個 標準差之範圍內的觀測值至少佔有
1 1 2 100%，k > k
1。
3-39
表3-21 在區間內至少佔有 1 ( k， + k )內 （1 2 ）100%
i 1
[ N i i N i ( i ) ]
2
X
N
nk X n
k
總樣本平均數 =
n1 X
1
，n = n1 + n2 + …… + nk
X) ]
2
總樣本變異數S 2 =
k
[( n i 1) S i n i ( X
2
i
i 1
n 1
3-27
(5)
2 4 Q.D. ≒ ； A.D. ≒ ； R 4 3 5 Q.D. A.D. R
3-33
圖36 資料的分配形狀
3-34
偏態係數的計算方法有很多，一般較常用者有二種： 1.Bowley公式：Bowley偏態係數，其公式如下：
SKB =
(Q 3 M e ) ( M (Q 3 M e ) ( M
e e
Q1 ) Q1 )
=
(Q 3 M e ) ( M Q 3 Q1
n 1
=
2 n X i X i i 1 i 1
n n
2
n ( n 1)
標準差就是變異數的平方根，通常 以（或S）表示。
3-22
母體標準差 =
i 1
(X i ) N
N
2
=
2
N
X i N
2
2
i 1
N
0
樣本標準差 S =
i 1
(X i X ) n 1
3-8
• 2. Me =
• B. 已分組資料
n
• Me = Li + 2
F i 1 fi
h
三、其他分位數：
• 四分位數（Quartiles，Qi，i = 1, 2, 3 ） • 十分位數（Deciles，Di，i = 1, 2, ‥〃, 9） • 百分位數（Percentiles，Pi，i = 1, 2, ‥〃, 99） 。
3-31
3-3 形狀（Shape）
• 反映資料的分佈形狀： 偏態係數及峰度係數。
• 一、偏態係數（coefficient of skewness，SK） • 所謂偏態（skewness）是指次數分配形態不對 稱的偏斜的方向和程度。用以測度偏態的量數， 稱之為偏態係數，通常以SK表示。
3-32
• 若SK = 0，表示資料呈對稱分配。 • 若SK > 0，表示資料呈右偏或正偏（right or positively skewed）分配。 • 若SK < 0，表示資料呈左偏或負偏（left or negatively skewed）分配。
3-28
B.
已分組資料
2=
k
(mi ) fi
2
=
i 1
k
2 mi
fi
i 1
N
2
mi fi i 1
k 2
N
S2=
i 1
(m i X ) f i
2
k
n 1
=
i 1
mi fi
2
k
n
n 1
3-29
• (二) 相對離勢量數（measure of relative disperson）
e
Q1 )
2.Pearson公式：Pearson偏態係數，其公式如下： SKP = =
M
X M S
0
0
3( )
=
……母體資料
3 ( X M e ) ……樣本資料 = S
3-35
※二、峰度係數（coefficient of kurtosis） 測量峰度高低的量數稱為峰度係數，通常以k表示。
统计学
3-1
第三章
■ 3-1 ■ 3-2 ■ 3-3 ■ 3-4 ■ 3-5 ■ 3-6 ■ 3-7
資料的測度與描述
集中趨勢量數 離勢量數 形狀 平均數與標準差的應用 枝葉圖及箱形圖 電腦範例 流程圖
3-2
透過各種蒐集方法的資料經過整理後，還 需進一步描述一群數量資料的特性，其方 法大致有：
1. 2. 3. 集中趨勢量數（measured of central tendency）。 離勢量數（measured of dispersion）。 形狀（shape）。
• 當次數分配為單峰對稱時，則 X = Me = M0
• 當次數分配為單峰微偏時，則 3( X Me)或M0 - 3( X Me)
X
M0
3-13
圖33 單峰對稱分配
3-14
圖34 單峰微偏分配
3-15
• ※五、全距中點（midrange）與中樞紐 （midhinge） • (一) 全距中點（midrange） • (二) 中樞紐（midhinge） • 六、截尾平均數與溫塞平均數 • 1. 截尾平均數 • 2. 溫塞平均數
3-9
• • • •
A. 未分組資料 B. 已分組資料 Me、Qj、Dj及Pj之關係 1. 表3-13
名 稱 中位數 四分位數 十分位數 百分位數 分割點 1個 3個 9個 99個 分位數值 Me Q1，Q2，Q3 D1, …, D9 P1, …, P99
3-10
• 2. (1) Me = Q2 = D5 = P50 (2) Q1 = P25，Q3 = P75 (3) D1 = P10 ； D2 = P20 ‥〃 D9 = P90
其中N表全部資料的個數，a表落在( - , + )之間的個數，b表落在 ( - 2, + 2 )之間的個數，c表落在( - 3, + 3 )之間的個數。
4 10
5 10
10 10
15 10
16 10
10 10
10 10
12 0
3-18
• 二、種類
• 離勢量數：(一) 絕對離勢量數（measure of absolute dispersion）
絕對離勢量數：全距、 相對離勢量數：變異係 四分位差、變異數、標 數 準差。
3-19
• • • •
1. 全距（range，R） 2. 四分位差（quartile deviation，Q.D.） 3. 平均偏差（average deviation，A.D.） 4. 變異數與標準差（variance and standard deviation）
3-41
表3-22
( k )內 ( ， + ) ( 2， + 2) 謝比雪夫定理 經驗法則
a N b N
k
實際結果 100 % 100 %
1 2
至少為0 至少為75%
約68 % 約95 %
3
( 3， + 3)
至少為88.9 %
約99.7 %
c N
100 %
i 1
f。 i
k
3-7
二、中位數（median）：通常以Me（或）表示。
• A. 未分組資料
其步驟如下：
• 1. 由小到大順序排列，X(1) X(2) … X(n)。
n X n ， 不為整數 2 1 2 X X n n 1 n 2 2 ， 為整數 2 2
3-20
• A. 未分組資料
母體變異數 2 =
i 1
(X i ) N
N
2
=
i 1
Xi N
N
2
2
3-21
樣本變異數 S 2 = i 1
(X i X ) n 1
n
2
X
n
=
n i 1
i 1
2 i
nX
2
n 1
2
=
i 1
Xi
2
n
( X i ) n
3-16
3-2 離勢量數
• 離勢（dispersion），又稱為離差（derivation）或 差異量數。
• 一、意義
• 離勢是用來衡量資料的集中或分散程度，亦就是 測量各個觀測值之間的差異變化情形。 • 如表3-15。
3-17
組別
資 料
平均數 中位數
全距
甲
10
0
10
20
30
10
10
40
乙 丙
k
1
(，+)
至少0
2
2.5 3
( 2， + 2 )
至少75%
( 2.5， + 2.5) 至少84% ( 3 ， + 3 ) 至少88.9%
3-40
• 二、經驗法則（empirical rule） • 設資料近似單峰對稱分配，則 • 1. 在平均數左右1個標準差之範圍內的觀 測值約佔68%。 • 2. 在平均數左右2個標準差之範圍內的觀 測值約佔95%。 • 3. 在平均數左右3個標準差之範圍內的觀 測值約佔99.7 %。 • 將謝比雪夫定理，經驗法則與實際結果整 理如下表：
• 相對離勢量數中最常用的變異係數 （coefficient of variation，C.V.）是指標準 差與平均數的比值，
3-30
即 C.V. =
S
100%……母體資料
= X 100%……樣本資料
相對離勢量數的主要功用： 1.比較幾組資料單位不同的差異情形。 2.比較幾組資料單位相同，但平均數相差懸殊之差 異情形。
N
總變異數
=
2
N 1 1 N 1 ( 1 )
2Fra Baidu bibliotek
2
N
+
N 22 2 N 2 ( 1 )
2
2
N
3-26
(4)推廣至k組母體、樣本資料，求合併後之平均數、變異數。
總母體平均數 =
N11 N k k N
k
，N = N1 + …… + Nk
2
總母體變異數 2 =
i 1
N
2
(X
i 1
N
i
A)
2
N
N
3-24
• (3) 若甲、乙二組母體資料的變異數、平均 數及大小如下表，則合併後之平均數、變 異數為何？
• 表3-16
組 別 甲 乙 大 小 N1 N2 平均數 變異數
1
2
1 2
2 2
3-25
則 總平均數 = N 1 1 N 2 2 ，N = N + N 1 2
n
=
n
Xi
2
X i i 1
n
2
i 1
n
0
n 1
3-23
變異數性質：
(1) 設X的母體變異數為
2 X
，平均數為X，
若Y = aX + b，a，b R，則 Y = aX + b，
Y = a2
2
2 X
，Y = |a|X
(2) ( X i )
次數fi
f1 f2
組中點mi
m1 m2
fimi
f1m1 f2m2
Lk～Uk
合 計
fk
mk
k
fkmk
i 1
i 1
k
fi
fimi
3-6
• (1) 母體平均數： =
i 1
fimi N
k
k
，N =
i 1
f。 i
k
• (2) 樣本平均數：
X
=
i 1
fimi n
，n =
3-11
• • • • •
四、眾數（mode）：通常以M0表示。 (三) 眾數的求法 A. 未分組資料 B. 已分組資料 普通求眾數的方法大致有：
3-12
• 1. 視察法
• 2. King’s插補法（W.I. King’s method）
• 3. Czuber’s比例法（Czuber’s proportional method） • 4. Perason’s經驗法（K. Pearson’s method）
3-3
3-1 集中趨勢量數
用來描述該組資料的中心位置所在或集中的程度，謂之集 中趨勢量勢，又稱中心位置量數（measure of central location）。 一、平均數（mean）
(一)算術平均數 • A. 未分組資料： • 1. • 2. 母體資料：母體平均數 樣本資料：樣本平均數 X 、Y 等。
1
k =
N
i 1
(X i ) fi
4
N
X
N 4 i
4
= =
i 1
fi 4 X
i 1
N
3 i
fi 6 X i fi 3N
2 2 i 1
N
4
N
4
4
4
3-36
• 1. k > 3，表示資料分布呈高狹峰（lepto kurtosis）。 • 2. k = 3，表示資料分布呈常態峰 （normal kurtosis）。 • 3. k < 3，表示資料分布呈低潤峰（platy kurtosis）。
3-4
(二)加權算術平均數：
• 母體加權算術平均數
w
N = w1 X 1 w N X =
i 1
wi X wi
N
N
i
w1 w 2 w N
i 1
樣本加權算術平均數
X w=
i 1
wi X wi
n
n
i
i 1
3-5
• B. 已分組資料：
組界
L1～U1 L2～U2
3-37
圖37 峰度不同的次數分配
3-38
3-4 平均數與標準差的應用
• 一、謝比雪夫定理（Chebyshev’s Theorem）
• 任何一組資料中，會落在平均數左右各k個 標準差之範圍內的觀測值至少佔有
1 1 2 100%，k > k
1。
3-39
表3-21 在區間內至少佔有 1 ( k， + k )內 （1 2 ）100%
i 1
[ N i i N i ( i ) ]
2
X
N
nk X n
k
總樣本平均數 =
n1 X
1
，n = n1 + n2 + …… + nk
X) ]
2
總樣本變異數S 2 =
k
[( n i 1) S i n i ( X
2
i
i 1
n 1
3-27
(5)
2 4 Q.D. ≒ ； A.D. ≒ ； R 4 3 5 Q.D. A.D. R
3-33
圖36 資料的分配形狀
3-34
偏態係數的計算方法有很多，一般較常用者有二種： 1.Bowley公式：Bowley偏態係數，其公式如下：
SKB =
(Q 3 M e ) ( M (Q 3 M e ) ( M
e e
Q1 ) Q1 )
=
(Q 3 M e ) ( M Q 3 Q1
n 1
=
2 n X i X i i 1 i 1
n n
2
n ( n 1)
標準差就是變異數的平方根，通常 以（或S）表示。
3-22
母體標準差 =
i 1
(X i ) N
N
2
=
2
N
X i N
2
2
i 1
N
0
樣本標準差 S =
i 1
(X i X ) n 1
3-8
• 2. Me =
• B. 已分組資料
n
• Me = Li + 2
F i 1 fi
h
三、其他分位數：
• 四分位數（Quartiles，Qi，i = 1, 2, 3 ） • 十分位數（Deciles，Di，i = 1, 2, ‥〃, 9） • 百分位數（Percentiles，Pi，i = 1, 2, ‥〃, 99） 。
3-31
3-3 形狀（Shape）
• 反映資料的分佈形狀： 偏態係數及峰度係數。
• 一、偏態係數（coefficient of skewness，SK） • 所謂偏態（skewness）是指次數分配形態不對 稱的偏斜的方向和程度。用以測度偏態的量數， 稱之為偏態係數，通常以SK表示。
3-32
• 若SK = 0，表示資料呈對稱分配。 • 若SK > 0，表示資料呈右偏或正偏（right or positively skewed）分配。 • 若SK < 0，表示資料呈左偏或負偏（left or negatively skewed）分配。
3-28
B.
已分組資料
2=
k
(mi ) fi
2
=
i 1
k
2 mi
fi
i 1
N
2
mi fi i 1
k 2
N
S2=
i 1
(m i X ) f i
2
k
n 1
=
i 1
mi fi
2
k
n
n 1
3-29
• (二) 相對離勢量數（measure of relative disperson）
e
Q1 )
2.Pearson公式：Pearson偏態係數，其公式如下： SKP = =
M
X M S
0
0
3( )
=
……母體資料
3 ( X M e ) ……樣本資料 = S
3-35
※二、峰度係數（coefficient of kurtosis） 測量峰度高低的量數稱為峰度係數，通常以k表示。
统计学
3-1
第三章
■ 3-1 ■ 3-2 ■ 3-3 ■ 3-4 ■ 3-5 ■ 3-6 ■ 3-7
資料的測度與描述
集中趨勢量數 離勢量數 形狀 平均數與標準差的應用 枝葉圖及箱形圖 電腦範例 流程圖
3-2
透過各種蒐集方法的資料經過整理後，還 需進一步描述一群數量資料的特性，其方 法大致有：
1. 2. 3. 集中趨勢量數（measured of central tendency）。 離勢量數（measured of dispersion）。 形狀（shape）。
• 當次數分配為單峰對稱時，則 X = Me = M0
• 當次數分配為單峰微偏時，則 3( X Me)或M0 - 3( X Me)
X
M0
3-13
圖33 單峰對稱分配
3-14
圖34 單峰微偏分配
3-15
• ※五、全距中點（midrange）與中樞紐 （midhinge） • (一) 全距中點（midrange） • (二) 中樞紐（midhinge） • 六、截尾平均數與溫塞平均數 • 1. 截尾平均數 • 2. 溫塞平均數
3-9
• • • •
A. 未分組資料 B. 已分組資料 Me、Qj、Dj及Pj之關係 1. 表3-13
名 稱 中位數 四分位數 十分位數 百分位數 分割點 1個 3個 9個 99個 分位數值 Me Q1，Q2，Q3 D1, …, D9 P1, …, P99
3-10
• 2. (1) Me = Q2 = D5 = P50 (2) Q1 = P25，Q3 = P75 (3) D1 = P10 ； D2 = P20 ‥〃 D9 = P90
其中N表全部資料的個數，a表落在( - , + )之間的個數，b表落在 ( - 2, + 2 )之間的個數，c表落在( - 3, + 3 )之間的個數。
4 10
5 10
10 10
15 10
16 10
10 10
10 10
12 0
3-18
• 二、種類
• 離勢量數：(一) 絕對離勢量數（measure of absolute dispersion）
絕對離勢量數：全距、 相對離勢量數：變異係 四分位差、變異數、標 數 準差。
3-19
• • • •
1. 全距（range，R） 2. 四分位差（quartile deviation，Q.D.） 3. 平均偏差（average deviation，A.D.） 4. 變異數與標準差（variance and standard deviation）
3-41
表3-22
( k )內 ( ， + ) ( 2， + 2) 謝比雪夫定理 經驗法則
a N b N
k
實際結果 100 % 100 %
1 2
至少為0 至少為75%
約68 % 約95 %
3
( 3， + 3)
至少為88.9 %
約99.7 %
c N
100 %
i 1
f。 i
k
3-7
二、中位數（median）：通常以Me（或）表示。
• A. 未分組資料
其步驟如下：
• 1. 由小到大順序排列，X(1) X(2) … X(n)。
n X n ， 不為整數 2 1 2 X X n n 1 n 2 2 ， 為整數 2 2
3-20
• A. 未分組資料
母體變異數 2 =
i 1
(X i ) N
N
2
=
i 1
Xi N
N
2
2
3-21
樣本變異數 S 2 = i 1
(X i X ) n 1
n
2
X
n
=
n i 1
i 1
2 i
nX
2
n 1
2
=
i 1
Xi
2
n
( X i ) n
3-16
3-2 離勢量數
• 離勢（dispersion），又稱為離差（derivation）或 差異量數。
• 一、意義
• 離勢是用來衡量資料的集中或分散程度，亦就是 測量各個觀測值之間的差異變化情形。 • 如表3-15。
3-17
組別
資 料
平均數 中位數
全距
甲
10
0
10
20
30
10
10
40
乙 丙