考研数学等价无穷小代换

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考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷283(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．A．不可导B．可导但f’(x)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)．由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．2．曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．3．设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．4．设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．A．左、右导数都存在B．左导数存在，但右导数不存在C．左导数不存在，但右导数存在D．左、右导数都不存在正确答案：B解析：由左、右导数的定义知所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．5．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．A．f(x)B．f(x)dxC．f(x)+CD．f’(x)dx正确答案：B解析：因，故应选(B)．6．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得7．设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(Ⅰ)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确．这样，用排除法可知应选(C)．填空题9．设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．正确答案：3解析：10．函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．正确答案：解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，11．设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．正确答案：1解析：因故12．=_________．正确答案：π/12解析：13．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．正确答案：解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为14．设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．正确答案：-1解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2006年考研数学一真题与答案

2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

）(1)。

【答案】2。

【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程的通解为__________。

【答案】，为任意常数。

【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设是锥面的下侧，则。

【答案】。

【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面的距离。

【答案】。

【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。

【答案】2。

【解析】因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。

【答案】。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (D)【答案】A。

【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。

考研高数中求极限的几种特殊方法

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析)

考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析) 题型有：1.1．正确答案：解析：应用等价无穷小因子代换。

因为知识模块：微积分2．在一长为l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_______．正确答案：解析：如图1建立坐标系，题目中的线段即线段Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为X和Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为所得到的3段线段长分别为min(X，Y)，｜X—Y｜，l－max(X，Y)，而(这3段能构成三角形}{这3段中任2段长度之和＞}{这3段中任一段长度都＜} 故P{这3段能构成三角形} ＝P{min(X，Y)＜，｜X －Y｜＜，l－max(X，Y)＜} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X≥Y}＋P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X＜Y} 其中G1与G2见图2中阴影部分．知识模块：概率论与数理统计3．设f(x，y)满足＝2，f(x，0)＝1，f’y(x，0)＝x，则f(x，y)＝______．正确答案：y2＋xy＋1解析：由＝2y＋φ1(x)，因为f’y(x，0)＝x，所以φ1(x)＝x，即＝2y＋x，再由＝2y＋x得f(x，y)＝y2＋xy＋φ2(x)，因为f(x，0)＝1，所以φ2(x)＝1，故f(x，y)＝y2＋xy＋1．知识模块：微积分4．设z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝确定的函数，则＝______．正确答案：解析：将代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，将x＝，y＝，z＝0代入得知识模块：微积分5．已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。

考研数学二知识点总结3篇

考研数学二知识点总结3篇考研数学二知识点总结3篇学习需要具备逆境和挑战的锻炼精神，能够从困难和挫折中成长和进步。

学习需要立足当下，同时注重长远规划和发展，具备未来感和战略眼光。

下面就让小编给大家带来考研数学二知识点总结，希望大家喜欢!考研数学二知识点总结1高数第一章函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型第二章一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用第三章一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分第四章多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用第五章常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题线性代数第一章行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式第二章矩阵矩阵的运算求矩阵高次幂等矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题第三章向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示第四章线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通解第五章矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题第六章二次型二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵考研数学二知识点总结2一、高等数学同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带号的伯努利方程外，其余带号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了;二、线性代数数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型;三、数学二不考概率与数理统计研究典型题型对于数二的同学来说，需要做大量的试题。

2011考研数学一真题和答案解析

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=(A)1 (B)l (C)l l −l (D)l l −l 【考点】C 。

【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =lll l →∞{[1+(l −l )l +ll (l −l )(l +l )](l −l )(l +l )(l −l )l +ll }(l −l )l +ll(l −l )(l +l )l =l l −l【方法二】原式=lll l →∞llll l 2(l −l )(l +l )而lll l →∞lll l 2(l −l )(l +l )=lll l →∞lll (1+(l −l )l +ll(l −l )(l +l ))=lll l →∞l ∙(l −l )l +ll(l −l )(l +l ) (等价无穷小代换)=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=l l −l【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若llll (l )=0, llll (l )=0,且llll (l )l (l )=l则ll l (1+l (l ))l (l )=l l ,求极限由于lll l →∞l (l )l (l )=lll l →∞l 2−(l −l )(l +l )(l −l )(l +l )∙l =llll →∞(l −l )l 2+lll (l −l )(l +l )=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =l l −l【方法四】lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=lll l →∞[(l −l )(l +l )l 2]−l=lll l →∞(1−l l )−l ∙lll l →∞(1+l l )−l=l l ∙l −l=l l −l综上所述，本题正确答案是C 。

考研数学-专题4 无穷小量阶的比较

(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（

）

0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n

2006年考研数学一真题及解析

x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1) 的下侧，则
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy = 2π .
Σ
【分析】本题 Σ 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 Σ1 ： ⎨
⎧z =1 ，取上侧，使 Σ + Σ1 2 2 ⎩x + y ≤1
构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】设 Σ1 ： z = 1( x + y ≤ 1) ，取上侧，则
未定式极限的求解利用等价无穷小代换即可本题为分析lim详解lim本方程为可分离变量型先分离变量然后两边积分即可分析原方程等价为详解两边积分得lnlndzdydydx构成封闭曲面然后利用高斯公式转化为三重积分再用球面或柱面坐标进行计
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
2 2
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy
Σ
=
而
∫∫
Σ+ Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z − 1)dx dy − ∫∫ x dy dz + 2 y dz dx + 3(z − 1)dx dy .
Σ1 2π 1 1
∫∫
Σ+ Σ1 Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z −1)dx dy ＝ ∫∫∫ 6dv = 6 ∫0 dθ ∫0 rdr ∫r dz = 2π ，
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用等价无穷小代换求极限的几个问题

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２１３０用等价无穷小代换求极限的几个问题用等价无穷小代换求极限的几个问题Һ周继振㊀张晓亮㊀许㊀峰㊀（安徽理工大学数学与大数据学院，安徽㊀淮南㊀２３２００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文指出了高等数学中应用等价无穷小代换求极限的几种常见错误，分析了产生错误的原因，并给出了应用等价无穷小求极限的条件．ʌ关键词ɔ无穷小；等价无穷小代换；极限ʌ基金项目ɔ安徽省教育厅省级质量工程支持：２０２０ｊｙｘｍ０４４０．等价无穷小代换是高等数学中求极限的一个有效且重要的方法，也是学生需要掌握的重点内容，其在考研和数学竞赛中经常出现．然而，看似简单的等价无穷小代换也有很多陷阱，若学生对使用等价无穷小代换的条件不能够深入理解，则极易出现各种错误．本文将分析使用等价无穷小代换时出现的常见错误以及原因．首先来回忆一下相关概念．定义１㊀若ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝０，则称当ｘң０时，ｆ（ｘ）为无穷小．定义１中的极限过程ｘң０可以换为其他极限过程，例如ｘңɕ或ｘң１＋，根据定义１，易得１ｎ（ｎңɕ），ｘ２（ｘң０），１ｘ－１（ｘңɕ）均为无穷小．本文的极限过程总以ｘң０为代表．定义２㊀设ｌｉｍｘң０α＝ｌｉｍｘң０β＝０，若ｌｉｍｘң０βα＝Ｃ，则称ｘң０时，α与β是同阶无穷小．若Ｃ＝１，则称ｘң０时，α与β是等价无穷小，记为α β．根据高等数学中的两个重要极限，易得当ｘң０时，ｓｉｎｘｘ，ｌｎ（１＋ｘ）ｘ．等价无穷小的重要性体现在下面的定理上．定理１㊀设α αᶄ，β βᶄ，ｘң０，且ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０βα＝ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ．该定理的证明在高等数学教科书上能查到，在此证明省略．应用定理１时，大多是省略验证条件ｌｉｍｘң０βᶄαᶄ存在．下面通过一个例子来说明在求解极限时如何使用定理１．例１㊀求极限ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１．解㊀因为１＋ｘ－１ｘ２，ｅｘ－１ｘ，ｘң０，故ｌｉｍｘң０１＋ｘｓｉｎｘ－１ｅｘ２－１＝ｌｉｍｘң０１２ｘｓｉｎｘｘ２＝１２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１２．那么在使用的过程中学生容易犯的错误是什么呢？或者需要注意的地方有哪些呢？一㊁加减运算中不可用等价无穷小代换，同阶不等价无穷小可以用等价无穷小代换例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ．该题的常见错误是分子直接用等价无穷小ｓｉｎｘｘ，ｘң０代换，从而得出错误结论，即ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝ｌｉｍｘң００ｘ３＝０．正解㊀根据泰勒公式，易得ｓｉｎｘ＝ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()，故ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｓｉｎ３ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘ－１３！ｘ３＋ｏｘ３()()ｘ３＝ｌｉｍｘң０１３！ｘ３－ｏｘ３()ｘ３＝１６．例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４．请读者指出下面的解题过程错在哪里．ｌｉｍｘң０ｃｏｓｓｉｎｘ()－ｃｏｓｘｘ４＝－２ｌｉｍｘң０ｓｉｎｓｉｎｘ＋ｘ２ｓｉｎｓｉｎｘ－ｘ２ｘ４＝－ｌｉｍｘң０（ｓｉｎｘ＋ｘ）（ｓｉｎｘ－ｘ）２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ３＝１２４．上面倒数第二步作等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘｓｉｎｘ，ｘң０是错误的，在这里继续用洛必达法则就可得出正确结论．正解㊀接上面解题过程的第三步可得ｌｉｍｘң０ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）－ｃｏｓｘｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ２－ｓｉｎ２ｘ２ｘ４＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ１２ｘ２＝１６．在加减运算中，什么条件下可以用等价无穷小代换呢？下面的定理２给出了回答．定理２㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０且ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ存在，则ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．证明㊀利用极限的运算法则，直接展开计算得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２１３０ｌｉｍｘң０α－βγ＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋αᶄ－βγ()＝ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＋ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ＝ｌｉｍｘң０αᶄ－βγ．定理证毕．条件ｌｉｍｘң０α－αᶄγ＝０也可以记为α－αᶄ＝ｏ（γ），即α－αᶄ为γ的高阶无穷小．例３中，显然ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ３＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ３＝１８，不符合定理２的条件．例４㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２．解㊀因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘ()４ｘ２＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ４ｘ＝０，故可用等价无穷小代换ｓｉｎｘｃｏｓｘｓｉｎｘ，ｘң０，得ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ４ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘ４ｘ２＝０．二㊁复合函数的中间变量不可用等价无穷小代换这里以高等数学中常见的未定型为例．例５㊀求ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２．解㊀ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０１＋ｓｉｎｘ－ｘｘ()ｘｓｉｎｘ－ｘ[]ｓｉｎｘ－ｘｘ３＝ｅｘｐｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｘｘ３{}＝ｅ－１６．若这里采用等价无穷小来化简计算，则得如下的错误结论：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ２＝ｌｉｍｘң０ｘｘ()１ｘ２＝１．下面分析上面的错误解法到底错在哪里．定理３㊀α αᶄ β，ｘң０，ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝ɕ，ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１且ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）存在，则ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．证明㊀注意到αβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄˑαᶄβ()ｆ（ｘ）＝ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑαᶄβ()ｆ（ｘ），从而ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）ˑｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）．定理证毕．根据定理３，得ｌｉｍｘң０αβ()ｆ（ｘ）不能代换为ｌｉｍｘң０αᶄβ()ｆ（ｘ）的原因是ｌｉｍｘң０ααᶄ()ｆ（ｘ）＝１未必成立．易验证例５不满足定理３的条件，见例５的正解过程．请读者验证ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ()１ｘ可以作等价无穷小代换ｓｉｎｘｘ，ｘң０．类似于定理３，可得００型也可用等价无穷小代换．推论１㊀设α αᶄ，ｘң０，ｌｉｍｘң０β＝０且ｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ存在，则ｌｉｍｘң０αβ＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．证明㊀注意到αβ＝ｅｘｐβｌｎα{}＝ｅｘｐβｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}，从而ｌｉｍｘң０αβ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎα{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎααᶄ＋ｌｎαᶄ[]{}＝ｅｘｐｌｉｍｘң０βｌｎαᶄ{}＝ｌｉｍｘң０αᶄβ．定理证毕．例６㊀求ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ．解㊀ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２２()ｘ＝ｌｉｍｘң０１２()ｘｌｉｍｘң０ｘ２()ｘ＝ｅｘｐｌｉｍｘң０２ｘｌｎｘ{}＝０．三㊁遇零不可用等价无穷小代换在定理１中，当ｘң０时，ｌｉｍｘң０α＝０，切记，当ｘʂ０时，则αʂ０．例７㊀指出ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ２ｓｉｎ１ｘｘ＝ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎ１ｘ＝０的错误，并给出正确解法．解㊀令ｘｎ＝１ｎπ，则ｘ２ｎｓｉｎ１ｘｎ＝０，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ() ｘ２ｓｉｎ１ｘ，ｘң０错误，正解如下．显然，ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２ｓｉｎ１ｘɤｘ２，故对∀ε＞０，取δ＝ε，当０＜｜ｘ｜＜δ时，有ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝ｘ２ｘɤ｜ｘ｜＜δ＝ε，从而ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｓｉｎ１ｘ()ｘ＝０．上述几种利用等价无穷小代换求极限的方法，学生容易出错的原因是没有理解等价无穷小以及等价无穷小代换在乘除中的应用，个别题目在满足一定的条件下，加减和复合运算中也可以使用等价无穷小代换，但是条件验证较为复杂，这里不推荐使用．ʌ参考文献ɔ［１］许峰，范自强．高等数学：上［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１６．［２］赵琼．用等价无穷小代换求极限的两个误区［Ｊ］．高等数学研究，２００９，１２（５）：１７－１８．［３］国防科学技术大学大学数学竞赛指导组．大学数学竞赛指导［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００９．. All Rights Reserved.。

11考研辅导讲稿之极限例题资料版

a x −1 ~ x ln a ， ln(1+ x) ~ x ， n 1+ x −1 ~ x ， (1+ βx)α −1 ~ αβx . n
以上的等价无穷小中的 x 可以用相同形式的无穷小代替。如当 x→0 时，有
1− cos x ~ 1 ( x )2 = 1 x
2
2
例 1．010202（2）设当 x → 0 时， (1− cos x)ln(1+ x2 ) 是比 xsin xn 高阶的无穷小，而 xsin xn
，(
n =1,
2,
3,
"
)，证明
lim
n→+∞
xn
存在并求
出其极限值(1+ 2 ).
例 9（1）．设 f (x) 是周期为 T 的非负连续函数，求证：
∫ ∫ lim 1
x f (t)dt = 1
T
f (t)dt
x x→+∞ 0
T0
∫ 例 9（2）．000206 设 S(x) = x cos t dt 。（1）当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 0
2!
n!
无穷小运算规律— xm ⋅ o(xn ) = o(xm+n ) ； o(xm ) ⋅ o(xn ) = o(xm+n ) ； ± o(xm ) ± o(xn ) = o(xm ) （ m ≤ n ）； ko(xn ) = o(xn ) （k 是常数）。
例 10．计算
− x2
cos x − e 2
xn
−a
<
λ xn−1
−a
，则
lim
n→+∞

考研数学数学分析常见题型解题技巧分享

考研数学数学分析常见题型解题技巧分享在考研数学中，数学分析是一个重要的考试科目。

掌握数学分析的解题技巧对于考生来说是至关重要的。

本文将介绍几种常见的数学分析题型以及解题技巧，希望对考生有所帮助。

一、极限题型极限是数学分析中的基本概念，很多题目都与极限求解相关。

解决极限问题时，可以运用以下技巧：1. 利用夹逼定理来求解复杂的极限问题。

夹逼定理是极限的一个重要概念，可以帮助我们确定一个函数的极限值。

2. 如果是无穷小量的极限问题，可以使用等价无穷小代换求解。

将原问题转化为一个等价的无穷小量，从而求取极限值。

3. 对于一些特殊的函数极限，可以使用泰勒级数展开来计算。

通过将函数展开为无穷级数的形式，可以简化计算过程。

二、导数和微分题型导数和微分也是数学分析中常见的题型。

在解题时，可以使用以下技巧：1. 利用导数定义求解导数。

导数定义是求解导数的基本方法，将函数进行微小变化，然后求解极限值即可得到导数。

2. 利用导数的四则运算法则来计算导数。

根据导数的基本运算法则，可以将复杂的函数导数运算化简为简单的运算。

3. 对于隐函数求导，可以使用隐函数求导法。

利用隐函数求导法，可以将含有隐函数的导数求解转化为常规的导数求解。

三、积分题型积分是数学分析中的重要内容。

在解决积分题型时，可以运用以下技巧：1. 利用换元法进行积分计算。

通过进行变量代换，可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，从而解决积分问题。

2. 利用分部积分法进行积分计算。

分部积分法是积分运算的一种法则，通过对积分进行分部拆解，可以简化积分的计算过程。

3. 对于一些特殊的函数积分，可以使用定积分的性质来计算。

利用定积分的性质和几何意义，可以更加简便地计算积分值。

四、级数题型级数是数学分析中的重要内容之一。

在解决级数题型时，可以使用以下技巧：1. 利用比较判别法来判断级数的敛散性。

比较判别法是判断级数敛散的一种方法，通过将待判断的级数与已知级数进行比较，可以得出级数的敛散性。

考研数学-函数与极限

题型1 函数的性质一、基础知识例1.判别函数ln(y x =的奇偶性. 【答案】 ()()0f x f x +-=,奇函数.例2.在(,)-∞+∞内函数22(1)()1x f x x+=+为【D 】 (A)奇函数. (B)偶函数. (C)无界函数. (D)有界函数. 例3.(04－34)函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界【A 】(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 练习1.设sin ()tan xf x x xe=，则()f x 是【C 】(A) 偶函数. (B)周期函数. (C)无界函数. (D)单调函数.题型2 数列的极限二、例题 (1) 考查定义例1.下列命题中正确的是【D 】(A)当n 越大时,n u A -越小,则{}n u 必以A 为极限 (B) 当n 越大时,n u A -越接近于零,则{}n u 必以A 为极限(C)0,0,N ε∀>∃>当n N >时,有无穷项满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (D) 0,0,N ε∀>∃>当n N >时,仅有有限多项不满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限例2.(022)设103x <<,1n x +=(1,2,)n =,证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限.【答案】32例3 (06-12-12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求该极限 .(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】0,16e - 练习1.设1211112,2,,2,n nx x x x x +==-=-证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限. 【答案】 12.的极限存在,并求此极限.【答案】23.(96-1)设110,x=1nx+=(1,2,)n =,试证数列{}n x的极限存在,并求此极限.【答案】3（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求n项和的极限例4.(04-2)lim ln(1)n n→∞+【B】（A）221ln xdx⎰. （B）212ln xdx⎰. （C）212ln(1)x dx+⎰. （D）221ln(1)x dx+⎰.例5. （98-1）求2sin sin sin lim()1112nn nn n nnπππ→∞++++++. 【答案】2π.练习1.(02-2)1lim 1cosn n→∞+=π.2.(99-4)设函数()(0,1),xf x a a a=>≠则21lim ln[(1)(2)()]nf f f nn→∞=1ln2a.题型3 函数的极限(**)ln ,x a ,x x n．起到简化运算的作用(一) 考查定义、性质、定理例1.设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都不存在,则【D 】(A)0lim[()()]x x f x g x →+一定不存在.(B) 0lim[()()]x x f x g x →－一定不存在.(C)当0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－有一个存在，则另一个一定存在.(D)0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－都有可能存在.例2．设0x x →时，()f x 不是无穷大，则下述结论正确的是【D 】 (A)若()g x 是无穷小，则()()f x g x 必是无穷小. (B) 若()g x 不是无穷小，则()()f x g x 必不是无穷小. (C)若在0x x =的邻域内()g x 无界，则()()f x g x 必是无穷大. (D) 若在0x x =的邻域内()g x 有界，则()()f x g x 必不是无穷大. （二）0,00∞∞-∞⋅∞∞，，型未定式极限例3.(07-2) 30arctan sin limx x x x →-=16-. 例4.(07-34)3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 例5.(06-2) 0ln(1)lim1cos x x x x→+-=2.例6.(06-34-7分)设1sin(,),0,01arctan xy yyf x y x y xyxπ-=->>+求（1）()lim (,)y g x f x y →+∞=;（2）0lim ()x g x +→. 【答案】(1) 11()arctan xg x x x π-=-; (2)π. 例7.(05-34) 12sin lim 2+∞→x xx x = 2.例8.011lim()1x x x e x →++-= 12-. 练习1.0lim ln (0)nx x x n +→>=0.2.(99-2)0x →= 12-. 3.(92-1)x x →4.(93-2) lim )x x x →-∞=－50.5.(99-1) 211lim()tan x x x x →-=13. 6.(91-2)1101lim x x xex e+→-+ 1-.（三）幂指函数求极限（001,0,∞∞）例9.（06-34）()11lim nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭1.例10.（04-2-10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-例11. (90-1)设a 是非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-2a e . 练习1.(03-1) 21ln(1)lim cos x x x+→=12e -.2.tan 0lim(arcsin )xx x +→=1.3.1ln 0lim(cot )xx x +→= 1e -.(四)无穷小阶的比较例12.(07-1234)当0x +→等价的无穷小量是【B 】(A)1-(B) ln(1.(C) 1. (D) 1-例13.(04-12)把0x +→时的无穷小2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰,30t dt γ=排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是【B 】(A),,αβγ. (B),,αγβ. (C),,βαγ. (D),,βγα.练习1.(97-3)设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()()f x g x 是的【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小.2.(97-4) 设(),()f x x ϕ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()()f x x ϕ是的高阶无穷小,则当0x →时,()sin xf t tdt ⎰是0()xt t dt ϕ⎰的【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小. （五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值例14.（05-2）已知当0x →时,2()x kx α=与()x β=是等价无穷小,则常数k =34．例15. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续函数,且(0)0f ≠,'(0)0f ≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==- 方法一:导数定义方法二:连续函数在一点的极限可直接代值方法三:泰勒定理例16. (06-24)试确定常数,,A B C 的值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax O x ++=++，其中3()O x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.【答案】121,,336A B C ==-= 练习1. (91-1)已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =32-．。

2022考研数学讲解之求极限的11种方法

例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】（Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2