周衍柏理论力学教程第三版电子教案第一章质点力学
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理论力学第三版(周衍柏)习题答案
⎧x = r cosϕ + a cosψ
⎨ ⎩
y
=
a
sinψ
又由于在
∆
r AOB 中，有
sinψ
=
2a sin ϕ
（正弦定理）所以
2a sinψ 2 y
sin ϕ =
=
r
r
联立以上各式运用
sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1
由此可得
cosϕ = x − a cosψ = x − a 2 − y 2
1.8 解 以焦点 F 为坐标原点，运动如题 1.8.1 图所示]
-7-
y
M
•
θ
OF
x
题 1. 8. 1图
则 M 点坐标
对 x, y 两式分别求导
⎧x = r cosθ
⎨ ⎩
y
=
r
sinθ
⎪⎧ẋ = ṙ cosθ − rθ̇ sinθ
⎨ ⎪⎩
ẏ
=
ṙ
sinθ
+
rθ̇
cosθ
故
( ) ( ) v2
即 沿位矢方向加速度
( ) a = ̇ṙ − rθ̇2
垂直位矢方向加速度 对③求导
( ) a⊥ = rθ̇̇ + 2ṙθ̇
ṙ̇ = λṙ = λ2r
对④求导
θ̇̇ =
−
µθ r2
ṙ
+
µ r
θ̇
=
µθ
⎛ ⎜
⎝
µ r
+
λ
⎞ ⎟
⎠
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a//
=
λ2r
−
µ 2θ 2 r
理论力学教程(第三版)第一章 周衍柏编
r = a(1 − e2 ) 1 + ecosθ 式中 a 为椭圆的半长轴， e 为偏心率，都是常数。
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。
S 1.10 一质点沿着抛物线 y2 = 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 − 2k 倍。 C 如此质点从正焦弦 ⎜⎛ p , p ⎟⎞ 的一端以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为 r 。
1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直
的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它
对椭圆的压力。
1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mg cosθ ，式中θ 为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
C
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到 O 点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
I F = mh2 dp−2 2 dr
S 式中 m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，h = r2θ = 常数， p 为力心到轨道切线的垂
Y 直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
S 止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ 及任何时刻两段绳中的张力T 及
T′。
a
C
IT
T
•
•
T′
2m
Sm • T′
Y 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以
匀速转动时，物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。
1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。
S 1.10 一质点沿着抛物线 y2 = 2 px 运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的 − 2k 倍。 C 如此质点从正焦弦 ⎜⎛ p , p ⎟⎞ 的一端以速度 u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为 r 。
1.28 重为W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直
的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它
对椭圆的压力。
1.29 一质量为 m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为 2mg cosθ ，式中θ 为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
C
1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到 O 点所需的时间。
1.41 试导出下面有心力量值的公式：
I F = mh2 dp−2 2 dr
S 式中 m 为质点的质点，r 为质点到力心的距离，h = r2θ = 常数， p 为力心到轨道切线的垂
Y 直距离。
1.42 试利用上题的结果，证明：
S 止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ 及任何时刻两段绳中的张力T 及
T′。
a
C
IT
T
•
•
T′
2m
Sm • T′
Y 1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体。当滑轮以
匀速转动时，物体以匀速 v0 下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
第一章 质点力学ppt课件
6.加速度
a lim v dv v d2r r
t 0 t dt
dt2
加速度一定指向轨道的凹侧.
§1.2 速度、加速度的分量表示式
1. 直角坐标系
vr
r x&i
r y&j
r z&k
rrr
vxi vy j vzk
ar
r v&x i
v&y
r j
r v&z k
rr r
&x&i &y&j &z&k
切向加速度
法向加速度
a
set
s2
en
内禀方程
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对
轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自
然的在坐不联标同系描的.a建述描立中述这方的个法物联理中系量有的不与基其同本他的依表坐据标达是系形: 中式速的,度但物它和理们加量的速之v大度间
小和方向是惟一确定的.
质点的位置由坐标量 和r确定, 要明确极角 的正
方向 (即 的增加方向)!
vd drtd drterrddetr
de rlie m r(t t)e r(t)
dt t 0
t
lt i0 m e tr lt i0 m te e
径向速度
横向速度
v r e rr e
a d dv td dt(r e rr e )
（2）牛顿第二定律
质点所获得的加速度的大小, 与它所受作用力的大
小成正比, 与它的质量成反比; 加速度的方向与所受作
用力的方向相同.
m rF mv F
d
(mv)
F
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
理论力学第一章质点力学(3)
这时 闭合路径积分等于零
F dr F dl 0
（保守力定义之三）
L
※ 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运
动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
□保守力的判据：
由场论知 F dl F ds 0
L
S
L 为任意
F 0
Fz Fy 0, y z
即：
cosq sinq 7q 6 7dq
98p 2 70p
例2 （P38）在上题中，如
Fx 2x 3y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
则结果如何？
解：略
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
16
§1、8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
通过求解
阻力，则叫单摆。如单摆从幅角 q0（ q0不一定很小）
的地方自由落下，试用两种不同方法（机械能守恒与 运动定律 ）求摆锤通过最低点时的速度。
解： （1）机械能守恒
1 2
mv2
mgl
0
mgl
cosq0
于是得到 v 2gl 1 cosq0
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
27
（2）运动定律求解
Fx x 2y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6
求此质点沿螺旋线 x cosq, y sinq, z 7q 运行自q=0至 q=2p时，力对质点所作的功。
解： 先检验一下，作用力是不是保守力？
Fz Fy 11 0, y z
Fx Fz 11 0, z x
微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse）
积分形式 力对时间的积累
dP Fdt
周衍柏理论力学课件(PPT可修改版本)
爱因斯坦 (1879-1955)
1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，
自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛 顿来！一切遂臻光 明！
一、理论力学研究对象
物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：
物质层 次
宇观
线度 >108m
宏观
10-1—103m
亚宏观
10-6—10-3m
原子
10-10—10-9m
矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。
分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。
二、理论力学研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合 理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证。 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译 更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构
理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
•释 的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子： 量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1~100nm 尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
(完整版)理论力学(周衍柏)绪论及第一章
定理、结论
应用
五、理论力学的发展史
早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静 力学基础。
意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。
波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。
德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度 的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原 理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体 力学等。是力学奠基人。
核磁共振
X光机
4、20世纪初相对论和量子力学的建立，诞生了近代 物理，开创了微电子技术的时代。如：半导体芯片、电 子计算机等。
半导体芯片
5、20世纪60年代，激光器诞生。激光物理的进展使激 光在制造业、医疗技术和国防工业中的得到了广泛的应用。 如：大家熟悉的微机光盘就是用激光读的；光导纤维等。
6、20世纪80年代高温超导体的研究取得了重大突破，为 超导体的实际应用开辟了道路。如：磁悬浮列车等。80年代， 我国高温超导的研究走在世界的前列。
DNA结构发现者英国科学家莫里斯.威尔金斯
DNA的双螺旋结构
航空母舰
海洋石油钻井平台
我国祖先的功绩
赵州桥又名安济桥，全长50.82米，桥面宽9米，是一座单孔坦拱式 桥梁。 赵州桥由隋朝著名工匠李春主持设计建造。他创造的坦拱式、敞肩式 建桥法，在当时堪称独步，桥梁质量上乘。赵州桥结构合理，外型秀 丽，富有民族风格，素有“奇巧固护，甲于天下”的美誉。
大学出版社，2004 7 哈尔滨工业大学理论力学教研室 ，理论力学，高教出版社，2009 8 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学
dr dr d d 1 / u d 1 du du r 2 h dt d dt d dt u d d 2 d dr du d du d u 2 2 r h h h u dt dt d d d d 2
1 2
k' r E mr r
2 2 2
因为能量总是大于零, 所以轨道是双曲线的一支 右图为粒子散射图. O为 原子核(力心), 质点轨道 的对称轴是通过力心及 其最近距离点c的直线oc, 因此轨道的两条渐近线 和oc相交的角度是一样的. 可看出质点通过力心附 近的偏转角
2 m v k' cot , or cot 2 2 k' mv 2
与实验结果比较 定义：n —入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的 单位截面积的粒子数。 dN —单位时间内在～＋d内散射的粒子数 散射截面 d dN
n
d d
dN n 2 d d 2 d
此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要
பைடு நூலகம்
抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足
p (u ) h 3 u
2
那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道 后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来
轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度
第二宇宙速度
3. 当 e 1
E0
双曲线 脱离太阳
仿照地球： v
2GM s 42.2 103 m / s Rs
地球相对太阳的速度： ve 30 10 3 m / s
3 v v v 12 10 m/s 行星脱离太阳的速度： e
周衍柏《理论力学教程第三版》电子教案章作业解答
T
N
T
物 体 : ma2 mg T
圆 柱 : M a1 T f
I0
d dt
T
f R,I0
1 2
MR2
Mr
f Mg
m mg
xC
R , d dt
xC R
a1 R
a1
3M4m8gm,a2
8mg 3M8m
a A 2a1 a2
T 3Mmg 3M8m 团结 信赖 创造 挑战
4.2) 一直线以匀角速在一固定平面内绕一端O转动. 当直线位于Ox的位置时, 有
mx2mysin
x2ysinC1
my2mzcosxsiny2zcosxsinC2
mzmg2mycos
zgt2ycosC3
在t =0,
x y 0,z v0, x yz 0
x 2ysin
y 2zcosxsin
zv0 gt2ycos
将这个结果反代入第一式, 忽略2项. 化简,得
团结 信赖 创造 挑战
x0
竖直直线所成的角满足下列关系
tan
a2
b2 2ab
解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图. 按照题意,知道
R
A
B m1g
m 1a,m 2b
m2g
C
平衡时:
i n 1 M A 0 m 1 g a 2 si m n 2 g b 2 c o a ss i n ta ( m n 1 m 2 2 b m 2 ) a
y2gtcos2v0cos
zg
再进行积分,并代入初始条件得:
x 0
y gt2cos2v0tcos
zv0 gt
x 0
再积分,并代入初始条件得:
y
理论力学(周衍柏)绪论及第一章
（3）极坐标下的运动学方程
r r(t)
(t)
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s(t)
对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如 柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运 动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分 析方法。 2、轨道
2R
求加速度
aaxy
4 R 2 4 R 2
cos 2t sin 2t
a
ax2 ay2 4R2
二、极坐标系
1、速度：
注意: i , j 方向都变化，乘积函数求导。
①先求：
di i i 1d
d 0
同理： ②速度分量式：
绪论
一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间
物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
(2) 位置描述
①质点相对某参照系的
位置，可由位矢r 确定;
②坐标描述：
直角坐标系:
r
xi
yj
zk
极坐标系：
P(r, )
自然坐标系：
P
s
二、运动学方程及轨道
理论力学 周衍柏第一章
v’’
v’ v
解得
v 4i 4 j
2
例6: 小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点。假定水流 速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度为C2. 求船的轨迹.
解:取岸为靜系，水流为动系，船为质点， 并建立如图极坐标系
由:
θ 绝对速度v — —船对岸（径向分量已 知） x 相对速度v — —船对水(未知) A 牵连速度v0 — —水对岸（已知） dr c2 dt c2 dr c2 vr vor vr d rd c1 sin r c1 sin c1 sin v vo v dt
2) 非光滑约束
dv (1) m dt F f 2 v Fn Rn ( 2) m 0 Fb Rb ( 3)
2 2 f RN Rn Rb
R
2 2 f 2 Rn Rb
4个方程4个未知数,可解
二、运动微分方程求解
给出初始条件： t t0时, r t0 r , v t0 vo
可解得质点 的运动规律
2)平面极坐标:
若质点在 xOy 平面上运动:
2 F (r , , r , t ) r , r m r 或 F (r , , r , t ) , m r 2r
到达河中间时：
x t t
时
dx 2c vx y dt d v dy u y dt
dy u dt
dy udt
0 0
y
t
y ut
d cd d y ,x ,t 2 4u 2u
（2）当 d 2 y d 时
理论力学第三版-课件PPT
1. 选出几个相互独立的物理量作为基本量； 通常基本量都是选取可以直接测量的 物理量.
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出 关系式）.
3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）
4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大
理论力学教程（第三版） 电子教案
使用方法
▪ 本电子教案是用Microsoft Office中的PowerPoint
应用程序制作而成. 在所有安装了Microsoft Office 应用程序, 并能够运行自如的计算机上都能够操 作使用.
▪ 本电子教案共分五章, 每章内容都是是以节为单
位建立一个独立的PPT文件.
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 0 x3 1 (3) x1 0 x2 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
求解上述方程组, 得到 x1 1, x2 1, x3 2
于是我们得到
ln[ P] 1 ln[ n] 1 ln[ m] 2 ln[ v]
§0.2 理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量.
• 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量 情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出 关系式）.
3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）
4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大
理论力学教程（第三版） 电子教案
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由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 0 x3 1 (3) x1 0 x2 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
求解上述方程组, 得到 x1 1, x2 1, x3 2
于是我们得到
ln[ P] 1 ln[ n] 1 ln[ m] 2 ln[ v]
§0.2 理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量.
• 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量 情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学
r
r0
t dr v dt
t0
2 例1 已知质点的运动方程 r 2t i 19 2t j
求：1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以 及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解： （1）
x 2t ,
y 19 2t 2
消去时间参数
1 2 y 19 x 2
8 tg 7558 2
1
dr v 2i 4tj dt
-2
dv a 4 j dt
（ 3）
方向沿y轴的负方向 a 4 m s 2 r v 2ti 19 2t j 2i 4tj
t
d 2 h0 2 v0
, hc h0 1 2 h v2 0 0
2 g h0 d 2 2 h0
2 g h0 d 2
0
显然只有
v
2 0
时才可能击中
2 极坐标系
极坐标系：空间p的位置（r，）
当p沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线. 沿矢径方向
j p r c v i
2 （ 2） r 2 2 i 19 2 2 j 4 i 11 j t 2 dr v 2i 4tj m/s v t 2 2i 8 j dt
v2 2 8 8.25 m/s
2 2
• 自然坐标系，切向、法向加速度 • 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速 度、牵连(加)速度.
§1.1
1 质点
运动的描述
具有一定质量的几何点
自由质点：可以在空间自由移动的质点. 确 定它在空间的位置需要三个独立变量.
理论力学(第三版)第1章第3节平动参考系
c1
M r
c1
c2
径向
dr dt c2
A
横向
rddt c1co9s0 0()
解微分方程：两式相除
dr c2 cscd
r c1
积分
lnrc2 lntanc
c1
2
令
c2 k，
c1
2
设初始条件：
t0， rr0， ＝ 0
得轨道方程： rr0tak ncokt0
例4 当人站在岸上以速度v匀速拉动何种小船时，求 小船的运动速度和加速度.
解： x2l2h2 vv
x l2 h2
hh
Ll uu
XX
u dxi1(l2h2)1 22ldli
xx
dt 2
dt
l
u
vi
l2 h2
addutvx2h32
i
质点运动学小结
• 质点、参考系、坐标系、质点位矢 • 运动学方程、轨道 • 位移、速度、加速度
1 直角坐标系 v r drxi xiy j yz jk zk a d dvtxiyjzk dt
y´
S S´r
r0
O´
r
O
v
P x´
x
dv dudv dt dt dt
aa0a
vabvaxvxb
例1 某人骑自行车以速率v向东行驶.今有风以同样的 速率由北偏西30°方向吹来.问：人感到风是从哪个方 向吹来？
解： vvv0
v0
北偏西30° v
v
例2 求抛体轨道顶点的曲率半径
解: 在抛物线的顶端
v0
处, 速度只有水平分
量v0cos, 加速度 g 是
沿法向的. 所以
v0 cos
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第三章1-3刚体力学
4 定点转动： 一点固定不动, 刚体围绕过这点的某一 瞬时轴转动(三个变量).
5 一般运动：刚体不受任何约束，可以在空间任意运动.
质心的平动
+
绕质心的转动
§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
z
角坐标
约定
(t )
P
x
>0 沿顺时针方向转动 < 0
沿逆时针方向转动 角位移
O
y
x
(2) 坐标系O- 固定不动, 坐标系 O-xyz 固定在刚体上 随之一起转动.
假定O- 系和 O-xyz系开始重合, 令O-xyz绕 轴逆时 针转动 , 于是x轴和 轴分开，y 轴和轴分开, 而且Ox 轴转到Ox’(即ON);
z
O
z
y
y
O N x
变化范围：
0 2
0 2
0
z
y y
O
x
N
O 平面和xOy 平面的交线ON 称节线. ON和O间的夹角 是一个欧勒角(进动角). ON和Ox间的夹角是另一个欧勒角(自 转角). O和Oz间的夹角是第三个欧勒角(章动角).
从图知: z轴垂直ON, 故 z轴位置与N有关, 因此 z轴位置要用
x
进动
然后令活动系绕ON 转动 ,于是 z 轴和 轴分开, 活 动系三个轴变到x’’, y’’和z’’, z’’轴和 轴夹角是 , x’’ Oy’’平面和O平面夹角也是 .
z
y
O N x
z
O
y
x N
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思考问题：
•拔河比赛胜负的关键是什么？
摩擦力的大小，大者赢
•马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向 拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端 需要几匹马，才能拉开半球？ 还是8匹 •大人国是否能够存在, 利用几何相似性分析之. 不可能,重力就会压坏他
2 力学相对性原理和伽利略变换
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
牛顿第三定律
Fab Fba
注意:二力同时存在, 分别作用于两个物体上，属同一性质的力
力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
伽利略变换
x x vt x x vt
y y
y y
z z
z z
t t
t t
正变换
逆变换
y
s
y
s
vt
o o z z
u u v a a
P x x
y
s
y
s
P
t t 0 ,坐标原点重合
vt
x x vt
o o
x x
z z
x x vt
y y
y y
z z
正变换
t t
z z
逆变换
t t
伽利略变换中默认了绝对时空
速度变换： dx d (x vt) d (x vt)
dt dt
dt
x轴方向有相 对匀速运动
ux ux v uy u y uz uz
式中C为比例常数, S为翅膀的面积,飞翔的条件
f mg ,即 v mg CS
我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质
量m ~ l3, S ~l2,于是起飞的临界速度 vc l
燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约 25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍, 这是小型 飞机的起飞速度, 鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.
空间有相对 匀速运动
u u v
加速度变换： a a
经典力学规律具有伽利略变换不变性：
S
：
FmaS ： Nhomakorabea Fma
小结
牛顿第一定律
任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持
静止状态或匀速直线运动状态. 惯性定律
牛顿第二定律
F
dp
dt
动量： p mv
F Fi
i
注意:质点 惯性系 瞬时性 矢量性
惯性： 物体保持其运动状态不变的性质 力： 物体间相互作用
它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学 体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系
惯性系与非惯性系
y´
a
T
x´
F
mg
惯性系 牛顿定律成立的参考系
非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系
牛顿第二定律
F
dp
dt
动量：
P
mv
F Fi
• 平面极坐标
m(r r2 ) m(r 2r)
Fr (r, , r,,t) F (r, , r,,t
)
• 自然坐标
m
dv dt
F
m
v2
Fn
0
Fb
（3）初始条件
t 0，r r0，v v0
（4）求解运动微分方程
r r(t )
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
2. 非自由质点
• 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替
对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权 的、等价的。
在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能 判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。
觉不而行舟
《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略 1632
(ii) 牛顿的绝对时空观
绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界 事物无关而永远相同和不动的。 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着， 而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无 关地流逝着。
• 运动微分方程
m
d
2r
F(r,
dr,
t)
R
dt 2
dt
• 解方程与自由质点一样
• 注意（1）R一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便
1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内
R
m
dv dt
F
(1)
m
v2
Fn
Rn
( 2)
n
F
0
Fb
Rb
( 3)
b
(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.
章 质点力学
动力学的主要内容
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究内容包括：
1. 动力学第一类问题——已知系统的运动， 求作用在系统上的力。 2. 动力学第二类问题——已知作用在系统上 的力,求系统的运动。
Issac Newton
（1643－1727）杰出的
英国物理学家,经典物理
i
注意:质点 惯性系 瞬时性 矢量性
牛顿第三定律
Fab Fba
注意:二力同时存在, 分别作用于两个物体上，属同一性质的力
例 鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞是翅 膀的退化. 但是如果它长一副和身体成比例的翅膀,它 能飞起来吗?
解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气
上举力(与空气阻力一样的公式)为: f CSv2
—— 牛顿
长度的量度和时间的量度都与参考系无关 ！？
(iii) 伽利略变换
在两个惯性系中考察 同一物理事件
y
s
y
s
vt
o o z z
s 两个惯性系： s
P x x
一物理事件： 质点到达 P 点 两个惯性系的描述分别为：
(x, y,z,t) ( x , y , z , t )
两个描述的关系称为变换
2) 非光滑约束
m
dv dt
F
R
(1)
m
v2
Fn
Rn
( 2)
0
Fb
Rb
( 3)
R RN Rn2 Rb2
R R 2 Rn2 Rb2
4个方程4个未知数,可解
例题1 力仅是时间的函数
自由电子在沿x轴的振荡电场中运动： Ex E0 cos(t )
§1.5 质点运动微分方程
导读
• 运动微分方程建立 • 运动微分方程求解
建立运动微分方程
F
r(t
)
1. 自由质点
m
d 2r dt 2
F(r,
dr, dt
t)
解微分方程： （1）受力分析
万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、 摩擦力、介质阻力等.
（2）化为标量方程
• 直角坐标系
mx Fx (x, y, z, x, y, z,t) my Fy (x, y, z, x, y, z,t) mz Fz (x, y, z, x, y, z,t)
学的奠基人.他的不朽巨
著《自然哲学的数学原理》
总结了前人和自己关于力
学以及微积分学方面的研
究成果. 他在光学、热学
牛顿
和天文学等学科都有重大 发现.
§1.4 质点运动定理
导读
• 牛顿三定律、惯性、力 • 惯性系、非惯性系、惯性力 • 力学相对性原理、伽利略变换
1 牛顿运动方程
牛顿第一定律 任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持 静止状态或匀速直线运动状态. 惯性定律