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[西北工业大学国家精品课程]机械原理-PPT课件完整版 (1)

西北工业大学【国家精品教程国家精品教程】机械原机械原理（课件完整版）目录• • • • • • 第一章第章第二章第三章第四章第五章第六章绪论机构的结构分析平面机构的运动分析平面机构的力分析机械的效率及自锁机械的平衡目录• 第七章机械的运转及其速度波动的调节 • 第八章平面连杆机构及其设计 • 第九章凸轮机构及其设计 • 第十章齿轮机构及其设计目录• 第十第十一章章齿轮系及其设计 • 第十第十二章章其他常用机构 • 第十三章工业机器人机构及其设计第章第一章绪论§1-1 本课程研究的对象及内容 §1-2 学习本课程的目的 §1-3 如何进行本课程的学习返回§1-1本课程研究的对象及内容1．研究对象机械是机构和机器的总称。

机构是指一种用来传递与变换运动和力的可动装置和力的可动装置。

机器是指一种执行机械运动装置，可用来变换和传递能量、物料和信息。

可用来变换和传递能量物料和信息实例：内燃机工件自动装卸装置六自由度工业机器人 2．研究内容有关机械的基本理论操作机示教板控制系统§1-2学习本课程的目的课程性质、任务及作用机械未来发展§1-3如何进行本课程的学习掌握本课程的特点注重理论联系实际逐步建立工程观点认真对待每个教学节认真对待每个教学环节机器和机构的概念（1）机构机构是指是指一种用来传递与变换运动和力的可动装置种用来传递与变换运动和力的可动装置。

如常见的机构有带传动机构、链传动机构、齿轮机构、凸轮机构、螺旋机构等等。

旋等等这些机构一般被认为是由刚性件组成的。

而现代机构中除了刚性件以外，还可能有弹性件和电、磁、液、气、声、光…等元故这类机构称为广义机构而由刚性件组成的机构就称为狭件故这类机构称为广义机构；而由刚性件组成的机构就称为狭件。

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2018.01.01 汇报人：海湾同学社
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机械原理西北工业大学版 PPT

运动副中的法向反力与摩擦力
的合力FR21称为运动副中的总反力，
总反力与法向力之间的夹角φ，称
为摩擦角，即
φ ＝ arctan f
Ff21
φ v12
1 F
总反力方向的确定方法： 2
1）FR21偏斜于法向反力一摩擦角φ ；
2）FR21偏斜的方向应与相对速度v12的方向相反。G
举例：例4-1 斜面机构
S2 aS2 m2 JS2
C
可简化为总惯性力FI′2
3
lh2＝MI2/FI2
C
MS2(F′ I2)与α2方向相反。
S3 m3
（2）作平面移动的构件（如滑块3）作变速移动时，则
FI3 ＝－m3aS3
构件惯性力的确定(2/5)
3
aS3
C FI3
（3）绕定轴转动的构件（如曲柄1）若曲柄轴线不通过质心，则
（1）质量代换的参数条件
• 代换前后构件的质量不变； • 代换前后构件的质心位置不变； • 代换前后构件对质心轴的转动惯量不变。
（2）质量动代换同时满足上述三个条件的质量代换称为动代换。
构件惯性力的确定(4/5)
如连杆BC的分布质量可用集中在B、K两点的集中质量mB、 mK来代换。
mB + mK＝ m2
运动副中摩擦力的确定(4/8)
G
ω12 ρ
Md
O
ρ
FR21
Mf
Mf = Ff21r = fv G r 轴承2 对轴颈1 的作用力也用
FN21 Ff21
总反力FR21 来表示则, FR21 = -
故
Mf
=
fvG
r
G, =FR21ρ
Ff21=fvG fv=(1～π/2) f

西工大工作汇报模板

西北工业大学工作汇报 PPT模板
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汇报人：小明
2019
Northwestern Polytechnical University
目录 contents
基础扎实 01
/ Strong Preparation
工作踏实 02
/ Diligent Effort
作风朴实 03
/ Practical Attitude
开拓创新 04
/ Creative Innovation
01
基础扎实
Strong Preparation
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01 基础扎实 | Strong Preparation
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Northwestern Polytechnical University
基础扎实
工作踏实
作风朴实
开拓创新

西北工业大学材料考研材料科学基础PPT课件

2.力学性能：
（1）弹性模量是材料应力-应变曲线上弹性变形段的斜率，在拉伸变形中通常称它为杨式模量，以E表示。而结合键能是影响弹性模量的主要因素，结合键能越大，则“弹簧”越“硬”，原子之间距离的移动所需要的外力就越大，即弹性模量越大。如金刚石具有最高的弹性模量值， E=1000GPa；其他一些工程陶瓷如碳化物、氧化物等结合键能也较高，它们的弹性模量为250600GPa；由金属键结合的金属材料，弹性模量略低些，一般约为70-350GPa；而聚合物由于二次键的作用，弹性模量仅为0.7-3.5GPa。
质上是一个裸露的质子，对另一个电负性值较
大的原子Y表现出较强的吸引力，这样，氢原子
便在两个电负性很强的原子（或原子团）之间形
成一个桥梁，把二者结合。起来，成为氢键。所
以氢键可以表达为：X-H—Y。
氢与X原子
（或原子团）为离子键结合，与Y之间为氢键结
合，通过氢键将X、Y结合起来，X与Y可以相同或
不同。
正由于大多数工程材料的结合键是混合的，混合的方式比例又随材料的组成而变，因此材料的性能可在很广的范围变化。从
而满足工程实际各种不同的需要。
（4）结合键的本质及原子间距
固体中原子是依靠结合键力结合起来的
不论是何种类型的结合键，固体原子间总存在着两种力：一是吸引力，来源于电荷间的静电吸引；二是同种电荷之间的排斥力。当距离很远时，排斥力很小，只有当原子间接近至电子轨道互相重叠时，排斥与吸引力相等，两原子便稳定在此相对位置上，这一距离r0相当于原子的平衡距离，或称为原子间距。当原子距离被外力拉开时，吸引力则力图使它们回到平衡距离r0
料硬而脆。原子排列不紧密，晶体结构复杂，故共价键晶体陶瓷密度低。

西北工业大学电子课设PPT课件

针对本专业的要求，所进行的更为全面的综合性训练
四年所学课程
3
• 本次课程设计的理论基础课程 1. 电路理论 2. 信号与系统 3. 模拟电子技术 4. 数字电子技术 5. 其他
• 本次课程设计的基础实验课以上课程的实验课
4
一、目的和要求
1)巩固和加深所学电子技术课程的基本知识，提高综合运用所学知识的能力；
题目一、交通控制器题目二、简易拔河游戏机题目三、LED点阵显示字符题目四、通用示波器显示字符
9
课程设计题目一：交通控制器
设计一个铁路和公路交叉路口的交通控制器。 • 当有火车通过交叉路口时，栏杆放下，禁止车辆和行人通行， • 当火车通过交叉路口后，栏杆抬起，路口放行。
平面位置示意图
10Biblioteka 课程设计二、简易拔河游戏机
4、元件选择 a、确定元件功能、性能指标。 b、确定元件来源。 c、多查资料。
15
5、计算参数
a、各元件的工作电压、电流、频率、功率，要留余量。
b、对环境温度、电网电压按最不利因素考虑。 c、对极限参数按1.5倍左右考虑。 d、尽可能降低成本、减少元件品种、功率、
功耗、体积电压按最不利因素考虑。
16
6、审图 a、先从全局出发检查总体方案是否合理。
b、检查各单元之间配合，电平、时序、逻辑关系和负载等。
c、是否可以简化。
d、个元件是否工作在额定值以内。
e、变动时再查一遍。
17
7、电路安装
1）、整体布局和元件位置按排。
b、充分利用面积、减少连线。 c、要便于测量、调试、更换、输入输
出不能靠的太近。 d、产生磁场元件分开、屏蔽、垂直。
器件：电阻器

西北工业大学学术报告论文答辩精美框架式PPT模板

实用论文答辩
专业：信息科技答辩人：XX XX XX 导师：XX XX XX
【本模板有完整的论文逻辑结构框架，参考和实用价值高；学校LOGO可变换】
01 02
课题背景及内容
BACKGROUND AND ISSUES
课题现状及发展
SITUATION AND DEVELOPMENT ISSUES
03
04 05
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02
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论
文的重要形式
文的重要形式
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者（撰写毕业论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、

10套风格西北工业大学主题工作报告通用ppt模板

开拓创新
Creative Innovation
合作QQ： 243001978
目录
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基础扎实
Strong Preparation
工作踏实
Diligent Effort
作风朴实
Practical Attitude
开拓创新
Creative Innovation
合作QQ： 243001978
合作QQ： 243001978
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基础扎实
Strong Preparation
02
工作踏实
Diligent Effort
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作风朴实
Practical Attitude
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开拓创新
Creative Innovation
合作QQ： 243001978
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04
基础扎实
Strong Preparation
工作踏实
Diligent Effort
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Practical Attitude
开拓创新
Creative Innovation
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Part 1
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基础扎实 / Strong Preparation 工作踏实 / Diligent Effort
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合作QQ： 243001978
西北工业大学主题PPT模板
The powerpoint template of Northwestern Polytechnical University
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西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第2版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法：},,,{321L a a a S =性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立)21S S =2121,S S S a S a ⊆∈⇒∈∀即 1212,S S S b S b ⊆∈⇒∈∀即交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+例1 R}0{2221111∈==j i a a a a A S R}0{2212112∈==j i a a a aA S ，21S S ≠ R},00{2211221121∈==a a a a A S S I R},0{21122221121121∈===j i a a a a a a a A S S U R}{2221121121∈==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的.)(,2b a S b =∈σ记作称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i nn j i ．映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即V y x V y x ∈+∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈∀++=++(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x xx V ∈∀=+∈∃θθ使得(4) 有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,x x V x V x 使得.(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即V kx K k V x ∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈∀+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈∀+=+(7) 数因子结合律：)()()(K l xkl lx k ∈∀=(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间][t P n —多项式空间；—函数空间],[b a CC =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =⊗∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=⇒=⇒=⊕θθθm m m m(4) m m m m m 1)(1)()(m =−⇒=−⇒=−⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R 是R 上的线性空间．例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+数乘： ),(21ξξαk k k =运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘： ))1(21,(2121ξξξα−+=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2⋅+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+−−=−Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．证设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ例6 在线性空间V 中，下列结论成立．θ=x 0：θ=⇒=+=+x x x x x 01)01(01θθ=k ：θθθθ=⇒=+=+k kx x k k )(kx)()1(x x −=−：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x −=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x −+=−．3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称x 是的线性组合，或者可由线性表示．m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性相关．5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性无关．[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）三、基与坐标1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；n x x ,,1L (2) V x ∈∀都可由线性表示．n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；(2) ．∑∑==×==mi nj j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .mn n m =×dimR2．坐标：给定线性空间V 的基，当时，有n n x x ,,1L n V x ∈n n x x x ξξ++=L 11．称n ξξ,,1L 为在给定基下的x n x ,,1L x 2坐标，记作列向量．Τ1),,(n ξξαL =例8 矩阵空间2R ×中，设22)(×=j i a A ．(1) 取基，22211211,,,E E E E 2222212112121111E a E a E a E a A +++=坐标为Τ22211211),,,(a a a a =α(2) 取基 , , , =11111B =11102B =11003B=10004B 422432132122111)()()(B a B B a B B a B B a A +−+−+−= 421223122121112111)()()(B a a B a a B a a B a −+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(a a a a a a a −−−=β[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．例如：在上述两个基下的坐标都是；22n n E A =Τ)1,0,0,0(11E A =在上述两个基下的坐标不同．Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一．证设V 的基为，对于，若 n x x ,,1L n V x ∈ n n x x x ξξ++=L 11n n x x ηη++=L 11则有 θηξηξ=−++−n n n x x )()(111L因为线性无关, 所以n x x ,,1L 0=−i i ηξ, 即),,2,1(n i i i L ==ηξ.故的坐标唯一．x n 例9 设线性空间V 的基为, 元素在该基下的坐标为n x x ,,1L j y ),,2,1(m j j L =α, 则元素组线性相关（线性无关）m y y ,,1L ⇔向量组m αα,,1L 线性相关（线性无关）．证对于数组, 因为m k k ,,1L θαα=++=++))(,,(11111m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于θαα=++m m k L 11k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为, 基(Ⅱ)为, 则n n x x ,,1L n y ,,1L y+++=+++=+++=n nn n n nn n nn x c x c x c y xc x c x c y x c x c x c y L L L L L L 22112222112212211111 C=nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 212222111211写成矩阵乘法形式为 (C x x y y n n ),,(),,11L L =称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而n n y ,,1L y 1−线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=C y y x x n n L L称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为n V x ∈α和β,则有 =++=n n x x x ξξL 11α),,(1n x x Ln n y y x ηη++=L 11β),,(1n y y L =βC x x n ),,(1L =由定理2可得βαC =，或者，称为坐标变换公式. αβ1−=C 例10 矩阵空间22R ×中，取基(Ⅰ) , , ,=10011A −=10012A =01103A−=01104A (Ⅱ) , , , =11111B =01112B =00113B=00014B(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．解采用中介法求过渡矩阵.基(0)：, , ,=000111E =001012E =010021E=100022E (0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A = (0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =，−−=00111100110000111C=00010011011111112C (Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321B B B B (2114321),,,(C C A A A A −=−−==−0100012211101112210110011010011001212211C C C C+++++++==332143243214321432122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对1V 中的线性运算封闭，即 (1) 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀ (2) 11,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀称V 为1V 的线性子空间，简称为子空间．1[注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且V V dim dim 1≤.(2) }{θ是V 的线性子空间, 规定dim{0}=θ. (3) 子空间V 的零元素就是1V 的零元素. 例11 线性空间V 中，子集V 是1V 的子空间⇔对11,,,,V ly kx K l k V y x ∈+∈∀∈∀．有证充分性. ：1==l k 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀0=l ：110 ,V y kx kx K k V x ∈+=⇒∈∀∈∀故V 是1V 的子空间.必要性. 11 ,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）11 ,V ly K l V y ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）故（加法封闭）1V y l x k ∈+例12 在线性空间V 中，设),,2,1(m i V x i L =∈，则 }{111K k x k x k x i mm ∈++==L V是V 的子空间，称V 为由生成的子空间．1m x x ,,1L 证 m m x k x k x V x ++=⇒∈L 111∀m m x l x l y V y ++=⇒∈∀L 111:1111)()(V x l l kk x l l kk y l kx m m m ,K l k ∈∀ ∈++++=+L根据例11知，V 是1V 的子空间．[注] (1) 将V 记作span 或者．1},,{1m x x L ),,(1m x x L L (2) 元素组的最大无关组是的基； m x x ,,1L ),,(1m x x L L (3) 若线性空间V 的基为，则V ． n n x x ,,1L ),,(1n n x x L L = 2．矩阵的值域（列空间）：划分（），n m n n m j i a A ××∈==C ),,()(1ββL m j C ∈β称),,()(1n L A R ββL =为矩阵的值域（列空间）． A 易见A A R rank )(=dim ．例13 矩阵A 的值域}C {)(n x AxA R ∈==β.证 ∈∀β左, 有右∈= =++=Ax k k k k n n n n M L L 1111),,(βββββ∈∀β右, 有左∈++===n n n n k k k k Ax βββββL M L 1111),,( 3．矩阵的零空间：设，称n m A ×∈C }C ,0{)(n x Ax xA N ∈==为矩阵A 的零空间．易见A n A N rank )(−=dim ．Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为n 1)(,,1n m x x m <L , 则存在n n m V x x ∈+,,1L , 使得为V 的基．n m m x x x x ,,,,,11L L +n 证线性表示不能由m n m x x V x n m ,,11L ∈∃⇒<+ ,,,11线性无关+⇒m m x x x L若，则是V 的基;n n m =+111,,,+m m x x x L n 否则，mn <+1线性表示不能由112,,,++∈∃⇒m m n m x x x V x L ,,,,211线性无关++⇒m m m x x x x L若，则是V 的基;m =+2211,,,,++m m m x x x x L n 否则，m ． L L ⇒<+n 2依此类推, 即得所证．六、子空间的交与和1．子空间的交：}{2121V x V x x V ∈∈=且I VTh4 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 是21V I V 的子空间．证 212121,V V V V V V I I ⇒∈⇒∈∈θθθ非空∈+⇒∈∈+⇒∈⇒∈∀221121,,,V y x V y x V y x V y x V V y x I 21V V y x I ∈+⇒∈⇒∈∈⇒∈⇒∈∀∈∀221121,V kx V x V kx V x V V x K k I 21V V kx I ∈⇒ 所以V 是21V I V 的子空间．2．子空间的和： },{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+ Th5 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是V 的子空间．证 212121,V V V V V V +⇒+∈+=⇒∈∈θθθθθ非空∈∈+=∈∈+=⇒+∈∀22112122112121,,,,,V y V y y y y V x V x x x x V V y x )()(2211y x y x y x +++=+⇒，222111,V y x V y x ∈+∈+ 21V V y x +∈+⇒22112121,,,V x V x x x x V V x K k ∈∈+=⇒+∈∀∈∀221121,,V kx V kx kx kx kx ∈∈+=⇒ 21V V kx +∈⇒所以V 是21V +V 的子空间． [注] 不一定是21V V U V 的子空间．例如：在2R 中，V )()(2211e L V e L ==与的并集为}R ,0),({212121∈=⋅==i V V ξξξξξαU易见21212121)1,1(,,V V e e V V e e U U ∉=+∈但, 故加法运算不封闭.2Th6 设V 是线性空间1,V V 的有限维子空间，则)(dim dim dim )(dim 212121V V V V V V I −+=+ 证记，dim 11dim n V =22n V =，m V V =21I dim 欲证 m n n V V −+=+2121)(dim (1) ：(1n m =121121)V V V V V V =⇒⊂I I22121221)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+212221dim )(dim (2) ：(2n m =221221)V V V V V V =⇒⊂I I12112121)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+211121dim )(dim(3) ：设V 的基为，那么212L 1,n m n m <<21V I m x x ,,1L 扩充为V 的基： (Ⅰ) m n m y y x x −1,,,,,11L L 扩充为V 的基： (Ⅱ) m n m z z x x −2,,,,,11L L 考虑元素组： (Ⅲ)m n m n m z z y y x x −−21,,,,,,,,111L L L 因为 (Ⅰ)，V (Ⅱ) ，所以 V V =1L =2L V =+21(Ⅲ) （自证）．下面证明元素组(Ⅲ)线性无关：设数组k 使得m n m n m q q p p k −−21,,,,,,,,111L L L m n m n m m y p y p x k x k −−+++++111111L L θ=+++−−m n m n z q z q 2211L由 (*)∈++−∈+++++=−−−−21111111)(2211V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x ++=⇒∈L I 1121 结合(*)中第二式得θ=+++++−−m n m n m m z q z q x l x l 221111L L(Ⅱ)线性无关0,0211======−m n m q q l l L L ⇒结合(*)中第一式得θ=+++++−−m n m n m m y p y p x k x k 111111L L(Ⅰ)线性无关0,0111======−m n m p p k k L L ⇒故元素组(Ⅲ)线性无关，从而是V 21V +的一个基．因此 m n n V V −+=+2121)(dim ． 3．子空间的直和：},{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+唯一唯一记作：V2121V V V ⊕=+Th7 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是直和⇔}{21θ=V I V ．证充分性．已知}{21θ=V I V ：对于21V V z +∈∀，若∈∈+=∈∈+=221121221121,,,,V y V y y y z V x V x x x z 则有 2221112211,,)()(V y x V y x y x y x ∈−∈−=−+−θ22112211212211,,)(y x y x y x y x V V y x y x ==⇒=−=−⇒∈−−=−⇒θθI 故的分解式唯一, 从而V 21V V z +∈2121V V V ⊕=+．必要性．若}{21θ≠V I V ，则有21V V x I ∈≠θ．对于21V V +∈θ，有2121)(,),(,,V x V x x x V V ∈−∈−+=∈∈+=θθθθθθ即21V V +∈θ有两种不同的分解式．这与V 21V +是直和矛盾．故}{21θ=V I V ．2推论1 V 是直和1V +2121dim dim )(dim V V V V +=+⇔推论2 设V 是直和，V 的基为，V 的基为，221V +1k x x ,,1L 2l y y ,,1L 则V 的基为．1V +l k y y x x ,,,,,11L L 证因为，且 2),,,,,(11l k y y x x L L L =1V V + l k V V V V +=+=+2121dim dim )(dim所以线性无关, 故是V 的基． l k y y x x ,,,,,11L L l k y y x x ,,,,,11L L 21V +§1.2 线性变换及其矩阵一、线性变换1．定义线性空间V ，数域K ，T 是V 中的变换．若对V y x ∈∀,，∀，K l k ∈,都有 )()()(Ty l Tx k ly kx T +=+，称T 是V 中的线性变换．性质 (1) θθ=+=+=)(0)(0)00(Ty Tx y x T T(2) T )()(0))(1()0)1(()(Tx Ty Tx y x T x −=+−=+−=− (3) 线性相关⇒线性相关V x x m ∈,,1L m Tx Tx ,,1L (4) 线性无关时，不能推出Tx 线性无关．V x x m ∈,,1L m Tx ,,1L (5) 是线性变换T y T Tx y x T +=+⇔)(,)()(Tx k kx T =(V y x ∈∀,,K k ∈∀)例1 矩阵空间nn ×R ，给定矩阵，则变换TX = BX +XB (n n B ×n n X ×∈∀R )是n n ×R 的线性变换．2．线性变换的值域：},{)(V x Tx y y T R ∈==3．线性变换的核： },{)(V x Tx x T N ∈==θTh8 设T 是线性空间V 的线性变换，则R (T )和N (T )都是V 的子空间．证 (1)V 非空⇒非空． )(T R 1111st ,)(Tx y V x T R y =∈∃⇒∈∀ 2222st ,)(Tx y V x T R y =∈∃⇒∈∀)()(212121T R x x T Tx Tx y y ∈+=+=+ )21V x x ∈+Q ( )()()(111T R x k T Tx k y k ∈== (),1V kx K k ∈∈∀Q 故R (T )是V 的子空间．(2) )(,T N T V ∈⇒=∈θθθθ，即非空．)(T Nθ=+=+⇒∈∀Ty Tx y x T T N y x )()(,，即)(T N y x ∈+． θ==⇒∈∀∈∀)()(),(Tx k kx T K k T N x ，即kx )(T N ∈．故N (T )是V 的子空间．[注] 定义：T 的秩 =dim R (T )，T 的亏 = dim N (T ) 例2 设线性空间V 的基为， T 是V 的线性变换，则 n n x x ,,1L n ，),,()(1n Tx Tx L T R L =n T N T R =+)(dim )(dim证 (1) 先证：∀),,()(1n Tx Tx L T R L ⊂Tx y V x T R y n =∈∃⇒∈st ,)(∈++=⇒++=)()(1111n n n n Tx c Tx c y x c x c x L L L ),,(1n Tx Tx L 再证R ：),,()(1n Tx Tx L T L ⊃ )()(st ,,,),,( 1111n n n n Tx c Tx c y c c Tx Tx L y ++=∃⇒∈∀L L L n )()()()(11T R Tx c Tx c y T R Tx n n i i V x ∈∈++=⇒∈⇒L(2) 设dim , 且的基为, 扩充为V 的基：m T N =)()(T N m y y ,,1L n n m m y y y y ,,,,,11L L +则 ),,(),,,,,()(111n m n m m Ty Ty L Ty Ty Ty Ty L T R L L L ++==设数组k 使得n m k ,,1L +θ=++++)()(11n n m m Ty k Ty k L , 则 θ=++++)(11n n m m y k y k T L因为T 是线性变换, 所以)(11T N y k y k n n m m ∈++++L , 故m m n n m m y l y l y k y k ++=++++L L 1111即 θ=+++−++−++n n m m m m y k y k y l y l L L 1111)()( 因为线性无关, 所以n m m y y y y ,,,,,11L L +0,,01==+n m k k L ．因此线性无关, 从而n m Ty Ty ,,1L +m n T R −=)(dim , 即dim ． n m T R =+)( 例3 向量空间4R 中，),,,(4321ξξξξ=x ，线性变换T 为)0,0,433,3(43214321ξξξξξξξξ+−−−−+=Tx 求和的基与维数． )4(T R )(T N 解 (1) 取R 的简单基，计算4321,,,e e e e Te ，)0,0,3,1(1=)0011(2，，，−=Te ，)0,0,3,3(3−−=Te ，Te )0,0,4,1(4−= 该基象组的一个最大线性无关组为． 21,Te Te 故dim R (T ) = 2，且R (T )的一个基为Te ．21,Te (2) 记，则 −−−−=43131311A }0{}{)(41====ξξθM A x Tx x T N 的基础解系为，．041=ξξM A 0233−4073 故dim N (T ) = 2，且N (T )的一个基为(3, 3, 2, 0)，(－3, 7, 0, 4)． 4．单位变换：线性空间V 中，定义变换T 为Tx )(V x x ∈∀=，则T 是线性变换，记作T ． e 5．零变换：线性空间V 中，定义变换T 为 )(V x Tx ∈∀=θ，则T 是线性变换，记作T ．0 6．线性变换的运算：线性空间V ，数域K ，线性变换T 与T ． 12 (1) 相等：若T )(21V x x T x ∈∀=，称T =T ． 12 (2) 加法：定义变换T 为 )(21V x x T x T Tx ∈∀+=，则T 是线性变换，记作T 21T T +=．负变换：定义变换T 为 )()(1V x x T Tx ∈∀−=，则T 是线性变换，记作T 1T −=．(3) 数乘：给定，定义变换T 为 K k ∈)()(1V x x T k Tx ∈∀=，则T 是线性变换，记作T 1kT =．[注] 集合Hom(V ，V )}{def的线性变换上的线性空间是数域V K T T =按照线性运算(2)和(3)构成数域K 上的线性空间，称为V 的同态．(4) 乘法：定义变换T 为 )()(21V x x T T Tx ∈∀=，则T 是线性变换，记作T 21T T =．7．逆变换：设T 是线性空间V 的线性变换，若V 的线性变换满足 S T n)()()(V x x x TS x ST ∈∀== 则称T 为可逆变换，且S 为T 的逆变换，记作． S =−1 8．幂变换：设T 是线性空间V 的线性变换，则也是V 的线性变换．),3,2(1defL ==−m T T Tm m9．多项式变换：设T 是线性空间V 的线性变换，多项式)()(10K a t a t a a t f i mm ∈+++=L 则也是V 的线性变换． m m e T a T a T a T f +++=L 10)(二、线性变换的矩阵表示1．线性变换在给定基下的矩阵设线性空间V 的基为，T 是V 的线性变换，则Tx ，且有n x x ,,1L n n i V ∈+++=+++=+++=n nn n n nnn nn x a x a x a Tx xa x a x a Tx x a x a x a Tx L L L L L 22112222112212211111=nn n n n n a a a a a a a a a A L M M M L L 212222111211 写成矩阵乘法形式 TA x x Tx Tx x x n n n ),,(),,(),,(11def1L L L ==称A 为线性变换T 在基下的矩阵．n x x ,,1Ln n [注] (1) 给定V 的基和线性变换T 时，矩阵A 唯一． n x x ,,1L (2) 给定V 的基和矩阵A 时，基象组Tx 确定．n x x ,,1L n Tx ,,1L n V x ∈∀n n x c x c x ++=⇒L 11，定义变换()()n n Tx c Tx c Tx ++=L 11则T 是线性变换．因此线性变换T 与方阵A 是一一对应关系．例4 线性空间的线性变换为 ][t P n ()()()()][t P t f t f t f T n ∈∀′= ．基(I)：!,,!2,,12210n t f t f t f f nn ====L基(II)：n n t g t g t g g ====,,,,12210L 记T 在基(I)下的矩阵为，T 在基(II)下的矩阵为．因为 1A 2A 112010,,,,0−====n n f Tf f Tf f Tf Tf L 112010,,2,,0−====n n ng Tg g Tg g Tg Tg L 所以，=010********M O O L L A=0002000102n A M O O L L 易见．21A A ≠)2(≥n 例5 线性空间V 中，设线性变换T 在基下的矩阵为A ，则n n x x ,,1L dim R (T ) = rank A ，dim N (T ) = n - rank A ．证 rank A = m ⇔A 的列向量组n ββ,,1L 中最大无关组含m 个向量元素组Tx 中最大无关组含m 个向量 ⇔n Tx ,,1L dim R (T ) = dim ⇔m Tx Tx L n =),,(1L由例2知另一结论成立．2．线性运算的矩阵表示（将线性变换运算转化为矩阵运算）T Th9 设线性空间V 的基为，线性变换T 与的矩阵n n x x ,,1L 12A 与，则 B (1) T 1+T 2在该基下的矩阵为B A +． (2) kT 1在该基下的矩阵为． kA (3) T 1T 2在该基下的矩阵为AB ． (4) T 在该基下的矩阵为11−1−A ．证 ()()()()B x x x x T A x x x x n n n n ,,,,,,,,,112111L L L L T == (1) 略．(2) 略．(3) 先证：()()[]()[]C x x T C x x T c C n n m n ij ,,,,,11L L ==×∀左=[]()()[]∑∑∑∑=iimii i im i i Tx c Tx c x c x c,,,,11L L T=()=C Tx Tx n ,,1L 右由此可得 ()()()[]()[]B x x T x x T T x x T T n n n ,,,,,,11121121L L L ==()[]()AB x x B x x T n n ,,,,111L L ==(4) 记T，则 211T =−()131221−=⇒==⇒==A B I BA AB T T T T T e ．3．象与原象坐标间的关系Th10 线性空间V 的基为线性变换T 在该基下的矩阵为A ，n ,,,1n x x L 的坐标为，T x 的坐标为，则．nV x ∈n ξξM 1n ηηM 1 =n n A ξξηηM M 11 证 n n x x x ξξ++=L 11()()()() ==++=n n n n n n A x x Tx Tx Tx Tx Tx ξξξξξξM L M L L 111111,,,,由定理2知．= n n A ξξηηM M 11 4．线性变换在不同基下矩阵之间的关系n Th11 线性空间V 的基(I)：，基(II)：n x x ,,1L n y y ,,1L 线性变换T ：()()A x x x x n n ,,,,11L L T =()()B y y y y T n n ,,,,11L L = 由基(I)到基(II)的过渡矩阵为C ，则．AC C B 1−= 证因为 ()()()()AC C y y AC x x C x x T y y T n n n n 11111,,,,,,−===L L L L ()()B y y y y T n n ,,,,11L L = 所以． AC C B 1−=三、线性变换的特征值与特征向量1．定义线性空间V ，线性变换T ，若K ∈0λ及V x ∈≠θ满足Tx x 0λ=，称0λ为T 的特征值，x 为T 的对应于0λ的特征向量（元素）． 2．算法设线性空间V 的基为，线性变换T 的矩阵为． n n x x ,,1L n n ×A T 的特征值为0λ，对应的特征向量为x ．x 的坐标为，T x 的坐标为=n ξξαM 1αA ，x 0λ的坐标为α．λ0 因为 αλαλ00=⇔=A x Tx ，所以T 的特征值与A 的特征值相同；的对应于T 0λ的特征向量的坐标就是A 的对应于0λ的特征向量．例6 设，线性空间=1011B (){}R ,0221122∈=+==×ij ij x x x x X V ，线性变换为()V X B X X B ∈−=T T TX ，求T 的特征值与特征向量．解+ + −= −=⇒∈000000002112111111211211x x x x x x x xX V X+ + −=010000101001211211x x x 可得V 的简单基为= = −=0100,0010,1001321X X X 由公式求得 TX−= −= −=0110,0110,0110321TX TX 故T 在简单基下的矩阵为−−−=111111000A A 的特征值与线性无关的特征向量为；====110,011,02121ααλλ −==110,233αλ T 的特征值与线性无关的特征向量为()−====1011,,,01321121αλλX X X Y Y ()==0110,,23212αX X X ()−===0110,,,2332133αλX X X Y 例7 线性空间V ，线性变换T ，{}V x x Tx x ∈==,00λλV 是V 的子空间．证 ∈⇒=∈θθλθθ0,T V 0λV , 即V 非空．0λ 0(),λV y x ∈∀()y x y x Ty Tx y x T +=+=+=+⇒000λλλ0λV y x ∈+⇒()()()()kx x k Tx k kx T V x K k 000,λλλ===⇒∈∀∈∀⇒0λV kx ∈0λ0 故V 是V 的子空间．[注] 若λ是线性变换的特征值，则称V 为T 的特征子空间．0λ 3．矩阵的迹：．()∑=×==ni ii nn ija A a A 1tr ,∆Th12 ()()BA AB B A m n n m tr tr ,=⇒××．证 ()()m n ij n m ij b B a A ××==,，()m m ij u AB ×=∆，()n n ij v BA ×=∆：，v()∑===nk ki ik ni i in i ii b a b b a a u 111,,M L ()∑== =m i ik ki mk k km k kk a b a a b b 111,,M L()()BA v a b b a u AB nk kk n k m i ik ki mi n k ki ik mi ii tr tr 111111=== ==∑∑∑∑∑∑====== Th13 若A 相似于B ，则tr B A tr = ．证由AP P B 1−=可得 ()()A P AP AP PB tr )(tr tr tr 11===−− [注] 因为相似矩阵有相同的特征值（Th14 -- 线性代数课程结论）所以线性变换的特征值与线性空间中基的选取无关4．三角相似Th17 相似于上三角矩阵．n n A × 证归纳法．n =1时，()11a A =是上三角矩阵⇒A 相似于上三角矩阵．假设n = k －1时定理成立，下证n = k 时定理也成立．的特征值为k k A ×k λλλ,,,21L ，对应1λ的特征向量为1x 111x Ax λ=⇒．扩充为C 的基：（列向量）1x k k x x x ,,,21L ()k x x x P ,,,211L =可逆，()k Ax Ax Ax AP ,,,211L = ()k j x b x b x b Ax Ax kkj j j j k j ,,2C 2211L L =+++=⇒∈()=kk k k k k b b b b b b x x x AP L M MM L L L 222211212110,,,λ=−011121111A b b AP P k M L λ 的特征值为1A k λλ,,2L ，由假设知，存在1−k 阶可逆矩阵Q 使得,=−k Q A Q λλM O L *211=000012Q P M L ∆==⇒=−k AP P P P P λλλ∆***21121O M O LL 由归纳法原理，对任意n ，定理成立． 5．Hamilton-Cayley 定理Th18 设，则()()n n n n n n a a a A I A ++++=−=−−×λλλλλϕ∆111det ,L ()n n n n n n O I a A a A a A A ×−−=++++=111L ∆ϕ证 A 的特征值为()()()()n n λλλλλλλϕλλλ−−−=⇒L L 2121,,,．由Th17知，存在可逆矩阵，使得． n n P ×=−n AP P λλM O L *11 ()()()()I AP P I AP P I AP P AP P n λλλϕ−−−=−−−−121111LL O M OLO M OL−−−−=221112*0*****0λλλλλλλλn n−−−0***11n n n λλλλM O O LL OM O L LO M M M O L L−−−=33231*0******00**00**00**00λλλλλλn O n n n =−−−0***11λλλλM O O L 即 ()()O A O P A P =⇒=−ϕϕ1． [注] (1) ()I a A a A a A a A a A n n n n nn 1221111,00−−−−−++++−=≠⇒≠L (2) {}I A A A n n ,,,span 1L −∈例8 ，计算−−=210111111A 501002A A +．解 ()()()21det )(,2)(250100−−=−=+=λλλλϕλλλA I fϕ除f ： ()2210)()()(λλλλϕλb b b g f +++=()λλλϕλ212])()([)(b b g f ++′=′ 由可得5110022)2(,200)1(,3)1(+==′=f f f−+=+−−=−+=⇒ +=++=+=++2032260622400222242 2002 35110025210115110005110021021210b b b b b b b b b b b()()2210A b A b I b A f O A ++=⇒=ϕ 6．最小多项式：以为根，且次数最低的首1多项式，记作n n A ×()λm ． ()()()11≥∂⇒≠=⇒=λλm O I A f f()()()()n m O A A I ≤∂⇒=⇒−=λϕλλϕ18Th ,det例9 ()()()42,0312512332−−=−−−−=λλλϕA ()()()()1:R 11>∂⇒≠+=∈∀+=λλλm O kI A A f k k f()()()()()()()()λλλλλ22242:42f m O I A I A A f f =⇒=−−=−−= Th19 (1) 多项式()λf 满足()()()λλf m O A f ⇒=;(2) ()λm 唯一．证 (1) 反证法．()()()()()()λλλλλλr g m f f m +=⇒/| ()0≡/λr 且()()λλm r ∂<∂ ()()()()A r A g A m A f +=⇒ ()()()λλm r O A r O A m O A f ∂<∂=⇒==,)(,)(()λm ⇒不是A 的最小多项式，矛盾！(2) 设()λm 与()λm~都是A 的最小多项式，则 ()()()()()()()()λλλλλλm m m m O A m m m O A m ~|~~|~1=⇒⇒=⇒=首 Th20 ()λm 与()λϕ的零点相同（不计重数）．) 证 Th19(λm ⇒的零点是()λϕ的零点．再设0λ是()λϕ的零点，则有()()()x m x A m x x Ax 000λλ=⇒≠=()()()0000=⇒=⇒=λλm x m O A m , 故也是0λ()λm 的零点．[注] ()()的全部单因式一定含λϕλm ⇒20Th ．但()λm 不一定是()λϕ的全部单因式的乘积．例如：． ()()()()1,1,10112−≠−= =λλλλϕm A 7．最小多项式求法Th21 对，设n n A ×A I −λ的第i 行第j 列元素的余子式为()λij M ，则 ())(det )(λλλd A I −=m （[])(max )(,λλij j i M d =）例10 设，求−−−−=031251233A )(λm ．解 ,−−−−=−λλλλ31251233A I ()()()42det )(2−−=−=λλλλϕA I , 65211+−=λλM ()2321−=λM , ()2231−=λM212−=λM , , 23222+−=λλM ()2232−=λM()213−−=λM , ()2323−−=λM , 128233+−=λλM ()()8642)()()(,2)(2+−=−−==−=λλλλλλϕλλλd m d 例11 相似于n n A ×()()λλB A n n m m B =⇒×．证11−−=⇒=PBP A AP P B 取)()(λλA m f =, 则()O A m A f A ==)(, 从而有 ()()O P A f P AP P f B f ===−−11)(①()()() |),(|19Th λλλλA B B m m f m 即⇒ 取)()(λλB m g =, 则O B m B g B ==)()(, 从而有 ()()O P B g P PBP g A g ===−−11)(② ()()() |),(|19Th λλλλB A A m m g m 即⇒ ①+②得：()()λλB A m =m ．四、对角矩阵Th24 在线性空间V 中，线性变换T 在某基下的矩阵为对角矩阵 n T 有n 个线性无关的特征向量（元素）．⇔证必要性．设V 的基为，且n n x x ,,1L ()()Λn n x x x x ,,,,11L L T =，),,diag(1n λλΛL =，则有()()(n n n n n x x x x Tx Tx λλλλ,,,,,,11111L O L L ==) ),,2,1(n j x Tx j j j L ==⇒λ是T 的n 个线性无关的特征向量 n x x ,,1L ⇒ 充分性．设T 有n 个线性无关的特征向量，即 n y y ,,1L T n j y y j j j ,,2,1,L ==λ取y 为V 的基，则有n y ,,1L n ()()()n n n n y y Ty Ty y y T λλ,,,,,,1111L L L === ()n n y y λλO L 11,, Th25 相似于对角矩阵n n A ×⇔A 有n 个线性无关的特征向量（列向量）．证 A 相似于),,diag(1n λλΛL =()n x x P ,,1L =⇔存在可逆矩阵，使得Λ=−AP P 1 ()()Λn n x x x x A ,,,,11L L =⇔n j x Ax j j j ,,2,1,L ==⇔λ A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n x x ,,1L Th26 有n 个互异的特征值A 相似于对角矩阵．n n A ×⇒ 算法：线性空间V 的基，线性变换T 在该基下的矩阵A 相似于n n x x ,,1L),,diag(1n λλΛL =，确定V 的新基，使得T 在新基下的 n n y y ,,1L 矩阵为Λ．求P 使Λ=−AP P 1，令()()P x x y y n n ,,,,11L L =，则有 ()()()AP x x P x x T y y T n n n ,,,,,,111L L L ==()()Λn n y y AP P y y ,,,,111L L ==−例12 在22R ×中, 给定, 线性变换为=0410B XB TX = , )2R 22×∈∀X (求2R ×的一个基, 使线性变换T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解取22R ×的简单基, 求得T 在该基下的矩阵为22211211,,,E E E E=0100400000010040A 求P 使得Λ=−AP P 1：,−−=2222Λ−−=1010202001010202P 由可得P E E E E B B B B ),,,(),,,(222112114321= −= −= = =1200,0012,1200,00124321B B B B 故在基下的矩阵为T 4321,,,B B B B Λ．五、不变子空间线性空间V ，子空间V ，线性变换T ．1 若对∀，有Tx ，称V 是T 的不变子空间． 11V x ∈1V ∈1[注] V 是T 的不变子空间时，可将T 看作V 中的线性变换．1例 ① 子空间{V x x Tx x ∈==,00λλ}V 是T 的不变子空间．000λλλV x Tx V x ∈=⇒∈∀Q ② 子空间R (T )是T 的不变子空间． ()()T R Tx V T R x ∈⇒⊂∈∀Q ③ 子空间N (T )是T 的不变子空间． ()()T N Tx T N x ∈=⇒∈∀θQ④ 与V 1V 2是T 的不变子空间2121,V V V V +⇒I 亦是T 的不变子空间．1°21221121,,V V Tx V Tx V x V Tx V x V V x I I ∈⇒∈∈∈∈⇒∈∀ 2°22112121,,V x V x x x x V V x ∈∈+=⇒+∈∀ 221121,,V Tx V Tx Tx Tx Tx ∈∈+=⇒ 21V V Tx +∈⇒Th27 线性空间V ，线性变换T ，V 与V 是T 的不变子空间，且n 1221V V V n ⊕=．T 在V 1的基下的矩阵为A 1,,1n x x L 1，T 在V 2的基下的矩阵为A 2,,1n y y L 2．则T 在V 的基n 21,,,,,11n n y y x x L L 下的矩阵为．=21A OO AA 证因为 ()()11111,,,,A x x Tx Tx n n L L =，()()21122,,,,A y y Ty Ty n n L L =所以 ()21,,,,,11n n y y x x T L L ()()[]21,,,,,11n n Ty Ty Tx Tx L L = ()()[]211121,,,,,A y y A x x n n L L =()()[]=211121,,,,,A O O A y y x x n n L L ()A y y x x n n 21,,,,,11L L =[注] 若T 在V 的基下的矩阵，则 n 21,,,,,11n n y y x x L L=21A OO AA ()1,,11n x x L V L ∆=与()2,,12n y y L L ∆=V 都是T 的不变子空间，且V ． 2−1V V n ⊕=六、Jordan 标准形1．λ矩阵：()()()()λλλij n n ij a a A ,×=是λ的多项式． (A 的秩：()λA 中不恒等于零的子式的最高阶数．)λ−λ矩阵的初等变换：行变换列变换(1) 对调： r j i r ↔ c j i c ↔ (2) 数乘()0≠k ： kc i kr i (3) 倍加（多项式是 )(λp ）： ()j i r p r λ+ ()j i c p c λ+ 2．行列式因子：()=λk D 最大公因式(){}阶子式的所有k A λ 不变因子： ()()()()()n k D D D d k k k ,,2,1,101L ===−λλλλ初等因子： ()λk d 的不可约因式[注] 考虑−λ矩阵A I −λ可得A 的最小多项式()()()λλλλ1)(−==n n n D D d m例13 ，求−−=201034011A A I −λ的全体初等因子．解()1,2010340111=−−−−+=−λλλλλD A I 因为(24210430134−=−−−=−−λλλλ与) 互质，所以 ()()()()()23212det ,1−−=−==λλλλλA I D D ．不变因子为 ()()()()()21,1,12321−−===λλλλλd d d ．全体初等因子为．()2,12−−λλ 3．初等变换法求初等因子()()多项式是首1)()()(1λλλλk n f f f A→O)(λk f 的不可约因式为()λA 的初等因子例如：在例13中−−−+−→−−−−+=−↔21004301120103401121λλλλλλλc c A I−−−→−−−+−→−+−−+2100)1(00012100)1(00112)1()1(2)3(11212λλλλλλλc c c r r ()()()()−−−−→−−−→−+↔21002100101021000121222332λλλλλλr r r r−−→−−−)2()1(000100012)1()2(223λλλc c c 于是 ()()()()()21,1,12321−−===λλλλλf f f ．故A I −λ的全体初等因子为()2,12−−λλ．[注] 设()n n ij a A ×=，称A I −λ的行列式因子（不变因子，初等因子）为A 的行列式因子（不变因子，初等因子）．4．Jordan 标准形设()n n ij a A ×=的全体初等因子为()()()s i ms mi mλλλλλλ−−−,,,,11L L则有 ()()L ===−=−)()()(det 1λλλλλϕn n n d D D A I()()()s i ms mi mn d d D λλλλλλλλλ−−−==L L L 1110)()()(而且 m n m m s i =++++L L 1对于第i 个初等因子构造阶Jordan 块矩阵，以及准对角(i mi λλ−)J J J i m i 矩阵如下：ii m m i ii i J ×=λλλ11O O ，=s J J J J O21称为矩阵A 的Jordan 标准形．Th29 设矩阵A 的Jordan 标准形为J ，则存在可逆矩阵P ，使得．J AP P =−1例如：在例13中，A 的Jordan 标准形为=2111J ． [注] 若A 的全体互异特征值为l λλ,,1L ，表示A 的Jordan 标准形中i m 含i λ的Jordan 块的最高阶数，则()()l ml mm λλλλλ−−=L 11)(．5．特征向量分析法求初等因子设()()A I −=λλϕdet 的一个不可约因式为()r0λλ−，则是A 的k 个初等因子的乘积(r0λλ−) ()00=−⇔x A I λ的基础解系含k 个解向量（证明略去） ⇔ 对应特征值0λ有k 个线性无关的特征向量 ⇔ ()A I n k −−=0rank λ例14 求的Jordan 标准形．=1132231121A) 解2()1()det()(3−−=−=λλλλϕA I 由rank 知，(是A 的2)1(=−A I 3)1−λ224=−个初等因子的乘积，即2)1(−λ和()1−λ的乘积, 故A 的全体初等因子为． 2,1,)12−−−λλλ(A 的Jordan 标准形为．=21111J [注] 在例14中，将,233=a 143=a 改作133=a ,043=a 时，此法失效．6．相似变换矩阵的求法仅适用于初等因子组中()j i j i ≠≠λλ的情形．()()()()i m i i s iX X P P P P ,,,,,11L L == s i J P AP PJ AP i i i ,,2,1,L ==⇔=()()()()()()()()()()i m i i m i i i i i i m i i ii i X X X X X AX AX AX λλλ++=−121121,,,,,,L L ()()()()()()()()()()()()()()()()−=−−=−−=−−=−=−=−−−0 011121211的一个解是的一个解是的非零解是i m i i m i m i m i i i i i i i i i i i i i i i X X A I X X X A I X X A I X X X A I X A I X X A I λλλλλλL L L L L L可以证明：()()()i m i i iX X X ,,,21L 线性无关．在例13中，2,111==m λ，求()()1211,X X ：()−=−−−−=−121,101024012111X A I λ()[]()−=−−−−−−=−−110,110120241012,12111X X A I λ 1,222==m λ, 求()21X ：()=−−−=−100,001014013212X A I λ．故．−−=111012001P 例15 解线性微分方程组 ()()()+=′+−=′+−=′3132122112 34ξξξξξξξξξt t t ．解 ()()()()()()()()()()t Ax t x A t t t t x t t t t x =′ −−=′′′=′=:201034011,,321321ξξξξξξ已求得，使得−−=111012001P J AP P =−1 2111=，则有 ()()()[]()[]t x P J t x P t x APP P t x P 11111−−−−−=′⇒=′()()()()()==−t t t t x P t y 3211ηηη∆()()t y J t y =′⇒()()()=′=′+=′33222112 ηηηηηηηt t t ()()()() =+=⇒+=′=⇒t t t t t ec t e t c e c t e c t e c t 23321121122ηηηηη ()()+−−+==3212112ηηηηηηt y P t x ()()()()() ++−−=++=+=⇒tt tt t t e c t c e c t e t c e c t e t c e c t 232132122111122ξξξ (c 为任意常数) 321,,c c ［注］})({)(0211∫−+=ttd e c e t ττηητ求线性变换在给定基下的矩阵——方法总结：n 给定线性空间V 的基，设线性变换在该基下的矩阵为n x x ,,1L T A ．一、直接法(1) 计算基象组T ，并求出T 在基下的坐标 )(,),(1n x T x L )(j x n x x ,,1L （列向量）),,2,1(n j j L =β；(2) 写出T 在给定基下的矩阵n x x ,,1L ),,(1n A ββL =．二、中介法(1) 选取V 的简单基，记作n n εε,,1L ；（要求V 中元素在该基下的坐标能够直接写出）n (2) 写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵C （采用直接法）； (3) 计算基象组T )(,),(1n T εεL ，并写出T )(j ε在简单基n εε,,1L 下的坐标（列向量）),,2,1(n j j L =β，以及T 在简单基下的矩阵),,(1n B ββL =；(4) 计算T 在给定基下的矩阵． n x x ,,1L BC C A 1−=三、混合法(1) 选取V 的简单基，记作n n εε,,1L ；(2) 写出由简单基改变为给定基的过渡矩阵C （采用直接法），则有 =),,(1n x x L C n ),,(1εεL(3) 计算基象组T ，并写出T 在在简单基)(,),(1n x T x L )(j x n εε,,1L 下的坐标（列向量）),,2,1(n j j L =β，以及矩阵),,(1n B ββL =，则有))(,),((),,(11n n x T x T x x T L L =B n ),,(1εεL =BC x x n 11),,(−L =(4) 计算T 在给定基下的矩阵．n x x ,,1L B C A 1−=§1.3 欧氏空间与酉空间一、欧氏空间1．内积：线性空间V ，数域R ，对V y x ∈∀,，定义实数()y x ,，且满足⑴ 交换律 ()()x y y x ,,=⑵ 分配律 ()()()V z z x y x z y x ∈∀+=+,,,, ⑶ 齐次性 ()()R ,,,∈∀=k y x k y kx ⑷ 非负性 ()()θ=⇔=≥x x x x x 0,,0, 称实数(为x 与y 的内积.)y x , 例 ① 线性空间n R 中：()()n n y x ηηξξ,,,,,11L L ==内积1：()n n y x ηξηξ∆++=L 11, 内积2：() ()0,,11>++=h h y x n n h ηξηξ∆L ② 线性空间n m ×R 中：()()n m ij n m ij b B a A ××==, 内积：()()∑∑====mi nj ij ij AB b a B A 1T 1tr ,∆ ③ 线性空间C 中：[b a ,]()()t g t f ,是区间[]b a ,上的连续函数内积：(()())()()∫=badt t g t f t g t f ∆,2．欧氏空间：定义了内积运算的实线性空间．设欧氏空间V 的基为有n n n V y x x x ∈∀,,,,1对L()()∑==⇒++=++=n j i j i j i n n n n x x y x x x y x x x 1,1111,,ηξηηξξL L 令 ()j i ij x x ,=a （i ）n j ,,2,1,L =则称为基的度量矩阵（Gram Matrix ），此时有n n ij a A ×=)(n x x ,,1L。

西北工业大学专用-艺术风格-PPT模板

A practical study room
实用的书房
家庭工作室，是作为阅读、书写以及业余学习、研究、工作的空间。特别是从事文教、科技、艺术工作者必备的活动空间。书房，是人们结束一天工作之后再次回到办公环境的一个场所。因此，它既是办公室的延伸，又是家庭生活的一部分。书房的双重性使其在家庭环境中处于一种独特的地位。
A practical作室，是作为阅读、书写以及业余学习、研究、工作的空间。特别是从事文教、科技、艺术工作者必备的活动空间。书房，是人们结束一天工作之后再次回到办公环境的一个场所。因此，它既是办公室的延伸，又是家庭生活的一部分。书房的双重性使其在家庭环境中处于一种独特的地位。
A practical study room
实用的书房
家庭工作室，是作为阅读、书写以及业余学习、研究、工作的空间。特别是从事文教、科技、艺术工作者必备的活动空间。
书房，是人们结束一天工作之后再次回到办公环境的一个场所。因此，它既是办公室的延伸，又是家庭生活的一部分。书房的双重性使其在家庭环境中处于一种独特的地位。
A simple living
简roo约m 的起居室
供居住者会客、娱乐、团聚等活动的空间。在布置上一方面注重满足会客这一主题的种种需要，风格用具方面尽量为客人创造方便；另一方面，客厅作为家庭外交的重要场所，更多地用来弘显一个家庭的气度与公众形象，因此规整而庄重，大气且大方是其主要风格追求。
A simple living
简 roo约m 的起居室
供居住者会客、娱乐、团聚等活动的空间。在布置上一方面注重满足会客这一主题的种种需要，风格用具方面尽量为客人创造方便；另一方面，客厅作为家庭外交的重要场所，更多地用来弘显一个家庭的气度与公众形象，因此规整而庄重，大气且大方是其主要风格追求。

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2020
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5 动……

西北工业大学英文简介[优质PPT]

●Cooperation with more than 30 world universities: Harvard, Oxford, MAI, TU Berlin, GEA, UTT,TU Delft, Warwick Sidney and so on.
Acoustic Levitation Technology
➢ Highly commented in the
Nature and Science;
➢ Achieved the Second Prize of
the National Nature Science Award.
Color TFT-LCD driver IC used for mobile phone
1. School of Aeronautics 2. School of Astronautics 3. School of Marine Engineering 4. School of Materials Science 5. School of Mechatronics 6. School of Mechanics and Civil Construction 7. School of Power and Energy 8. School of Electronics and Information 9. School of Automation 10. School of Computer Science 11. School of Natural and Applied Sciences 12. School of Management 13. School of Humanities, Economics and Law 14. School of Life Science

西北工业大学公共关系学ppt课件

西北工业大学网络教育学院
第一章导论公共关系和公共关系学
第一节作为现代社会传播活动的公共关系
通常意义上的公共关系，是指一种有目的传播活动和行为规范，是一种客观存在。现代意义上的公共关系，系指现代社会一种客观存在的传播活动的公共关系。
一、公共关系的种种定义二、公共关系的基本函义公共关系从广义上说，就是社会组织与公众之
1、公众的自主独立意识普遍增强。 2、公众的群体交流日渐活跃、广泛、深入。 3、公众的自发活动（极有可能转化为自觉活动）已形成一股潜在的、独立的社会势力，其能量与作用足以与组织对峙，并有可能对有关组织经营决策产生直接影响。
西北工业大学网络教育学院
第三章社会关系和公共关系
第一节社会关系的一般属性和形态
西北工业大学网络教育学院
2、由于社会组织外部的原因而使组织形象受损或使组织与公众关系不佳，为了改变这种不利于组织的状况，公共关系就会发挥其抵御作用。
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第六章公共关系的类型
第一节主体或部门公共关系
一、企业公共关系 1、是把树立形象的任务渗透到企业管
理中。 2、是广结人缘。 3、是开拓市场。
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3、信息传播可以使公共关系主体的预定目标易于实现。四、公共关系主体与客体的角色互换
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第五章公共关系的职能和作用
第一节公共关系的职能
一、采集信息的职能 1、组织形象信息 2、组织产品形象信息 3、组织运行状态及其发展趋势信息
二、咨询建议的职能 1、公众的一般情况咨询
二、商业服务业公共关系 1、确立优持服务、顾客至上的原则。 2、抓住有利时机，开展宣传攻势。

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实验论证
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撰写论文
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课题调研
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2
3
简约毕业论文答辩模板
西北工业大学论文题目
汇报人：××× 编号： 982497
01 选题背景与意义
CONTENTS
目录
02 研究方法与思路
03 研究成果展示与应用
04 相关建议与总结
PART 01
选题背景与意义
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国外研究现状
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本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本
研究意义
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本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此
01 02
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04 03
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研究方法
3
4
在此输入您的文字内容，在此输入您的文字内容在此输入您的文字内容，在此输入您的文字内容在此输入您的文字内容在此输入您的文字内容，在此输入您的文字内容在此输入您的文字内容，在此输入您的文字内容在此输入您的文字内容
研究方法
，在此输入您的文字内容，在此输入您的文字内容
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研究综述
综述1
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综述2
单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本
综述3
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研究思路
选题背景
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选题背景
国内研究现状
单击此处输入文本，单击此处输入文
本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本，单击此处输入文本
• 重点内容123 • 西北工业大学西北工业大学 79389西北工业大学 • 西北工业大学西北工业大学西北工业大学 903963
研究方法
1
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2
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综述4
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PART 02
研究方法与思路
单击此处输入您的文本，单击此处输入您的文，本单击此处输入您的文本，本单击此处输入您的文本
重点阐述总结： 326354
检查调解
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4
研究思路
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