解线性方程组的直接法

4
即求解方程组
x12 x1y1 y12 x1 y1 a1 1
x22
x2 y2
y22
x2
y2
a2
1
xx3422
x3 y3 x4 y4
y32 y42
x3 x4
y3 y4
aa34
1 1
x52 x5 y5 y52 x5 y5 a5 1
可确定椭圆方程(小行星轨道方程)
5
对一般线性方程组: A X = b, 其中
16
➢ 高斯消元法： 思 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解。
路
=
17
4 初等变换(Elementary Transformation) 下列三种变换可使一个线性方程组变换成另一
a11
A
a21
an1
a12
a22
a1n
a2
n
b
b1
b
2
an2
a
nn
b n
x1
X
x
2
x
n
当系数矩阵A的行列式|A|≠0时,则方程组有唯一 解.
6
求解线性方程组: A X = b的一般过程:
输入： A，b
解方程组 算法
输出： X
直接法：经过有限步算术运算求得精确解 迭代法：从初始解出发，逐步求出近似解来逼近
a11x1+ a12x2 +a13x3 +…+ a1n-1xn-1 + a1nxn =b1 a22x2 +a23x3 +…+ a2n-1xn-1 + a2nxn =b2 a33x3 +…+ a3n-1xn-1 + a3nxn =b3 …………. an-1n-1xn-1 + an-1nxn =bn-1 annxn =bn
an-1n-1xn-1 + an-1nxn =bn-1
annxn =bn
证明：x n
bn a nn
唯一
xn1
bn1an1nxn an1n1
n
bk akx j j
xk
jk1
ak k
,kn1,n2,..1.
用归纳法可证明x n-1,x n-2….x1是唯一的
11
例4.1：利用回代法求解线性方程组
4x1 – x2 + 2x3 + 3x4 =20 –2x2 + 7x3 - 4x4 =-7 6x3 + 5x4 = 4 3x4 = 6
x1 = (20 + x2 - 2x3 - 3x4 )/4=3 x2 = (-7-7x3 + 4x4 )/-2=-4
x3 = (4-5x4)/6=-1 x4 = 6/3=2
-4 5 7 -6
=2(45-6)-3(-36+7)+8(24-35)=77
-4 -1 2 8 j=2,det(A)=-3 +5 +6
79 79
28 =77 -4 -1
15
3. 如果NN矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下三
角矩阵，则：
n
deA t)(a1a 122 ..a.nn aii i1
定理：A是NN方阵，线性方程组AX=B有唯一解 当且仅当det(A)0
6x3 + 5x4 = 4
a22=0
3x4 = 6
x2 = 4x1 -16
x3 = -1 x3 = -1
无穷解
x4 = 2
13
复习 如A是NN矩阵
a11 a12 a13 … a1n
A
a21 a22 a23 … a2n
=
……
an1 an2 an3 … ann
第i行展开
则A的行列式为：
第j列展开
划掉A的第i 行和第j列后
2. 回代(Back Substitution)
设AX=B是上三角线性方程组，如果：
akk0, k=1,2..n,则方程组存在唯一解。
10
a11x1+ a12x2 +a13x3 +…+ a1n-1xn-1 + a1nxn =b1 a22x2 +a23x3 +…+ a2n-1xn-1 + a2nxn =b2 a33x3 +…+ a3n-1xn-1 + a3nxn =b3 ………….
解线性方程组的直接 法
4.1 引言
求解
Axb
•许多实际问题可归结为线性（代数）方程组 机械设备、土建结构的受力分析； 经济计划 输电网络、管道系统的参数计算； 企业管理 •大型的方程组需要有效的数值解法。 •数值解法的稳定性和收敛性问题需要注意。
2
小行星轨道计算问题
3
天文学家要确定一小行星的轨道, 在轨道平面建立以太阳为原点的 直角坐标系.在坐标轴上取天文单位(地球到太 阳的平均距离),对小行星作5次观察, 测得坐标 数据
(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), (x5,y5)
将数据代入椭圆的一般方程: a1x2 + a2xy + a3y2 + a4x + a5y + 1 = 0
得 a1xk2 + a2xkyk + a3yk2 + a4xk + a5yk + 1 = 0
(k = 1, 2, 3, 4, 5)
8
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn
9
AX=B上三角线性方程组表示为：
例4.2：证明下列线性方程组无解
4x1 – x2 + 2x3 + 3x4 =20
70x32 -+4x4 =-7
a22=06x3 + 5x4 = 4 3பைடு நூலகம்4 = 6
x3 = 1/7
x3 = -1 x4 = 2
12
例4.3：证明下列线性方程组有无穷解
4x1 – x2 + 2x3 + 3x4 =20
0x2 + 7x3 - 0x4 =-7
的行列式
n
n
de A ) t|A (| a i(j 1 )ijM ij a i(j 1 )ijM ij
j 1
i 1
14
n
n
de A ) t|A (| a i( j 1 )i jM ij a i( j 1 )i jM ij
j 1
i 1
23 8
A= 3 -4 5 -1
4 7 -6 9
5 -1 -4 -1 i=1,det(A)=2 -6 9-3 7+89
在求解小型(未知数较少)方程组时,直接法很有效. 在求解大型方程组时,迭代法是最有效的方法.
7
4.2 高斯消去法(Gaussian Elimination )
4.2.1 顺序高斯消去法
1. 上三角线性方程组(Upper-triangular Linear System)
定义4.1 NN矩阵A=[aij]中的元素满足对所 有i>j,有aij=0,则称NN矩阵A=[aij]为上三角 矩阵。如果A中的元素满足对所有i<j,有aij=0, 则称NN矩阵A=[aij]为下三角矩阵。