抽象函数对称性的几个结论及其应用
抽象函数的对称性常用结论
抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。
高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档
高中数学《函数对称性》重要结论二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
抽象函数背景下的对称性、周期性
抽象函数背景下的对称性、周期性在高中数学的学习中，每个学生都或多或少的遇到过几次类似亦或这类关于函数的抽象描述，大多数学生都能够通过积累经验后，认识到前式涉及到函数对称性，后式涉及到函数周期性。
但是大部分学生对于这类抽象表示依然不理解，那么有没有一种较为实在又准确的方式来理解它们并加以记忆呢？一、对称性：1.轴对称（1）以为引例：关于的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为和。
那么可以解读为：互为相反的两个自变量（和）所对应的函数值相等。
下面我们通过取若干个常数，来模拟的图象分别取，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性：那么就不难理解用作为偶函数的定义，即图象关于轴呈轴对称。
（2）下面按照上述方式对加以解读首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量分为和。
因为，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量和始终保持着关于对称的位置关系。
那么可以解读为：关于对称的两个自变量对应的函数值始终相等。
模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性。
且其对称轴是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆。
（3）对于一般的，对于函数，若对于任意的都有，那么其图象是关于对称的轴对称图象。
2.中心对称（1）在上文基础上我们更改关系为，那么此时应解读为：关于对称的两个自变量所对应的函数值互为相反数，那么模拟图象可知其图像会呈现如图③的对称性。
（2）一般的：对于函数，若对于任意的都有，那么其图象是关于点对称的中心对称图象。
例题分析：已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为参考解析：由易得为函数的对称轴，根据对称性作出与的图象，可知交点个数为5个二、周期性周期函数的定义：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1. 对于，因为为定值，那么按照上述方式该抽象等式可以解读为：相差的两个自变量对应的函数值始终相等。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数中对称性与周期性问题的做法探究
抽象函数中对称性与周期性问题的做法探究在高考真题中对于函数的考查，是重中之重，对于抽象函数的综合考察，主要体现在各种性质之间结合上。
下面我们重点析对称性和周期性在函数题型中的体现方式。
首先我们先来了解一些对称性和周期性的结论。
一．函数对称性的常见结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称二、函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=例题分析例1.（2016全国II 卷12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m解析：本题根据条件()2()f x f x -=-可以判断此抽象函数f （x ）图象关于（0,1）对称，不妨设()1f x x =+，其图象与函数111x y x x+==+的图象的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.例2.（2018年全国II 卷11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50解析：本题根据条件(1)(1)f x f x -=+可以判断抽象函数f （x ）图象关于x=1对称，不妨设f (x )=sin πx 2，即可得答案C. 例3.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,()f x (,)-∞+∞(2)(2)f x f x -=+(7)(7)f x f x -=+(1)(3)0f f ==()y f x =()f x )(x f y =72==x x 和)(x f y =由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.例4.已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数对称性的几个结论及其应用
抽象函数对称性的几个结论及其应用1. 反演对称性（Inversion Symmetry）反演对称性是指函数在空间中经过一些点的反演之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称其具有反演对称性。
这种对称性常用于描述物理系统中的对称性，比如平面镜对称、球面镜对称等。
应用中常用反演对称性简化问题的求解过程，例如在研究电磁波传播时，通过利用反演对称性可以简化波动方程的求解。
2. 平移对称性（Translation Symmetry）平移对称性是指函数在空间中进行平移操作之后保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x+a)=f(x)，其中a为任意实数，则称其具有平移对称性。
平移对称性在物理学中有广泛的应用，例如在研究周期性现象时，可以通过引入平移对称性简化问题的求解过程，如布洛赫定理在固体电子理论中的应用。
3. 旋转对称性（Rotation Symmetry）旋转对称性是指函数在空间中进行旋转操作之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(Rx)=f(x)，其中R为旋转矩阵，则称其具有旋转对称性。
旋转对称性在几何学和物理学中非常重要，例如在研究物体的形状、电磁场分布等问题时，可以通过引入旋转对称性简化问题的求解过程。
4. 对偶对称性（Duality Symmetry）对偶对称性是指函数在一些操作下可以与其对偶函数互相转换的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的变换关系f(x)=g(x)，其中g(x)为f(x)的对偶函数，则称其具有对偶对称性。
对偶对称性在数学和物理学中有广泛的应用，例如在研究波动现象时，可以通过引入对偶对称性简化问题的求解过程。
5. 微分对称性（Differential Symmetry）微分对称性是指函数在一些微分操作下保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的微分方程f''(x)=-f(x)，则称其具有微分对称性。
微分对称性在数学和物理学中有重要的应用，例如在研究自然界中的自旋系统、波动现象等问题时，可以通过引入微分对称性简化问题的求解过程。
高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
抽象函数的对称性关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b=+2的对称点为()A a b m n '+-，。
[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。
二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。
∵f b b a m f a m n [()]()---=+=∴点A'在y f b x =-()的图象上反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数的对称性及应用
抽象函数的对称性及应用函数是中学数学教学的主线，是整个高中数学的基础。
作为函数的一个性质，对称性充分体现了数学之美。
对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，利用它还往往能使数学问题得到简捷解决。
本文拟从函数自身与两不同函数之间两方面来探究抽象函数的对称性。
一、函数自身的对称性探究定理1 :函数y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a —x) = 2b , 也可以写成f(a x) f(a x) 2b^ f ( x) f(2a x) 2b..证明：(必要性)设点P(x ,y) > y = f (x)图像上任一点，•・•点P(x,y)关于点A (a ,b)的对称点P (2a-x, 2b —y)也在y = f (x)图像上，2b — y = f (2a — x) 即y+ f (2a — x)=2b 故 f (x) + f (2a — x) = 2b 。
(充分性)设点P(x o,y o)是y = f (x)图像上任一点，则y o = f (x o)••• f (x) + f (2a —x)=2b ..f (x o) + f (2a - x o) =2b ,即2b —y o = f (2a -x o)。
故点P (2a-xo, 2b —yo)也在y = f (x) 图像上而点P与点P关于点A (a ,b)对称y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称。
综上知定理得证。
推论：函数y = f (x) 的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f ( -x) = o推广：若函数y f (x)定义域为R,且满足条件：f(a x) f (b x) c(a,b,c为常数)，则函数y f(x)的图象关于点(a—b c)对称。
2 ' 2定理2 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (x) f (2a x) 也可以写成 f (a +x) = f (a — x)或f ( x) f (2a x)。
抽象函数图像的对称性与周期性初探
抽象函数图像的对称性与周期性初探抽象函数f（x），由于不知道其解析式，因而不能画出其图像的全貌，对它的研究成了中学生学习的一个难点.本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理，帮助同学们提高解决此类函数问题的能力.一、对称性定理1：函数y=f（x）图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.证明：在y=f（x）图像上任取一点，设为P（x，y），则y=f（x）.点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）.1.必要性若y=f（x）图像关于点A（a，b）对称，则点P′也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x），又y=f（x），f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P点的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.2.充分性若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，则f（x）+f（2a-x）=2b，2b-y=f （2a-x），点P′也在y=f（x）图像上.由P点的任意性得y=f（x）图像关于点A对称.说明：f（x）+f（2a-x）=2b有许多等价形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，应用时关键看横坐标之和、纵坐标之和皆为常数.以上证法是证明函数图像对称性的一般方法，以后几个结论可以仿此证明.推论：函数y=f（x）图像关于原点对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函数为奇函数）.定理2：函数y=f（x）图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）恒成立.说明：f（x）=f（2a-x）也有许多等价形式，如f（a+x）=f（a-x），应用时关键看横坐标之和为常数、纵坐标相等.推论：函数y=f（x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）恒成立（即函数为偶函数）.例1.如果二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实根x、x，那么x+x=（）A. 0B.3C.6D.不能确定解析：f（3+x）=f（3-x），f（x）图像关于直线x=3对称（定理2），f（x）图像与x轴两交点关于直线x=3对称，x+x=6，故选C.例2.设f（x）是定义在R上的函数，F（x）=f（x）-f（a-x），求证：y=F（x）图像关于点（a/2，0）中心对称.解析：仿定理1的证明.在y=F（x）图像上任取一点P（x，F（x）），它关于（a/2，0）的对称点为（a-x，-F（x））.F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），点P′也在y=F（x）图像上.由P点的任意性得结论成立.二、周期性定理3：若函数y=f（x）恒满足下列条件之一，则它是周期函数.|2T|是它的一个周期.（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f （x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.下面对第四个进行证明，其他类似，请同学们自己完成.（4）证明：f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，|2T|是f （x）的一个周期.例3.f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=-，当2≤x≤3时，f （x）=x，那么f（5.5）= .解析：由f（x+2）=-，根据定理3，得4为f（x）的一个周期.f （5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.三、对称性与周期性定理4：若函数y=f（x）图像满足下列条件之一，则y=f（x）是周期函数.其中前两个的一个周期为2|a-b|，第三个为4|a-b|.（1）同时关于点A（a，c）和点B（b，c）（a≠b）中心对称.（2）同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）轴对称.（3）既关于点A（a，c）中心对称，又关于直线x=b（a≠b）轴对称.下面对第三条进行证明，其他类似.（3）证明：y=f（x）图像关于点A（a，c）中心对称f（x）+f（2a-x）=2c①y=f（x）图像关于直线x=b轴对称f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②②代入①得f（x）+f（2b-2a+x）=2c③把上式中x换成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④由③④得f（x）=f（4b-4a+x）a≠b4b-4a≠04|a-b|为f（x）的一个周期.例4.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），则函数y=f（x）的一个周期为.解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根据定理2得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7.再根据定理4得y=f（x）的一个周期为T=2|7-2|=10.例5.f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f （x）图像关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x），其中正确结论的序号是.解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函数，f（0）=0f（2）=0正确；②根据定理3知一个周期为4正确；③若正确，则f（x）又为偶函数，应有f（x）恒为0，不正确；④根据周期为4，f（x+2）=f（x-2），再根据题设f（x-2）=-f（x），f （x+2）=-f（x）=f（-x）正确.因此答案是①②④.。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明
抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明关于抽象函数图像的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。
证明：设点(,)A m n 是()y f a x =+图像上任一点，即()f a m n +=，点A 关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点为(,2)A b a m c n '--- 2[()]2()2c f b b a m c f a m c n ----=-+=-∴点A '在2()y c f b x =--的图像上。
反过来，同样可以证明，函数2()y c f b x =--图像上任一点关于点,2b a c -⎛⎫⎪⎝⎭的对称点在函数()y f a x =+图像上。
故函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫⎪⎝⎭对称。
说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。
二、设()y f x =是定义在R 上的函数，若()2()f a x c f b x +=--，则函数()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭。
证明：设点(,)A m n 是()y f x =图像上任一点，则()f m n =，点A 关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为(,2)A a b m c n '+--。
()2[()]2()2f a b m c f b b m c f m c n +-=---=-=-∴点A '在()y f x =的图像上，故()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。
说明：（1）当0a b c ===时，奇函数图像关于点(0,0)对称。
（2）易知此命题的逆命题也成立。
三、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称。