56第五届数学竞赛决赛试题及答案
五年级数学竞赛试题及答案
五年级数学竞赛试题及答案五年级数学竞赛试题及答案一、填空（共34分。
1-8题每空1分；9-16题每空2分。
）1、一个数“四舍五入”后是10万；“四舍五入”前这个数最小是（）；最大是（）。
答案：最小是，最大是.2、一堆沙土重152（。
）吨；用去了47吨；还剩总数的165（。
）吨。
答案：用去了87吨，还剩65吨。
3、如果XXX步行小时行5千米；那么她小时行（）千米。
答案：2千米。
4、把50升水倒入一个棱长为5分米的正方体空水池中；水深（）分米。
把一块石头完全浸没其中；水面上升了3厘米；这块石头的体积是（）立方分米。
答案：水深2厘米，石头的体积是1立方分米。
5、从A城到B城；甲用10小时；乙用8小时；甲乙两人的速度比是（）。
答案：甲乙两人的速度比是4:5.6、（）的倒数乘是5.答案：0.2的倒数乘以5等于1.7、找规律填数：1）1、2、4、7、（）、16、22答案：11.2）（1、3、9）（2、6、18）（3、9、27）（4、12、36）第50组的3个数是（。
）答案：50、150、450.8、早晨（）时；钟面上的时针和分针所成的角是平角；下午（）时；时针和分针所成的角是直角。
5时的时候；时针和分针所成的角是（）度。
答案：早晨7时，下午3时，5时的时针和分针所成的角是150度。
9、在棱长是1分米的正方体的一个顶角锯下一个棱长1厘米的小正方体；剩下部分的表面积是（）平方分米；体积是（）立方厘米。
答案：剩下部分的表面积是14平方分米，体积是7立方厘米。
12、在甲、乙、丙三人中有一位教师；一位工人；一位战士；已知丙比战士年龄大；甲和工人不同岁；工人比乙年龄小；请你判断（）是教师。
答案：甲是教师。
13、XXX在计算除法时；把除数65看成了56；结果得到商为13；还余52；帮她算一算；正确的商是（）。
答案：正确的商是12.14、爸爸今年43岁；儿子今年11岁；（）年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
答案：13年后。
15、1111个8连乘；所得的积的个位数字是（）。
2021年小学五年级数学竞赛试卷(含答案)
2021年小学五年级数学竞赛试卷答案成绩一．填空51%。
（第8,20,21,26题各2分，其他每空格1分）1．按规律填数。
（1）34，21，13，8，5，( 3 )，（2 ）（2）1，3，7，15，31，63，（127）（255）2．甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12块，乙拿走了8块，回家后甲补给了乙4元，每块香皂（ 2 ）元。
3．已知两个数相除的商为4，相减的差是42，这两个数中较小的一个数是（14 ）。
4．甲、乙、丙三人各有球若干个，总数是45个球。
甲给乙1个，乙给丙2个，丙给甲3个，这时三人的球数相等。
原来甲有球（13 ）个，乙有球（16 ），丙有球（16 ）个。
5．公路两旁距离均匀地栽有一批杨树。
清晨，张叔叔以同一速度在公路一侧跑步，从第一棵树跑到第13棵树用了6分钟，他准备往返共跑步30分钟。
张叔叔应该跑到第（31 ）棵树时返回。
6、四年级学生组成一个12行12列的正方形队列，后来由于服装不够，只好去掉一行一列，去掉了（23 ）名学生。
7．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
求A+B 分之A-B的最大值（98100）。
解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)/(A+B) 最大。
对于B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，问题转化为求(A+B)/B 的最大值。
(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是A/B = 99/1(A+B)/B = 100(A-B)/(A+B) 的最大值是：98 / 1008．在下面算式中合适的地方，添上适当的运算符号及括号，使算式成立。
(1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6) ÷7=19．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数（24 ）。
第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题及答案详解
（2 分）
所以 ( P ) ABP PQ QP (QP ) (QP ) ，即 ( P ) ABP 是正定矩阵. （2 分） 所以矩阵 ( P ) ABP 的特征值全为正实数，而 AB 相似于 ( P ) ABP ，所以 AB 的特征 值全为正实数。所以 AB 为正定矩阵.
2
当
1 2 时，有 f (4) ( ) f (4) ( ) 3 3
令 h 0 ，注意到 x, x ，有 f (4) ( x) 0 ，从而 f 是不超过三次的多项式. （3 分） 三 、 （ 12
1 时 , 分 ） 设 当 x
可 微 函 数
fx () 满 足 条 件
0
1 1 2 1 2 sin 2 x xf ( x)dx x 2 f ( x) x 2 f '( x)dx x 2 2 dx 2 2 0 2 0 x 0
（3 分）
1 2 2 sin xdx . 2 0 2
（2 分）
2 设 f (x) 是 [0,1] 上的连续函数，且满足
0 1 1
1
f ( x, y ) dx . x
（3 分）
调换积分次序后可得 I (1 x)dx
0
f ( x, y ) dy . x 0
y 1
（2 分）
f ( x, 0) f ( x, y ) 0 , 从而 (1 y ) 因为 f ( x,0) 0 所以 x x
明I
A . 4
证 . I dy f ( x, y )dx dy f ( x, y )d (1 x) . 对固定 y , (1 x) f ( x, y) x 0 0 ，由分
小学竞赛数学竞赛试题及答案
小学竞赛数学竞赛试题及答案一、选择题1. 在下面的几个数字中，哪一个是最大的？A. 45B. 56C. 72D. 632. 请选出下列等式中的正确选项。
A. 6 + 2 × 3 = 12B. 4 ÷ 2 + 3 = 2C. 8 - (2 + 5) = 0D. 10 ÷ 5 - 4 = 03. 如果一只猫有4只脚，那么3只猫一共有多少只脚？A. 7B. 9C. 10D. 124. 在一个正方形花坛中，一共有16株鲜花，每个花坛角上的花都是红色的，每个边上有3株黄花，剩下的都是白花。
那么正方形花坛中有多少株白花？A. 4B. 5C. 6D. 75. 雪橇比赛中，小明超过了第二名20米，但比第一名少8米。
请问第一名和第二名的距离是多少米？A. 36B. 28C. 12D. 16二、填空题1. 填入括号中适当的数字：4 + ( ) × 5 = 292. 小强从家里出发骑自行车，用了30分钟到达公园，回家用了45分钟。
他在公园玩了（）分钟。
3. 若x=5，则2x + 3的值为（）。
4. 某商店在夏季针对T恤衫进行促销，原价每件60元，现在打（）折，最终售价为36元。
5. 圆的周长是60厘米，半径是（）厘米。
三、解答题1. 某班级有30个学生，其中有18个是男生。
请问这个班级女生的人数是多少？解：班级学生总数 - 男生人数 = 女生人数30 - 18 = 12女生人数为12。
2. 请判断下述等式是否正确：7 × (4 + 3) - 5 = 45解：计算等式右侧：7 × (4 + 3) - 5 = 7 × 7 - 5 = 49 - 5 = 44等式左侧不等于右侧，所以等式不正确。
3. 一块矩形土地长为8米，宽为5米。
如果将其分成若干个正方形区域，每个正方形的边长相等且最长为2米，问最多能分成多少个正方形区域？解：最长边长为2米的正方形区域可以覆盖6个，因此可以将长为8米的矩形土地分成4行3列，一共12个正方形区域。
2023年全国数学竞赛小学四年级决赛集训试题附答案
全国数学竞赛小学四年级决赛集训试题（一）姓名＿＿＿＿得分＿＿＿＿一、填空题（每题6分，共60分）1、已知2※3=2+3+4，7※2=7+8，3※5=3+4+5+6+7，…，按此规则，假如n※8=68，那么n= 。
2、计算：（2×3×4+4×6×8+6×9×10+……+200×300×400）÷（1×2×3+2×4×6+3×6×9+……+100×200×300）＝。
3、如图，方格纸上放了20枚棋，以棋子为顶点的正方形一共有个。
4、从3，4，5，6，10，11，12这七个数中，取出两个数组成一个最简真分数，共有种取法。
5、一个粗心的会计，在给货主汇款时，把货主开来的发票上应付款多看了一位，使应付款扩大了10倍。
几天后，货主将她多汇的75258元如数退回了。
应付款是元。
6、小芳每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个。
肥皂泡吹出以后，通过1分钟有一半破了；通过2分钟尚有120没破；通过2.5分钟后所有都破了。
阿芳吹完第100次时，没有破的肥皂泡共有个。
7、某部队设计训练规定：用步枪射击，发给子弹10发，每击中靶心一次奖励2发；用手枪射击，发给子弹14发，每击中一次奖励3发。
王明步枪射击，李强用手枪射击，当他们把发的和奖励的子弹都打完时，两人的射击的次数相等。
王明击中靶心20次，李强击中靶心次。
8、水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，假如天天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜，那么水果店运来的西瓜和哈密瓜一共个。
9、自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到出发点后又返回去追上自行车队，再追上时，恰好离出发点18千米，自行车的速度为千米/小时。
2024年上海高三数学竞赛试题及答案
2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。
的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。
— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。
曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。
2021年03月-数学类三、四年级参考解答-第五届全国决赛试卷
第五届全国大学生数学竞赛决赛 （数学类三、四年级）参考答案一、【参考证明】：设l 是过P 点的抛物面S 的一条切线，它的方向向量为V 示为= (u , v , w )，则切点可以表 Q = P + t V = (a + tu ,b + tv ,c + tw ),2 2其中t 是二次方程2(c + tw ) = (a + tu) + (b + tv ) , 也就是的唯一重根.(u 2 + v 2)t 2 + 2(au + bv - w )t + (a 2 + b 2 - 2c ) = 022 2 2 2w - au - bv a 2 + b 2 - 2c 这时，(au + bv - w) = (u+ v)(a + b - 2c ), 得t ==u 2 + v 2.w - au - bv于是切点Q = (X ,Y , Z ) = (a + tu ,b + tv ,c + tw )满足a X +b Y -Z = (a 2 + b 2 -c )+ t (a u + b v -w ) = c .于是所有切点Q 落在平面ax + by - z = c 上.二、【参考证明】：(1) 由于tr (A ) 是A 的特征值之和，得λ1 的代数重数也是 3，而A 的另一特征值λ2 = 0 ，且λ2 = 0 的代数重数为 1. 结果A 有四个线性无关的特征向量. 故A 可对角化. (2) 由于λ1 = 2 的重数为 3，故有⎛ 0 2 2 -2⎪⎫ ⎪rank (A - 2E ) = rank a -2 b c ⎪. ⎪ d e -2 f ⎪ ⎝g h k 2 ⎪⎪⎭进而a / 0 = -2 / 2 = b / 2 = c / -2 ，得a = 0,b = -2,c = 2;d / 0 =e / 2 = -2 / 2 =f / -2 ，得d = 0,e = -2, f = 2;g / 0 =h / 2 = k / 2 = 2 / -2 ，得g = 0,h = -2, k = -2 ，⎛ 2 2 2 -2⎪⎫ ⎪ 于是A = 0 0 -2 2 ⎪. 注意到f (x , x , x , x ) = x T Ax = x T Bx , 其中 1 2 3 4 0 -2 0 2 ⎪ ⎝0 -2 -2 4 ⎪⎪⎭⎛ 2 1 1 -1⎪⎫ T 1 0 -2 0 ⎪ B = A + A , B = ⎪.21 -2 0 0 ⎪ ⎪ -1 0 0 4 ⎪ ⎝⎪⎭1 2 3 4⎝ ⎢ 1 k m n k m k m k m m k m k m ⎰ ⎰ t B 的特征值为λ1 = 2 （二重），λ1,2 = 1 ± 2 为2y 2 + 2y 2 + (1 + 2 3)y 2 + (1 - 2 3)y 2. （一重）. 故 f (x 1, x 2, x 3, x 4 )在正交变换下的标准型三、【参考证明】：令g (t ) = ⎛ t 0 ⎫β f (x )d x ⎪ ⎭ - t f α 0 (x )d x , 则g (t ) 可导， ⎡ ⎛ t ⎫β-1⎤ g '(t ) = f (t )⎢β f (x )d x ⎪- f α-1(t )⎥ . ⎢ ⎝⎰0 ⎪⎭ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦1 ⎡ 1 ⎤令h (t ) = ββ-1 ⎰ t f (x )d x - f 2(t ), 则有h '(t ) = f (t )⎢ββ-1 - 2f '(t ⎥. )⎥ 0 ⎢ ⎥⎣⎢⎥⎦ 由于β > 1, f '(x ) ≤ 1，我们有h '(t ) ≥ 0 . 这说明h (t )单调递增，从h (0) = 0 ，得h (t ) ≥ 0 . 因 2而g '(t ) ≥ 0 . 从g (0) = 0 ，得g (t ) ≥ 0 ，即⎰ f α(x ) d x ≤ ⎛ ⎰ t⎫β f (x )d x ⎪. 0 令t → +∞ ，即得所证.⎝ 0⎪⎭ 四、【参考证明】：C max =1 - 2. 不妨设f (x ) 的最小实根为 0，最大实根为a . 设 nf (x ) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x n ),先证以下引理：0 = x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n = a .引理：若存在2 ≤ k , m ≤ n - 1 使得x k < x m ，令x k < x ' ≤ x ' < x 满足x + x = x ' + x' , 令 f 1 (x ) = (x - x ')(x - x ' )(x - x ' ), x ' = x , i ≠ k , m .则d (f ') ≤d (f '). 1 2 n i i证明：注意到f (x ) = f 1 (x )- δF (x ),F (x ) =其中f 1 (x ), δ = x 'x '- x x> 0.(x - x ' )(x - x ' )k mk m设 α, β 分 别 为 f '(x ) 的 最 大 最 小 实 根 ， 则 有 f (α) ≤ 0, f (β)(-1) ≤ 0. 由 罗 尔 定 理111α ≥ x m , β ≤ x k ，并且f '(α) = δ(2α - x ' - x ' ) f (α).(α - x ' )2 (α - x ' )2 1则 f '(α)f 1(α) ≥ 0 ，故 f '(α) ≤ 0 . 这表明 f '(x ) = 0 的最大实根大于或等于α. 同理， f '(x ) = 0 最3- ⎦ ()F ⎩小实根小于或等于β. 引理证毕. 令g (x ) = x (x -a )(x -b )n -2,b =x 2 + x 3 ++ x n -1.n 2由引理得到d (f ')≥ d (g '). 由于g '(x ) = (x - b )n -3(nx 2 -((n - 1)a + 2b )x + a b ),2 d (g ') =≥ 1 - a . n⎛ a ⎫n -2于是C 的最大值C max ≥ , 且当f (x ) = x (x -a ) x - ⎪ 时，d (f ') = ⎝ (f ). 2 ⎪⎭ 五、【参考证明】：用反证法. 设存在x 0 ∈ ⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥ 使得z x 0 ) > y (x 0 ).令M = {x ∈ ⎡⎢a ,b ⎤⎥ | z (x ) > y (x )}, 则M 为⎡⎢a ,b ⎤⎥ 的非空开子集. 故存在开区间(α, β) ⊂ M 满足 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦y (α) = z (α), z (x ) > y (x ), x ∈ (α, β).这推出z (x )- y (x )单调不增，故z (x )- y (x ) ≤ z (a )- y (a )= 0. 矛盾.六、【参考证明】：因为当| z |= 1 时，f (z ) = 1 ，所以根据极大模原理，在D 上 f (z ) < 1 ，即f (D )⊂ D .1 - af (z ) 若存在a ∈ D 使得a ∉ f (D ) ，则函数g (z )=f (z )- a以及1 / g (z )在D 上解析，并容易验证当| z |= 1 时， g (z ) = 1 . 因此，根据极大模原理，在D 上有 g (z )≤ 1, 1 / g (z )≤ 1, 这说明在D 上有 g (z ) = 1 . 因为模为常数的解析函数是常数，所以g (z )在D 上为常数，从而f (z )在D 上为常数，这与题设矛盾. 这就证明了f (D ) = D .七、【证明】：1) A =lim E =∞∞ E =∞ F . 其中F= ∞ E ， 则k →∞ kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊃ F 2 ⊃⊃ F n ⊃ F n +1 ⊃因为f∈ L ∞ ⇒ fk =1E k∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L A . 令 ⎧⎪f (x ), x ∈ F ,i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;f (x ) = ⎪⎨nn⎪0, x ∉ F n . ii) lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ), x ∈ R ; x ∈ R ，若x ∈ A ，则f (x )χA (x ) = f (x ), 又x ∈ A =∞ F , ∀n ≥ 1, f (x ) = f (x ).故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).n =1 nna 2 -2a 2⎛a - 2b ⎫2n + ⎝ n ⎪ ⎪⎭ 1 - 2n 1 - 2n(F ⎩1F EF E⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 若x ∉ A , f (x )χA (x ) = 0. 而x ∉ A = ∞ F , ∃n , x ∉ F ,{F } ↓, ∀n ≥ n , x ∉ F ,n =1 nn 0nn故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).f n (x ) = 0, 即 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).iii) f n (x ) ≤ f (x ) χF (x ), ∀n ≥ 1 ，且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .11由控制收敛定理， lim⎰R f n (x ) d m = ⎰R lim f n (x ) d m . 即 n →∞lim ⎰⋃∞n →∞ f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= ⎰R f (x )χA (x )d m = ⎰Af (x ) d m2) B = lim E = ∞ ∞E = ∞F . 其中F = ∞ E ， 则k →∞kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊂ F 2 ⊂ ⊂ F n ⊂ F n +1 ⊂f ∈ L ∞k =1 E k)⇒ f ⎧⎪f (x ), x ∈ F , ∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L B . 令f n (x) = ⎪⎨n⎪0, x ∉ F n . i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;ii) lim n →∞f n (x ) = f (x ), x ∈ B ;iii) f n (x ) ≤ f (x ) , x ∈ B 且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .由控制收敛定理， limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x ) d m . 即 lim ⎰⋂∞f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x )d m .3) 若{E} ↑⇒ lim E= lim E= lim E =∞ E= E . 由 2)，F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 若{E} ↓⇒ lim E= lim E = lim E =∞ E = E . 由 1) F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 八、【参考解答】：在空间选取坐标系，使得准线l 为z -轴，抛物线Γ 落在Oxz 平面上，且抛下顶点为P = (p , 0, 0) ，焦点为F = (2p , 0, 0). 由于抛物线上的任意点X = (x , 0, z )满足 XF = x ，我们得到(x - 2p )2+ z 2 = x 2.故抛物线方程为x = p + 1 z 2. 4p 记 f (z ) = p + 1 z 2 ，这是旋转面S 的方程 4pf ' (z )2+ 112可表示为γ = γ(z , θ) = (f (z )co s θ, f (z )s in θ, z ), θ ∈ ⎡⎢⎣0, 2π⎤⎥⎦ , z ∈ R则S 的单位法向量为γθ = (-f (z )s in θ, f (z )co s θ, 0), γz = (f '(z )cos θ, f '(z )sin θ,1),1'n = (cos θ, s in θ,-ff '(z )2+ 1(z )),γθθ = (-f (z )cos θ, -f (z )si n θ, 0), γθz γzz = (-f '(z )sin θ, f '(z )cos θ, 0),= (f ''(z )cos θ, f ''(z )sin θ, 0),于 是 ， 旋 转 面 的 第 一 基 本 形 式I = E d θ2 + 2F d θ d z +G d z 2 和 第 二 基 本 形 式II = L d θ2 + 2M d θ d z + N d z 2 为E = f (x )2, F = 0,G = f '(z )2+ 1 f (z )L = - , M = 0, N =f '(z )2+ 1f ''(z )因为k 1 = L / E ,k 2 = N /G , k我们得到f '(z )2+ 1 k = LG / EN = -f (z )f ''(z )= -2.【注】根据k ,k 的不同排序，也可以是k 1= - 1. 122九、【参考解答】：这个问题可以看作是一种等待时间问题. 我们等待第r 张新票券出现. 以ξ1, ξ2,依次表示对一张新票券的等待时间. 因为第一次抽到的总是新的，所以ξ1 = 1 . 于是ξ2 就是抽到任一张不同于第一张抽出的那张票券的等待时间. 由于这次抽时仍有N 张票券，但新的只有N - 1 张，因此成功的概 率为p =N - 1. 于是ξ 的分布列为N2N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1P (ξ2 = n ) =⎪, n = 1, 2,N ⎝N ⎪⎭ ∞N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1⎛1 ⎫ 1N从而E ξ2 = ∑n ⎪ = 1 - ⎪ ⋅ = .n =1N ⎝N ⎪⎭⎝ N ⎪⎭ ⎛ 1 ⎫2 N - 11 - ⎪ ⎝N ⎪⎭ 在收集到这两张不同的票券之后，对第三张新票券的等待时间其成功的概率为p =N - 2 . 因此Nk 2+ + + ≈ ln N .E ξ3 =N .N - 2以此类推，对1 ≤ r ≤ N ，有E (ξ ++ ξ ) = N + N ++ N1 r N N - 1 N - r + 1= N ⎛ 1++1 ⎫⎪.特别，若r = N 时，则⎝N N - r + 1⎪⎪⎭E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1+ 1 ⎫⎪1N 1 + +⎪当N 时偶数，r = N / 2 时，则⎛⎫ ⎝ 2⎛ N ⎪⎭⎫⎪ ⎪1 1 ⎪ E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎪N N ⎪⎝2 ⎭⎝ 2 + 1⎪⎭由欧拉公式1 + 1 + + 12 N= ln N +C + εN ，其中C 是欧拉常数， εN 为N 趋于无穷时的无穷小 lim 1 ⎛ 11 ⎫⎪ 量. 由于 1 + ++⎪ = 1. 于是当N 充分大时，我们可以近似公式 N →∞ ln N ⎝ 2 N ⎪⎭1 1 12 N 因而E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1 + 1 ⎫⎪≈ N ln N .1N 1 + + ⎪ ⎝2 N ⎪⎭ ⎛ ⎫⎪ ⎛ ⎫⎪ 1 1 ⎪E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎝ 2 ⎪⎭ N N ⎪= 2r ⎛ 1 ++ ⎝ 21 + 1+ 1 ⎪⎭ 1 + 1 ⎫⎪ - 2r ⎛ 1 + 1 ⎫⎪ + + ⎪ 1 + + ⎪⎝r + 1 2r 2 r ⎪⎭ ⎝ 2 r ⎪⎭ ≈ 2r ln 2r - 2r ln r = N ln 2, ⎛ ⎫⎪ 即E ξ1 ++ ξN ⎪ ≈ N ln 2 ≈ 0.69315N . 这说明如果只要收集一半票券，或只要稍多于票半数的⎝2 ⎪⎭抽取次数即可.十、【参考证明】：(a) 在(a)的条件下，要证明结论，既要证明x -1y -1xyaba -1b -1y -1x -1yx = aba -1b -1.由已知AB =BA 可得，存在A 中的元素a*, x*, B 中的元素b*, y*使得ya =a*y*, xb =b*x*.于是有1-x 2 ⎣ ⎦⎰ (1)yaba -1b -1y -1 = a *y *ba -1b -1y -1 （由ya = a *y * ）= a *by *a -1b -1y -1 = a *ba *-1yb -1y - 1 （由y *a -1 = a *-1y ） = a *ba *-1b -1 = ⎡a *,b ⎤ .⎣⎢ ⎥⎦ (2) 类似可证： x ⎡a *,b ⎤ x -1 = ⎡a *,b * ⎤ , y -1 ⎡a *,b * ⎤ y = ⎡a ,b * ⎤ , x -1 ⎡a ,b * ⎤ x = ⎡a ,b ⎤ . 如所需(a)获证.⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ (b) 任取G 的一个换位子⎡⎢⎣a 1b 1,b 2a 2 ⎤⎥⎦,a i ∈ A ,b i ∈ B , i = 1, 2 ，有⎡⎢a b ,b a ⎤⎥= a b b a b -1a -1a -1b -1 = a b a -1b -1 b a b a b -1a -1a -1b -1 ⎣ 1 1 2 2 ⎦1 12 2 1 1 2 2 1 1 11 1 1 2 2 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 12212 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1 b -1b b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 1 2 2= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1 a -1a -1b -1 = ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1a -1a -1b b -1b -1⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 121 21 1 2 2 ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 1212 1 21112= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ ⎡(a a )* ,b -1 ⎤⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ ⎢ 1 2 1 ⎥ ⎦其中(a 1a 2 )*为A 中的某元. 这样，G ' =< {⎡⎢a ,b ⎤⎥ : a ∈ A ,b ∈ B } >, 从而由(a)可知，G ' 为 Abel 群.十一、【参考证明】：(1) 用归纳法. 当n = 0, 1 时，结论显然成立.设n ≤ k 时，T n (x ) = cos (n arccos x ). 当n = k + 1 时，令x = cos θ ，则(2)<T n (x ),T mT k +1 (x ) = 2x T k (x )-T k -1 (x ) = 2 cos θ cos (k θ)- cos ((k - 1)θ) = cos ((k + 1)θ) = cos ((k + 1)arccos x )(x ) >=1 T n (x )T m(x ) d x . 令x =cos θ ，上述积分化为-1⎰ 0 cos(n θ)cos (m θ) d (cos θ) = ⎰ πcos (n θ)cos (m θ)d θπ当n ≠ m 时，上述积分为 0.sin θ 0(3) 注意以下事实： T n (x )是首项系数为 2n -1 的 n 次多项式， ||T(x ) ||∞ = 1,且T n (x )在x = cos ⎛ k π ⎫⎪ 处达到极值，即T(x ) = (- )k k = 0, 1,, n .k⎪ nk1 ,⎝ n ⎪⎭现假设|| p (x )||∞<1 2n -1， 考虑函数q (x ) = p (x )-k +11 T2n -1n(x ) ， 则q (x ) 在x k 处的符号与T n (x ) 在x k 处的符号相反，即为(-1)n ，这是不可能的！因此，⎣ n,k =0, 1,, n. 于是q (x )至少有n 个零点. 但q (x )次数小于|| p (x )||∞≥1. 2n-1当|| p (x )||∞= 12n-1时，可证q (z)至少有n 个零点，从而q (x )≡0 ，即p (x )= 1 T2n-1 n(x ).。
2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷(六年级)
2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷（六年级）一、填空题。
1．（3分）使得以下不等式成立的自然数有很多，所有满足题目要求的自然数之和是。
÷＞2．（3分）计算：＝．3．（3分）某种计算机病毒会“吃掉”硬盘空间。
第一天吃掉硬盘空间的二分之一，第二天吃掉剩下的三分之一，第三天吃掉剩下的四分之一，第四天吃掉剩下的五分之一，第五天吃掉剩下的六分之一。
此时，硬盘还剩下160G（G是硬盘大小的单位）。
这个硬盘本来一共有G。
4．（3分）＝。
5．（3分）两圆公共部分的面积是大圆面积的九分之一，是小圆面积的十五分之四。
大圆面积比小圆面积大56平方厘米。
大圆面积是平方厘米？6．（3分）一个长方形的长与宽之比为13：8，在这个长方形中剪掉一个最大的正方形。
剩下的长方形长与宽的比值是。
7．（3分）今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21划。
那么8个2021相乘的积有个因数。
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是125平方厘米和20平方厘米，且红、绿两个正方形有一个公共顶点。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形的中心，一个顶点位于绿色正方形的中心。
那么黄色正方形的面积是平方厘米。
9．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是196平方厘米，E、F分别是AB、AD的中点，2FG＝5CG。
则阴影部分面积是平方厘米。
10．（3分）有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换。
1个新轮胎在前轮位置可以行驶4000千米，在后轮位置可以行驶2400千米。
使用2个新轮胎，这辆自行车最多可行驶千米。
11．（3分）一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859。
这个自然数是。
12．（3分）如图，用一个斜边长43厘米的红色直角三角形，一个斜边长94厘米的蓝色直角三角形与一个黄色正方形正好拼成一个大的直角三角形。
红色三角形与蓝色三角形的面积之和是平方厘米？13．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是36平方米，AE＝3EB，BF＝4FC，CG：GD＝4：11，DH：HA＝1：5，阴影部分面积是平方分米。
全国数学竞赛小学六年级决赛集训试题(附答案)
全国数学竞赛小学六年级决赛集训试题（一）姓名＿＿＿＿得分＿＿＿＿一、填空题：（每小题6分，共60分）1.已知C C BA 1111616161－1+++=++，其中A 、B 、C 都是大于0且互不相同的自然数，则(A+B)÷C=。
2.有一类自然数，从左边第三位开始，每个数位上的数字都是它左边两个数位上的数字之和，如21347。
则这类自然数中，最大的奇数是。
3.如图1，△ABC 中，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BF 与CE 相交于点P ，如果S 四边形AEPF =S △BEP =S △CFP =4，则S △BPC =。
4.张老师带领六（1)班的学生去种树，学生恰好可平均分成5组。
已知师生每人种的树一样多，共种树527棵，则六（1)班有学生人。
5.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。
已知在电梯静止时，男孩每秒走3米，女孩每秒走2米。
则该自动扶梯长米。
6.有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图2，则至少需要绳子分米(结头处绳长不计，π取3.14)。
7.一个深30厘米的圆柱形容器，外圆直径22厘米，壁厚1厘米，已装有深27.5厘米的水。
现放人一个底面直径10厘米，高30厘米的圆锥形铁块，则将有立方厘米的水溢出。
8.新年联欢会共有8个节目，其中有3个非歌唱类节目。
排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻，而且第一个和最后一个节目都是歌唱类节目。
则节目单可有种不同的排法。
9.为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。
水池建成后，发现水池漏水。
这时，若同时打开进水管与出水管14小时才能把水池注满。
则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过小时池水就会漏完。
10.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
第五届全国大学生数学竞赛
n
2n 1 4n2
exp lim n ln 1 sin
n
2n 1 4n2
(2 分)
exp lim nsin
n
2n
1 4n2
exp lim
n
1 e4
n 2n 1 4n2
(2 分)
2 证明广义积分 sin x dx 不是绝对收敛的. 0x
证.
记 an
设 A f (a) ， B f (b) ， 是 f 的反函数，则
(2 分)
0 ( y) 1 1 ， f (x) m
又 | f (x) | ，则 A B ，所以
(3 分)
bxBiblioteka ( y) Ba sin f (x)d x A ( y)sin y d y
(3 分)
1 sin y d y 2
Q C1 Q
,
n = (sin θ, cos θ). , P
P
Q
P = P (θ) . ,
−−→ −→ −−→ −→ −→ OP = OP + P P = OP − 2(QP · n)n.
(5 )
P
(
)
P (θ) = P = (2r(1 − cos θ) sin θ, r + 2r(1 − cos θ) cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.
x˜2
+
(r
−
R2 ).
4r
(15 )
:
:
:
1
5
( 10 ) n
B(t) n × 1
b(t)
=
b1(t) ...
,
bij(t), bi(t)
t
b(t)
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
2014年03月-数学类三、四年级参考解答-第五届全国决赛试卷
六、【参考证明】：因为当| z | 1 时，f (z) 1 ，所以根据极大模原理，在 D 上 f (z) 1 ，即 f D D.
1 af z
若存在a D 使得a f (D) ，则函数g z
以及1 / g z 在 D 上解析，并容易验证
f za
当| z | 1 时， g(z) 1 . 因此，根据极大模原理，在D 上有 g z 1, 1 / g z 1, 这说明在D 上
n E
n F
k n k
n
lim f (x)d m f (x)d m.
n B n
B
3) 若
E
k
lim E lim E
k k k k
lim
E
k
E
k 1 k
E. 由 2)，Fn
k n Ek
En ，
k
f (x)dm lim f (x)dm lim f (x)dm.
E
n F
趋于无穷时的无穷小
量.
由于
lim
N
1 ln N
1
1 2
1 N
1.
于是当 N 充分大时，我们可以近似公式
1
1
1 ln N .
2
N
因而
E
1
N
N
1
1 2
1 N
N
ln
N
.
E
1
N
2
N
N 2
1
1
1 N
2r r
1 1
1 2r
1
1 2
1 r
2r
1
1 2
1 r
2r ln 2r 2r ln r N ln 2,
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第五届中国大学生数学竞赛决赛一、二年级试卷(数学类,2014年3月)
第五届中国大学生数学竞赛决赛一、二年级试卷(数学类,2014年3月)考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六总分满分151515152020100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.姓名身份证号所在院校年级专业....................⃝.........................⃝密封线答题时不要超过此线⃝.........................⃝.........................得分评阅人一、(本题15分)设S 为R 3中的抛物面a =12(x 2+y 2)，P =(a,b,c )为S 外一固定点，满足a 2+b 2>2c .过P 作S 的所有切线.证明：这些切线的切点落在同一张平面上.得分评阅人二、(本题15分)设实二次型f(x1,x2,x3,x4)=x T Ax，其中x=x1x2x3x4,A=2a02−2a0b cd e0fg h k4,a0,a,b,c,d,e,f,g,h,k皆为实数.已知λ1=2是A的一个几何重数为3的特征值.试回答以下问题：1)A能否相似于对角矩阵；若能，请给出证明；若不能，请给出例子.2)当a0=2时，试求f(x1,x2,x3,x4)在正交变换下的标准型.姓名身份证号所在院校年级专业..................⃝.........................⃝密封线答题时不要超过此线⃝.........................⃝.........................得分评阅人三、(本题15分)设n 阶实矩阵A = a 1b 10···0∗.........0∗.........0∗.........b n −1∗·········a n有n 个线性无关的特征向量，b 1,···,b n −1均不为0.记W ={X ∈R n ×n |XA =AX }.证明：W 是实数域R 上的向量空间，且I,A,···,A n −1为其一组基，其中I 为n 阶单位阵.得分四、(本题15分)设f(x,y)为[a,b]×R上关于y单调下评阅人降的二元函数.设y=y(x)和z=z(x)是可微函数，且满足：y′=f(x,y),z′≤f(x,z),x∈[a,b].已知z(a)≤y(a).求证：z(x)≤y(x),x∈[a,b].姓名身份证号所在院校年级专业..................⃝.........................⃝密封线答题时不要超过此线⃝.........................⃝.........................得分评阅人五、(本题20分)设f (x )是[0,+∞)上非负可导函数，f (0)=0,f ′(x )≤12.假设∫+∞0f (x )dx 收敛.求证：对任意α>1,∫+∞0f α(x )dx 也收敛，并且∫+∞0f α(x )dx ≤(∫+∞0f (x )dx )β,β=α+12.得分六、(本题20分)对多项式f(x)，记d(f)为其最大和最评阅人小实根之间的距离.设n≥2为自然数.求最大实数C，使得对任意所有根都是实数的n次多项式f(x)，都有d(f′)≥Cd(f).。
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第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。
这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。
a=__，r=__。
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。
那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。
（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。
列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。
现由甲工程队先修3天。
余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。
问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。
他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。
又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。
3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。
将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。
求这个大长方体的体积。
4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所多35本。
第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。
这批书共有多少本？四、问答题（共35分）1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。
问：保证一定获胜的对策是什么？（5分）2.有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。
现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（6分）3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。
现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。
金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。
问：（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（3分）（2）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分）4.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。
怎样修改？（6分）5.（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？（5分）（2）如果把上面（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？（5分）详解与说明一、计算题说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、，马上就应该知道它可以化为3.6；而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3×36”变形为“6543×3.6”，完成了这步，就为正”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。
说明：解这道题可以从不同的角度来观察。
解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“1×3×24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。
而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘分子部分括号内三个乘积的和约去了。
本题是根据《数学之友》（7）第2页例5改编的。
3.解法一：解法二：说明：解法一是求等比数列前n项和的一般方法，这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。
由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“2倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。
二、填空题1.解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）=83×3×8=1992或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）=83×2×12=1992（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。
而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式，1992=83×3×2×2×2，因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。
2.解：55+15+25×2=120（厘米）说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。
容易判断：下底最长，应为55厘米。
关键是判断腰长是多少，如果腰长是15厘米，15×2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米。
读者从本报190期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。
3.解：最少有说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。
但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位）”。
不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座。
（1）●○○●○○●……（2）○●○○●○○●○……图164.解法一：由1992÷46=43 (14)立即得知：a=43，r=14解法二：根据带余除法的基本关系式，有1992=46a+r（0≤r＜a）由r=1992-46a≥0，推知由r=1992-46a＜a，推知因为a是自然数，所以a=43r=1992-46×43=14说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。
解法一是根据1992÷a 的商是46，因而直接用1992÷46得到了a和r。
解法二用的是“估值法”。
5.解法一：先算出这25位老人今年的岁数之和为2000-25×2=1950年龄最大的老人的岁数为[1950+（1+2+3+4+……+24）]÷25=2250÷25=90（岁）解法二：两年之后，这25位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷25=80（岁）两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）。
当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。
解法二着眼于25人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。
6.解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明：本题是抽屉原理的应用。
应用这个原理的关键是制造抽屉。
从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。
换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内。
本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。
7.解：得分最低者最少得404-（90+89+88+87）=50（分）得分最低者最多得[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）说明：解这道题要考虑两种极端情形：（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。
第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时，第五名得分最少。
（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。
考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的。
8.解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有38X+90Y+（X+Y-1）=100039X+91Y=1001要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。
由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8。
即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少。
说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件，这样算起来就不那么简单了。
这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程时可别忘掉那损耗的1毫米，而且损耗了几个“1毫米”也不能算错，应该是“总段数-1”。
列出方程式之后，还有两点应当讲究：（1）变形要合理；（2）要选用简便算法。