用判别分析建立判别函数
统计学中的判别分析
统计学中的判别分析判别分析是统计学中一种常见的分析方法，旨在通过将样本数据归类到一个或多个已知的类别中，来识别和描述不同类别之间的差异。
它在很多领域中都有广泛的应用，例如医学、市场调研、金融等。
本文将介绍判别分析的基本原理、常见的判别分析方法以及其在实际应用中的一些例子。
一、判别分析的原理判别分析的目标是构建一个判别函数，通过输入变量的值来判别或预测样本所属的类别。
它的核心思想是通过最大化类别间的差异和最小化类别内部的差异，来建立一个有效的分类模型。
判别分析的基本原理可以用以下步骤来描述：1. 收集样本数据，包括已知类别的样本和它们的属性值。
2. 对每个样本计算各个属性的平均值和方差。
3. 计算类别内部散布矩阵和类别间散布矩阵。
4. 根据散布矩阵计算特征值和特征向量。
5. 选择最具判别能力的特征值和特征向量作为判别函数的基础。
二、判别分析的方法判别分析有多种方法可以选择，常见的包括线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）和二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis，简称QDA）。
1. 线性判别分析（LDA）线性判别分析假设每个类别的样本数据满足多元正态分布，并且各个类别的协方差矩阵相等。
它通过计算最佳投影方向，将多维属性值降低到一维或两维来实现分类。
LDA在分类问题中被广泛应用，并且在特征选择和降维方面也有一定的效果。
2. 二次判别分析（QDA）二次判别分析不同于LDA，它允许每个类别具有不同的协方差矩阵。
QDA通常适用于样本数据的协方差矩阵不相等或不满足多元正态分布的情况。
与LDA相比，QDA在处理非线性问题时可能更有优势。
三、判别分析的应用实例判别分析在多个领域中都有广泛的应用，下面列举了一些实际的例子。
1. 医学领域在医学中，判别分析可以帮助诊断疾病或判断病情。
例如，可以利用病人的临床数据（如血压、血糖等指标）进行判别分析，来预测是否患有某种疾病，或者判断疾病的严重程度。
应用多元统计分析课后答案-朱建平版(前9章)
第二章2.1.试表达多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求〔1〕随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 〔2〕随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； 〔3〕判断1X 和2X 是否相互独立。
〔1〕解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddcc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
判别分析法
判别分析判别分析又称“分辨法”，是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。
其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。
据此即可确定某一样本属于何类。
1：距离判别的判别准则和判别函数：设总体A 和B 的均值向量分别为1μ和2μ，协方差阵分别为1∑和2∑，今给一个样本x 要判断x 来自哪一个总体。
若协方差相同，即1212μμ∑∑∑≠==，计算x 到总体A 和B 的Mahalanobis 距离(,)d x A 和(,)d x B ，Mahalanobis 的计算有以下定义：定义5.1 设x 是从均值为μ，协方差为∑的总体A 中抽取的样本，则总体A 内两点x 与y 的Mahalanobis 距离（简称马氏距离）定义为：(,)d x y =定义样本x 与总体A 的Mahalanobis 距离为：(,)d x A =然后进行比较，若(,)(,)d x A d x B ≤，则判定x 属于A ;否则判定x 来自B 。
由此得到如下判别准则：,(,)(,),(,)(,)A d x A d x B x B d x A d x B ≤⎧∈⎨≥⎩令T 112()()()w x x μ∑μμ-=-- 称()w x 为两总体距离的判别函数，由此判别准则变为,()0,,()0.A w x x B w x ≥⎧∈⎨≤⎩在实际计算中，总体的均值和协方差阵都是未知的，由此总体的均值与协方差需要用样本的均值和协方差来代替，设1(1)(1)(1)12,,,nx x x ⋅⋅⋅是来自总体A 的1n 个样本点，2(2)(2)(2)12,,,n x x x ⋅⋅⋅是来自总体B 的2n 个样本,则样本的均值和协方差为 11ˆ,1,2in ii i j j iux x i n ====∑2()()()()T1211121211ˆ=()()()22in i i i i j ji j x x x x S S n n n n ==∑---++-+-∑∑ 其中()()()()T 1()(),1,2in i i i i i j j j S x x x x i ==--=∑对于待测样本x ，其判别函数定义为T 1(1)(2)ˆˆˆˆ()()()wx x x x x ∑-=-- 其中(1)(2)ˆˆˆ2x x x +=其判别准则为ˆ,()0,ˆ,()0.A wx x B wx ≥⎧∈⎨≤⎩ 2：若协方差不同，即1212μμ∑∑≠≠，对于样本x ，在方差不同的情况下，判别函数为 T -1T -1222111ˆˆ()()()()()W x x x x x μ∑μμ∑μ=----- 在实际计算中，总体的均值和协方差阵都是未知的，由此总体的均值与协方差需要用样本的均值和协方差来代替。
多元统计学-判别分析 思维导图
判别分析Discriminant analysis 概念判断样品所属类别的一种多元统计分析方法，根据一批分类明确的样品资料在若干判别指标上的观测值，建立一个关于指标的判别函数和判别法则，使得按此法则来判断这批样品归属类别的正确率达到最高，进而对给定的新样品判断其所属的类别总体。
步骤（1）收集训练样本在定义类别时，单个类内的样本个数不能太少;组的个数不应大于判别变量的个数。
（2）建立判别函数Y b0b1 X1b2 X2bp XP（3）估计判别函数判别准则a：组重心间的距离作为组间差异的标准(两组/方差相近）判别准则b：组间离差平方和/组内离差平方和(即判别函数已解释平方和/未解释平方和)（4）检验判别函数检验判别准则（判别准则的最大值）λ=已解释离差平方和/未解释离差平方和Wilks'Lambda，“反向”评价指标=1/(1+λ),未解释离差平方和/总离差平方和（5）检验判别变量可利用Wilks'Lambda对每个判别变量单独检验其判别能力。
对于显著性检验，可使用F检验代替卡方检验。
（6）将新元素分类分类距离判别法又称最近邻方法基本思想样品和哪个总体距离最近（重心），就判它属哪个总体考虑常涉及多个变量间有相关性且量纲不同--马氏距离适用条件分布无特定的要求，适用于任意分布的资料分类两类总体的判别（协方差矩阵相等/不相等）多类总体的判别判别效果一般要求错判率小于0.1或0.2才有应用的价值。
错判率的估计有训练样本(回代考核)和新样本(前瞻考核)两种方法。
Fisher判别又称典则判别基本思想基本思想是投影，即将k组p维数据投影到某一个方向，使得投影后组与组之间尽可能地分开.借鉴方差分析的思想，即要求投影点的类间离差与类内离差之比最大适用条件分布无特定的要求，适用于任意分布的资料核心步骤计算组间离差阵B和组内离差阵E求特征根和特征向量特征值Eigenvalue：组间平方和与组内平方和之比值；典则相关系数：是组间平方和与总平方和之比的平方根；变换式。
判别分析的SPSS实现
●Smallest F ratio.使任何两类间的最小的F值最大化 法.
●Rao' V 使 RaoV统计量最大化.可以对一个要加入到 模型中的变量的V值指定一个最小增量.选择此种方 法后,应该在该项下面的"V to dntce'"后的矩形框中输 这个增量的指定值.
②选择逐步判别停止的判据
选择逐步判别停止的判据在criteria组的矩形框中进 行.可供选择的判据有：
Indepents对话框
数据变量 输入框
数据判别分析
完成前面四步骤的操作即可使用各种系统默认值对工作数据 集的数据进行判别分析了.可以使用的方法有两种： 1直接运行：在主对话框中按用鼠标单击"Ok"按钮
2生成SPSS命令程序后再运行：在主对话框中按"Paste"按钮, 激活"Syntax"窗,在该窗中按"Run"按钮执行该语句窗中的程 序.
运行带有选择项的判别分析过程
运行Descriminant过程有两种方法： 1在主对话框中按"Ok"按钮,直接运行Descriminant过程. 2 在 主 对 话 框 中 按 "Paste" 按 钮 , 将 以 上 操 作 结 果 转 换 成 Descriminant过程的命令程序,显示在"Syntax"窗中.
5缺失值处理方式 在classification子对话框的最下面有一
个选择项,用以选择对缺失值的处理方法.
Replace missing value with mean用 该变量的均值代替缺失值.该选择项前面 的小矩形框中出现"x"时表示选定所示的 处理方法. 以上五项都给予了确定的选择 后,单击"continue"按钮,返回主对话框.
判别分析
多变量统计分析方法
01 简介
03 判别函数
目录
02 基本思想 04 建立方法
05 判别方法
07 应用
目录
06 验证方法
基本信息
判别分析又称“分辨法”，是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的 一种多变量统计分析方法。
其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待 定系数，并计算判别指标。据此即可确定某一样本属于何类。
3）Fisher判别：亦称典则判别，是根据线性Fisher函数值进行判别，通常用于梁祝判别问题，使用此准则 要求各组变量的均值有显著性差异。该方法的基本思想是投影，即将原来在R维空间的自变量组合投影到维度较低 的D维空间去，然后在D维空间中再进行分类。投影的原则是使得每一类的差异尽可能小，而不同类间投影的离差 尽可能大。Fisher判别的优势在于对分布、方差等都没有任何限制，应用范围比较广。
判别方法
判别方法
判别方法是确定待判样品归属于哪一组的方法，可分为参数法和非参数法，也可以根据资料的性质分为定性 资料的判别分析和定量资料的判别分析。此处给出的分类主要是根据采用的判别准则分出几种常用方法。除最大 似然法外，其余几种均适用于连续性资料。
1）最大似然法：用于自变量均为分类变量的情况，该方法建立在独立事件概率乘法定理的基础上，根据训 练样品信息求得自变量各种组合情况下样品被封为任何一类的概率。当新样品进入是，则计算它被分到每一类中 去的条件概率（似然值），概率最大的那一类就是最终评定的归类。
基本思想
基本思想
根据判别中的组数，可以分为两组判别分析和多组判别分析； 根据判别函数的形式，可以分为线性判别和非线性判别； 根据判别式处理变量的方法不同，可以分为逐步判别、序贯判别等； 根据判别标准不同，可以分为距离判别、Fisher判别、Bayes判别法等。
判别分析的基本思想总结
判别分析的基本思想总结判别分析（Discriminant Analysis）是一种经典的统计方法，主要用于分类。
其基本思想是根据已有的分类信息，通过建立一个判别函数，将不同类别的样本区分开来。
判别分析在模式识别、数据挖掘、生物统计学等领域都有广泛的应用。
判别分析的第一步是选择判别变量，也就是用来区分不同类别的特征。
判别变量可以是连续的，也可以是离散的。
在选择判别变量时，通常需要考虑两个因素：一是判别变量之间的相关性应尽可能小，二是判别变量之间与分类变量之间的相关性应尽可能大。
这两个因素可以通过相关系数矩阵和组间平均相关矩阵来进行评估。
判别分析的第二步是建立判别函数。
判别函数是一个数学模型，通过对判别变量进行线性组合，将不同类别的样本进行判断。
一般情况下，判别函数采用线性判别函数形式，即对判别变量进行加权求和。
对于二分类问题，判别函数可以表示为：D(x) = a0 + a1*x1 + a2*x2 + ... + am*xm其中，D(x)表示判别函数的输出值，x1, x2, ..., xm表示判别变量的取值，a0, a1, a2, ..., am表示判别函数的系数。
对于多分类问题，判别函数可以有多个（k个），每个判别函数都对应一个类别。
判别分析的第三步是确定判别函数的系数。
系数的确定可以通过最小化分类错误率来进行，也可以通过最大化类别间的距离来进行。
最小化分类错误率是一种常见的方法，即使得每个样本点的判别函数值与其真实类别之间的差距最小。
最大化类别间的距离是另一种方法，即使得不同类别之间的平均判别函数值差距最大。
判别分析的第四步是对新样本进行分类。
对于新样本，根据判别函数的取值，可以判断其属于哪个类别。
判别函数的取值越大，说明该样本属于该类别的可能性越大；判别函数的取值越小，说明该样本属于其他类别的可能性越大。
判别分析的优点是模型简单、计算效率高。
由于判别分析是一个线性模型，不需要复杂的计算过程和大量的参数估计。
判别分析
根据已知分类数目、是否筛选变量和变量间是否共线性，判别分析可分为以下三类：多类别判别分析 不筛选变量逐步判别分析 它通过筛选变量，舍弃包含信息量少的变量，将能充分揭示各类之间判别的变量引入判别函数典则判别分析 对变量的共线性进行典则分析，从而寻求能最佳概括各类之间的差异变量判别分析的目的是要建立一个判别函数式。
建立判别函数式的法则主要有Fisher 判别准则和Bayes 判别准则，它们都是从“距离”这个概念出发建立判别函数式的，只不过定义距离的方法不同而已。
理论和实践都证明，Fisher 判别准则和Bayes 判别准则的效果是等价的。
Bayes 判别模型（一般模型）：一个有p 个变量的样本可以看做是p 维空间R 中的一个点，一组样本可以看作是R 中由若干个点组成的区域。
分析中，把R 空间划分成互不相交的t 个区域，且每个样本只能归属于其中一个区域，由此建立判别函数。
一个区域就代表样本的一类。
对于一个待判样本12(,,,)p X x x x =，根据判别函数找出它属于t 个区域中哪个区域的概率最大，就判别它属于概率大的那个区域所代表的类。
对于一个样本12(,,,)p X x x x =，假设来自各类的先验概率相等，则X 来自第j 类的后验概率的Bayes 公式为：1()()()j j k t tt q p x P j x q p x ==∑ （1）式中：()j p x 为第j 类p 个变量的多元正态分布密度，j q 为第j 类的先验概率，它也用已知样本的概率代替，即jj n q n = j ＝1，2，…，k式中：j n 为第j 类样本数，n 为样本总体。
（1） 式可转化为：22exp[0.5()]()exp[0.5()]j jkD x P j x SUM D x -=-∑ （2） 式中：2()D x 为广义平方（马氏）距离；2()j D x 为X 到第j 类的马氏距离。
X 的第j 类马氏距离为：212()(,)()j D x g X j g X =+式中：112(,)()()ln ;()2ln j j j j j g X j X X COV X X C OV g j q -=--+=-式中，X 是观测向量；X j 是j 类观测向量的均值；COV j 是j 类协方差的矩阵；1j COV -是j 类协方差矩阵的逆矩阵；j C OV 是j 类协方差矩阵的行列式。
化验检查诊断问题
第三次个人赛论文姓名代码：5化验检查诊断问题摘要本文针对化验检查诊断问题做了深入的研究，根据已经确诊的肾炎病人和正常人的化验结果各指标数据的分析，得知该问题是一类基于表明事物特点的变量值和它们所属的类，对未知所属类别的事物进行归类的问题。
对此，本文建立了判别函数模型对本问题进行讨论求解。
对于问题（1），本文采用Fisher判别法，通过SPSS分析已经确诊为肾炎病人和正常人的各指标数据，将人员认为两组（1肾炎患者，2正常人），以所有化验指标为自变量，建立典则判别函数方程，并用回代验证和交叉验证两种方法对判别函数进行了验证，两种验证方法得到的判对率分别为93.3%和91.7%，其中误判只发生在原本是正常人的身上。
对于问题（2），在问题（1）所建立的典则判别函数方程的基础上，代入待确诊的30名就诊人员各项指标的化验结果，求出判别得分和到两组投影质心的马氏距离，以距离最小为判据，计算出应在各组的概率，进而判断出他（她）们是否患有肾炎（见表2）。
对于问题（3），本文采用逐步判别法对已确诊为肾炎病人和正常人的各项指标数据进行分析，同样将人员认为两组（1肾炎患者，2正常人），逐个引入指标，分析各指标对判别结果的影响是否显著，同时剔除一些已经引入的不必要的指标，直到判别函数中没有不重要的指标自为止，最后得出影响人们患肾炎的主要因素是人体内Cu，Fe，Ca 含量，并以这三个指标为自变量建立新的判别函数方程，检验得其判对率为91.7%，误判也只发生在原本是正常人的身上。
对于问题（4），在问题（3）所建立的判别函数方程的基础上，代入待确诊的30名就诊人员各项指标的化验数据，求出判别得分和到各组质心的马氏距离，以距离最小为判据，计算出应在各组的概率，进而判断出他（她）们是否患有肾炎（见表3）。
最后，对模型的优缺点作了评价，并进行了简单的推广。
关键词： Fisher判别法；逐步判别法；马氏距离；肾炎诊断一、问题的提出和重述1.1问题的提出人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。
判别分析
实验六判别分析（综合性实验 4学时）1、目的要求：熟练掌握判别分析的基本步骤，对给出的样本建立判别函数，进行判别分析。
2、实验内容：使用指定的数据按实验教材完成相关的操作。
3、主要仪器设备：计算机。
练习：1、为研究舒张期血压和血浆胆固醇对冠心病的作用，某医师测定了50—59岁冠心病人15例和正常人16例的舒张压和胆固醇指标，结果如下表所示。
试做判别分析，建立判别函数以便在临床中用于筛选在临床中用于筛选冠心病人。
操作步骤：Step1：读取数据文件。
其中，变量名“舒张压”、“胆固醇”代表两项指标值。
病人资料和正常人资料合并一同输入，定义变量名为“组别”的变量用于区分冠心病人资料和正常人资料，即冠心病人资料的“组别”值均为1，正常人资料的“组别”值均为2.Step2:选择“Analysis” →“Classify” →“Discriminant”命令，在“Discriminant Analysis”对话框中，选择“组别”变量进入“Grouping Variable”文本框；单击“Define Range”按钮，在“Minimum”文本框中输入1，在“Maximum”文本框中输入2，单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step3：选择变量“舒张压”和“胆固醇”移动到“Independents”列表框中，本例选择“Enterindependents together”判别方式作为判别分析的方法。
Step4：单击“Statistics”按钮，在“Descriptive”选项中选择“Mean”；在“Function Coefficients”选择“Unstandardized”。
单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step5：单击“Classify”按钮，在“Plot”选项组中选择“Combined-groups”选项，在“Display”选项组中选择“Casewise result”和“Summmary table”选项；单击“Continue”按钮，返回主对话框。
判别分析法实例
第四章判别分析习题4.8（1）根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。
（2）现有一新品牌的饮料在该超市试销，其销售价格为3.0，顾客对其口味评分为8，信任度评分平均为5，试预测该饮料的销售情况。
将数据导入SPSS，分析得到以下结果：1.典型判别函数的特征函数的特征值表表1-1 特征值表表1-1所示是典型判别函数的特征值表，只有两个判别函数，所以特征值只有2个。
函数1的特征值为17.791，函数2的特征值为0.720，判别函数的特征值越大，说明函数越具有区别判断力。
函数1方差的累积贡献率高达96.1%，且典型相关系数为0.973，而函数2方差的贡献率仅为3.9%，典型相关系数为0.647。
由此，说明函数1的区别判断力比函数2的强，函数1更具有区别判断力。
2.Wilks检验结果表1-2 Wilks 的Lambda上表中判别函数1和判别函数2的Wilks’Lambda值为0.031，判别函数2的Wilks’Lambda值为0.581。
“1到2”表示两个判别函数的平均数在三个类间的差异情况，P值=0.002<0.05表示差异达到显著水平“2”表示在排除了第一个判别函数后，第二个判别函数在三个组别间的差异情况，P值=0.197>0.05表示判别函数2未达到显著水平。
3.建立贝叶斯判别函数表1-3 贝叶斯判别法函数系数上表为贝叶斯判别函数的系数矩阵，用数学表达式表示各类的贝叶斯判别函数为：第一组：F1=-81.843-11.689X1+12.97X2+16.761X3第二组：F2=-94.536-10.707X1+13.361X2+17.086X3第三组：F3=-17.499-2.194X1+4.960X2+6.447X3将新品牌饮料样品的自变量值分别代入上述三个贝叶斯判别函数，得到三个函数值为：F1=65.271，F2=65.661，F3=47.884比较三个值，可以看出F2=65.661最大，据此得出新品牌饮料样品应该属于第二组，即该饮料的销售情况为平销。
聚类分析及判别分析案例
一、案例背景随着现代人力资源管理理论的迅速开展，绩效考评技术水平也在不断提高。
绩效的多因性、多维性，要求对绩效实施多标准大样本科学有效的评价。
对企业来说，对上千人进展多达50~60个标准的考核是很常见的现象。
但是，目前多标准大样本大型企业绩效考评问题仍然困扰着许多人力资源管理从业人员。
为此，有必要将当今国际上最流行的视窗统计软件SPSS应用于绩效考评之中。
在分析企业员工绩效水平时，由于员工绩效水平的指标很多，各指标之间还有一定的关联性，缺乏有效的方法进展比拟。
目前较理想的方法是非参数统计方法。
本文将列举某企业的具体情况确定适当的考核标准，采用主成分分析以及聚类分析方法，比拟出各员工绩效水平，从而为企业绩效管理提供一定的科学依据。
最后采用判别分析建立判别函数，同时与原分类进展比拟。
聚类分析二、绩效考评的模型建立1、为了分析某企业绩效水平，按照综合性、可比性、实用性和易操作性的选取指标原那么，本文选择了影响某企业绩效水平的成果、行为、态度等6个经济指标(见表1)。
2、对某企业，搜集整理了28名员工2021年第1季度的数据资料。
构建1个28×6维的矩阵(见表2)。
3、应用SPSS数据统计分析系统首先对变量进展及主成分分析，找到样本的主成分及各变量在成分中的得分。
去结果中的表3、表4、表5备用。
表 5成份得分系数矩阵a成份1 2Zscore(X1) .227Zscore(X2) .228Zscore(X3) .224Zscore(X4) .177Zscore(X5) .186 .572Zscore(X6) .185 .587提取方法 :主成份。
构成得分。
a. 系数已被标准化。
4、从表3中可得到前两个成分的特征值大于1，分别为3.944和1.08，所以选取两个主成分。
根据累计奉献率超过80％的一般选取原那么，主成分1和主成分2的累计奉献率已到达了83．74％的水平，说明原来6个变量反映的信息可由两个主成分反映83．74％。
判别分析
判别分析作业4.7设有两个二元总体1G 和2G ，从中分别抽取样本计算得到(1)51X⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2)32X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，^p 5.8 2.12.17.6⎛⎫∑= ⎪⎝⎭假设12∑=∑，试用距离判别法建立判别规则，样品()'6,0X =应属于哪个总体？ 解：^(1)151Xμ⎛⎫== ⎪⎝⎭，^(2)232X μ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，^^^1240.52μμμ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，''112(X )(X )()p W αμμμμ-=-=-∑-(X )(6,0)(4,0.5)(2,0.5)μ-=--=17.6 2.11()2.1 5.83967--∑=- '12()(2.3)μμ-=7.6 2.12124.4(2,0.5)02.1 5.83396739.67p W -⎛⎫⎛⎫==> ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 1X G ∴∈即样品X 属于总体1G4.8 某超市经销十种品牌的饮料，其中有四种畅销，三种滞销，三种平销。
下表是这十种品牌饮料的销售价格（元）和顾客对各种饮料的口味评分、信任度评分的平均数。
（1） 根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。
（2） 现有一新品牌的饮料在该超市试销。
其销售价格为3.0，顾客对其口味的评分平均为8，信任评分平均为5，试预测该饮料的销售情况。
解：增加Group 变量，令畅销、平销、滞销分别为Group1,2,3，销售价格为1X ，口味评分为2X ，信任度评分为3X 。
1） 根据判别分析的结果建立贝叶斯判别函数：贝叶斯判别函数的系数见表1。
表中每一列表示样本判入相应类的贝叶斯判别函数系数。
由此可建立判别函数如下：Group1:112381.84311.68912.29716.761Y X X X =--++ Group2:212394.53610.70713.36117.086Y X X X =--++ Group3:312317.449 2.194 4.960 6.447Y X X X =--++将各样品的自变量值代入上述三个贝叶斯判别函数，得到三个函数值。
多元统计分析课后习题解答_第四章
第四章 判别分析4、1 简述欧几里得距离与马氏距离得区别与联系。
答: 设p 维欧几里得空间中得两点X =与Y =。
则欧几里得距离为。
欧几里得距离得局限有①在多元数据分析中,其度量不合理。
②会受到实际问题中量纲得影响。
设X,Y 就是来自均值向量为,协方差为得总体G 中得p 维样本。
则马氏距离为D(X,Y)=。
当即单位阵时,D(X,Y)==即欧几里得距离。
因此,在一定程度上,欧几里得距离就是马氏距离得特殊情况,马氏距离就是欧几里得距离得推广。
4、2 试述判别分析得实质。
答:判别分析就就是希望利用已经测得得变量数据,找出一种判别函数,使得这一函数具有某种最优性质,能把属于不同类别得样本点尽可能地区别开来。
设R1,R2,…,Rk 就是p 维空间R p 得k 个子集,如果它们互不相交,且它们得与集为,则称为得一个划分。
判别分析问题实质上就就是在某种意义上,以最优得性质对p 维空间构造一个“划分”,这个“划分”就构成了一个判别规则。
4、3 简述距离判别法得基本思想与方法。
答:距离判别问题分为①两个总体得距离判别问题与②多个总体得判别问题。
其基本思想都就是分别计算样本与各个总体得距离(马氏距离),将距离近得判别为一类。
①两个总体得距离判别问题设有协方差矩阵∑相等得两个总体G 1与G 2,其均值分别就是μ1与μ 2,对于一个新得样品X ,要判断它来自哪个总体。
计算新样品X 到两个总体得马氏距离D 2(X,G 1)与D 2(X,G 2),则X ,D 2(X ,G 1)D 2(X ,G 2)X ,D 2(X ,G 1)> D 2(X ,G 2, 具体分析,111122111111111222111211122()()()()2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ记 则判别规则为X ,W(X) X ,W(X)<0②多个总体得判别问题。
7-判别分析
从几何意义上讲，判别分析就是要在已知不 同的两个点群A 同的两个点群A、B间，寻找一个最优的分割平面， 将A、B两点群有效地区分。 判别分析和聚类分析的区别： 判别分析和聚类分析的区别： 在聚类分析中，一般人们事先并不知道或并 不一定要明确应该分成几类，完全根据数据来确 定。根据数据之间的性质，将性质相近的归为一 类，将性质差别较大的归入不同的类。 而在判别分析中，其类别是已知的。至少有 一个已经明确知道类别的“训练样本” 一个已经明确知道类别的“训练样本”，利用这 些数据，就可以建立判别准则，并通过预测变量 来为未知类别的观测值进行判别，以确定将其归 入已知类别中的哪一类中。
判别分析 (Discriminant analysis)
判别分析的基本原理
判别分析的主要思想是： 判别分析的主要思想是： 在已知分类类别的基础上，由大量各类样品 的观测值，利用判别分析方法建立判别函数，然 后利用所建立的判别函数对未知类别的样品进行 判别，使其归入某一已知类别中。 判别分析是在已知分类的条件下，确定未知 对象归属于哪一个已知分类的一种统计分析方法。 它所要解决的问题是对样品的分类问题。因此也 是一种常用的分类分析方法。
判别分析的方法
判别分析法按判别的组数可分为：两组、多组判别； 按区分不同总体所用的数学模型可分为：线性、非线性判 别；按所用的方法不同可分为：距离判别、 Fisher判别、 Fisher判别、 Bayes判别、逐步判别等。 Bayes判别、逐步判别等。
分析方法的思路：根据已知样本→建立判别法则→ 分析方法的思路：根据已知样本→建立判别法则→判别新的样品的归属 一、根据距离的判别分析
判别分析要注意的事项
2、在分析的各个阶段应把握如下原则： (1)事前组别( (1)事前组别(类)的分类标准要尽可能正确和可靠，否则会影响 判别函数的准确性，从而影响判别分析的效果； (2)选择好可能用于判别的预测变量。 (2)选择好可能用于判别的预测变量。 (3)所分析的自变量应是因变量的重要影响因素，应该挑选既有 (3)所分析的自变量应是因变量的重要影响因素，应该挑选既有 重要特性又有区别能力的变量，达到以最少变量而有高辨别能力的目 标。使用较少的变量意味着节省资源和易于对结果进行解释； (4)在计算中需要看关于各个类的有关变量的均值是否显著不同 (4)在计算中需要看关于各个类的有关变量的均值是否显著不同 的检验结果（在SPSS选项中选择Wilks’ Lambda、Rao’ V、 的检验结果（在SPSS选项中选择Wilks’ Lambda、Rao’s V、The Squared Mahalanobis Distance或The Sum of Unexplained Distance或 Variations等检验的计算机输出），以确定是否分类结果是仅仅由于 Variations等检验的计算机输出），以确定是否分类结果是仅仅由于 随机因素。 (5)对于多个判别函数，要弄清各自的重要性。 (5)对于多个判别函数，要弄清各自的重要性。 (6)注意训练样本的正确和错误分类率。研究被误分类的观测值， (6)注意训练样本的正确和错误分类率。研究被误分类的观测值， 看是否可以找出原因。 (7)注意对判别效果好坏的评价。 (7)注意对判别效果好坏的评价。
判别分析
一、基本含义
1．判别分析的含义 判别分析是多元统计分析中用于判别样品所属类型的一 种统计分析方法，它所要解决的问题是在一些已知研究对象 用某种方法已分成若干类的情况下，确定新的观测数据属于 已知类别中的哪一类。 判别分析与聚类分析不同。判别分析必须事先知道需要 判别的类型和数目，并且要有一批来自已知类型的样品，才 能建立判别式（判别函数），然后对新样品进行判别归类。 对于聚类分析来说，一批给定样品划分的类型和数目事先都 不知道，需要通过聚类分析以后才能确定。此外，判别分析 还能够对于未知分组类型的个案进行判别分组。因此它带有 “预测”的功能。这是聚类分析所不组别分类标准要尽可能有可靠性。
② 自变量（判别指标）是重要的属性，初始分析之数目不能太少，亦即
研究者要从许多不同的特性中搜集统计数据，统计分析的平均数与加权总 和会决定它们的判别能力，加权总和即是预测变量间的线性组合，此线性 组合就是所谓的“判别函数”（discriminant function）。 ③ 如果个别变量与加权总和有显著的判别能力，则可以将有效的观察值
归类为组别中的一组，此归类的正确率愈高愈好。
④ 挑选具有重要特性而又有判别能力的变量，达到以最少变量而有高判 别力的目标。
归类为组别中的一组，此归类的正确率愈高愈好。
④ 挑选具有重要特性而又有判别能力的变量，达到以最少变量而有高判 别力的目标。
判别分析
二、判别分析的过程 ① 事前组别分类标准要尽可能有可靠性。
② 自变量（判别指标）是重要的属性，初始分析之数目不能太少，亦即
研究者要从许多不同的特性中搜集统计数据，统计分析的平均数与加权总 和会决定它们的判别能力，加权总和即是预测变量间的线性组合，此线性 组合就是所谓的“判别函数”（discriminant function）。 ③ 如果个别变量与加权总和有显著的判别能力，则可以将有效的观察值
判别分析与聚类分析
判别分析（Discriminant Analysis）一、概述：判别问题又称识别问题，或者归类问题。
判别分析是由Pearson于1921年提出，1936年由Fisher首先提出根据不同类别所提取的特征变量来定量的建立待判样品归属于哪一个已知类别的数学模型。
根据对训练样本的观测值建立判别函数，借助判别函数式判断未知类别的个体。
所谓训练样本由已知明确类别的个体组成，并且都完整准确地测量个体的有关的判别变量。
训练样本的要求：类别明确，测量指标完整准确。
一般样本含量不宜过小，但不能为追求样本含量而牺牲类别的准确，如果类别不可靠、测量值不准确，即使样本含量再大，任何统计方法语法弥补这一缺陷。
判别分析的类别很多，常用的有：适用于定性指标或计数资料的有最大似然法、训练迭代法；适用于定量指标或计量资料的有：Fisher二类判别、Bayers多类判别以及逐步判别。
半定量指标界于二者之间，可根据不同情况分别采用以上方法。
类别（有的称之为总体，但应与population的区别）的含义——具有相同属性或者特征指标的个体（有的人称之为样品）的集合。
如何来表征相同属性、相同的特征指标呢？同一类别的个体之间距离小，不同总体的样本之间距离大。
距离是一个原则性的定义，只要满足对称性、非负性和三角不等式的函数就可以称为距绝对距离马氏距离：（Manhattan distance）设有两个个体（点）X与Y（假定为一维数据，即在数轴上）是来自均数为μ，协方差阵为∑的总体（类别）A的两个个体（点），则个体X与Y的马氏距离为（，）X与总体（类别）A的距离D X Y=（，）为D X A=明考斯基距离（Minkowski distance）:明科夫斯基距离欧几里德距离（欧氏距离）二、Fisher两类判别一、训练样本的测量值A类训练样本编号 1x 2xm x1 11A x 12A x 1A m x 221A x22A x2A m xA n1A An x 2A An xA An m x 均数1A x2A xAm xB 类训练样本编号 1x 2x m x1 11B x 12B x 1B m x 221B x22B x2B m xB n1B Bn x 2B Bn x B Bn m x 均数1B x2B xBm x二、建立判别函数(Discriminant Analysis Function)为：1122m m Y C X C X C X =+++其中：1C 、2C 和m C 为判别系数（Discriminant Coefficient ） 可解如下方程组得判别系数。
多元统计分析课后习题解答_第四章
第四章判别分析4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。
答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。
则欧几里得距离为。
欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。
②会受到实际问题中量纲的影响。
设X,Y是来自均值向量为，协方差为的总体G中的p维样本。
则马氏距离为D(X,Y)=。
当即单位阵时，D(X,Y)==即欧几里得距离。
因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。
4.2 试述判别分析的实质。
答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。
设R1，R2，…，Rk 是p 维空间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。
判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。
4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。
答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。
其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。
①两个总体的距离判别问题设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是1和2，对于一个新的样品X ，要判断它来自哪个总体。
计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2（X ，G 2），则X ，D 2（X ，G 1）D 2（X ，G 2）X，D 2（X ，G 1）> D 2（X ，G 2，具体分析，2212(,)(,)D G D G -X X 111122111111111222111211122()()()()2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2()22()2()---''=-++-'+⎛⎫=--- ⎪⎝⎭''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ则判别规则为X ，W(X)X ，W(X)<0②多个总体的判别问题。
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jk
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12
k 1
19
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n
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k 1 k 1
这是一个从向量集合的角度所定义的一种测 度变量之间远近程度的相似系数。
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相关系数(Pearson’s correlation coefficient)
以上结果看出，4号和6号可以聚成一类，而4号和3号很难聚成一 类。若标准定在6上，4号和2号也可以聚成一类。
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㈢ 聚类分析的统计量
研究样品或变量的远近程度(或称亲疏程度)的 数量指标有两种，一种叫相似系数，性质越接近的 变量或样品，它们的相似系数越接近于1或－1，而 彼此无关的变量或样品，它们的相似系数则越接近 于0，相似的为一类，不相似的为不同类；另一种 叫距离，它是将每一个样品看作p维空间的一个点, 并用某种度量测量点与点之间的距离，距离较近的 归为一类，距离较远的点应属于不同的类。
第五讲
• 课程名称：多元统计分析 • 主要教材： « 医学统计学与电脑实验»
（第二版） 方积乾 主编 上海科学技术出版社
• 年级、专业： 2013公卫学院研究生 • 授课时间：2014年5月6日 • 授课时数：4h
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目录
第四部分 聚类分析
一、聚类分析的基本原理 二、聚类分析的实例
第五部分 判别分析
太小！看不清。
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这还差 不多。
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۞用数学的语言表示这种感觉就是通过任意两点
的离差平方和的平方根的大小来表达这两点的
远近程度（即是否聚在一起成一类）。
如计算4号和6号的远近程度： [(21-20)2+(23-23)2+(22-22)2]½ =1 如计算4号和2号的远近程度： [(21-18)2+(23-23)2+(22-18)2]½ =5 如计算4号和3号的远近程度： [(21-11)2+(23-22)2+(22-16)2]½ ≈11.7
分别表示第i个样品和第j样品的p指标观测值所组成的 列向量，即样本数据矩阵中第i个和第j个行向量的转置， 表示观测变量之间的协方差短阵。在实践应用中，若总 体协方差矩阵未知，则可用样本协方差矩阵作为估计代 替计算。
优点：马氏距离既排除了各指标间的相关性干
扰，又消除了各指标的量纲。
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别表示数学推理能力，空间想象能力和语言理解能力。 其得分如下，选择合适的统计方法对应聘者进行分类。
应聘者 X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 18 11 21 26 20 16 14 24 22 29 23 22 23 29 23 22 23 29 27 28 18 16 22 26 22 22 24 24 24
兰思-维廉姆斯（Lance & Williams）距离
dij (L)
p k 1
xik xik
x jk x jk
这是一个自身标准化的量，由于它对大的奇 异值不敏感，这样使得它特别适合于较大变异的 数据。缺点是没有考虑指标之间的相关性。
看来，谁也不能十全十美。
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斜交空间距离
dij
1 p2
p h1
p
( xih
k 1
x jh )(xik
1 2 x jk )rhk
这是一个考虑指标之间的相关性的距离。当 各变量之间不相关时,斜交空间退化为欧氏距离。
杰斐瑞-马突斯塔（ Jffreys & Matusita ）距离
p
dij (J ) ( xik
p
( xik xi )( x jk x j )
rij
k 1 p
p
[ ( xik xi )2 ][ ( x jk x j )2 ]
k 1
k 1
㈣ 聚类分析的统计量的选择
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(1) 距离 欧式（Euclidian ）距离
这个式子好像前面见过。
14
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二维空间欧式距离的直观表达
15
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闵可夫斯基（Minkowski）距离
16
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马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离
di2j (xi xj)1(xi xj)
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㈡ 聚类分析的种类
根据分类的原理可将聚类分析分为：
系统聚类与快速聚类
根据分类的对象可将聚类分析分为：
Q型聚类与R型聚类（即样品聚类clustering for
cases与变量聚类clustering for variables)
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如何聚类？
See an example. 引例 对10位应聘者做智能检验。3项指标X，Y和Z分
一、判别分析的基本原理 二、判别分析的实例
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目录
练习资料
㈠ 课堂练习习题 ㈡ 课后作业题
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第五部分 聚类分析
一、聚类分析的基本原理
㈠ 方法简介
聚类分析(Cluster Analysis)是定量研究分类 问题的一种多元统计方法。
基本思想：根据已知数据，计算各观察个体或 变量之间亲疏关系的统计量（距离或相关系数）。 根据某种准则（最短距离法、最长距离法、中间距 离法、重心法等），使同一类内的差别较小，而类
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与类之间的差别较大，最终将观察个体或变量分为 若干类。
医学研究中经常遇到下列情况： 同一种疾病（如肝炎），根据临床表现和化验 指标等将病人分成若干类型（甲、乙、丙、丁、 戊型肝炎）； 根据疾病的若干临床表现，将病人分成轻、中、 重三类； 根据医院的病床数、门诊量、诊治水平、效益指 标等，把医院分成几类。
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首先用3D散点图直观地显示上述数据。
凭肉眼和感 觉看，好像 分成三堆…
8
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9
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Congratulation ! Your feeling is right. Because SPSS has the same results, too.
۞以下是SPSS的聚类分析hierarchical cluster方法 得出的树状图(Dendrogram) 结果。