微分几何 3.4空间曲线在一点邻近的结构.ppt
微分几何第一章曲线论第三节空间曲线
P
(C )
基本向量的计算公式 (1)若曲线(C ) : r r (t )， t为一般参数. r r r ; ; r r r r r r ( r r ) r r r r r r r (r r )r ( r r )r . r r r (2)若曲线(C ) : r r ( s )， s为自然参数. r r r r r ; . r ; r r r r
X 1 Y 0 1 1 0 Z 1 0, 即Y Z 0. 0 X 1 Y Z . 副法线的方程为： 0 1 1
3.2 空间曲线的基本三棱形
设曲线(C ) : r r ( s) C 2， P P( s) (C )是非逗留点， dr r 单位切向量, ds (C ) ， 1， 即r r ， r 主法向量, 副法向量, r 伏雷内标架 { P; , , }; 定义 (基本向量，， ；
P
T
定义 (密切平面) 切平面的极限位置
叫做曲线(C )在点的P密切平面.
Q
T
P
过点P与密切平面垂直的直线 r ( t 0 t ) 叫做曲线(C )在P点的副法线. (C ) O 方程 设曲线(C ) : r r (t ) C 2，
r (t0 )
O
课件二：曲率、挠率、伏雷内公式
，所以挠率的绝对值刻画了曲线
扭转的程度；其符号实际上规定了：右旋曲线 τ ( s ) > 0 左旋曲线τ ( s ) < 0 。（将在下节给出解释， 同学们预习时 注意一下看是怎样说明的）。
r r γ& = τ ( s ) β ；（由定义即得） ②
③ 曲面是平面曲线，则τ ( s ) = 0
④ 挠率不恒等于零的曲线叫做挠曲线 挠曲线。 挠曲线
伏雷内(Frenet) (Frenet)公式 3 伏雷内(Frenet)公式 r r 简单地说，Frenet公式是由基本向量表示其导 & = κ (s)β ②应用伏雷内(Frenet)时应 α r 矢的式子。它是： r 注意:公式中等号左边是基本向 r r & r
说明 ①伏雷内(Frenet) 曲率和挠率也是伏雷内公式的 r r r r & = k ( s ) β，γ& ( s ) = τ ( s ) β 已经知道，只须证 公式又叫曲线论基本公式. r r r r & 证明： α & β = α β 一个应用： κ = α r r r 它沟通了曲率、挠率、基 r r r & 第二式。 β = γ ×α 两边求微商并将上两式带入得： & β = γr β （为什么？） 在 τ = γ 本向量及其导矢之间的关 r r r & β = k ( s )α + τ ( s ) γ ( s ) ④ 伏雷内公式的另一形式: 系.遇到问题就微分,遇到 r r r r & 0 αr = ωrκ×(s) 0 α &，&，& 就用伏雷内公式, α β γ 该式其系数构成反对称矩阵： r r r & β ) kr(s= ωr ×0 β ，τ (s) 这是微分几何中解决问题 & γ0 = ωτ (γr) 0 × s r 的重要技巧和方法; r r 其中 ω = τα + κγ
微分几何读书报告 - 空间曲线在一点邻近的结构
3.4 空间曲线在一点临近的结构一、规范形为研究曲线在一点处的形状，最简单的想法是研究曲线在这点处的切线，不过二者只有切向量相同，近似程度较低。
随后我们考虑用这点处的曲率圆来近似这点处的形状，不过曲率圆是平面曲线，无法表示出曲线扭转的程度，近似程度也不高。
因此我们考虑能否用一条形式较简单的空间曲线来近似曲线在一点处的形状。
在3C 类曲线s r =r()上任取一点00P s r()：，为方便讨论，我们可以通过参数变换将这点变为弧长为0的点，即0=0s ，在这点处泰勒展开可得：233()(0)(0)(0)(0)()2!3!s s s s s =++++r r r r r o ，其中余项3()s o 是3s 的高阶无穷小量。
利用Frenet 公式进行化简，最终我们得到：()()()00023323333000000001111()(0)-++++6266s s s o s s s o s s o s αβγκκκκτ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r αβγ其中{}0000;,,r αβγ为0s=0处的Frenet 活动标架。
同时这个Frenet 活动标架也恰好构成一个笛卡尔直角标架，方便起见，我们直接记{}0000;,,r αβγ为一个新坐标系，并假设ξηζ，， 为曲线上点0s r()的邻近点的新坐标，则有：()()()00023302330033001=-+611=++261=+6s s o s s s o s s o s αβγξκηκκζκτ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 其中余项()()()000333o s o s o sαβγ，，分别是3s在000αβγ，，方向的高阶无穷小，此式称为曲线s r =r()在00P s r()：处的规范形。
二、近似曲线规范形的主要部分确定了一条三次多项式曲线，记为2300011(),,26s s s s κκτ⎛⎫= ⎪⎝⎭r 。
我们知道，曲线()s r 和()s r 在00=0P s r()：处具有相同的Frenet 标架，同时可进一步证明二者在0P 处的曲率值和挠率值也相同：这说明它们的几何行为在0P 附近也是很接近的，我们称曲线()s r 是()s r 在0P 处的近似曲线。
空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】
研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹， 建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
y
0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2
z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2
z2 c2
x 0
1
x2 a2
y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：
x2 a2
y2 b2
1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴 准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0
y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M
0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
【精品PPT课件】微分几何
b
a
b m r (t )dt m r (t )dt
a
证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在[a,b]上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有
b
a
b b b r (t )dt e1 x(t )dt e2 y(t )dt e3 z (t )dt
微分几何
主讲人：周小辉
第一章
1、向量函数
曲线论
内 容 提 要
向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念
曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。
3、空间曲线
3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线
回顾向量代数
一、向量的概念
1、向量的定义。
2、向量的表示
3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。 二、向量的运算 （几何意义）
1、加减法：a b {x1 x2 , y1 y2 , z1 z2} 2、数乘： a {x, y, z}
t t 0
2、向量函数的性质
(t ) 是一个实函数，并且 命题1如果r (t ) 和 s (t ) 是两个一元函数， 当 t t0 时，有 r (t ) a, s (t ) b , (t ) m 则有
（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。
r (t ) s (t ) a b.
3、内积： a b a b cos(a, b ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 4、外积：a b a b sin(a , b ), a , b 与a b 垂直, 成右手系 e1 e2 e3 y1 z1 z1 x1 x1 y1 a b x1 y1 z1 { , , } y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2 x2 y 2 z 2
《微分几何》课件
汇报人：
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微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
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主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
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工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念PPT优秀课件
将其z代 z(入 u,v)得z： z[u (x,y)v,(x,y)]z(x, y)
注 z即 r z (xr ,{ yx ),是 y ,z 曲 (x ,面 y )， 的(} x一 , y是种参特 数)殊 数 . 的 表参 示，
15
2.曲面的切平面和法线
v坐标曲线
v坐标直线
v
G
f
.
z
P(u0
C
, v0 )
x y
(ii)iJoc行 bi列 ((x u式 ,,vy))(u0,v0) u x
u y
0,
v v (u0,v0) 14
由反函数存在定理可知
，总 存(在 u0,v0)的 一 个 邻 V，域
在此邻域 V内， 方程组 ()有唯一一对连续可 反微 函的 数
u u( x, y) v v( x, y)
则 在 曲 S上面 必 定 能 找 P(u到 0,v0)的 过曲 点: 线 r r ( u 0 ( t t 0 ) v 0 ,( t t 0 )), 此 曲 线P在 (u0,点 v0)的 切 向 量 V.就 是
{ Tr Pu 称 ,r v}是 为曲S在 切 面T P 点 的 P处 空 的一 切 .间 空组 间，基
称为平面上的初等区域 .
y
如：
•
Ox
长方形内部 正方形内部 圆内部 椭圆内部
全平面
3
定义3（简单曲面） 平面 上的 初等 E3中 区的 域同 在胚 像称面 为 .
如： f
g
简单曲面
4
2.简单曲面的参数表示
v
G
f
.
(u, v )
O
u
z P(xu,vy),z) S
rr(u ,v)
微分几何 空间曲线
4、例题 P34
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
k ( s) lim s 0 s
有 k ( s)
P ( s) P1 (s s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2
两边取极限得 r (t0 )在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此
只要 r (t ) r (t ) 0 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 (R r (t0 ), r (t0 ), r (t0 )) 0
用 R {X , Y , Z} 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
( s) (s s)
(s s)
, .( 1) // .
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
,当 和 异向,
( s)
,当 和 同向.
2、密切平面的方程
P(t0 ) 给出 C 类的曲线（C）： r r (t ) r (t0 ) 有 PQ r (t t ) r (t ) Q(t0 t ) 0 0 2 1 r (t0 )t 2 (r (t0 ) )t R 因为向量 r (t0 )和 PQ 都在平面 上，所以它们的 O 线性组合 22 [ PQ r (t0 )t ] r (t0 ) 也在平面 上。 t
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
高等数学课件D852空间曲线
05 空间曲线积分计算与应用
弧长积分计算方法
弧长微元法
利用曲线微元段的长度近似代替弧长，通过求和得到整个曲线的弧 长。
参数方程法
对于参数方程表示的曲线，可以通过参数的变化范围和参数方程求 解弧长积分。
极坐标法
对于极坐标表示的曲线，可以通过极坐标与直角坐标的转换关系，将 弧长积分转化为直角坐标系下的定积分求解。
常见问题及解决方法
空间曲线方程求解
空间曲线绘制
通过给定的条件（如切线方向、法线方向 、曲率、挠率等）求解空间曲线的方程。
利用计算机软件（如MATLAB、GeoGebra 等）绘制空间曲线图形，以便更直观地了 解其形状和特性。
空间曲线与平面位置关系判断源自空间曲线应用问题通过计算和分析判断空间曲线与平面的位 置关系，如相交、相切、相离等。
设定参数范围
根据曲线方程，设定参数的取 值范围，以便完整地绘制出曲 线。
绘制曲线
利用绘制工具，将曲线方程转 化为图形，并进行必要的调整
和修饰。
利用软件进行图形绘制
MATLAB绘制
其他软件
利用MATLAB的绘图函数，如plot3、 surf等，绘制空间曲线图形，并可通过 调整参数和视角来优化图形效果。
空间曲线分类
根据形状和特性，空间曲线可分为平 面曲线和空间曲线，其中空间曲线又 可分为一般空间曲线和特殊空间曲线 （如螺旋线、悬链线等）。
空间曲线基本性质
01
02
03
连续性
空间曲线在其定义域内是 连续的，即曲线上的点之 间没有间断。
可导性
空间曲线在其定义域内是 可导的，即曲线的切线方 向存在且唯一。
弯曲性
空间曲线具有一定的弯曲 程度，可以用曲率和挠率 来描述其弯曲程度。
微分几何13空间曲线
7、几个例题 例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。 例2 曲率恒为零的曲线是直线。 例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。 例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。
解 由题意，可设曲线为园柱螺线
r {a cos , a sin ,b}
因此
a
b
4
25
得所求园柱螺a线2 为 b2 4 ,
a2 b2 5 a 41
P
P1
(s s)
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
3、挠率 与曲率类似有
lim
r r
k(s)
s0 s
(s s)
(s)
k(s)
,
(
)
(s s)
k
(s)
,
.(
1)
//
.
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
x(t0 )
y(t0 )
z(t0 )
平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
P
3、2 空间曲线的基本三棱形
1、给出 C类曲2 线
r得一r单(位s)向量
，称为曲
r
dr
ds
线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到
称
为曲线在 称
P
点为的曲主线法在向P量点,rr它的 垂付直法于向单量位。切向量。
,当
和
异向,
挠率的绝对值 (是s曲) 线的付法向量 ,对当于弧和长的旋同转向速.度。
4、由定义可得
(s)
又
(
)•
(s)
k(s)
于是有 k(s) (s)
微分几何曲线论 三维空间曲线 从参数表示到求出特征 从特征求.
说明：1．任意参数t , 绘曲线。
曲线方程可以取自题库，或自由输入。
起点或终点可以自动调整。
2．改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。
起点或终点s参数也可以自动调整。
3．活动标架应以弧长s 为参数。
可先给定固定的某s，用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。
s，κ(s)，ρ(s)显示于输出栏。
κ(s)，ρ(s)的图形也相应显示于相应窗口。
按键可以弹出窗口，显示公式与评注。
4．让s 从起点到终点，动起来。
5．把κ(s)，ρ(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。
文字描述与程序要求微分几何知识结构网络曲线论参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。
换参数与坐标系则换表达式。
条件约束：正则。
即三阶以上连续可微。
活动标架：运动公式：本质特征：与坐标系，又与参数无关。
存在唯一定理，决定曲线形状。
三维空间曲线参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t) ] , t0 ≤t ≤T换参数程序：s (t) = ∫|r ‘(t ) | dt, t = s –1 (t )换坐标系程序：活动标架：切向量α(s) α(s) = r ‘(t) / | r ‘(t)| 弧长参数则自动归一。
法向量β(s) β(s)=α‘(s) /|α‘(s)| 向量微商，一定正交。
从法向量γ(s) γ(s) =α(s) X β(s) 画曲线及其活动标架。
α(s) β(s) 张成密切平面。
β(s) γ(s) 张成主法平面。
γ(s) α(s) 张成从法平面。
要画曲线在三个坐标平面上的投影。
本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，未必单位长ρ(s) = |γ‘(s)| 挠率，存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线。
运动公式：局部关系d r /ds = α(s)dα(s)/ds =κ(s) β(s)dβ(s)/ds =κdα(s)/ds + ρdγ(s)/dsdγ(s)/ds = -ρ(s) β(s) 解方程组的数值计算程序。
§3空间曲线
§3 空间曲线这一节,我们研究空间曲线的基本理论，研究刻画空间曲线在某一点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量——曲率和挠率，以及曲线在一点邻近的近似形状，并找出决定空间曲线的条件。
3.1 空间曲线的密切平面、副法线1 密切平面、副法线设曲线2():()C r r t C =∈rr，过曲线上P点的切线和P 点的邻近一点Q 可作一平面σ，当Q 点沿着曲线趋于P 点时平面σ的极限位置π 称为曲线在P点的密切平面。
密切平面在P 点的法线称为曲线在P 点的副法线。
2 密切平面、副法线的方程设曲线2():()C r r t C =∈rr，P 点的径矢00(),()r t Q r t t +∆rr点的径矢则2000001()()()(())(),lim 02t PQ r t t r t r t t r t t εε∆→′′′+∆−=∆++∆=uuu r r r r r r r r = 。
20001()()(())()2r t PQ r t r t t ε′′′′××+∆uuu r r r r r =‖00()(())r t r t ε′′′×+rr r ，当Q P →时，000,0,()()t r t r t ε′′′∆→→→×r rr r这个矢积。
如果00()()0r t r t ′′′×≠r r r，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P 点完全确定了密切平面，方程是： 000(()()())0R r t r t r t ′′′−=r r r r，，,其中{,,}R X Y Z =r 表示0()P t 点的密切平面上任意点的向径。
或000000000()()()()()()0()()()x x t y y t z z t x t y t z t x t y t z t −−−′′′=′′′′′′ PπQ副法线方程：000()()())r t r t r t ρλ′′′=×rr r r+(副法线的标准方程是：000()()(),x x t y y t z z t X Y Z−−−== 00{,,}()()X Y Z r t r t ′′′=×r r其中。