第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
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si t i 1
N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha (nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u (n) Ai (e ) u (n)
si T n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e si nT z n Ai (e siT z 1 ) n
Ha ( j ) T
0
H ( e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
例1 将一个具有如下系统函数 2 1 1 H ( s) ( s 1)( s 3) s 1 s 3 的模拟滤波器数字化。
解：
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
3.1.1 脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数 字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波 器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。
如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即 Ha(s)=L [ha(t)] ,
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的，如 果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以 内， s H a ( j) 0 2 即
稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左 siT 半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(z)的极点 e 也 都在单位圆以内，即 e siT e Re ( si )T 1 , 因此数字滤波器保持稳定。
映射关系 z e
令
sT
：
j
z re
,
s j
则
则
re j e j T eT e jT
r eT ,
T
S平面上每一条宽为 2 T 的横带部分，都将 重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆 以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆 以外，
2
段
T
轴映射到单位圆上， j 轴上每一 ,都对应于绕单位圆一周。
s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 2
的频带，再用脉
冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤 波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响 应时才采用。
2）最优化设计方法 分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 | H (e j ) | （与所要求的理想频率响应 | H d (e j ) | 的均方误 差最小，
H ( e j ) H d ( e j )
i i
M
i 1
ˆ ( s) 1 Ha T
2 Ha s j T m m
ˆ ① 理想采样 ha (t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t ) 的拉氏变换H a (s) 之间的关系。
ˆ ② 理想采样ha (t ) 的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n) 的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
i
1 1-δ
1
δ2 0
ω
ωc
ωr
π
通带
过渡带
阻带
A 10 lg
H e
j
1
2
1 20 lg H e j
c 时
20 lg
H e j
1
1
1 20 lg 20 lg 1 1 1 1
min
r 时
At 20 lg
通带波动
1
T
3T
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 H a ( j ) H ( s ) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
数字滤波器的频率响应为:
H ( e ) H ( z ) z e j
j
(e e )e 1 (e T e 3T )e j e 4T e j 2
H e
j
20 lg
max
1
2
20 lg 2
最小阻带衰耗
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
y (n) ai x(n i ) bi y (n i )
i 0 i 1
N
N
2)系统函数
H (Z )
a z
i 0 i N i 1
M
i
1 bi z i
H (e ) H a ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法 得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波 器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响 应不变法。
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因 此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通， 而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波 器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
3.1
根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H （z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换， 这种映射变换应遵循两个基本原则：
1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面 的虚轴应映射到Z平面的单位圆 e j 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变 ，即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单 位圆以内|Z|<1。
n 0 i 1 i 1 n 0
N
N
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e
si T
z )
1 k
k
0,
所以有
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
j
3 T
j Im( z )
0
T
0
T
Re(z )
3
T
S 平面
: ~
Z 平面
应指出，z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓 与H(z)的关系，而不是Ha(s)本身与H(z)的关系，因此， 使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由s 平面到z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有 一个s=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模 拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
n
h(n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeST 的映射 关系映射到 Z 平面上。
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
Fra Baidu bibliotek
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
第3章 无限长单位脉冲 响应（IIR）滤波器设计
3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 3.2 常用模拟低通滤波器特性 3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字 滤波器的频率变换 3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波 器的频率变换 3.5 IIR数字滤波器的最优化设计方法
概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预 测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理 中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理 的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数 字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字 序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和 计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
2
min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a、bi ，直到 i 满足要求为止。
以上两种设计方法中，着重讲第一种， 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务 与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通 及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中， 采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机 技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐 增多。
A
(1 c z
i i 1 N i 1
M
1
) 一般M N
(1 d i z 1 )
分类:
递归系统 非递归系统 IIR FIR
高通 低通 带通
带阻
设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换 成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟 模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来 方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为 设计数字滤波器的工具。
H(z)=Z [h(n)]
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟 滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式；
Ai H a (s) i 1 s si
其拉氏反变换为：
N
ha (t ) Ai e u (t ),
T
3T
j
H (e j ) 与采样间隔T有关,如图b, 显然 T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什 么混迭呢?
小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
z 1 (e T e 3T ) 1 T 3T 4T 2 1 z (e e ) e z
2 1 1 H ( s) ( s 1)( s 3) s 1 s 3
ha t e e
t
3t
hn ha t t nT
N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha (nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u (n) Ai (e ) u (n)
si T n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e si nT z n Ai (e siT z 1 ) n
Ha ( j ) T
0
H ( e j )
0
脉冲响应不变法中的频响混淆
例1 将一个具有如下系统函数 2 1 1 H ( s) ( s 1)( s 3) s 1 s 3 的模拟滤波器数字化。
解：
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
3.1.1 脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数 字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波 器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。
如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即 Ha(s)=L [ha(t)] ,
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的，如 果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以 内， s H a ( j) 0 2 即
稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左 siT 半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(z)的极点 e 也 都在单位圆以内，即 e siT e Re ( si )T 1 , 因此数字滤波器保持稳定。
映射关系 z e
令
sT
：
j
z re
,
s j
则
则
re j e j T eT e jT
r eT ,
T
S平面上每一条宽为 2 T 的横带部分，都将 重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆 以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆 以外，
2
段
T
轴映射到单位圆上， j 轴上每一 ,都对应于绕单位圆一周。
s ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 2
的频带，再用脉
冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤 波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响 应时才采用。
2）最优化设计方法 分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 | H (e j ) | （与所要求的理想频率响应 | H d (e j ) | 的均方误 差最小，
H ( e j ) H d ( e j )
i i
M
i 1
ˆ ( s) 1 Ha T
2 Ha s j T m m
ˆ ① 理想采样 ha (t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t ) 的拉氏变换H a (s) 之间的关系。
ˆ ② 理想采样ha (t ) 的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n) 的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
i
1 1-δ
1
δ2 0
ω
ωc
ωr
π
通带
过渡带
阻带
A 10 lg
H e
j
1
2
1 20 lg H e j
c 时
20 lg
H e j
1
1
1 20 lg 20 lg 1 1 1 1
min
r 时
At 20 lg
通带波动
1
T
3T
模拟滤波器的频率响应为:
2 2 H a ( j ) H ( s ) s j ( j 1)( j 3) (3 2 ) j 4
数字滤波器的频率响应为:
H ( e ) H ( z ) z e j
j
(e e )e 1 (e T e 3T )e j e 4T e j 2
H e
j
20 lg
max
1
2
20 lg 2
最小阻带衰耗
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
y (n) ai x(n i ) bi y (n i )
i 0 i 1
N
N
2)系统函数
H (Z )
a z
i 0 i N i 1
M
i
1 bi z i
H (e ) H a ( j)
j
/T
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法 得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波 器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响 应不变法。
3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因 此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通， 而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波 器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
3.1
根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H （z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换， 这种映射变换应遵循两个基本原则：
1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面 的虚轴应映射到Z平面的单位圆 e j 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变 ，即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单 位圆以内|Z|<1。
n 0 i 1 i 1 n 0
N
N
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
1 (e z ) siT 1 1 e z
si T
1 k k
必有
(e
si T
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1 k
k
0,
所以有
Ai H ( z) siT 1 z i 1 1 e
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
j
3 T
j Im( z )
0
T
0
T
Re(z )
3
T
S 平面
: ~
Z 平面
应指出，z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓 与H(z)的关系，而不是Ha(s)本身与H(z)的关系，因此， 使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由s 平面到z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有 一个s=f(z)代数关系式。 混迭： 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模 拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
n
h(n ) z n
s平面与z平面的映射关系
ze
sT
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 zeST 的映射 关系映射到 Z 平面上。
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
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Fra Baidu bibliotek
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
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n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
第3章 无限长单位脉冲 响应（IIR）滤波器设计
3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 3.2 常用模拟低通滤波器特性 3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字 滤波器的频率变换 3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波 器的频率变换 3.5 IIR数字滤波器的最优化设计方法
概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预 测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理 中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理 的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数 字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字 序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和 计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。
2
min
此外还有其他多种误差最小准则， b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 bi 通过不断地迭代运算，改变 a、bi ，直到 i 满足要求为止。
以上两种设计方法中，着重讲第一种， 因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务 与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通 及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是 “模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中， 采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机 技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐 增多。
A
(1 c z
i i 1 N i 1
M
1
) 一般M N
(1 d i z 1 )
分类:
递归系统 非递归系统 IIR FIR
高通 低通 带通
带阻
设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换 成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟 模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来 方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为 设计数字滤波器的工具。
H(z)=Z [h(n)]
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟 滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式；
Ai H a (s) i 1 s si
其拉氏反变换为：
N
ha (t ) Ai e u (t ),
T
3T
j
H (e j ) 与采样间隔T有关,如图b, 显然 T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什 么混迭呢?
小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，ω ＝Ω Τ ，ω 与Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
z 1 (e T e 3T ) 1 T 3T 4T 2 1 z (e e ) e z
2 1 1 H ( s) ( s 1)( s 3) s 1 s 3
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